Corrigé du bac de maths 2022 en Asie (jour 2)

Corrigé Asie 2022 : ce que contient la correction

D’abord, précisons que ce corrigé Asie 2022 concerne l’épreuve de spécialité mathématiques 2022 en Asie (jour 2), avec une rédaction complète des réponses. En effet, l’épreuve se compose de 4 exercices indépendants. De plus, on y mobilise surtout la fonction logarithme népérien, la géométrie dans l’espace, les limites et la loi binomiale. Côté timing, l’épreuve dure 4 heures ; par conséquent, prévoyez à peu près 60 minutes pour chaque exercice. De cette façon, vous pouvez vérifier non seulement vos résultats, mais aussi la qualité de votre rédaction.

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

1. a. Les coordonnées d’un vecteur s’obtiennent en faisant « extrémité moins origine » :

\[\vec{\text{AB}}\begin{pmatrix}2-(-3)\\2-1\\3-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\1\\0\end{pmatrix},\qquad \vec{\text{DC}}\begin{pmatrix}1-(-4)\\7-6\\-1-(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\1\\0\end{pmatrix},\qquad \vec{\text{AD}}\begin{pmatrix}-4-(-3)\\6-1\\-1-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\5\\-4\end{pmatrix}.\]

Donc \(\vec{\text{AB}}(5~;~1~;~0)\), \(\vec{\text{DC}}(5~;~1~;~0)\) et \(\vec{\text{AD}}(-1~;~5~;~-4)\).

b. Les vecteurs \(\vec{\text{AB}}\) et \(\vec{\text{DC}}\) ont les mêmes coordonnées, donc \(\vec{\text{AB}}=\vec{\text{DC}}\) : le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.

Calculons ensuite le produit scalaire de deux côtés consécutifs dans ce repère orthonormé :

\[\vec{\text{AB}}\cdot\vec{\text{AD}}=5\times (-1)+1\times 5+0\times (-4)=-5+5+0=0.\]

Les droites (AB) et (AD) sont donc perpendiculaires : le parallélogramme ABCD possède un angle droit en A, c’est donc un rectangle.

c. On calcule les longueurs des deux côtés :

\[\text{AB}=\sqrt{5^2+1^2+0^2}=\sqrt{26},\qquad \text{AD}=\sqrt{(-1)^2+5^2+(-4)^2}=\sqrt{42}.\]

L’aire du rectangle est le produit de sa longueur par sa largeur :

\[\mathcal{A}=\sqrt{26}\times \sqrt{42}=\sqrt{1\,092}=\sqrt{4\times 273}=2\sqrt{273}.\]

L’aire du rectangle ABCD vaut \(2\sqrt{273}\approx 33{,}05\) unités d’aire.

2. a. Les vecteurs \(\vec{\text{AB}}(5~;~1~;~0)\) et \(\vec{\text{AD}}(-1~;~5~;~-4)\) ne sont pas colinéaires : la troisième coordonnée de \(\vec{\text{AB}}\) est nulle alors que celle de \(\vec{\text{AD}}\) ne l’est pas, et \(\vec{\text{AD}}\) n’est pas nul. (On peut aussi dire qu’ils sont orthogonaux et non nuls.) Les points A, B et D ne sont donc pas alignés : ils définissent un plan.

b. Un vecteur est normal à un plan lorsqu’il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan. On calcule :

\[\vec{n}\cdot\vec{\text{AB}}=-2\times 5+10\times 1+13\times 0=-10+10=0,\]

\[\vec{n}\cdot\vec{\text{AD}}=-2\times (-1)+10\times 5+13\times (-4)=2+50-52=0.\]

\(\vec{n}\) est orthogonal à \(\vec{\text{AB}}\) et à \(\vec{\text{AD}}\), qui ne sont pas colinéaires : \(\vec{n}\) est un vecteur normal au plan (ABD).

c. Un plan de vecteur normal \(\vec{n}(-2~;~10~;~13)\) a une équation de la forme \(-2x+10y+13z+d=0\). Le point A appartient au plan, donc :

\[-2\times (-3)+10\times 1+13\times 3+d=0\iff 6+10+39+d=0\iff d=-55.\]

Exercice 1 du corrigé Asie 2022 : questions 3 à 4

Une équation cartésienne du plan (ABD) est \(-2x+10y+13z-55=0\).

