Contrôle de maths Terminale : orthogonalité et distances dans l’espace

Exercice 1 : Produit scalaire et angle (4 points)

Calculatrice autorisée.

Dans tout le sujet, l’espace est muni d’un repère orthonormé \((O\,;\vec{i},\vec{j},\vec{k})\). On considère les vecteurs \(\vec{u}(2\,;-1\,;2)\) et \(\vec{v}(1\,;1\,;4)\).

1. Calculer le produit scalaire \(\vec{u} \cdot \vec{v}\). (1 point)
2. Calculer les normes \(\|\vec{u}\|\) et \(\|\vec{v}\|\). (1 point)
3. En déduire une mesure en degrés de l’angle géométrique formé par les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\). (1 point)
4. Pour tout réel \(m\), on pose \(\vec{w}(m\,;m + 1\,;3)\). Déterminer \(m\) pour que \(\vec{w}\) soit orthogonal à \(\vec{u}\). (1 point)

Exercice 2 : Vecteur normal et équations de plans (4 points)

On note \(P\) le plan passant par \(A(1\,;2\,;-1)\) et de vecteur normal \(\vec{n}(2\,;-1\,;3)\).

1. Déterminer une équation cartésienne du plan \(P\). (1 point)
2. Le point \(B(0\,;3\,;0)\) appartient-il au plan \(P\) ? (0,5 point)
3. Le plan \(Q\) a pour équation \(x + 5y + z – 4 = 0\). Montrer que les plans \(P\) et \(Q\) sont perpendiculaires. (1 point)
4. Déterminer une équation cartésienne du plan \(P^{\prime}\) parallèle à \(P\) et passant par \(C(1\,;0\,;1)\). (1 point)
5. Le plan \(R\) a pour équation \(-4x + 2y – 6z + 7 = 0\). Les plans \(P\) et \(R\) sont-ils parallèles ? confondus ? (0,5 point)

Exercice 3 : Projeté orthogonal sur un plan (4,5 points)

On considère le plan \(P\) d’équation \(x + 2y + 2z – 9 = 0\) et le point \(M(2\,;-2\,;1)\).

1. Donner une représentation paramétrique de la droite \(\Delta\) passant par \(M\) et orthogonale au plan \(P\). (1 point)
2. Déterminer les coordonnées du point \(H\), projeté orthogonal de \(M\) sur le plan \(P\). (1,5 point)
3. En déduire la distance du point \(M\) au plan \(P\). (0,5 point)
4. Déterminer les coordonnées du point \(M^{\prime}\), symétrique de \(M\) par rapport au plan \(P\). (1 point)
5. Soit \(N\) un point quelconque du plan \(P\), distinct de \(H\). Justifier que \(MN > MH\). (0,5 point)

Exercice 4 : Un tétraèdre dans un repère (7,5 points)

On considère les points \(A(3\,;0\,;0)\), \(B(0\,;6\,;0)\) et \(C(0\,;0\,;6)\), situés sur les axes du repère, et le tétraèdre \(OABC\) représenté ci-dessous.

(La figure n’est pas à l’échelle.)

1. Montrer que le vecteur \(\vec{n}(2\,;1\,;1)\) est normal au plan \((ABC)\). (1,5 point)
2. En déduire une équation cartésienne du plan \((ABC)\). (1 point)
3. On note \(d\) la droite passant par \(O\) et orthogonale au plan \((ABC)\). Donner une représentation paramétrique de \(d\), puis montrer que le projeté orthogonal de \(O\) sur le plan \((ABC)\) est le point \(H(2\,;1\,;1)\). (1,5 point)
4. Calculer la distance \(OH\). (0,5 point)
5. Calculer le volume du tétraèdre \(OABC\). On rappelle que le volume d’un tétraèdre est \(V = \frac{1}{3} \times S \times h\), où \(S\) est l’aire d’une base et \(h\) la hauteur associée. (1 point)
6. En utilisant la base \(ABC\), en déduire la valeur exacte de l’aire du triangle \(ABC\). (1 point)
7. Calculer \(\vec{AB} \cdot \vec{AC}\), puis une mesure de l’angle \(\widehat{BAC}\) arrondie au dixième de degré. (1 point)

Réviser avant le contrôle : orthogonalité et distances dans l’espace

Avant de faire ce contrôle, relis le cours « Géométrie dans l’espace » en Terminale et « Représentation paramétrique et équation cartésienne » en Terminale et « Le produit scalaire » en Terminale puis entraîne-toi avec les exercices corrigés représentations paramétriques et équations cartésiennes, produit scalaire.

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