Corrigé du sujet
Exercice 1 :
1. a. Les coordonnées d’un vecteur s’obtiennent en faisant « extrémité moins origine » :
\[\vec{\text{AB}}\begin{pmatrix}2-(-3)\\2-1\\3-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\1\\0\end{pmatrix},\qquad \vec{\text{DC}}\begin{pmatrix}1-(-4)\\7-6\\-1-(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\1\\0\end{pmatrix},\qquad \vec{\text{AD}}\begin{pmatrix}-4-(-3)\\6-1\\-1-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\5\\-4\end{pmatrix}.\]
Donc \(\vec{\text{AB}}(5~;~1~;~0)\), \(\vec{\text{DC}}(5~;~1~;~0)\) et \(\vec{\text{AD}}(-1~;~5~;~-4)\).
b. Les vecteurs \(\vec{\text{AB}}\) et \(\vec{\text{DC}}\) ont les mêmes coordonnées, donc \(\vec{\text{AB}}=\vec{\text{DC}}\) : le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
Calculons ensuite le produit scalaire de deux côtés consécutifs dans ce repère orthonormé :
\[\vec{\text{AB}}\cdot\vec{\text{AD}}=5\times (-1)+1\times 5+0\times (-4)=-5+5+0=0.\]
Les droites (AB) et (AD) sont donc perpendiculaires : le parallélogramme ABCD possède un angle droit en A, c’est donc un rectangle.
c. On calcule les longueurs des deux côtés :
\[\text{AB}=\sqrt{5^2+1^2+0^2}=\sqrt{26},\qquad \text{AD}=\sqrt{(-1)^2+5^2+(-4)^2}=\sqrt{42}.\]
L’aire du rectangle est le produit de sa longueur par sa largeur :
\[\mathcal{A}=\sqrt{26}\times \sqrt{42}=\sqrt{1\,092}=\sqrt{4\times 273}=2\sqrt{273}.\]
L’aire du rectangle ABCD vaut \(2\sqrt{273}\approx 33{,}05\) unités d’aire.
2. a. Les vecteurs \(\vec{\text{AB}}(5~;~1~;~0)\) et \(\vec{\text{AD}}(-1~;~5~;~-4)\) ne sont pas colinéaires : la troisième coordonnée de \(\vec{\text{AB}}\) est nulle alors que celle de \(\vec{\text{AD}}\) ne l’est pas, et \(\vec{\text{AD}}\) n’est pas nul. (On peut aussi dire qu’ils sont orthogonaux et non nuls.) Les points A, B et D ne sont donc pas alignés : ils définissent un plan.
b. Un vecteur est normal à un plan lorsqu’il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan. On calcule :
\[\vec{n}\cdot\vec{\text{AB}}=-2\times 5+10\times 1+13\times 0=-10+10=0,\]
\[\vec{n}\cdot\vec{\text{AD}}=-2\times (-1)+10\times 5+13\times (-4)=2+50-52=0.\]
\(\vec{n}\) est orthogonal à \(\vec{\text{AB}}\) et à \(\vec{\text{AD}}\), qui ne sont pas colinéaires : \(\vec{n}\) est un vecteur normal au plan (ABD).
c. Un plan de vecteur normal \(\vec{n}(-2~;~10~;~13)\) a une équation de la forme \(-2x+10y+13z+d=0\). Le point A appartient au plan, donc :
\[-2\times (-3)+10\times 1+13\times 3+d=0\iff 6+10+39+d=0\iff d=-55.\]
Une équation cartésienne du plan (ABD) est \(-2x+10y+13z-55=0\).
3. a. La droite \(\Delta\) est orthogonale au plan (ABD) : elle a donc pour vecteur directeur le vecteur normal \(\vec{n}(-2~;~10~;~13)\). Comme elle passe par K\((-3~;~14~;~14)\), une représentation paramétrique de \(\Delta\) est :
\[\{\begin{array}{l}x=-3-2t\\y=14+10t\\z=14+13t\end{array}.\qquad t\in\mathbb{R}.\]
b. Le projeté orthogonal I de K sur (ABD) est le point d’intersection de \(\Delta\) avec le plan. On remplace \(x\), \(y\), \(z\) par leurs expressions en \(t\) dans l’équation du plan :
\[-2(-3-2t)+10(14+10t)+13(14+13t)-55=0\]
\[6+4t+140+100t+182+169t-55=0\iff 273t+273=0\iff t=-1.\]
Avec \(t=-1\) : \(x=-3+2=-1\), \(y=14-10=4\), \(z=14-13=1\). Donc I\((-1~;~4~;~1)\).
