Sujet Asie 2021 : sujet de maths (jour 2) et corrigé

Sommaire

Ensuite, Voici le sujet du jour 2 du bac de spécialité mathématiques 2021 en Asie, posé le 8 juin 2021, suivi de son corrigé détaillé sur une page dédiée. Le candidat traite les trois exercices communs puis un exercice au choix parmi A et B. Par ailleurs, un QCM de cinq questions ouvre l’épreuve : dérivée d’un produit avec l’exponentielle, asymptotes, convexité lue sur la courbe de \(f^{\prime\prime}\), suite minorée et fonction seuil en Python. Vient ensuite un pavé droit où l’on cherche un vecteur normal, un projeté orthogonal et l’aire d’un triangle par le volume d’un tétraèdre. De plus, le troisième exercice étudie le jeu « Tickets coeurs ! » avec dénombrement et loi binomiale. Au choix : la croissance du bambou Moso (suite puis équation différentielle) ou une suite définie par \(f(x)=x-\ln(x-1)\).

En outre, le corrigé détaillé de ce sujet est sur une page dédiée : Corrigé du bac de maths 2021 en Asie (jour 2).

Ensuite, pour réviser le bac maths 2027, retrouvez sur une seule page l’ensemble des sujets corrigés des dernières sessions.

Sujet Asie 2021 : présentation de l’épreuve

D’abord, ce sujet Asie 2021 vous permet de retrouver l’épreuve de spécialité mathématiques 2021 en Asie (jour 2), avec toutes ses questions. En effet, l’épreuve se compose de 5 exercices indépendants. De plus, on y mobilise surtout la dérivation, la convexité, l’algorithmique en Python et la géométrie dans l’espace. Enfin, l’épreuve officielle dure 4 heures : comptez donc environ 48 minutes par exercice, relecture comprise. Ainsi, vous pouvez vous entraîner en temps limité avant de consulter la correction.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2021
Mathématiques — Jour 2
Asie — 8 juin 2021
Durée de l’épreuve : 4 heures

Le candidat traite 4 exercices : les exercices 1, 2 et 3 communs à tous les candidats et un seul des deux exercices A ou B.

Exercice 1 (5 points)

Commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM)

Pour chaque question, trois affirmations sont proposées, une seule de ces affirmations est exacte.
Le candidat recopiera sur sa copie le numéro de chaque question et la lettre de la réponse choisie pour celle-ci.
AUCUNE JUSTIFICATION n’est demandée. Une réponse fausse ou l’absence de réponse n’enlève aucun point.

1. On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par

\[f(x) = (x^2 – 2x – 1)\text{e}^x.\]

Réponse A	Réponse B	Réponse C
La fonction dérivée de \(f\) est la fonction définie par \(f^{\prime}(x) = (2x – 2)\text{e}^x\).	La fonction \(f\) est décroissante sur l’intervalle \(]-\infty~;~2]\).	\(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0\).

2. On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = \dfrac{3}{5 + \text{e}^x}\).

Sa courbe représentative dans un repère admet :

Réponse A	Réponse B	Réponse C
une seule asymptote horizontale ;	une asymptote horizontale et une asymptote verticale ;	deux asymptotes horizontales.

3. On donne ci-dessous la courbe \(\mathcal{C}_{f^{\prime\prime}}\) représentant la fonction dérivée seconde \(f^{\prime\prime}\) d’une fonction \(f\) définie et deux fois dérivable sur l’intervalle \([-3{,}5~;~6]\).

Réponse A	Réponse B	Réponse C
La fonction \(f\) est convexe sur l’intervalle \([-3~;~3]\).	La fonction \(f\) admet trois points d’inflexion.	La fonction dérivée \(f^{\prime}\) de \(f\) est décroissante sur l’intervalle \([0~;~2]\).

Exercice 1 du sujet Asie 2021 : questions 4 à 5

4. On considère la suite \((u_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par \(u_n = n^2 – 17n + 20\).

Réponse A	Réponse B	Réponse C
La suite \((u_n)\) est minorée.	La suite \((u_n)\) est décroissante.	L’un des termes de la suite \((u_n)\) est égal à 2 021.

5. On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = 2\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1} = 0{,}75u_n + 5\).

On considère la fonction « seuil » suivante écrite en Python :

def seuil() :
    u = 2
    n = 0
    while u < 45 :
        u = 0,75*u + 5
        n = n+1
    return n

Cette fonction renvoie :

Réponse A	Réponse B	Réponse C
la plus petite valeur de \(n\) telle que \(u_n \geq\, 45\) ;	la plus petite valeur de \(n\) telle que \(u_n \lt 45\) ;	la plus grande valeur de \(n\) telle que \(u_n \geq\, 45\).

Exercice 2 (5 points)

Commun à tous les candidats

On considère un pavé droit ABCDEFGH tel que AB = AD = 1 et AE = 2, représenté ci-dessous.

