Ce sujet de bac blanc de mathématiques, pensé pour la session 2024 de la spécialité, reproduit les conditions de l’épreuve écrite de terminale : quatre exercices notés sur 5 points chacun, à traiter en quatre heures. Le premier porte sur les probabilités conditionnelles (arbre pondéré, valeur prédictive d’un test de dépistage) puis sur la loi binomiale et la recherche d’une taille d’échantillon. Le deuxième propose l’étude complète d’une fonction construite avec le logarithme népérien : lecture graphique, limites, dérivée, variations, convexité et point d’inflexion.
Le troisième exercice étudie une suite numérique définie par récurrence, avec un court programme en Python, un raisonnement par récurrence et un calcul de limite. Le dernier est un QCM de géométrie dans l’espace : représentation paramétrique d’une droite, équations cartésiennes de plans et produit scalaire.
Pour tirer profit de ce bac blanc de maths 2024, cherchez chaque question au brouillon sans regarder la solution, en rédigeant vos justifications comme le jour de l’examen. Le corrigé rédigé placé sur une page dédiée détaille ensuite toutes les réponses : comparez votre démarche, repérez les points perdus, puis retravaillez les notions fragiles avant l’épreuve.
Bac blanc 2024 : le sujet en un coup d’œil
Tout d’abord, ce bac blanc 2024 correspond à le bac blanc de mathématiques 2024, reproduit ici avec son énoncé complet. Ainsi, vous trouverez 4 exercices indépendants, chacun noté sur 5 points. De plus, on y mobilise surtout les probabilités conditionnelles, la loi binomiale, la fonction logarithme népérien et les limites. De cette façon, vous travaillez exactement le format de l’examen, sans surprise le jour J.
BACCALAURÉAT GÉNÉRAL
BAC BLANC MATHS 2024
Durée de l’épreuve : 4 heures
Exercice 1 (5 points)
La paratuberculose est une maladie digestive infectieuse qui touche les vaches. Elle est due à la
présence d’une bactérie dans l’intestin de la vache.
On réalise une étude dans une région dont 0,4 % de la population de vaches est infectée.
Il existe un test qui met en évidence la réaction immunitaire de l’organisme infecté par la bactérie.
Le résultat de ce test peut être soit « positif », soit « négatif ».
On choisit une vache au hasard dans la région.
Compte tenu des caractéristiques du test, on sait que :
• Si la vache est atteinte par l’infection, la probabilité que son test soit positif est de 0,992 ;
• Si la vache n’est pas atteinte par l’infection, la probabilité que son test soit négatif est de
0,984.
On désigne par :
• \(I\) l’événement « la vache est atteinte par l’infection » ;
• \(T\) l’événement « la vache présente un test positif ».
On note \(\overline{I}\) l’événement contraire de \(I\) et \(\overline{T}\) l’événement contraire de \(T\).
Les parties A et B sont indépendantes.
PARTIE A
1. Reproduire et compléter l’arbre pondéré ci-dessous modélisant la situation.
2. a. Calculer la probabilité que la vache ne soit pas atteinte par l’infection et que son test soit
négatif. On donnera le résultat à \(10^{-3}\) près.
b. Montrer que la probabilité, à \(10^{-3}\) près, que la vache présente un test positif est environ
égale à 0,020.
c. La « valeur prédictive positive du test » est la probabilité que la vache soit atteinte par
l’infection sachant que son test est positif. Calculer la valeur prédictive positive de ce test.
On donnera le résultat à \(10^{-3}\) près.
d. Le test donne une information erronée sur l’état de santé de la vache lorsque la vache n’est
pas infectée et présente un résultat positif au test ou lorsque la vache est infectée et présente
un résultat négatif au test.
Calculer la probabilité que ce test donne une information erronée sur l’état de santé de la
vache. On donnera un résultat à \(10^{-3}\) près.
Partie B
3. Lorsqu’on choisit au hasard dans la région un échantillon de 100 vaches, on assimile ce choix
à un tirage avec remise.
On rappelle que, pour une vache choisie au hasard dans la région, la probabilité que le test
soit positif est égale à 0,02.
On note \(X\) la variable aléatoire qui à un échantillon de 100 vaches de la région choisies au
hasard associe le nombre de vaches présentant un test positif dans cet échantillon.
a. Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire \(X\) ? Justifier la réponse et
préciser les paramètres de cette loi.
b. Calculer la probabilité que dans un échantillon de 100 vaches, il y ait exactement 3
vaches présentant un test positif. On donnera un résultat à \(10^{-3}\) près.
c. Calculer la probabilité que dans un échantillon de 100 vaches, il y ait au plus 3 vaches
présentant un test positif. On donnera un résultat à \(10^{-3}\) près.