3. a. La droite \(\Delta\) est orthogonale au plan (ABD) : elle a donc pour vecteur directeur le vecteur normal \(\vec{n}(-2~;~10~;~13)\). Comme elle passe par K\((-3~;~14~;~14)\), une représentation paramétrique de \(\Delta\) est :

\[\{\begin{array}{l}x=-3-2t\\y=14+10t\\z=14+13t\end{array}.\qquad t\in\mathbb{R}.\]

b. Le projeté orthogonal I de K sur (ABD) est le point d’intersection de \(\Delta\) avec le plan. On remplace \(x\), \(y\), \(z\) par leurs expressions en \(t\) dans l’équation du plan :

\[-2(-3-2t)+10(14+10t)+13(14+13t)-55=0\]

\[6+4t+140+100t+182+169t-55=0\iff 273t+273=0\iff t=-1.\]

Avec \(t=-1\) : \(x=-3+2=-1\), \(y=14-10=4\), \(z=14-13=1\). Donc I\((-1~;~4~;~1)\).

On vérifie : \(-2\times (-1)+10\times 4+13\times 1-55=2+40+13-55=0\), le point I est bien dans le plan.

c. La hauteur de la pyramide KABCD issue de K est la distance de K au plan de sa base, c’est-à-dire la longueur KI (I est le pied de la perpendiculaire). On a \(\vec{\text{KI}}(-1-(-3)~;~4-14~;~1-14)\), soit \(\vec{\text{KI}}(2~;~-10~;~-13)\), d’où :

\[\text{KI}=\sqrt{2^2+(-10)^2+(-13)^2}=\sqrt{4+100+169}=\sqrt{273}.\]

La hauteur de la pyramide vaut bien \(\sqrt{273}\).

4. On applique la formule rappelée avec l’aire de la base trouvée en 1. c. et la hauteur trouvée en 3. c. :

\[V=\dfrac{1}{3}\times 2\sqrt{273}\times \sqrt{273}=\dfrac{2\times 273}{3}=\dfrac{546}{3}=182.\]

Le volume de la pyramide KABCD est \(V=182\) unités de volume.

Exercice 2 :

Partie A

1. La courbe \(\mathcal{C}_2\) est entièrement située au-dessus de l’axe des abscisses. Si elle représentait \(f^{\prime}\), la fonction \(f\) serait croissante sur \(]3~;~+\infty[\) : c’est bien le cas de la fonction représentée par \(\mathcal{C}_1\).

À l’inverse, si \(\mathcal{C}_1\) représentait \(f^{\prime}\), la fonction \(f\) serait décroissante entre 3 et environ 3,2 (là où \(\mathcal{C}_1\) est sous l’axe) puis croissante ensuite ; or \(\mathcal{C}_2\) est décroissante sur tout l’intervalle. Cette possibilité est donc exclue.

Conclusion : \(\mathcal{C}_1\) représente \(f\) et \(\mathcal{C}_2\) représente \(f^{\prime}\).

2. On cherche les abscisses des points de \(\mathcal{C}_1\) d’ordonnée 3. La droite d’équation \(y=3\) coupe \(\mathcal{C}_1\) en un seul point, d’abscisse comprise entre 5 et 6, proche de 5,6. L’équation \(f(x)=3\) a donc une unique solution, environ 5,6.

3. La courbe \(\mathcal{C}_2\) de la dérivée \(f^{\prime}\) est décroissante sur \(]3~;~+\infty[\) ; une fonction dont la dérivée décroît est concave. On le voit aussi sur \(\mathcal{C}_1\), qui s’infléchit vers le bas et reste sous ses tangentes. La fonction \(f\) semble donc concave sur \(]3~;~+\infty[\).

