Voici tous les exercices bac de maths des annales sur les équations différentielles, classés du plus récent au plus ancien.
Depuis la réforme, les équations différentielles au bac sont redevenues un classique des sujets de spécialité, souvent en ouverture d’un problème de modélisation. Cette page recense 28 exercices tirés des annales de 2010 à 2026.
La trame est presque toujours la même : résoudre \(y^{\prime} = ay\) ou \(y^{\prime} = ay + b\), trouver une solution particulière constante ou affine, en déduire la solution générale, puis déterminer l’unique solution vérifiant une condition initiale. La suite de l’exercice étudie ensuite cette fonction : limite, variations, seuil.
Deux erreurs sont fréquentes : oublier la constante réelle \(C\) dans la solution générale, ou appliquer la condition initiale avant d’avoir ajouté la solution particulière. Les exercices vont du plus récent au plus ancien, avec lien vers le sujet complet ; le corrigé se trouve en bas de page. Ces questions, très guidées, rapportent des points précieux à condition de connaître le cours sur le bout des doigts.
Exercices bac de maths par thème · Corrigé bac de maths : Équations différentielles
Exercices bac de maths : les 28 exercices des annales sur les équations différentielles
Session 2026
Amérique du Nord – jour 1 · Exercice 2 · 4 points Spécialité maths
Population de perches-soleil dans un étang : suite \(u_{n+1}=4-\frac{4}{u_n}\), récurrence et convergence. Par ailleurs, script Python de seuil et modèle continu avec \(y^{\prime}+y=2\).
Antilles-Guyane – jour 1 · Exercice 2 · 6 points Spécialité maths
Quantité de médicament dans le sang : équation différentielle \(y^{\prime}=-0{,}3y+1\), limite et variations. Ensuite, seuil de toxicité, suite arithmético-géométrique étudiée par récurrence et convergence.
Antilles-Guyane – jour 2 · Exercice 3 · 4 points Spécialité maths
Vrai-faux d’analyse : solutions d’équations différentielles \(y^{\prime}+2y=0\) et \(y^{\prime}-3y=2-6x\). Enfin, convexité de \(x-\cos x\) et asymptote de \(1+\frac{\sin x}{x}\).
Asie – jour 2 · Exercice 4 · 5 points Spécialité maths
Vrai-faux justifié : convexité d’une puissance cinquième et tirages de jetons avec combinaisons. En outre, probabilité conditionnelle sur un arbre et solutions de \(y^{\prime}+y=\mathrm{e}^{-x}\cos x\).
Centres étrangers – jour 1 · Exercice 2 · 5 points Spécialité maths
Vrai-faux : solution de \(y^{\prime}+y=2\cos x\), intersection de courbes et convergence de suites. Ensuite, formule \(u_n=n^2\) par récurrence et somme géométrique de \(e^{-n}\).
Centres étrangers – jour 2 · Exercice 4 · 6 points Spécialité maths
Courbes de \(f\), \(f^{\prime}\) et \(f^{\prime\prime}\), équation différentielle \(y^{\prime}+y=(2x-3)\mathrm{e}^{-x}\), étude de la solution et nombre de tangentes passant par l’origine.
France – jour 1 · Exercice 3 · 6 points Spécialité maths
Chauffage d’une pièce : équation différentielle \(y^{\prime}=-0{,}035y+0{,}91\) pour la chauffe, suite de refroidissement et récurrence. Enfin, limite et boucle Python.
France – jour 2 · Exercice 2 · 5 points Spécialité maths
Pollution d’un bassin de truites : suite \(V_{n+1}=0{,}995V_n+6\) avec programme Python et récurrence. De plus, modèle continu \(y^{\prime}=-0{,}005y+6\) et seuil de 50 litres.
France (septembre) – jour 2 · Exercice 3 · 5 points Spécialité maths
Vrai/faux : équation différentielle, intégration par parties et inéquation logarithmique. Par ailleurs, suite arithmétique auxiliaire et minoration par Bienaymé-Tchebychev pour 3 600 lancers de dé.
Session 2025
Amérique du Nord – jour 1 · Exercice 4 · 5 points Spécialité maths
Courbes d’une fonction et de sa dérivée, tangente, puis équation différentielle \(y+y^{\prime}=(2x+3)\mathrm{e}^{-x}\), étude de la solution, variations et calcul d’aire par une primitive.
Amérique du Sud – jour 1 · Exercice 3 · 6 points Spécialité maths
Concentration d’un médicament dans le sang : lectures graphiques, équation différentielle \(y^{\prime}+y=5\text{e}^{-t}\) et étude de \(f(t)=5t\text{e}^{-t}\). En outre, TVI et valeur moyenne par intégrale.
Amérique du Sud – jour 2 · Exercice 4 · 6 points Spécialité maths
Dénombrement de couples d’entiers et probabilité d’un discriminant positif, équation différentielle \(y^{\prime}+10y\) avec second membre, puis étude complète de \((6x^2+2x-2)e^{-5x+1}\) et intégrale.
Centres étrangers – jour 1 · Exercice 4 · 4 points Spécialité maths
Croissance d’une population de bactéries : résolution de \(y^{\prime}+0{,}48y=\frac{1}{250}\) et changement de fonction \(p=\frac{1}{y}\) donnant un modèle logistique. Puis, limite et temps de dépassement.
France (septembre) – jour 1 · Exercice 1 · 5 points Spécialité maths
Équation différentielle \(y^{\prime}+0{,}4y=e^{-0{,}4t}\) puis glycémie \(f(t)=(t+1)e^{-0{,}4t}\) : variations et hypoglycémie. Enfin, intégration par parties et valeur moyenne.