Le point I est le milieu du segment [AE]. Ensuite, le point K est le milieu du segment [DC]. Le point L est défini par : \(\vec{\text{DL}} = \dfrac{3}{2}\vec{\text{AI}}\). N est le projeté orthogonal du point D sur le plan (AKL).

On se place dans le repère orthonormé \((\text{A}~;~\vec{\text{AB}},~\vec{\text{AD}},~\vec{\text{AI}})\).

On admet que le point L a pour coordonnées \((0~;~1~;~\dfrac{3}{2})\).

1. Déterminer les coordonnées des vecteurs \(\vec{\text{AK}}\) et \(\vec{\text{AL}}\).

2. a. Démontrer que le vecteur \(\vec{n}\) de coordonnées \((6~;~-3~;~2)\) est un vecteur normal au plan (AKL).

b. En déduire une équation cartésienne du plan (AKL).

c. Déterminer un système d’équations paramétriques de la droite \(\Delta\) passant par D et perpendiculaire au plan (AKL).

d. En déduire que le point N de coordonnées \((\dfrac{18}{49}~;~\dfrac{40}{49}~;~\dfrac{6}{49})\) est le projeté orthogonal du point D sur le plan (AKL).

On rappelle que le volume \(\mathcal{V}\) d’un tétraèdre est donné par la formule :

\[\mathcal{V} = \dfrac{1}{3}\times (\text{aire de la base}) \times \text{hauteur}.\]

3. a. Calculer le volume du tétraèdre ADKL en utilisant le triangle ADK comme base.

b. Calculer la distance du point D au plan (AKL).

c. Déduire des questions précédentes l’aire du triangle AKL.

Exercice 3 (5 points)

Commun à tous les candidats

Une société de jeu en ligne propose une nouvelle application pour smartphone nommée « Tickets coeurs ! ».

Chaque participant génère sur son smartphone un ticket comportant une grille de taille \(3 \times 3\) sur laquelle sont placés trois cœurs répartis au hasard, comme par exemple ci-dessous.

	♡
♡
		♡

Le ticket est gagnant si les trois cœurs sont positionnés côte à côte sur une même ligne, sur une même colonne ou sur une même diagonale.

1. Justifier qu’il y a exactement 84 façons différentes de positionner les trois cœurs sur une grille.

2. Montrer que la probabilité qu’un ticket soit gagnant est égale à \(\dfrac{2}{21}\).

3. Lorsqu’un joueur génère un ticket, la société prélève 1 € sur son compte en banque. Si le ticket est gagnant, la société verse alors au joueur 5 €. Le jeu est-il favorable au joueur ?

4. Un joueur décide de générer 20 tickets sur cette application. On suppose que les générations des tickets sont indépendantes entre elles.

a. Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire \(X\) qui compte le nombre de tickets gagnants parmi les 20 tickets générés.

b. Calculer la probabilité, arrondie à \(10^{-3}\), de l’évènement \((X = 5)\).

c. Calculer la probabilité, arrondie à \(10^{-3}\), de l’évènement \((X \geq\, 1)\) et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.

Exercice au choix du candidat (5 points)

Le candidat doit traiter UN SEUL des deux exercices A ou B

Il indique sur sa copie l’exercice choisi : exercice A ou exercice B

Exercice A

Principaux domaines abordés : Suites ; Équations différentielles.

Dans cet exercice, on s’intéresse à la croissance du bambou Moso de taille maximale 20 mètres.

Le modèle de croissance de Ludwig von Bertalanffy suppose que la vitesse de croissance pour un tel bambou est proportionnelle à l’écart entre sa taille et la taille maximale.

Partie I : modèle discret

Dans cette partie, on observe un bambou de taille initiale 1 mètre.

Pour tout entier naturel \(n\), on note \(u_n\) la taille, en mètre, du bambou \(n\) jours après le début de l’observation. On a ainsi \(u_0 = 1\).

Le modèle de von Bertalanffy pour la croissance du bambou entre deux jours consécutifs se traduit par l’égalité :

\[u_{n+1} = u_n + 0{,}05(20 – u_n) \text{ pour tout entier naturel } n.\]

1. Vérifier que \(u_1 = 1{,}95\).

2. a. Montrer que pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1} = 0{,}95u_n + 1\).

b. On pose pour tout entier naturel \(n\), \(v_n = 20 – u_n\).

Démontrer que la suite \((v_n)\) est une suite géométrique dont on précisera le terme initial \(v_0\) et la raison.

c. En déduire que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n = 20 – 19 \times 0{,}95^n\).

3. Déterminer la limite de la suite \((u_n)\).

Partie II : modèle continu

Dans cette partie, on souhaite modéliser la taille du même bambou Moso par une fonction donnant sa taille, en mètre, en fonction du temps \(t\) exprimé en jour.