Partie B

1. La quantité \(\ln(x^2-x-6)\) existe si et seulement si \(x^2-x-6\gt 0\). Le trinôme \(x^2-x-6\) a pour discriminant \(\Delta=(-1)^2-4\times 1\times (-6)=25\), donc deux racines :

\[x_1=\dfrac{1-5}{2}=-2\quad\text{et}\quad x_2=\dfrac{1+5}{2}=3,\qquad\text{d^{\prime}où}\quad x^2-x-6=(x+2)(x-3).\]

Pour \(x\gt 3\), on a \(x+2\gt 0\) et \(x-3\gt 0\), donc \(x^2-x-6\gt 0\) (le trinôme, de coefficient dominant positif, est positif à l’extérieur de ses racines). \(\ln(x^2-x-6)\) est donc bien défini sur \(I=]3~;~+\infty[\).

2. Limite en 3. Quand \(x\) tend vers 3 par valeurs supérieures, \(x^2-x-6=(x+2)(x-3)\) tend vers 0 en restant strictement positif. Comme \(\lim\limits_{X\to 0^+}\ln(X)=-\infty\), par composition :

\[\lim\limits_{x\to 3^+}f(x)=-\infty.\]

Limite en \(+\infty\). Pour \(x\gt 3\), \(x^2-x-6=x^2(1-\dfrac{1}{x}-\dfrac{6}{x^2})\) ; la parenthèse tend vers 1 et \(x^2\) vers \(+\infty\), donc \(x^2-x-6\) tend vers \(+\infty\). Comme \(\lim\limits_{X\to+\infty}\ln(X)=+\infty\), par composition :

\[\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.\]

La limite infinie en 3 signifie que la courbe de \(f\) admet une asymptote verticale : la droite d’équation \(x=3\).

3. a. La fonction \(f\) est de la forme \(\ln(u)\) avec \(u(x)=x^2-x-6\), strictement positive et dérivable sur \(I\), et \(u^{\prime}(x)=2x-1\). On sait que \((\ln u)^{\prime}=\dfrac{u^{\prime}}{u}\), donc pour tout \(x\in I\) :

\[f^{\prime}(x)=\dfrac{2x-1}{x^2-x-6}.\]

b. Sur \(I\), le dénominateur \(x^2-x-6\) est strictement positif (question 1), et le numérateur aussi : \(x\gt 3\) donne \(2x-1\gt 5\gt 0\). Donc \(f^{\prime}(x)\gt 0\) pour tout \(x\in I\) : la fonction \(f\) est strictement croissante sur \(I\).

La borne 3 est exclue de l’intervalle (valeur interdite) : sur \(]3~;~+\infty[\), la fonction \(f\) croît de \(-\infty\) à \(+\infty\).

Exercice 2 du corrigé Asie 2022, partie B : questions 4 à 5

4. a. Sur l’intervalle \([5~;~6]\), la fonction \(f\) est continue (car dérivable) et strictement croissante. On calcule :

\[f(5)=\ln(25-5-6)=\ln(14)\approx 2{,}64\lt 3\qquad\text{et}\qquad f(6)=\ln(36-6-6)=\ln(24)\approx 3{,}18\gt 3.\]

Le réel 3 est compris entre \(f(5)\) et \(f(6)\) ; d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (fonction continue et strictement monotone), l’équation \(f(x)=3\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \(]5~;~6[\).

b. Par balayage à la calculatrice : \(f(5{,}63)\approx 2{,}9993\lt 3\) et \(f(5{,}64)\approx 3{,}0040\gt 3\). Donc \(5{,}63\lt\alpha\lt 5{,}64\).

(On peut d’ailleurs résoudre exactement : \(f(x)=3\iff x^2-x-6=\text{e}^3\), d’où \(\alpha=\dfrac{1+\sqrt{25+4\text{e}^3}}{2}\approx 5{,}632\).)

5. a. On dérive \(f^{\prime}=\dfrac{u^{\prime}}{u}\) comme un quotient, avec \(u(x)=x^2-x-6\), \(u^{\prime}(x)=2x-1\) et \(u^{\prime\prime}(x)=2\) :

\[f^{\prime\prime}(x)=\dfrac{2(x^2-x-6)-(2x-1)(2x-1)}{(x^2-x-6)^2}=\dfrac{2x^2-2x-12-(4x^2-4x+1)}{(x^2-x-6)^2}.\]

En réduisant le numérateur : \(2x^2-2x-12-4x^2+4x-1=-2x^2+2x-13\). On obtient bien

\[f^{\prime\prime}(x)=\dfrac{-2x^2+2x-13}{(x^2-x-6)^2}.\]

b. Le dénominateur est un carré non nul sur \(I\), donc strictement positif. Le numérateur \(-2x^2+2x-13\) est un trinôme de discriminant \(\Delta=2^2-4\times (-2)\times (-13)=4-104=-100\lt 0\) : il n’a pas de racine et garde le signe de son coefficient dominant \(-2\), il est donc toujours strictement négatif.

