Bac maths 2024

Bac de maths 2024: sujet et corrigé blanc n° 2 en PDF.


Un sujet du bac de maths 2024 avec son corrigé afin de réviser en ligne. Ce sujet du baccalauréat porte sur :

  • les équations différentielles;
  • les intégrales;
  • la fonction exponentielle;
  • les intégrales;
  • les probabilités;
  • les suites numériques;
  • fonctions convexes ou concaves.

Ce sujet est corrigé et permet aux élèves de terminale de réviser en ligne et de se préparer aux épreuves du baccalauréat 2024 en mathématiques.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL
BAC MATHS 2024 -blanc n°2
Durée de l’épreuve : 4 heures

Exercice 1 :
L’exercice est constitué de deux parties indépendantes.
Partie I
On considère l’équation différentielle
(E):\,y'+y=e^{-x}
1. Soit la fonction définie sur \mathbb{R} par u(x)=xe^{-x}..
Vérifier que la fonction est une solution de l’équation différentielle ().
2. On considère l’équation différentielle (′) ∶ ′ + = 0.
Résoudre l’équation différentielle (′) sur \mathbb{R}.
3. En déduire toutes les solution de l’équation différentielle () sur \mathbb{R}.
4. Déterminer l’unique solution de l’équation différentielle () telle que (0) = 2.
Partie II
Dans cette partie, est un nombre réel fixé que l’on cherche à déterminer.
On considère la fonction f_k définie sur \mathbb{R} par
f_k(x)=(x\,+\,k)e^{-x}
Soit ℎ la fonction définie sur \mathbb{R} par
h(x)=e^{-x}
On note C_k la courbe représentative de la fonction f_k dans un repère orthogonal et la courbe
représentative de la fonction ℎ.
On a représenté sur le graphique en annexe les courbes et sans indiquer les unités sur les axes
ni le nom des courbes.
1. Sur le graphique en annexe à rendre avec la copie, l’une des courbes est en traits pointillés,
l’autre est en trait plein. Laquelle est la courbe ?
2. En expliquant la démarche utilisée, déterminer la valeur du nombre réel et placer sur
l’annexe à rendre avec la copie l’unité sur chacun des axes du graphique.
 Annexe :

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Exercice 2 :
L’exercice est constitué de deux parties indépendantes.
Partie I
Pour tout entier supérieur ou égal à 1, on désigne par f_n la fonction définie sur [0 ; 1] par :
f_n(x)=x^ne^x
On note C_n la courbe représentative de la fonction f_n dans un repère (O,\vec{i},\vec{j})du plan.
On désigne par (I_n) la suite définie pour tout entier supérieur ou égal à 1 par :
I_n=\int_{0}^{1}x^ne^xdx
1. a. On désigne par F_1 la fonction définie sur [0 ; 1] par :
F_1(x)=(x-1)e^x
Vérifier que 1 est une primitive de la fonction f_1.
b. Calculer I_1.
2. À l’aide d’une intégration par parties, établir la relation pour tout supérieur ou égal à 1,
I_{n+1}=e-(n+1)I_n
3. Calculer I_2.
4. On considère la fonction mystère écrite dans le langage Python :
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À l’aide des questions précédentes, expliquer ce que renvoie l’appel mystere(5).

Partie II
1. Sur le graphique ci-dessous, on a représenté les courbes 1, 2, 3, 10, 20 et 30 .

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a. Donner une interprétation graphique de I_n.
b. Quelle conjecture peut-on émettre sur la limite de la suite (I_n) ?
2. Montrer que pour tout n supérieur ou égal à 1,
0\leq\,\,I_n\leq\,\,e\int_{0}^{1}x^ndx
3. En déduire \lim_{x\to\,+\infty}I_n.

Exercice 3 :
Dans un examen, une épreuve notée sur dix points est constituée de deux exercices : le premier est
noté sur deux points, le deuxième sur huit points.
Partie I
Le premier exercice est constitué de deux questions Q1 et Q2.
Chaque question est notée sur un point. Une réponse correcte rapporte un point ; une réponse
incorrecte, incomplète ou une absence de réponse rapporte zéro point.
On considère que :

  •  Un candidat pris au hasard a une probabilité 0,8 de répondre correctement à la question Q1.
  •  Si le candidat répond correctement à Q1, il a une probabilité 0,6 de répondre correctement à
    Q2 ; s’il ne répond pas correctement à Q1, il a une probabilité 0,1 de répondre correctement
    à Q2.

