Bac 2024 Sud : sujet de maths en Amérique du Sud (jour 1)

Sommaire

Voici le sujet du jour 1 du bac de spécialité mathématiques 2024 d’Amérique du Sud, passé le 21 novembre 2024, recopié en entier puis accompagné d’un corrigé détaillé de chaque question. Par ailleurs, le premier exercice résout une équation différentielle du premier ordre avec second membre exponentiel, étudie la fonction obtenue et fait tourner à la main un algorithme de dichotomie écrit en Python. Le deuxième met en scène deux urnes : une boule passe de l’une à l’autre, puis on enchaîne arbre pondéré, formule de Bayes, loi binomiale et dénombrement de tirages simultanés. De plus, le troisième propose quatre affirmations vrai-faux sur les suites, dont une intégrale calculée par parties. En outre, le dernier, en géométrie dans l’espace, conduit au calcul de la distance entre deux droites non coplanaires.

Ensuite, le corrigé détaillé de ce sujet est sur une page dédiée : Corrigé du bac de maths 2024 en Amérique du Sud (jour 1).

Par ailleurs, Entraînez-vous avec les autres annales corrigées réunies sur notre page consacrée au bac maths 2027.

Bac 2024 Sud : le sujet en un coup d’œil

Avant tout, précisons que ce bac 2024 Sud reprend l’épreuve de spécialité mathématiques 2024 en Amérique du Sud (jour 1) dans sa version intégrale. En effet, l’épreuve se compose de 4 exercices indépendants, notés respectivement sur 5, 6, 4 et 5 points. Côté programme, il faut notamment maîtriser les équations différentielles, l’algorithmique en Python, les probabilités conditionnelles et la loi binomiale. Pour vous situer, l’épreuve dure 4 heures, soit environ 60 minutes par exercice si vous répartissez le temps équitablement. Par conséquent, c’est un excellent entraînement en conditions réelles, à condition de le traiter sans regarder la correction.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2024
Mathématiques — Jour 1
Amérique du Sud — 21 novembre 2024
Durée de l’épreuve : 4 heures

Exercice 1 (5 points)

Partie A

On considère l’équation différentielle

\[(E) : \quad y^{\prime} + \dfrac{1}{4}y = 20\,\text{e}^{-\frac{1}{4}x},\]

d’inconnue \(y\), fonction définie et dérivable sur l’intervalle \([0\,;\,+\infty[\).

1. Déterminer la valeur du réel \(a\) tel que la fonction \(g\) définie sur l’intervalle \([0\,;\,+\infty[\) par \(g(x) = ax\,\text{e}^{-\frac{1}{4}x}\) soit une solution particulière de l’équation différentielle \((E)\).

2. On considère l’équation différentielle

\[(E^{\prime}) : \quad y^{\prime} + \dfrac{1}{4}y = 0,\]

d’inconnue \(y\), fonction définie et dérivable sur l’intervalle \([0\,;\,+\infty[\).

Déterminer les solutions de l’équation différentielle \((E^{\prime})\).

3. En déduire les solutions de l’équation différentielle \((E)\).

4. Déterminer la solution \(f\) de l’équation différentielle \((E)\) telle que \(f(0) = 8\).

Partie B

On considère la fonction \(f\) définie sur l’intervalle \([0\,;\,+\infty[\) par

\[f(x) = (20x + 8)\,\text{e}^{-\frac{1}{4}x}.\]

On admet que la fonction \(f\) est dérivable sur l’intervalle \([0\,;\,+\infty[\) et on note \(f^{\prime}\) sa fonction dérivée sur l’intervalle \([0\,;\,+\infty[\). De plus, on admet que \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 0\).

1. a. Justifier que, pour tout réel \(x\) positif,

\[f^{\prime}(x) = (18 – 5x)\,\text{e}^{-\frac{1}{4}x}.\]

b. En déduire le tableau de variations de la fonction \(f\). On précisera la valeur exacte du maximum de la fonction \(f\) sur l’intervalle \([0\,;\,+\infty[\).

2. Dans cette question on s’intéresse à l’équation \(f(x) = 8\).

a. Justifier que l’équation \(f(x) = 8\) admet une unique solution, notée \(\alpha\), dans l’intervalle \([14\,;\,15]\).

b. Recopier et compléter le tableau ci-dessous en faisant tourner étape par étape la fonction solution_equation ci-contre, écrite en langage Python.

\(a\)	14
\(b\)	15
\(b – a\)	1
\(m\)	14,5
Condition \(f(m) \gt 8\)	FAUX

from math import exp
def f(x):
    return (20*x+8)*exp(-1/4*x)

def solution_equation():
    a,b = 14,15
    while b-a > 0.1 :
        m = (a+b)/2
        if f(m) > 8:
            a = m
        else:
            b = m
    return a,b

c. Quel est l’objectif de la fonction solution_equation dans le contexte de la question ?