On vérifie : \(-2\times (-1)+10\times 4+13\times 1-55=2+40+13-55=0\), le point I est bien dans le plan.
c. La hauteur de la pyramide KABCD issue de K est la distance de K au plan de sa base, c’est-à-dire la longueur KI (I est le pied de la perpendiculaire). On a \(\vec{\text{KI}}(-1-(-3)~;~4-14~;~1-14)\), soit \(\vec{\text{KI}}(2~;~-10~;~-13)\), d’où :
\[\text{KI}=\sqrt{2^2+(-10)^2+(-13)^2}=\sqrt{4+100+169}=\sqrt{273}.\]
La hauteur de la pyramide vaut bien \(\sqrt{273}\).
4. On applique la formule rappelée avec l’aire de la base trouvée en 1. c. et la hauteur trouvée en 3. c. :
\[V=\dfrac{1}{3}\times 2\sqrt{273}\times \sqrt{273}=\dfrac{2\times 273}{3}=\dfrac{546}{3}=182.\]
Le volume de la pyramide KABCD est \(V=182\) unités de volume.
Exercice 2 :
Partie A
1. La courbe \(\mathcal{C}_2\) est entièrement située au-dessus de l’axe des abscisses. Si elle représentait \(f^{\prime}\), la fonction \(f\) serait croissante sur \(]3~;~+\infty[\) : c’est bien le cas de la fonction représentée par \(\mathcal{C}_1\).
À l’inverse, si \(\mathcal{C}_1\) représentait \(f^{\prime}\), la fonction \(f\) serait décroissante entre 3 et environ 3,2 (là où \(\mathcal{C}_1\) est sous l’axe) puis croissante ensuite ; or \(\mathcal{C}_2\) est décroissante sur tout l’intervalle. Cette possibilité est donc exclue.
Conclusion : \(\mathcal{C}_1\) représente \(f\) et \(\mathcal{C}_2\) représente \(f^{\prime}\).
2. On cherche les abscisses des points de \(\mathcal{C}_1\) d’ordonnée 3. La droite d’équation \(y=3\) coupe \(\mathcal{C}_1\) en un seul point, d’abscisse comprise entre 5 et 6, proche de 5,6. L’équation \(f(x)=3\) a donc une unique solution, environ 5,6.
3. La courbe \(\mathcal{C}_2\) de la dérivée \(f^{\prime}\) est décroissante sur \(]3~;~+\infty[\) ; une fonction dont la dérivée décroît est concave. On le voit aussi sur \(\mathcal{C}_1\), qui s’infléchit vers le bas et reste sous ses tangentes. La fonction \(f\) semble donc concave sur \(]3~;~+\infty[\).
Partie B
1. La quantité \(\ln(x^2-x-6)\) existe si et seulement si \(x^2-x-6\gt 0\). Le trinôme \(x^2-x-6\) a pour discriminant \(\Delta=(-1)^2-4\times 1\times (-6)=25\), donc deux racines :
\[x_1=\dfrac{1-5}{2}=-2\quad\text{et}\quad x_2=\dfrac{1+5}{2}=3,\qquad\text{d^{\prime}où}\quad x^2-x-6=(x+2)(x-3).\]
Pour \(x\gt 3\), on a \(x+2\gt 0\) et \(x-3\gt 0\), donc \(x^2-x-6\gt 0\) (le trinôme, de coefficient dominant positif, est positif à l’extérieur de ses racines). \(\ln(x^2-x-6)\) est donc bien défini sur \(I=]3~;~+\infty[\).
2. Limite en 3. Quand \(x\) tend vers 3 par valeurs supérieures, \(x^2-x-6=(x+2)(x-3)\) tend vers 0 en restant strictement positif. Comme \(\lim\limits_{X\to 0^+}\ln(X)=-\infty\), par composition :
\[\lim\limits_{x\to 3^+}f(x)=-\infty.\]
Limite en \(+\infty\). Pour \(x\gt 3\), \(x^2-x-6=x^2(1-\dfrac{1}{x}-\dfrac{6}{x^2})\) ; la parenthèse tend vers 1 et \(x^2\) vers \(+\infty\), donc \(x^2-x-6\) tend vers \(+\infty\). Comme \(\lim\limits_{X\to+\infty}\ln(X)=+\infty\), par composition :
\[\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.\]
La limite infinie en 3 signifie que la courbe de \(f\) admet une asymptote verticale : la droite d’équation \(x=3\).