4. On choisit à présent un échantillon de \(n\) vaches dans cette région, \(n\) étant un entier naturel non
nul. On admet que l’on peut assimiler ce choix à un tirage avec remise.
Déterminer la valeur minimale de \(n\) pour que la probabilité qu’il y ait, dans l’échantillon, au
moins une vache testée positive, soit supérieure ou égale à 0,99.
Exercice 2 (5 points)
On considère la fonction \(f\) définie sur l’intervalle \(]0\,;+\infty[\) par \(f(x)=(2-\ln x)\times \ln x\), où \(\ln\)
désigne la fonction logarithme népérien.
De plus, on admet que la fonction \(f\) est deux fois dérivable sur \(]0\,;+\infty[\).
On note \(\mathcal{C}\) la courbe représentative de la fonction \(f\) dans un repère orthogonal et \(\mathcal{C}^{\prime}\) la courbe
représentative de la fonction \(f^{\prime}\), fonction dérivée de la fonction \(f\).
La courbe \(\mathcal{C}^{\prime}\) est donnée ci-dessous ainsi que son unique tangente horizontale (T).
1. Par lecture graphique, avec la précision que permet le tracé ci-dessus, donner :
a. le coefficient directeur de la tangente à \(\mathcal{C}\) au point d’abscisse 1.
b. le plus grand intervalle sur lequel la fonction \(f\) est convexe.
2. a. Calculer la limite de la fonction \(f\) en \(+\infty\).
b. Calculer \(\lim\limits_{x\to 0}f(x)\). Interpréter graphiquement ce résultat.
3. Montrer que la courbe \(\mathcal{C}\) coupe l’axe des abscisses en deux points exactement dont on
précisera les coordonnées.
4. a. Montrer que pour tout réel \(x\) appartenant à \(]0\,;+\infty[\), \(f^{\prime}(x)=\dfrac{2(1-\ln x)}{x}\).
b. En déduire, en justifiant, le tableau de variations de la fonction \(f\) sur \(]0\,;+\infty[\).
5. On note \(f^{\prime\prime}\) la dérivée seconde de \(f\) et on admet que pour tout réel \(x\) appartenant à \(]0\,;+\infty[\),
\(f^{\prime\prime}(x)=\dfrac{2(\ln x-2)}{x^2}\).
Déterminer par le calcul le plus grand intervalle sur lequel la fonction \(f\) est convexe et préciser
les coordonnées du point d’inflexion de la courbe \(\mathcal{C}\).
Exercice 3 (5 points)
On considère la suite \((u_n)\) définie par :
\[\begin{cases} u_1=\dfrac{1}{e} \\ \text{pour tout entier } n\geq\, 1,\ u_{n+1}=\dfrac{1}{e}(1+\dfrac{1}{n})u_n \end{cases}\]
1. Calculer les valeurs exactes de \(u_2\) et \(u_3\). On détaillera les calculs.
2. On considère une fonction écrite en langage Python qui, pour un entier naturel \(n\) donné, affiche
le terme \(u_n\). Compléter les lignes \(L_2\) et \(L_4\) de ce programme.
| \(L_1\) | def suite(n) : |
| \(L_2\) | …………… |
| \(L_3\) | for i in range(1, n) : |
| \(L_4\) | u = …………… |
| \(L_5\) | return u |
3. On admet que tous les termes de la suite \((u_n)\) sont strictement positifs.
a. Montrer que pour tout entier naturel \(n\) non nul, on a : \(1+\dfrac{1}{n}\leq\, e\).
b. En déduire que la suite \((u_n)\) est décroissante.
c. La suite \((u_n)\) est-elle convergente ? Justifier votre réponse.
4. a. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\) non nul, on a : \(u_n=\dfrac{n}{e^n}\).
b. En déduire, si elle existe, la limite de la suite \((u_n)\).
Exercice 4 (5 points)
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une
réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse
à une question ne rapporte ni n’enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de
la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.
L’espace est rapporté à un repère orthonormé \((O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})\).
On considère :
Les points \(A(-1\,;-2\,;3)\), \(B(1\,;-2\,;7)\) et \(C(1\,;0\,;2)\) ;
La droite \(\Delta\) de représentation paramétrique :
\[\begin{cases} x=1-t \\ y=2 \\ z=-4+3t \end{cases}\quad \text{où } t\in\mathbb{R}\,;\]
le plan \(\mathcal{P}\) d’équation cartésienne : \(3x+2y+z-4=0\) ;
le plan \(\mathcal{P}^{\prime}\) d’équation cartésienne : \(-6x-4y-2z+7=0\).