Exercice 2 (6 points)

On dispose de deux urnes opaques \(\text{U}_1\) et \(\text{U}_2\).

L’urne \(\text{U}_1\) contient 4 boules noires et 6 boules blanches.

L’urne \(\text{U}_2\) contient 1 boule noire et 3 boules blanches.

On considère l’expérience aléatoire suivante :

De plus, on pioche au hasard une boule dans \(\text{U}_1\) que l’on place dans \(\text{U}_2\), puis on pioche au hasard une boule dans \(\text{U}_2\).

On note :

\(N_1\) l’évènement « Piocher une boule noire dans l’urne \(\text{U}_1\) ».
\(N_2\) l’évènement « Piocher une boule noire dans l’urne \(\text{U}_2\) ».

Pour tout évènement \(A\), on note \(\overline{A}\) son évènement contraire.

Partie A

1. On considère l’arbre de probabilités ci-dessous.

a. Justifier que la probabilité de piocher une boule noire dans l’urne \(\text{U}_2\) sachant qu’on a pioché une boule blanche dans l’urne \(\text{U}_1\) est \(0{,}2\).

b. Recopier et compléter l’arbre de probabilités ci-dessus, en faisant apparaître sur chaque branche les probabilités des évènements concernés, sous forme décimale.

2. Calculer la probabilité de piocher une boule noire dans l’urne \(\text{U}_1\) et une boule noire dans l’urne \(\text{U}_2\).

3. Justifier que la probabilité de piocher une boule noire dans l’urne \(\text{U}_2\) est égale à 0,28.

4. On a pioché une boule noire dans l’urne \(\text{U}_2\).

Calculer la probabilité d’avoir pioché une boule blanche dans l’urne \(\text{U}_1\). On donnera le résultat sous forme décimale arrondie à \(10^{-2}\).

Partie B

\(n\) désigne un entier naturel non nul.

L’expérience aléatoire précédente est répétée \(n\) fois de façon identique et indépendante, c’est-à-dire que les urnes \(\text{U}_1\) et \(\text{U}_2\) sont remises dans leur configuration initiale, avec respectivement 4 boules noires et 6 boules blanches dans l’urne \(\text{U}_1\) et 1 boule noire et 3 boules blanches dans l’urne \(\text{U}_2\), entre chaque expérience.

On note \(X\) la variable aléatoire qui compte le nombre de fois où on pioche une boule noire dans l’urne \(\text{U}_2\).

On rappelle que la probabilité de piocher une boule noire dans l’urne \(\text{U}_2\) est égale à 0,28 et celle de piocher une boule blanche dans l’urne \(\text{U}_2\) est égale à 0,72.

1. Déterminer la loi de probabilité suivie par \(X\). Justifier votre réponse.

2. Déterminer par le calcul le plus petit entier naturel \(n\) tel que :

\[1 – 0{,}72^n \geq\, 0{,}9.\]

3. Interpréter le résultat précédent dans le contexte de l’expérience.

Partie C

Dans cette partie les urnes \(\text{U}_1\) et \(\text{U}_2\) sont remises dans leur configuration initiale, avec respectivement 4 boules noires et 6 boules blanches dans l’urne \(\text{U}_1\) et 1 boule noire et 3 boules blanches dans l’urne \(\text{U}_2\).

On considère la nouvelle expérience aléatoire suivante :

On pioche simultanément deux boules dans l’urne \(\text{U}_1\) que l’on place dans l’urne \(\text{U}_2\), puis on pioche au hasard une boule dans l’urne \(\text{U}_2\).

1. Combien y a-t-il de tirages possibles de deux boules simultanément dans l’urne \(\text{U}_1\) ?

2. Combien y a-t-il de tirages possibles de deux boules simultanément dans l’urne \(\text{U}_1\) contenant exactement une boule blanche et une boule noire ?

3. La probabilité de piocher une boule noire dans l’urne \(\text{U}_2\) avec cette nouvelle expérience est-elle supérieure à la probabilité de tirer une boule noire dans l’urne \(\text{U}_2\) avec l’expérience de la partie A ? Justifier votre réponse.

On pourra s’aider d’un arbre pondéré modélisant cette expérience.

Exercice 3 (4 points)

Répondre par VRAI ou FAUX à chacune des affirmations suivantes et justifier votre réponse.
Toute réponse non justifiée ne sera pas prise en compte dans la notation.
Toutes les questions de cet exercice sont indépendantes.

1. On considère la suite \((u_n)\) définie pour tout entier naturel non nul \(n\) par

\[u_n = \dfrac{25 + (-1)^n}{n}.\]

Affirmation 1 : La suite \((u_n)\) est divergente.

2. On considère la suite \((w_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par \(w_0 = 1\) et \(w_{n+1} = \dfrac{w_n}{1 + w_n}\).

