Corrigé Calédonie 2023 : ce que contient la correction
D’abord, précisons que ce corrigé Calédonie 2023 concerne l’épreuve de spécialité mathématiques 2023 en Nouvelle-Calédonie (jour 2), avec une rédaction complète des réponses. En effet, l’épreuve se compose de 4 exercices indépendants. De plus, on y mobilise surtout la fonction exponentielle, la convexité, la géométrie dans l’espace et le raisonnement par récurrence. Côté timing, l’épreuve dure 4 heures ; par conséquent, prévoyez à peu près 60 minutes pour chaque exercice. De cette façon, vous pouvez vérifier non seulement vos résultats, mais aussi la qualité de votre rédaction.
Corrigé du sujet
Exercice 1 :
Commençons par lire les coordonnées utiles dans le repère \((\text{A} ; \vec{\text{AD}}, \vec{\text{AB}}, \vec{\text{AE}})\) : le premier axe suit [AD], le deuxième [AB], le troisième [AE]. On obtient \(\text{C}(1 ; 1 ; 0)\) car \(\vec{\text{AC}} = \vec{\text{AD}} + \vec{\text{AB}}\), \(\text{F}(0 ; 1 ; 1)\) car \(\vec{\text{AF}} = \vec{\text{AB}} + \vec{\text{AE}}\), \(\text{H}(1 ; 0 ; 1)\) et \(\text{G}(1 ; 1 ; 1)\). K étant le milieu de [HG], ses coordonnées sont les moyennes de celles de H et G : \(\text{K}(1 ; \dfrac{1}{2} ; 1)\).
1. Trois points définissent un plan dès qu’ils ne sont pas alignés. Calculons \(\vec{\text{CF}}\begin{pmatrix}0-1\\1-1\\1-0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}\) et \(\vec{\text{CK}}\begin{pmatrix}1-1\\\frac{1}{2}-1\\1-0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\-\frac{1}{2}\\1\end{pmatrix}\).
La première coordonnée de \(\vec{\text{CK}}\) est nulle alors que celle de \(\vec{\text{CF}}\) vaut \(-1\) : si l’on avait \(\vec{\text{CK}} = k\,\vec{\text{CF}}\), on aurait \(k = 0\), donc \(\vec{\text{CK}} = \vec{0}\), ce qui est faux. Les deux vecteurs ne sont pas colinéaires, donc C, F et K ne sont pas alignés et définissent un plan.
2. a. K est le milieu d’une arête de longueur 1 et [GF], [GC] sont des arêtes du cube : \(\text{KG} = \dfrac{1}{2}\), \(\text{GF} = 1\) et \(\text{GC} = 1\).
b. La face BCGF est un carré, donc l’angle \(\widehat{\text{FGC}}\) est droit : le triangle FGC est rectangle en G. Son aire vaut la moitié du produit des côtés de l’angle droit :
\[\mathcal{A}_{\text{FGC}} = \dfrac{\text{GF} \times \text{GC}}{2} = \dfrac{1 \times 1}{2} = \dfrac{1}{2}.\]
L’aire du triangle FGC est \(\dfrac{1}{2}\) unité d’aire.
Exercice 1 du corrigé Calédonie 2023 : question 3
c. Prenons FGC comme base. La droite (KG) est portée par l’arête [HG], perpendiculaire à la face BCGF (elle est orthogonale à [GF] et à [GC], deux droites sécantes de cette face). Le segment [KG] est donc la hauteur issue de K, de longueur \(\dfrac{1}{2}\). D’où :
\[V_{\text{FGCK}} = \dfrac{1}{3} \times \mathcal{A}_{\text{FGC}} \times \text{KG} = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{12}.\]
Le volume du tétraèdre FGCK est \(\dfrac{1}{12}\) unité de volume.