3. a. La fonction \(f\) est de la forme \(\ln(u)\) avec \(u(x)=x^2-x-6\), strictement positive et dérivable sur \(I\), et \(u^{\prime}(x)=2x-1\). On sait que \((\ln u)^{\prime}=\dfrac{u^{\prime}}{u}\), donc pour tout \(x\in I\) :
\[f^{\prime}(x)=\dfrac{2x-1}{x^2-x-6}.\]
b. Sur \(I\), le dénominateur \(x^2-x-6\) est strictement positif (question 1), et le numérateur aussi : \(x\gt 3\) donne \(2x-1\gt 5\gt 0\). Donc \(f^{\prime}(x)\gt 0\) pour tout \(x\in I\) : la fonction \(f\) est strictement croissante sur \(I\).
| \(x\) | 3 | \(+\infty\) |
|---|---|---|
| signe de \(f^{\prime}(x)\) | \(+\) | |
| variations de \(f\) | \(-\infty\) | ↗ \(+\infty\) |
La borne 3 est exclue de l’intervalle (valeur interdite) : sur \(]3~;~+\infty[\), la fonction \(f\) croît de \(-\infty\) à \(+\infty\).
4. a. Sur l’intervalle \([5~;~6]\), la fonction \(f\) est continue (car dérivable) et strictement croissante. On calcule :
\[f(5)=\ln(25-5-6)=\ln(14)\approx 2{,}64\lt 3\qquad\text{et}\qquad f(6)=\ln(36-6-6)=\ln(24)\approx 3{,}18\gt 3.\]
Le réel 3 est compris entre \(f(5)\) et \(f(6)\) ; d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (fonction continue et strictement monotone), l’équation \(f(x)=3\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \(]5~;~6[\).
b. Par balayage à la calculatrice : \(f(5{,}63)\approx 2{,}9993\lt 3\) et \(f(5{,}64)\approx 3{,}0040\gt 3\). Donc \(5{,}63\lt\alpha\lt 5{,}64\).
(On peut d’ailleurs résoudre exactement : \(f(x)=3\iff x^2-x-6=\text{e}^3\), d’où \(\alpha=\dfrac{1+\sqrt{25+4\text{e}^3}}{2}\approx 5{,}632\).)
5. a. On dérive \(f^{\prime}=\dfrac{u^{\prime}}{u}\) comme un quotient, avec \(u(x)=x^2-x-6\), \(u^{\prime}(x)=2x-1\) et \(u^{\prime\prime}(x)=2\) :
\[f^{\prime\prime}(x)=\dfrac{2(x^2-x-6)-(2x-1)(2x-1)}{(x^2-x-6)^2}=\dfrac{2x^2-2x-12-(4x^2-4x+1)}{(x^2-x-6)^2}.\]
En réduisant le numérateur : \(2x^2-2x-12-4x^2+4x-1=-2x^2+2x-13\). On obtient bien
\[f^{\prime\prime}(x)=\dfrac{-2x^2+2x-13}{(x^2-x-6)^2}.\]
b. Le dénominateur est un carré non nul sur \(I\), donc strictement positif. Le numérateur \(-2x^2+2x-13\) est un trinôme de discriminant \(\Delta=2^2-4\times (-2)\times (-13)=4-104=-100\lt 0\) : il n’a pas de racine et garde le signe de son coefficient dominant \(-2\), il est donc toujours strictement négatif.
Ainsi \(f^{\prime\prime}(x)\lt 0\) pour tout \(x\in I\) : la fonction \(f\) est concave sur \(I\), ce qui confirme la lecture graphique de la Partie A.
Exercice 3 :
Partie 1
1. \(P_B(V)\) est la probabilité que Julien soit à l’heure sachant qu’il a pris son bus. L’énoncé dit que s’il prend le bus de 8 h, il est sûr d’arriver à temps : \(P_B(V)=1\).
2. Julien manque son bus avec la probabilité 0,8, donc \(P(\overline{B})=0{,}8\) et \(P(B)=1-0{,}8=0{,}2\). Sachant qu’il a manqué le bus, il arrive à l’heure avec la probabilité 0,5, donc \(P_{\overline{B}}(V)=0{,}5\) et \(P_{\overline{B}}(\overline{V})=0{,}5\). Enfin \(P_B(V)=1\) et \(P_B(\overline{V})=0\). D’où l’arbre :
3. Les évènements \(B\) et \(\overline{B}\) forment une partition de l’univers. D’après la formule des probabilités totales :
\[P(V)=P(B)\times P_B(V)+P(\overline{B})\times P_{\overline{B}}(V)=0{,}2\times 1+0{,}8\times 0{,}5=0{,}2+0{,}4=0{,}6.\]
On a bien \(P(V)=0{,}6\).