D’après le modèle de von Bertalanffy, cette fonction est solution de l’équation différentielle

\[(E) \qquad y^{\prime} = 0{,}05(20 – y)\]

où \(y\) désigne une fonction de la variable \(t\), définie et dérivable sur \([0~;~+\infty[\) et \(y^{\prime}\) désigne sa fonction dérivée.

Soit la fonction \(L\) définie sur l’intervalle \([0~;~+\infty[\) par

\[L(t) = 20 – 19\text{e}^{-0{,}05t}.\]

1. Vérifier que la fonction \(L\) est une solution de \((E)\) et qu’on a également \(L(0) = 1\).

2. On prend cette fonction \(L\) comme modèle et on admet que, si on note \(L^{\prime}\) sa fonction dérivée, \(L^{\prime}(t)\) représente la vitesse de croissance du bambou à l’instant \(t\).

a. Comparer \(L^{\prime}(0)\) et \(L^{\prime}(5)\).

b. Calculer la limite de la fonction dérivée \(L^{\prime}\) en \(+\infty\).

Ce résultat est-il en cohérence avec la description du modèle de croissance exposé au début de l’exercice ?

Exercice B

Principaux domaines abordés : Suites, étude de fonction ; Fonction logarithme.

Soit la fonction \(f\) définie sur l’intervalle \(]1~;~+\infty[\) par

\[f(x) = x – \ln (x – 1).\]

On considère la suite \((u_n)\) de terme initial \(u_0 = 10\) et telle que \(u_{n+1} = f(u_n)\) pour tout entier naturel \(n\).

Partie I :

La feuille de calcul ci-dessous a permis d’obtenir des valeurs approchées des premiers termes de la suite \((u_n)\).

	A	B
1	\(n\)	\(u_n\)
2	0	10
3	1	7,802 775 42
4	2	5,885 444 74
5	3	4,299 184 42
6	4	3,105 509 13
7	5	2,360 951 82
8	6	2,052 767 5
9	7	2,001 345 09
10	8	2,000 000 9

1. Quelle formule a été saisie dans la cellule B3 pour permettre le calcul des valeurs approchées de \((u_n)\) par recopie vers le bas ?

2. À l’aide de ces valeurs, conjecturer le sens de variation et la limite de la suite \((u_n)\).

Partie II :

On rappelle que la fonction \(f\) est définie sur l’intervalle \(]1~;~+\infty[\) par

\[f(x) = x – \ln (x – 1).\]

1. Calculer \(\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x)\). On admettra que \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\).

2. a. Soit \(f^{\prime}\) la fonction dérivée de \(f\). Montrer que pour tout \(x \in ]1~;~+\infty[\), \(f^{\prime}(x) = \dfrac{x – 2}{x – 1}\).

b. En déduire le tableau des variations de \(f\) sur l’intervalle \(]1~;~+\infty[\), complété par les limites.

c. Justifier que pour tout \(x \geq\, 2\), \(f(x) \geq\, 2\).

Partie III :

1. En utilisant les résultats de la partie II, démontrer par récurrence que \(u_n \geq\, 2\) pour tout entier naturel \(n\).

2. Montrer que la suite \((u_n)\) est décroissante.

3. En déduire que la suite \((u_n)\) est convergente. On note \(\ell\) sa limite.

4. On admet que \(\ell\) vérifie \(f(\ell) = \ell\). Donner la valeur de \(\ell\).

Sujet Asie 2021 : méthode pour bien s’entraîner

D’abord, imprimez le sujet ou gardez-le à l’écran et traitez les exercices dans l’ordre qui vous convient, en temps limité. Ensuite, confrontez votre copie avec le corrigé détaillé et notez chaque argument oublié. Par ailleurs, faites la liste des points de cours à revoir ; ici, ce sera souvent la dérivation et la convexité. Enfin, refaites les questions ratées deux ou trois jours plus tard, cette fois sans rien regarder. Pour un rappel de cours indépendant, vous pouvez aussi consulter l’article de Wikipédia sur dérivation.

Les erreurs qui coûtent des points

Quand vous dérivez un produit ou un quotient, écrivez les fonctions u et v avant de calculer, puis factorisez pour étudier le signe.
La convexité se lit sur le signe de la dérivée seconde, pas sur celui de la dérivée : c’est une confusion très courante.
Pour un programme Python, faites tourner la boucle à la main sur deux ou trois tours : la condition d’arrêt du while est souvent le piège.

Sujet Asie 2021 : vos questions

Où se trouve la correction ? Elle est rédigée sur une page dédiée ; de cette façon, vous pouvez chercher le sujet sans voir les réponses par accident.

Quelles notions revoir avant de commencer ? Avant tout, la dérivation, la convexité et l’algorithmique en Python, mais aussi la géométrie dans l’espace.

Faut-il tout justifier ? Oui, en règle générale ; en revanche, dans un QCM, l’énoncé précise le plus souvent qu’aucune justification n’est attendue.

Voir le corrigé détaillé : Corrigé du bac de maths 2021 en Asie (jour 2)

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