3. a. Un vecteur est normal à un plan s’il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan. On utilise \(\vec{\text{CF}}\) et \(\vec{\text{CK}}\), non colinéaires d’après la question 1 :
\[\vec{n} \cdot \vec{\text{CF}} = 1 \times (-1) + 2 \times 0 + 1 \times 1 = 0\]
\[\vec{n} \cdot \vec{\text{CK}} = 1 \times 0 + 2 \times (-\dfrac{1}{2}) + 1 \times 1 = 0\]
Les deux produits scalaires sont nuls, donc \(\vec{n}\) est normal au plan (CFK).
b. Puisque \(\vec{n}\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}\) est normal au plan, celui-ci admet une équation de la forme \(x + 2y + z + d = 0\). Le point C(1 ; 1 ; 0) appartient au plan, donc \(1 + 2 \times 1 + 0 + d = 0\), soit \(d = -3\). Une équation cartésienne de (CFK) est bien \(x + 2y + z – 3 = 0\). (On peut contrôler avec F : \(0 + 2 + 1 – 3 = 0\), et avec K : \(1 + 1 + 1 – 3 = 0\).)
Exercice 1 : questions 4 à 5
4. Une droite orthogonale à un plan a pour vecteur directeur n’importe quel vecteur normal à ce plan : \(\Delta\) est dirigée par \(\vec{n}\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}\). Elle passe par G(1 ; 1 ; 1). Un point M(\(x\) ; \(y\) ; \(z\)) appartient à \(\Delta\) si et seulement s’il existe un réel \(t\) tel que \(\vec{\text{GM}} = t\,\vec{n}\), c’est-à-dire \(x – 1 = t\), \(y – 1 = 2t\) et \(z – 1 = t\). On obtient bien la représentation paramétrique :
\[\{\begin{array}{l} x = 1 + t \\ y = 1 + 2t \\ z = 1 + t \end{array}. \quad (t \in \mathbb{R})\]
5. a. Le point L est sur \(\Delta\), donc ses coordonnées s’écrivent \((1 + t ; 1 + 2t ; 1 + t)\) pour un certain réel \(t\), et il est dans le plan (CFK), donc elles vérifient l’équation du plan :
\[(1 + t) + 2(1 + 2t) + (1 + t) – 3 = 0 \iff 6t + 1 = 0 \iff t = -\dfrac{1}{6}.\]
On remplace : \(x = 1 – \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6}\), \(y = 1 – \dfrac{2}{6} = \dfrac{2}{3}\), \(z = \dfrac{5}{6}\). Donc \(\text{L}(\dfrac{5}{6} ; \dfrac{2}{3} ; \dfrac{5}{6})\).
b. On calcule la distance entre G(1 ; 1 ; 1) et L :
\[\text{LG} = \sqrt{(1 – \dfrac{5}{6})^2 + (1 – \dfrac{2}{3})^2 + (1 – \dfrac{5}{6})^2} = \sqrt{\dfrac{1}{36} + \dfrac{4}{36} + \dfrac{1}{36}} = \sqrt{\dfrac{6}{36}} = \dfrac{\sqrt{6}}{6}.\]
On retrouve bien \(\text{LG} = \dfrac{\sqrt{6}}{6}\). Comme L est le projeté orthogonal de G sur le plan (CFK), c’est la distance du point G à ce plan.
Exercice 1 du corrigé Calédonie 2023 : question 6
6. On calcule le volume du même tétraèdre FGCK d’une autre façon, en prenant cette fois pour base le triangle CFK. La hauteur associée est la distance de G au plan (CFK), c’est-à-dire \(\text{LG} = \dfrac{\sqrt{6}}{6}\). En notant \(\mathcal{B}\) l’aire de CFK et en utilisant le volume trouvé à la question 2 :
\[\dfrac{1}{3} \times \mathcal{B} \times \dfrac{\sqrt{6}}{6} = \dfrac{1}{12} \iff \mathcal{B} = \dfrac{3 \times 6}{12\sqrt{6}} = \dfrac{3}{2\sqrt{6}} = \dfrac{3\sqrt{6}}{12} = \dfrac{\sqrt{6}}{4}.\]
L’aire du triangle CFK vaut \(\dfrac{\sqrt{6}}{4}\) unité d’aire (environ 0,612).