Ainsi \(f^{\prime\prime}(x)\lt 0\) pour tout \(x\in I\) : la fonction \(f\) est concave sur \(I\), ce qui confirme la lecture graphique de la Partie A.

Exercice 3 :

Partie 1

1. \(P_B(V)\) est la probabilité que Julien soit à l’heure sachant qu’il a pris son bus. L’énoncé dit que s’il prend le bus de 8 h, il est sûr d’arriver à temps : \(P_B(V)=1\).

2. Julien manque son bus avec la probabilité 0,8, donc \(P(\overline{B})=0{,}8\) et \(P(B)=1-0{,}8=0{,}2\). Sachant qu’il a manqué le bus, il arrive à l’heure avec la probabilité 0,5, donc \(P_{\overline{B}}(V)=0{,}5\) et \(P_{\overline{B}}(\overline{V})=0{,}5\). Enfin \(P_B(V)=1\) et \(P_B(\overline{V})=0\). D’où l’arbre :

3. Les évènements \(B\) et \(\overline{B}\) forment une partition de l’univers. D’après la formule des probabilités totales :

\[P(V)=P(B)\times P_B(V)+P(\overline{B})\times P_{\overline{B}}(V)=0{,}2\times 1+0{,}8\times 0{,}5=0{,}2+0{,}4=0{,}6.\]

On a bien \(P(V)=0{,}6\).

4. On cherche la probabilité que Julien ait pris le bus sachant qu’il est à l’heure, c’est-à-dire \(P_V(B)\) :

\[P_V(B)=\dfrac{P(B\cap V)}{P(V)}=\dfrac{P(B)\times P_B(V)}{P(V)}=\dfrac{0{,}2\times 1}{0{,}6}=\dfrac{1}{3}.\]

Sachant que Julien est à l’heure pour son vol, la probabilité qu’il soit venu en bus est \(\dfrac{1}{3}\approx 0{,}333\).

Partie 2

1. Pour chacun des 206 passagers ayant un billet, on observe une épreuve à deux issues : il se présente (succès, probabilité \(1-0{,}05=0{,}95\)) ou non. Ces 206 épreuves sont identiques et indépendantes, et \(X\) compte le nombre de succès : \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n=206\) et \(p=0{,}95\).

2. Le nombre moyen de passagers présents est l’espérance de \(X\) :

\[E(X)=n\times p=206\times 0{,}95=195{,}7.\]

En moyenne, environ 196 passagers (195,7) se présentent à l’embarquement.

3. Avec la formule de la loi binomiale :

\[P(X=201)=\binom\,{206}{201}\times 0{,}95^{201}\times 0{,}05^{5}\approx 0{,}031.\]

La probabilité que 201 passagers se présentent est environ 0,031.

4. La calculatrice (fonction de répartition de la loi binomiale) donne \(P(X\leq\, 200)\approx 0{,}948\).

Interprétation : dans environ 94,8 % des cas, au plus 200 passagers se présentent, donc tous les passagers présents peuvent embarquer malgré le surbooking. Dans environ 5,2 % des cas, au moins un passager se retrouve sans place.

5. a. La somme des probabilités d’une loi vaut 1, donc :

\[P(Y=6)=1-(0{,}94775+0{,}03063+0{,}01441+0{,}00539+0{,}00151+0{,}00028)=1-0{,}99997=0{,}00003.\]

Ainsi \(P(Y=6)=0{,}00003\).

b. La compagnie a vendu 206 billets à 250 euros, ce qui lui rapporte \(206\times 250=51\,500\) euros. Pour chacun des \(Y\) passagers qui ne peuvent pas embarquer, elle rembourse le billet (250 euros) et verse une pénalité de 600 euros, soit une perte de \(250+600=850\) euros par passager lésé. Son chiffre d’affaires est donc \(C=51\,500-850Y\).