En outre, on admet que pour tout entier naturel \(n\), \(w_n \gt 0\).

On considère la suite \((t_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par \(t_n = \dfrac{k}{w_n}\) où \(k\) est un nombre réel strictement positif.

Affirmation 2 : La suite \((t_n)\) est une suite arithmétique strictement croissante.

3. On considère la suite \((v_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par \(v_0 = 1\) et \(v_{n+1} = \ln(1 + v_n)\).

On admet que pour tout entier naturel \(n\), \(v_n \gt 0\).

Affirmation 3 : La suite \((v_n)\) est décroissante.

4. On considère la suite \((I_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par \(I_n = \displaystyle\int_1^{\text{e}} [\ln(x)]^n\,\text{d}x\).

Affirmation 4 : Pour tout entier naturel \(n\), \(I_{n+1} = \text{e} – (n + 1) I_n\).

Exercice 4 (5 points)

L’objectif de cet exercice est de déterminer la distance entre deux droites non coplanaires.

Par définition, la distance entre deux droites non coplanaires de l’espace, \((d_1)\) et \((d_2)\), est la longueur du segment [EF], où E et F sont des points appartenant respectivement à \((d_1)\) et à \((d_2)\) tels que la droite (EF) est orthogonale à \((d_1)\) et \((d_2)\).

L’espace est muni d’un repère orthonormé \((\text{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k})\).

Soit \((d_1)\) la droite passant par \(\text{A}(1\,;\,2\,;\,-1)\) de vecteur directeur \(\vec{u_1}\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}\) et \((d_2)\) la droite dont une représentation paramétrique est : \(\{\begin{array}{l}x = 0\\y = 1 + t\\z = 2 + t\end{array}.\), \(t \in \mathbb{R}\).

1. Donner une représentation paramétrique de la droite \((d_1)\).

2. Démontrer que les droites \((d_1)\) et \((d_2)\) sont non coplanaires.

3. Soit \(\mathcal{P}\) le plan passant par A et dirigé par les vecteurs non colinéaires \(\vec{u_1}\) et \(\vec{w}\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}\).

Justifier qu’une équation cartésienne du plan \(\mathcal{P}\) est : \(-2x + y + 5z + 5 = 0\).

4. a. Sans chercher à calculer les coordonnées du point d’intersection, justifier que la droite \((d_2)\) et le plan \(\mathcal{P}\) sont sécants.

b. On note F le point d’intersection de la droite \((d_2)\) et du plan \(\mathcal{P}\).

Vérifier que le point F a pour coordonnées \((0\,;\,-\dfrac{5}{3}\,;\,-\dfrac{2}{3})\).

Soit \((\delta)\) la droite passant par F et de vecteur directeur \(\vec{w}\). On admet que les droites \((\delta)\) et \((d_1)\) sont sécantes en un point E de coordonnées \((-\dfrac{2}{3}\,;\,-\dfrac{4}{3}\,;\,-1)\).

5. a. Justifier que la distance EF est la distance entre les droites \((d_1)\) et \((d_2)\).

b. Calculer la distance entre les droites \((d_1)\) et \((d_2)\).

Bac 2024 Sud : conseils de révision

D’abord, imprimez le sujet ou gardez-le à l’écran et traitez les exercices dans l’ordre qui vous convient, en temps limité. Ensuite, confrontez votre copie avec le corrigé détaillé et notez chaque argument oublié. En outre, identifiez les chapitres qui vous ont bloqué, notamment les équations différentielles ou l’algorithmique en Python, puis reprenez le cours correspondant. Enfin, refaites les questions ratées deux ou trois jours plus tard, cette fois sans rien regarder. En complément, l’article équations différentielles de Wikipédia rappelle les définitions et propriétés utiles.

Points de vigilance

Pour une équation différentielle, n’oubliez pas la solution particulière avant d’écrire la forme générale, puis utilisez la condition initiale pour fixer la constante.
Pour un programme Python, faites tourner la boucle à la main sur deux ou trois tours : la condition d’arrêt du while est souvent le piège.
En probabilités, ne confondez pas la probabilité d’une intersection avec une probabilité conditionnelle : la première se lit le long d’un chemin de l’arbre, la seconde sur une seule branche.

Bac 2024 Sud : questions fréquentes

Où se trouve la correction ? Elle est rédigée sur une page dédiée ; de cette façon, vous pouvez chercher le sujet sans voir les réponses par accident.

Quelles notions revoir avant de commencer ? Surtout, les équations différentielles, l’algorithmique en Python et les probabilités conditionnelles, mais aussi la loi binomiale.

Faut-il tout justifier ? Oui, en règle générale ; en revanche, dans un QCM, l’énoncé précise le plus souvent qu’aucune justification n’est attendue.

Voir le corrigé détaillé : Corrigé du bac de maths 2024 en Amérique du Sud (jour 1)

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