Exercice 2 :
1. Par croissances comparées, \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\text{e}^x}{x} = +\infty\). En passant à l’inverse (quantité positive pour \(x \gt 0\)), on obtient \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x}{\text{e}^x} = 0\), c’est-à-dire \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 0\). La courbe \(\mathcal{C}_f\) admet donc en \(+\infty\) une asymptote horizontale d’équation \(y = 0\) : l’axe des abscisses.
2. \(f\) est le produit de \(u(x) = x\) et \(v(x) = \text{e}^{-x}\), avec \(u^{\prime}(x) = 1\) et \(v^{\prime}(x) = -\text{e}^{-x}\). La formule \((uv)^{\prime} = u^{\prime}v + uv^{\prime}\) donne :
\[f^{\prime}(x) = 1 \times \text{e}^{-x} + x \times (-\text{e}^{-x}) = (1 – x)\text{e}^{-x}.\]
3. Comme \(\text{e}^{-x} \gt 0\) pour tout réel \(x\), \(f^{\prime}(x)\) a le signe de \(1 – x\) : positif sur \([0 ; 1]\), nul en 1, négatif sur \([1 ; +\infty[\). On calcule \(f(0) = 0\), \(f(1) = \text{e}^{-1} = \dfrac{1}{\text{e}}\), et on a vu que \(f\) tend vers 0 en \(+\infty\).
| \(x\) | \(0\) | \(1\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| signe de \(f^{\prime}(x)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | ||
| variations de \(f\) | \(0\) | \(\nearrow\) | \(\text{e}^{-1}\) | \(\searrow\) | \(0\) |
La fonction \(f\) est strictement croissante sur \([0 ; 1]\), strictement décroissante sur \([1 ; +\infty[\), et admet un maximum égal à \(\text{e}^{-1}\) atteint en \(x = 1\).
4. On a \(\text{e}^{-1} \approx 0{,}3679\), donc \(\dfrac{367}{1000} = 0{,}367\) est strictement compris entre 0 et le maximum \(\text{e}^{-1}\). On découpe l’intervalle en deux :
Exercice 2 : question 5
- sur \([0 ; 1]\), \(f\) est continue et strictement croissante, de \(f(0) = 0\) à \(f(1) = \text{e}^{-1}\) ; comme \(0 \lt 0{,}367 \lt \text{e}^{-1}\), le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires assure que l’équation \(f(x) = 0{,}367\) a exactement une solution dans cet intervalle ;
- sur \([1 ; +\infty[\), \(f\) est continue et strictement décroissante, de \(\text{e}^{-1}\) vers la limite 0 ; comme \(0 \lt 0{,}367 \lt \text{e}^{-1}\), le même corollaire donne exactement une solution dans cet intervalle (et \(x = 1\) n’en est pas une puisque \(f(1) \neq 0{,}367\)).
L’équation \(f(x) = \dfrac{367}{1000}\) admet donc exactement deux solutions sur \([0 ; +\infty[\) (la calculatrice donne environ 0,93 et 1,07, de part et d’autre de 1).
5. La convexité se lit sur le signe de \(f^{\prime\prime}\). Comme \(\text{e}^{-x} \gt 0\), \(f^{\prime\prime}(x)\) a le signe de \(x – 2\) :
- sur \([0 ; 2]\), \(f^{\prime\prime}(x) \leq\, 0\) : \(f\) est concave sur \([0 ; 2]\) ;
- sur \([2 ; +\infty[\), \(f^{\prime\prime}(x) \geq\, 0\) : \(f\) est convexe sur \([2 ; +\infty[\).