c. À chaque valeur \(y_i\) de \(Y\) correspond la valeur \(c_i=51\,500-850y_i\) de \(C\), avec la même probabilité :

Exercice 3 du corrigé Asie 2022, partie 2 (suite)

Le plus simple est de calculer d’abord \(E(Y)\) :

\[E(Y)=0\times 0{,}94775+1\times 0{,}03063+2\times 0{,}01441+3\times 0{,}00539+4\times 0{,}00151+5\times 0{,}00028+6\times 0{,}00003=0{,}08324.\]

Par linéarité de l’espérance :

\[E(C)=51\,500-850\times E(Y)=51\,500-850\times 0{,}08324=51\,500-70{,}754=51\,429{,}246.\]

Donc \(E(C)\approx 51\,429\) euros à l’euro près (on obtient le même résultat en calculant directement \(\sum c_i\,P(C=c_i)\)).

d. En vendant exactement 200 billets, la compagnie remplit au mieux l’avion sans jamais payer de pénalité, et son chiffre d’affaires est au plus \(200\times 250=50\,000\) euros. Avec le surbooking, son chiffre d’affaires moyen est d’environ 51 429 euros, soit environ 1 429 euros de plus en moyenne par vol : le surbooking est rentable pour la compagnie.

Exercice 4 :

1. a. On applique la relation de récurrence :

\[p_1=0{,}3+0{,}7\times 0{,}3^2=0{,}3+0{,}7\times 0{,}09=0{,}3+0{,}063=0{,}363,\]

\[p_2=0{,}3+0{,}7\times 0{,}363^2=0{,}3+0{,}7\times 0{,}131769=0{,}3+0{,}0922383=0{,}3922383.\]

Donc \(p_1=0{,}363\) et \(p_2=0{,}3922383\).

Interprétation : la probabilité que la lignée issue d’une bactérie s’éteigne en donnant au plus une génération de descendants est 0,363 ; la probabilité qu’elle s’éteigne en donnant au plus deux générations est 0,3922383.

b. L’évènement « obtenir au moins 11 générations » est le contraire de « obtenir au plus 10 générations », dont la probabilité est \(p_{10}\). D’après la feuille de calcul :

\[1-p_{10}\approx 1-0{,}42802018=0{,}57197982.\]

La probabilité cherchée est environ 0,572.

c. Les valeurs du tableau augmentent d’une ligne à l’autre, de plus en plus lentement, et semblent se stabiliser autour de 0,4285. On conjecture que la suite \((p_n)\) est croissante et converge vers un nombre proche de 0,4286.

2. a. Pour tout entier naturel \(n\), notons \(\mathcal{P}(n)\) la propriété : « \(0\leq\, p_n\leq\, p_{n+1}\leq\, 0{,}5\) ».

Initialisation. \(p_0=0{,}3\) et \(p_1=0{,}363\), donc \(0\leq\, p_0\leq\, p_1\leq\, 0{,}5\) : \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.

Hérédité. Soit \(n\) un entier naturel tel que \(\mathcal{P}(n)\) soit vraie : \(0\leq\, p_n\leq\, p_{n+1}\leq\, 0{,}5\). La fonction carré est croissante sur \([0~;~+\infty[\), donc en élevant ces nombres positifs au carré, l’ordre est conservé :

\[0\leq\, p_n^2\leq\, p_{n+1}^2\leq\, 0{,}25.\]

On multiplie par \(0{,}7\gt 0\), puis on ajoute 0,3 :

\[0{,}3\leq\, 0{,}3+0{,}7p_n^2\leq\, 0{,}3+0{,}7p_{n+1}^2\leq\, 0{,}3+0{,}7\times 0{,}25,\]

c’est-à-dire \(0{,}3\leq\, p_{n+1}\leq\, p_{n+2}\leq\, 0{,}475\). Comme \(0\leq\, 0{,}3\) et \(0{,}475\leq\, 0{,}5\), on obtient \(0\leq\, p_{n+1}\leq\, p_{n+2}\leq\, 0{,}5\) : \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie.