On prend un candidat au hasard et on note :

  • l’événement : « le candidat répond correctement à la question Q1 » ;
  •  l’événement : « le candidat répond correctement à la question Q2 ».

On note \,\overline{A} et \,\overline{B} les événements contraires de A et de B.
1. Recopier et compléter les pointillés de l’arbre pondéré ci-dessous.

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2. Calculer la probabilité que le candidat réponde correctement aux deux questions Q1 et Q2.
3. Calculer la probabilité que le candidat réponde correctement à la question Q2.
On note :

  • X_1 la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note à la question Q1 ;
  • X_2 la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note à la question Q2 ;
  • X la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note à l’exercice, c’est-à-dire
    X=X_1+X_2.

4. Déterminer l’espérance de X_1  et de X_2.

En déduire l’espérance de X.

Donner une interprétation de l’espérance de X dans le contexte de l’exercice.
5. On souhaite déterminer la variance de X.
a. Déterminer P(X=\,0) et P(X=\,2). En déduire P(X=\,1).
b. Montrer que la variance de X vaut 0,57.
c. A-t-on V(X)\,=\,V(X_1)\,+\,V(X_2)? Est-ce surprenant ?

Partie II
Le deuxième exercice est constitué de huit questions indépendantes.
Chaque question est notée sur un point. Une réponse correcte rapporte un point ; une réponse
incorrecte et une absence de réponse rapporte zéro point.
Les huit questions sont de même difficulté : pour chacune des questions, un candidat a une
probabilité \frac{3}{4}de répondre correctement, indépendamment des autres questions.
On note Y la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note au deuxième exercice, c’est-à-dire
le nombre de bonnes réponses.
1. Justifier que Y suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
2. Donner la valeur exacte de P(Y\,=\,8).
3. Donner l’espérance et la variance de Y.

Partie III
On suppose que les deux variables aléatoires X et Y sont indépendantes.

On note la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note totale à l’examen : Z=X+Y.
1. Calculer l’espérance et la variance de Z.
2. Soit n un nombre entier strictement positif.
Pour i entier variant de 1 à n, on note Z_ila variable aléatoire qui, à un échantillon de
élèves, associe la note de l’élève numéro à l’examen.
On admet que les variables aléatoires 1, 2, … , sont identiques à et indépendantes.
On note la variable aléatoire qui, à un échantillon de élèves, associe la moyenne de
leurs notes, c’est-à-dire
M_n\,=\frac{Z_1\,+\,Z_2\,+...\,+Z_n}{n}
a. Quelle est l’espérance de M_n ?
b. Quelles sont les valeurs de n telles que l’écart type de M_n soit inférieur ou égal à 0,5 ?
c. Pour les valeurs trouvées en b., montrer que la probabilité que 6,3\,\leq\,\,M_n\,\leq\,\,8,3 est
supérieure ou égale à 0,75.

Exercice 4 :
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte. Indiquer sur la copie le numéro
de la question et la lettre de la proposition choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Pour chaque question, une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse
multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point.
Les questions sont indépendantes.

On considère le prisme droit ABFEDCGH tel que AB = AD.
Sa base ABFE est un trapèze rectangle en A, vérifiant \vec{BF}=\frac{1}{2}\vec{AE} .
On note I le milieu du segment [EF].
On note J le milieu du segment [AE].
On associe à ce prisme le repère orthonormé (A,\vec{i},\vec{j},\vec{k}) tel que :
\vec{i}=\,\vec{AB}\,;\,\vec{j}\,=\,\vec{AD}\,;\,\vec{k}\,=\,\vec{AJ\,}.

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1. On donne les coordonnées de quatre vecteurs dans la base (\vec{i},\vec{j},\vec{k}).

Lequel est un vecteur normal au plan (ABG)?

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2. Parmi les droites suivantes, laquelle est parallèle à la droite (IJ) ?
a. (DG)    b. (BD) c. (AG)  d.  (FG)
3. Quels vecteurs forment une base de l’espace ?

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4. Une décomposition du vecteur \vec{AG} comme somme de plusieurs vecteurs deux à deux
orthogonaux est :
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5. Le volume du prisme droit ABFEDCGH, est égal à :
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Exercice 5 :
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte. Indiquer sur la copie le numéro
de la question et la lettre de la proposition choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Pour chaque question, une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse
multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point.
Les questions sont indépendantes.