La dérivée seconde s’annule en 2 en changeant de signe : le point de \(\mathcal{C}_f\) d’abscisse 2, de coordonnées \((2 ; 2\text{e}^{-2})\), est l’unique point d’inflexion de la courbe.
Exercice 2 du corrigé Calédonie 2023 : question 6
6. a. La tangente à \(\mathcal{C}_f\) au point d’abscisse \(a\) a pour équation \(y = f^{\prime}(a)(x – a) + f(a)\). Avec \(f^{\prime}(a) = (1 – a)\text{e}^{-a}\) et \(f(a) = a\text{e}^{-a}\) :
\[y = (1 – a)\text{e}^{-a}\,x – a(1 – a)\text{e}^{-a} + a\text{e}^{-a}\]
Le terme constant vaut \(-a\text{e}^{-a} + a^2\text{e}^{-a} + a\text{e}^{-a} = a^2\text{e}^{-a}\). L’équation réduite de \(T_a\) est donc bien :
\[y = [(1 – a)\text{e}^{-a}]x + a^2\text{e}^{-a}.\]
b. Le point \(\text{H}_a\) est sur l’axe des ordonnées, donc son abscisse est 0. Son ordonnée s’obtient en remplaçant \(x\) par 0 dans l’équation de \(T_a\) : c’est l’ordonnée à l’origine. Ainsi \(g(a) = a^2\text{e}^{-a}\).
c. On étudie la fonction \(g\) définie sur \([0 ; +\infty[\) par \(g(a) = a^2\text{e}^{-a}\). Elle est dérivable comme produit de fonctions dérivables, et :
\[g^{\prime}(a) = 2a\,\text{e}^{-a} + a^2 \times (-\text{e}^{-a}) = a(2 – a)\text{e}^{-a}.\]
Sur \([0 ; +\infty[\), \(a \geq\, 0\) et \(\text{e}^{-a} \gt 0\), donc \(g^{\prime}(a)\) a le signe de \(2 – a\) (avec \(g^{\prime}(0) = 0\)) : \(g^{\prime}(a) \geq\, 0\) sur \([0 ; 2]\) et \(g^{\prime}(a) \lt 0\) sur \(]2 ; +\infty[\). La fonction \(g\) croît sur \([0 ; 2]\) puis décroît sur \([2 ; +\infty[\) : elle atteint son maximum en \(a = 2\), qui vaut \(g(2) = 4\text{e}^{-2}\).
Or on a vu à la question 5 que le point d’inflexion de \(\mathcal{C}_f\) est précisément le point d’abscisse 2. Donc \(g(a)\) est maximale lorsque A est le point d’inflexion de \(\mathcal{C}_f\).
Exercice 3 :
1. On applique la relation de récurrence avec \(u_0 = 0\) :
\[u_1 = \dfrac{-0 – 4}{0 + 3} = -\dfrac{4}{3}\]
\[u_2 = \dfrac{\dfrac{4}{3} – 4}{-\dfrac{4}{3} + 3} = \dfrac{-\dfrac{8}{3}}{\dfrac{5}{3}} = -\dfrac{8}{5}\]
Donc \(u_1 = -\dfrac{4}{3}\) et \(u_2 = -\dfrac{8}{5}\).
2. La variable u doit partir de \(u_0 = 0\), puis la boucle, exécutée \(n\) fois, remplace à chaque passage \(u_k\) par \(u_{k+1}\) ; après \(n\) passages, u contient \(u_n\). Le script complété est :
def terme (n) :
u = 0
for i in range(n):
u = (-u - 4) / (u + 3)
return(u)
3. \(f\) est un quotient de fonctions affines dont le dénominateur ne s’annule pas sur \(]-3 ; +\infty[\) : elle y est dérivable. Avec la formule \((\dfrac{u}{v})^{\prime} = \dfrac{u^{\prime}v – uv^{\prime}}{v^2}\) :
\[f^{\prime}(x) = \dfrac{(-1)(x + 3) – (-x – 4) \times 1}{(x + 3)^2} = \dfrac{-x – 3 + x + 4}{(x + 3)^2} = \dfrac{1}{(x + 3)^2}.\]
Un carré non nul est strictement positif, donc \(f^{\prime}(x) \gt 0\) sur \(]-3 ; +\infty[\) : \(f\) est strictement croissante sur \(]-3 ; +\infty[\).