Exercice 4 : questions 3 à 4

Conclusion. La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire, donc pour tout entier naturel \(n\), \(0\leq\, p_n\leq\, p_{n+1}\leq\, 0{,}5\).

b. D’après la question précédente, la suite \((p_n)\) est croissante (\(p_n\leq\, p_{n+1}\)) et majorée par 0,5. D’après le théorème de convergence monotone, la suite \((p_n)\) est convergente.

3. a. La fonction \(g\) définie par \(g(x)=0{,}3+0{,}7x^2\) est continue sur \(\mathbb{R}\) (c’est un polynôme) et \(p_{n+1}=g(p_n)\). Quand \(n\) tend vers \(+\infty\), \(p_{n+1}\) tend vers \(L\) et, par continuité de \(g\), \(g(p_n)\) tend vers \(g(L)\). Par unicité de la limite, \(L=g(L)\) :

\[L=0{,}3+0{,}7L^2\iff 0{,}7L^2-L+0{,}3=0.\]

Donc \(L\) est solution de l’équation \(0{,}7x^2-x+0{,}3=0\).

b. Cette équation du second degré a pour discriminant \(\Delta=(-1)^2-4\times 0{,}7\times 0{,}3=1-0{,}84=0{,}16\), d’où deux solutions :

\[x_1=\dfrac{1-0{,}4}{1{,}4}=\dfrac{0{,}6}{1{,}4}=\dfrac{3}{7}\qquad\text{et}\qquad x_2=\dfrac{1+0{,}4}{1{,}4}=1.\]

Or tous les termes vérifient \(p_n\leq\, 0{,}5\), donc par passage à la limite \(L\leq\, 0{,}5\) : la valeur 1 est exclue. Ainsi \(L=\dfrac{3}{7}\approx 0{,}4286\), ce qui confirme la conjecture de la question 1. c.

4. La liste doit commencer par \(p_0=0{,}3\) (ligne 2). Elle contient déjà un terme ; pour obtenir \(n\) termes, il faut en ajouter \(n-1\), donc la boucle tourne \(n-1\) fois (ligne 4). À chaque tour, on calcule le terme suivant avec la relation de récurrence (ligne 5) :

def suite(n) :
    p = 0.3
    s = [p]
    for i in range(n-1) :
        p = 0.3 + 0.7*p**2
        s.append(p)
    return (s)

Par exemple, suite(3) renvoie la liste [0.3, 0.363, 0.3922383], c’est-à-dire \(p_0\), \(p_1\) et \(p_2\).

Corrigé Asie 2022 : méthode pour bien s’entraîner

D’abord, ouvrez l’énoncé du sujet et traitez un exercice entier sans aide, comme le jour de l’épreuve. Ensuite, comparez votre copie avec la correction ligne par ligne : au-delà du résultat final, regardez surtout la justification attendue. Par ailleurs, faites la liste des points de cours à revoir ; ici, ce sera souvent la fonction logarithme népérien et la géométrie dans l’espace. Enfin, revenez sur les questions manquées quelques jours après : c’est ainsi que la méthode s’installe durablement. En complément, l’article fonction logarithme de Wikipédia rappelle les définitions et propriétés utiles.

Les erreurs qui coûtent des points

• Avec le logarithme, vérifiez toujours que l’expression est strictement positive avant d’appliquer une propriété algébrique.
• En géométrie dans l’espace, ne confondez pas le vecteur normal d’un plan et le vecteur directeur d’une droite.
• Pour une limite, signalez explicitement la forme indéterminée puis la méthode choisie (factorisation, croissances comparées, composition).

Questions fréquentes sur ce corrigé Asie 2022

Où trouver l’énoncé complet ? Il se trouve sur la page du sujet ; ainsi, vous pouvez chercher chaque exercice avant de lire la correction.

Quelles notions revoir avant de commencer ? Avant tout, la fonction logarithme népérien, la géométrie dans l’espace et les limites, mais aussi la loi binomiale.

Faut-il tout justifier ? Oui, en règle générale ; en revanche, dans un QCM, l’énoncé précise le plus souvent qu’aucune justification n’est attendue.

Ensuite, Retour à l’énoncé : Bac de maths 2022 en Asie (jour 2) : sujet et corrigé.