Question 1 : Lequel des points suivants appartient au plan \(\mathcal{P}\) ?
a. \(E(1\,;-3\,;1)\) ; b. \(F(1\,;2\,;-1)\) ; c. \(G(1\,;0\,;1)\) ; d. \(H(2\,;-1\,;1)\).
Question 2 : Le triangle \(ABC\) est :
a. équilatéral ; b. rectangle isocèle ; c. isocèle non rectangle ; d. rectangle non isocèle.
En outre, Question 3 : La droite \(\Delta\) est :
a. orthogonale au plan \(\mathcal{P}\) ; b. sécante au plan \(\mathcal{P}\) ;
c. incluse dans le plan \(\mathcal{P}\) ; d. strictement parallèle au plan \(\mathcal{P}\).
Question 4 : On donne le produit scalaire \(\vec{BA}\cdot\vec{BC}=20\).
Une mesure au degré près de l’angle \(\widehat{ABC}\) est :
a. 34° ; b. 120° ; c. 90° ; d. 0°.
Question 5 : L’intersection des plans \(\mathcal{P}\) et \(\mathcal{P}^{\prime}\) est :
a. un plan ; b. l’ensemble vide ; c. une droite ; d. réduite à un point.
Conseils avant d’ouvrir le corrigé
D’abord, lisez tout le sujet une première fois sans rien écrire. Ensuite, commencez par l’exercice qui vous semble le plus simple. De cette façon, vous prenez confiance dès le début. Puis passez aux exercices plus longs, en gardant un œil sur l’heure.
Par ailleurs, rédigez chaque réponse avec une phrase de conclusion. En effet, le correcteur note aussi la clarté du raisonnement. De même, écrivez les calculs intermédiaires, car ils rapportent des points même si le résultat final est faux. Ainsi, une erreur de calcul ne vous fait pas tout perdre.
Quand une question bloque, passez à la suivante. Souvent, la question d’après se traite sans la précédente. Enfin, gardez dix minutes pour relire votre copie. Par exemple, vérifiez les unités, les arrondis et l’orthographe des mots mathématiques. Après cela seulement, comparez votre travail avec le corrigé détaillé.
Avant tout, traitez le sujet en temps limité, comme le jour de l’épreuve. Ensuite, relisez votre copie et vérifiez chaque calcul. Puis seulement, ouvrez le corrigé pour comparer vos réponses, question après question.
Par ailleurs, notez les points perdus et leur cause : une formule oubliée, une justification trop courte ou encore une erreur de lecture. Ainsi, vous saurez quoi revoir en priorité. Enfin, refaites les exercices manqués quelques jours plus tard, sans aide, afin de vérifier que la méthode est bien acquise.
De plus, chaque exercice mérite une deuxième lecture. D’abord, repérez les mots importants de l’énoncé. Ensuite, écrivez les données utiles au brouillon. Puis rédigez une réponse courte, mais toujours justifiée. En outre, soignez les unités et les arrondis, car ils coûtent souvent des points. Finalement, gardez quelques minutes pour relire toute la copie.
Voir le corrigé détaillé : Corrigé du bac de maths 2024 blanc n° 1
Bac blanc 2024 : conseils de révision
D’abord, imprimez le sujet ou gardez-le à l’écran et traitez les exercices dans l’ordre qui vous convient, en temps limité. Ensuite, confrontez votre copie avec le corrigé détaillé et notez chaque argument oublié. En outre, identifiez les chapitres qui vous ont bloqué, notamment les probabilités conditionnelles ou la loi binomiale, puis reprenez le cours correspondant. Enfin, refaites les questions ratées deux ou trois jours plus tard, cette fois sans rien regarder. En complément, l’article probabilités conditionnelles de Wikipédia rappelle les définitions et propriétés utiles.
Points de vigilance
- En probabilités, ne confondez pas la probabilité d’une intersection avec une probabilité conditionnelle : la première se lit le long d’un chemin de l’arbre, la seconde sur une seule branche.
- Avant d’annoncer une loi binomiale, justifiez la répétition d’épreuves identiques et indépendantes à deux issues, puis précisez les deux paramètres.
- Avec le logarithme, vérifiez toujours que l’expression est strictement positive avant d’appliquer une propriété algébrique.
Bac blanc 2024 : questions fréquentes
Quelles notions revoir avant de commencer ? Avant tout, les probabilités conditionnelles, la loi binomiale et la fonction logarithme népérien, mais aussi les limites.
Faut-il tout justifier ? Dans la plupart des questions, oui : c’est pourquoi la rédaction compte autant que le résultat, sauf dans les QCM où seule la réponse est demandée.