4. Notons \(P(n)\) la propriété « \(-2 \lt u_{n+1} \leq\, u_n\) ».
Initialisation. Pour \(n = 0\) : \(u_0 = 0\) et \(u_1 = -\dfrac{4}{3} \approx -1{,}33\). On a bien \(-2 \lt -\dfrac{4}{3} \leq\, 0\), donc \(P(0)\) est vraie.
Exercice 3 : questions 5 à 6
Hérédité. Soit \(n\) un entier naturel tel que \(P(n)\) soit vraie : \(-2 \lt u_{n+1} \leq\, u_n\). Les trois nombres \(-2\), \(u_{n+1}\) et \(u_n\) appartiennent à \(]-3 ; +\infty[\), intervalle sur lequel \(f\) est strictement croissante ; appliquer \(f\) conserve donc l’ordre : \(f(-2) \lt f(u_{n+1}) \leq\, f(u_n)\). Or \(f(-2) = \dfrac{2 – 4}{-2 + 3} = -2\), \(f(u_{n+1}) = u_{n+2}\) et \(f(u_n) = u_{n+1}\). On obtient \(-2 \lt u_{n+2} \leq\, u_{n+1}\) : c’est \(P(n + 1)\).
Conclusion. \(P(0)\) est vraie et la propriété est héréditaire, donc par récurrence \(-2 \lt u_{n+1} \leq\, u_n\) pour tout entier naturel \(n\).
5. D’après la question 4, pour tout \(n\), \(u_{n+1} \leq\, u_n\) : la suite \((u_n)\) est décroissante. De plus \(u_0 = 0 \gt -2\) et \(u_{n+1} \gt -2\) pour tout \(n\), donc tous les termes sont strictement supérieurs à \(-2\) : la suite est minorée par \(-2\). Une suite décroissante et minorée converge (théorème de convergence monotone) : la suite \((u_n)\) est convergente.
6. Remarque préalable : comme \(u_n \gt -2\), on a \(u_n + 2 \gt 0\), donc \(v_n\) est bien défini et strictement positif pour tout \(n\).
a. \(v_0 = \dfrac{1}{0 + 2}\), donc \(v_0 = \dfrac{1}{2} = 0{,}5\).
b. Exprimons d’abord \(u_{n+1} + 2\) en réduisant au même dénominateur :
\[u_{n+1} + 2 = \dfrac{-u_n – 4 + 2(u_n + 3)}{u_n + 3} = \dfrac{u_n + 2}{u_n + 3}.\]
En prenant l’inverse, \(v_{n+1} = \dfrac{u_n + 3}{u_n + 2} = \dfrac{(u_n + 2) + 1}{u_n + 2} = 1 + \dfrac{1}{u_n + 2} = 1 + v_n\).
Exercice 3 (suite)
Pour tout \(n\), \(v_{n+1} – v_n = 1\) : la suite \((v_n)\) est arithmétique de raison 1, de premier terme \(v_0 = 0{,}5\).
c. Le terme général d’une suite arithmétique donne \(v_n = v_0 + n \times 1 = n + 0{,}5\). Par ailleurs, \(v_n = \dfrac{1}{u_n + 2}\) équivaut à \(u_n + 2 = \dfrac{1}{v_n}\) (car \(v_n \neq 0\)), soit \(u_n = \dfrac{1}{v_n} – 2\). Ainsi :
\[u_n = \dfrac{1}{n + 0{,}5} – 2,\]
ce qui est la formule demandée, valable pour tout \(n \geq\, 1\) (et même pour \(n = 0\), puisque \(\dfrac{1}{0{,}5} – 2 = 0 = u_0\)).
d. Quand \(n\) tend vers \(+\infty\), \(n + 0{,}5\) tend vers \(+\infty\), donc \(\dfrac{1}{n + 0{,}5}\) tend vers 0. Par somme, \(\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = -2\). C’est cohérent avec la question 5 : la suite décroît et se rapproche de son minorant \(-2\) sans jamais l’atteindre.