4. On cherche la probabilité que Julien ait pris le bus sachant qu’il est à l’heure, c’est-à-dire \(P_V(B)\) :
\[P_V(B)=\dfrac{P(B\cap V)}{P(V)}=\dfrac{P(B)\times P_B(V)}{P(V)}=\dfrac{0{,}2\times 1}{0{,}6}=\dfrac{1}{3}.\]
Sachant que Julien est à l’heure pour son vol, la probabilité qu’il soit venu en bus est \(\dfrac{1}{3}\approx 0{,}333\).
Partie 2
1. Pour chacun des 206 passagers ayant un billet, on observe une épreuve à deux issues : il se présente (succès, probabilité \(1-0{,}05=0{,}95\)) ou non. Ces 206 épreuves sont identiques et indépendantes, et \(X\) compte le nombre de succès : \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n=206\) et \(p=0{,}95\).
2. Le nombre moyen de passagers présents est l’espérance de \(X\) :
\[E(X)=n\times p=206\times 0{,}95=195{,}7.\]
En moyenne, environ 196 passagers (195,7) se présentent à l’embarquement.
3. Avec la formule de la loi binomiale :
\[P(X=201)=\binom\,{206}{201}\times 0{,}95^{201}\times 0{,}05^{5}\approx 0{,}031.\]
La probabilité que 201 passagers se présentent est environ 0,031.
4. La calculatrice (fonction de répartition de la loi binomiale) donne \(P(X\leq\, 200)\approx 0{,}948\).
Interprétation : dans environ 94,8 % des cas, au plus 200 passagers se présentent, donc tous les passagers présents peuvent embarquer malgré le surbooking. Dans environ 5,2 % des cas, au moins un passager se retrouve sans place.
5. a. La somme des probabilités d’une loi vaut 1, donc :
\[P(Y=6)=1-(0{,}94775+0{,}03063+0{,}01441+0{,}00539+0{,}00151+0{,}00028)=1-0{,}99997=0{,}00003.\]
Ainsi \(P(Y=6)=0{,}00003\).
b. La compagnie a vendu 206 billets à 250 euros, ce qui lui rapporte \(206\times 250=51\,500\) euros. Pour chacun des \(Y\) passagers qui ne peuvent pas embarquer, elle rembourse le billet (250 euros) et verse une pénalité de 600 euros, soit une perte de \(250+600=850\) euros par passager lésé. Son chiffre d’affaires est donc \(C=51\,500-850Y\).
c. À chaque valeur \(y_i\) de \(Y\) correspond la valeur \(c_i=51\,500-850y_i\) de \(C\), avec la même probabilité :
| \(y_i\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(c_i\) (en euros) | 51 500 | 50 650 | 49 800 | 48 950 | 48 100 | 47 250 | 46 400 |
| \(P(C=c_i)\) | 0,94775 | 0,03063 | 0,01441 | 0,00539 | 0,00151 | 0,00028 | 0,00003 |
Le plus simple est de calculer d’abord \(E(Y)\) :
\[E(Y)=0\times 0{,}94775+1\times 0{,}03063+2\times 0{,}01441+3\times 0{,}00539+4\times 0{,}00151+5\times 0{,}00028+6\times 0{,}00003=0{,}08324.\]
Par linéarité de l’espérance :
\[E(C)=51\,500-850\times E(Y)=51\,500-850\times 0{,}08324=51\,500-70{,}754=51\,429{,}246.\]
Donc \(E(C)\approx 51\,429\) euros à l’euro près (on obtient le même résultat en calculant directement \(\sum c_i\,P(C=c_i)\)).
d. En vendant exactement 200 billets, la compagnie remplit au mieux l’avion sans jamais payer de pénalité, et son chiffre d’affaires est au plus \(200\times 250=50\,000\) euros. Avec le surbooking, son chiffre d’affaires moyen est d’environ 51 429 euros, soit environ 1 429 euros de plus en moyenne par vol : le surbooking est rentable pour la compagnie.
Exercice 4 :
1. a. On applique la relation de récurrence :
\[p_1=0{,}3+0{,}7\times 0{,}3^2=0{,}3+0{,}7\times 0{,}09=0{,}3+0{,}063=0{,}363,\]
\[p_2=0{,}3+0{,}7\times 0{,}363^2=0{,}3+0{,}7\times 0{,}131769=0{,}3+0{,}0922383=0{,}3922383.\]
Donc \(p_1=0{,}363\) et \(p_2=0{,}3922383\).