1. Sur l’intervalle [0;2\pi] , l’équation sin() = 0,1 admet :
a. zéro solution        b. une solution       c. deux solutions      d. quatre solutions
2. On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0;\pi] par f(x)=x+sin(x).

On admet que f est deux fois dérivable.
a. La fonction f est convexe sur l’intervalle [0;\pi]
b. La fonction f est concave sur l’intervalle [0;\pi]
c. La fonction admet sur l’intervalle [0;\pi] un unique point d’inflexion
d. La fonction admet sur l’intervalle [0;\pi]  exactement deux points d’inflexion.

3. Une urne contient cinquante boules numérotées de 1 à 50. On tire successivement trois
boules dans cette urne, sans remise. On appelle « tirage » la liste non ordonnée des numéros
des trois boules tirées.

Quel est le nombre de tirages possibles, sans tenir compte de l’ordre des numéros?
a.\,50
b.\,1\,\times  \,2\,\times  \,3

c.\,50\,\times  \,49\,\times  \,48

d.\frac{50\times  \,49\times  48}{1\times  2\times  3}

4. On effectue dix lancers d’une pièce de monnaie.

Le résultat d’un lancer est « pile » ou « face ». On note la liste ordonnée des dix résultats.
Quel est le nombre de listes ordonnées possibles ?
a.\,2\,\times  \,10

b.\,2^{10}

c.\,1\,\times  \,2\,\times  \,3\,\times  ...\,\times  \,10

d.\frac{1\times  \,2\times  \,3\times  \,...\times  \,10}{1\times  \,2}

5. On effectue n lancers d’une pièce de monnaie équilibrée.

Le résultat d’un lancer est « pile » ou « face ».

On considère la liste ordonnée des n résultats.
Quelle est la probabilité d’obtenir au plus deux fois « pile » dans cette liste ?
a.\frac{n(n-1)}{2}
b.\frac{n(n-1)}{2}\times  \,(\,\frac{1}{2}\,)^n
c.\,1\,+\,n\,+\frac{n(n-1)}{2}
d.(1+n+\frac{n(n-1)}{2})\times  \,(\frac{1}{2})^n

Exercice 6 :
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.
Chaque réponse doit être justifiée.
Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
On considère la suite () définie :

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  Affirmation 1 : « u_4\,=\frac{1}{\,9}

 Affirmation 2 : « Pour tout entier naturel , u_n\,=\frac{1}{2n+1}
Affirmation 3 : « La suite numérique (u_n) est minorée par 10^{-10}

Exercice 7 :
On considère les fonctions f_k définies sur \mathbb{R} par f_k(x)=x+ke^{-x}, où k est un réel strictement
positif.
1. On s’intéresse dans cette question au cas où  k=\,0,5, donc à la fonction f_{0,5} définie sur \mathbb{R} par
f_{0,5}(x)=x+0,5e^{-x}.
a. Montrer que la dérivée de f_{0,5} notée f'_{0,5} vérifie f'_{0,5}(x)=1-0,5e^{-x}.
b. Montrer que la fonction f_{0,5} admet un minimum en ln(0,5).

Soit k un réel strictement positif.

On donne le tableau de variations de la fonction f_k.
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2. Montrer que pour tout réel positif  k , f_k(ln\,k)=ln\,k+1.
On note C_k la courbe représentative de la fonction f_k dans un plan muni d’un repère orthonormé.
On note A_k le point de la courbe C_k d’abscisse ln\,k .
On a représenté ci-dessous quelques courbes C_k pour différentes valeurs de k.

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3. Indiquer si l’affirmation suivante est vraie ou fausse. Justifier la réponse.

Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
Affirmation : « Pour tout réel k strictement positif, les points A_{0,5},\,A_1 et A_k sont alignés. »

Exercice 8:
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.
Chaque réponse doit être justifiée.
Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

On considère la suite (u_n) définie par u_0\,=\,0 et u_{n+1}\,=\,3u_n\,+\,1 pour tout entier naturel n.
1. On considère la fonction calcul écrite dans le langage Python qui renvoie la valeur de u_n.
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On considère par ailleurs la fonction liste écrite dans le langage Python :
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Affirmation 1 : « l’appel liste(6) renvoie la liste [0, 1, 4, 13, 42, 121]. »
2. Affirmation 2 : « pour tout entier naturel n, u_n=\frac{1}{2}\times  \,3^n-\frac{1}{2}. »
3. Affirmation 3 : « pour tout entier naturel n, u_{n+1}-u_n est une puissance de 3. »

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