Exercice 4 :
1. Réponse b. Sachant \(A\), on se restreint aux 75 adhérents qui pratiquent l’aviron ; parmi eux, 25 sont des filles. Donc \(P_A(F) = \dfrac{25}{75}\) \((= \dfrac{1}{3})\).
2. Réponse c. Par la formule \(P(A \cup F) = P(A) + P(F) – P(A \cap F) = \dfrac{75}{200} + \dfrac{105}{200} – \dfrac{25}{200} = \dfrac{155}{200} = \dfrac{31}{40}\). On peut aussi compter directement : seuls les 45 garçons qui font du basket ne sont ni filles ni rameurs, et \(\dfrac{200 – 45}{200} = \dfrac{155}{200}\).
3. Réponse d. Notons \(B\) « le bus est en panne » et \(T\) « le train est en panne ». Par indépendance, \(P(B \cap T) = P(B) \times P(T) = bt\). Alors \(p_1 = P(B \cup T) = P(B) + P(T) – P(B \cap T) = b + t – bt\).
4. Réponse b. Albert ne peut pas aller travailler uniquement si les deux moyens de transport sont en panne en même temps, ce qui a pour probabilité \(bt\). L’évènement contraire a donc pour probabilité \(p_2 = 1 – bt\).
5. Réponse d. Le contraire de « au moins une fois FACE » est « aucun FACE », c’est-à-dire PILE à chacun des \(n\) lancers. Les lancers étant indépendants, cette probabilité vaut \((1 – x)^n\). Donc \(p = 1 – (1 – x)^n\).
Corrigé Calédonie 2023 : méthode pour bien s’entraîner
D’abord, ouvrez l’énoncé du sujet et traitez un exercice entier sans aide, comme le jour de l’épreuve. Ensuite, comparez votre copie avec la correction ligne par ligne : au-delà du résultat final, regardez surtout la justification attendue. Par ailleurs, faites la liste des points de cours à revoir ; ici, ce sera souvent la fonction exponentielle et la convexité. Enfin, revenez sur les questions manquées quelques jours après : c’est ainsi que la méthode s’installe durablement. En complément, l’article fonction exponentielle de Wikipédia rappelle les définitions et propriétés utiles.
Les erreurs qui coûtent des points
- Face à une forme indéterminée avec l’exponentielle, pensez aux croissances comparées plutôt qu’à un calcul direct.
- La convexité se lit sur le signe de la dérivée seconde, pas sur celui de la dérivée : c’est une confusion très courante.
- En géométrie dans l’espace, ne confondez pas le vecteur normal d’un plan et le vecteur directeur d’une droite.
Questions fréquentes sur ce corrigé Calédonie 2023
Où trouver l’énoncé complet ? Il se trouve sur la page du sujet ; ainsi, vous pouvez chercher chaque exercice avant de lire la correction.
Quelles notions revoir avant de commencer ? Avant tout, la fonction exponentielle, la convexité et la géométrie dans l’espace, mais aussi le raisonnement par récurrence.
Faut-il tout justifier ? Oui, en règle générale ; en revanche, dans un QCM, l’énoncé précise le plus souvent qu’aucune justification n’est attendue.
Ensuite, Retour à l’énoncé : Bac de maths 2023 en Nouvelle-Calédonie (jour 2) : sujet et corrigé.