Interprétation : la probabilité que la lignée issue d’une bactérie s’éteigne en donnant au plus une génération de descendants est 0,363 ; la probabilité qu’elle s’éteigne en donnant au plus deux générations est 0,3922383.
b. L’évènement « obtenir au moins 11 générations » est le contraire de « obtenir au plus 10 générations », dont la probabilité est \(p_{10}\). D’après la feuille de calcul :
\[1-p_{10}\approx 1-0{,}42802018=0{,}57197982.\]
La probabilité cherchée est environ 0,572.
c. Les valeurs du tableau augmentent d’une ligne à l’autre, de plus en plus lentement, et semblent se stabiliser autour de 0,4285. On conjecture que la suite \((p_n)\) est croissante et converge vers un nombre proche de 0,4286.
2. a. Pour tout entier naturel \(n\), notons \(\mathcal{P}(n)\) la propriété : « \(0\leq\, p_n\leq\, p_{n+1}\leq\, 0{,}5\) ».
Initialisation. \(p_0=0{,}3\) et \(p_1=0{,}363\), donc \(0\leq\, p_0\leq\, p_1\leq\, 0{,}5\) : \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.
Hérédité. Soit \(n\) un entier naturel tel que \(\mathcal{P}(n)\) soit vraie : \(0\leq\, p_n\leq\, p_{n+1}\leq\, 0{,}5\). La fonction carré est croissante sur \([0~;~+\infty[\), donc en élevant ces nombres positifs au carré, l’ordre est conservé :
\[0\leq\, p_n^2\leq\, p_{n+1}^2\leq\, 0{,}25.\]
On multiplie par \(0{,}7\gt 0\), puis on ajoute 0,3 :
\[0{,}3\leq\, 0{,}3+0{,}7p_n^2\leq\, 0{,}3+0{,}7p_{n+1}^2\leq\, 0{,}3+0{,}7\times 0{,}25,\]
c’est-à-dire \(0{,}3\leq\, p_{n+1}\leq\, p_{n+2}\leq\, 0{,}475\). Comme \(0\leq\, 0{,}3\) et \(0{,}475\leq\, 0{,}5\), on obtient \(0\leq\, p_{n+1}\leq\, p_{n+2}\leq\, 0{,}5\) : \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie.
Conclusion. La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire, donc pour tout entier naturel \(n\), \(0\leq\, p_n\leq\, p_{n+1}\leq\, 0{,}5\).
b. D’après la question précédente, la suite \((p_n)\) est croissante (\(p_n\leq\, p_{n+1}\)) et majorée par 0,5. D’après le théorème de convergence monotone, la suite \((p_n)\) est convergente.
3. a. La fonction \(g\) définie par \(g(x)=0{,}3+0{,}7x^2\) est continue sur \(\mathbb{R}\) (c’est un polynôme) et \(p_{n+1}=g(p_n)\). Quand \(n\) tend vers \(+\infty\), \(p_{n+1}\) tend vers \(L\) et, par continuité de \(g\), \(g(p_n)\) tend vers \(g(L)\). Par unicité de la limite, \(L=g(L)\) :
\[L=0{,}3+0{,}7L^2\iff 0{,}7L^2-L+0{,}3=0.\]
Donc \(L\) est solution de l’équation \(0{,}7x^2-x+0{,}3=0\).
b. Cette équation du second degré a pour discriminant \(\Delta=(-1)^2-4\times 0{,}7\times 0{,}3=1-0{,}84=0{,}16\), d’où deux solutions :
\[x_1=\dfrac{1-0{,}4}{1{,}4}=\dfrac{0{,}6}{1{,}4}=\dfrac{3}{7}\qquad\text{et}\qquad x_2=\dfrac{1+0{,}4}{1{,}4}=1.\]
Or tous les termes vérifient \(p_n\leq\, 0{,}5\), donc par passage à la limite \(L\leq\, 0{,}5\) : la valeur 1 est exclue. Ainsi \(L=\dfrac{3}{7}\approx 0{,}4286\), ce qui confirme la conjecture de la question 1. c.
4. La liste doit commencer par \(p_0=0{,}3\) (ligne 2). Elle contient déjà un terme ; pour obtenir \(n\) termes, il faut en ajouter \(n-1\), donc la boucle tourne \(n-1\) fois (ligne 4). À chaque tour, on calcule le terme suivant avec la relation de récurrence (ligne 5) :
def suite(n) :
p = 0.3
s = [p]
for i in range(n-1) :
p = 0.3 + 0.7*p**2
s.append(p)
return (s)
Par exemple, suite(3) renvoie la liste [0.3, 0.363, 0.3922383], c’est-à-dire \(p_0\), \(p_1\) et \(p_2\).
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