France – jour 1 · Exercice 4 · 5 points Spécialité maths
Posidonie de Porquerolles : suite \(u_{n+1}=-0{,}02u_n^2+1{,}3u_n\), récurrence et limite. De plus, algorithme de seuil et modèle logistique par équation différentielle.
France (septembre) – jour 2 · Exercice 2 · 5 points Spécialité maths
Cinq affirmations vrai/faux : groupes de deux filles, deux garçons et tangente à une sinusoïde. Par ailleurs, primitive avec \(\ln\), solutions d’équations différentielles et convexité.
France – jour 2 · Exercice 4 · 6 points Spécialité maths
Freinage d’un chariot de manège : lecture graphique de la distance et de la tangente. Ensuite, équation différentielle \(y^{\prime}+0,6y=e^{-0,6t}\) donnant la vitesse et étude de fonction.
Nouvelle-Calédonie – jour 1 · Exercice 4 · 5 points Spécialité maths
Vrai-faux : limite de \(\ln x-x^2\), solution d’une équation différentielle trigonométrique et suite \(u_{n+1}=\ln(3u_n+1)+8\). Enfin, convexité et nombre d’anagrammes du mot EULER.
Polynésie (septembre) · Exercice 2 · 5 points Spécialité maths
Population animale d’une réserve : deux modèles par équations différentielles, fonction logistique \(f(x)=\frac{800}{1+15\text{e}^{-0{,}05x}}\) et limite. En outre, variations et convexité de la vitesse de croissance.
Polynésie – jour 1 · Exercice 4 · 5 points Spécialité maths
Vrai-faux sur une équation différentielle \(y^{\prime}=\frac{1}{2}y+4\), un dénombrement d’équipes de volley, une suite divergente, un produit scalaire dans l’espace et la convexité d’une fonction.
Session 2024
Amérique du Sud – jour 1 · Exercice 1 · 5 points Spécialité maths
Résolution de \(y^{\prime}+\frac14 y=20\mathrm{e}^{-x/4}\), étude de \(f(x)=(20x+8)\mathrm{e}^{-x/4}\), TVI et dichotomie en Python pour résoudre \(f(x)=8\).
Amérique du Sud – jour 2 · Exercice 2 · 5 points Spécialité maths
Vrai-faux sur la suite \(u_{n+1}=\frac{1}{3}u_n+2\) (monotonie, limite, suite géométrique) et sur l’équation différentielle \(y^{\prime}=\frac{3}{2}y+2\) avec coefficient directeur d’une tangente.
Centres étrangers – jour 1 · Exercice 3 · 5 points Spécialité maths
Équations différentielles \(y^{\prime}=y\) puis \(y^{\prime}=y-\cos x-3\sin x\) : solution particulière et ensemble des solutions. Par ailleurs, condition initiale et calcul d’une intégrale sur \([0\,;\,\frac{\pi}{2}]\).
France – jour 2 · Exercice 2 · 5 points Spécialité maths
Taux de chlore d’une piscine : suite arithmético-géométrique \(v_{n+1}=0{,}92v_n+0{,}3\) et récurrence. Ensuite, limite et modèle continu par équation différentielle \(y^{\prime}=-0{,}08y+\dfrac{q}{4}\).
France (septembre) – jour 2 · Exercice 3 · 5 points Spécialité maths
Fonction logistique \(f(x)=\frac{6}{1+5e^{-x}}\) : asymptote, variations et convexité. Enfin, primitive, aire et résolution de l’équation différentielle \(y^{\prime}=y-\frac{1}{6}y^2\).
Polynésie (septembre) · Exercice 2 · 6 points Spécialité maths
Vrai/faux : variations de \(f(x)=e^x+x\), limite avec logarithme et primitive. En outre, équation différentielle \(3y^{\prime}+y=1\) et intégration par parties.
Polynésie – jour 1 · Exercice 2 · 5 points Spécialité maths
Refroidissement d’une pièce en plastique : équation différentielle \(y^{\prime}+0{,}02y=m\) et condition initiale. Ensuite, temps de démoulage et valeur moyenne par intégrale.
Session 2010
France · Exercice 1 Bac S
Équation différentielle \(y^{\prime}+y=e^{-x}\), famille de fonctions \(f_k(x)=(x+k)e^{-x}\) : maximum situé sur la courbe de \(e^{-x}\) et calcul d’aire.
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Questions fréquentes
Quelle est la solution générale de y’ = ay + b ?
Pour \(a \neq 0\), les solutions sont les fonctions \(x \mapsto Ce^{ax} – \frac{b}{a}\), où \(C\) est une constante réelle. On retrouve ce résultat en ajoutant la solution constante aux solutions de \(y^{\prime} = ay\).
Les équations différentielles tombent-elles souvent au bac ?
Assez souvent depuis 2021, généralement dans un exercice de fonctions ou de modélisation. Elles étaient aussi présentes dans certains anciens sujets de bac S, ce qui fournit des exercices supplémentaires.
Comment utiliser une condition initiale ?
Remplacez \(x\) par la valeur donnée dans la solution générale, égalez au résultat imposé et résolvez pour trouver \(C\). Concluez en écrivant l’unique fonction solution.
Faut-il savoir résoudre des équations du second ordre ?
Non, le programme de spécialité se limite aux équations du premier ordre du type \(y^{\prime} = ay\), \(y^{\prime} = ay + b\) et \(y^{\prime} = ay + f\) avec une solution particulière fournie ou guidée.
