Corrigé Liban 2022 : la correction en un coup d’œil
D’abord, précisons que ce corrigé Liban 2022 concerne l’épreuve de spécialité mathématiques 2022 à Mayotte et au Liban (jour 1), avec une rédaction complète des réponses. Concrètement, le sujet compte 4 exercices indépendants. Par ailleurs, les notions les plus sollicitées sont la fonction logarithme népérien, la fonction exponentielle, la géométrie dans l’espace et les limites. Pour vous situer, l’épreuve dure 4 heures, soit environ 60 minutes par exercice si vous répartissez le temps équitablement. De cette façon, vous pouvez vérifier non seulement vos résultats, mais aussi la qualité de votre rédaction.
Corrigé du sujet
Exercice 1 : réponses détaillées du corrigé Liban 2022
Partie A
1. Le premier niveau de l’arbre sépare \(J\) (probabilité 0,2) et \(\overline{J}\) (forfait SENIOR, probabilité 0,8). Le second niveau porte les probabilités conditionnelles de choisir le coupe-file : \(P_J(C)=0{,}06\), donc \(P_J(\overline{C})=0{,}94\) ; \(P_{\overline{J}}(C)=0{,}125\), donc \(P_{\overline{J}}(\overline{C})=0{,}875\).
2. On suit la branche \(J\) puis \(C\) et on multiplie les probabilités rencontrées :
\[P(J\cap C)=P(J)\times P_J(C)=0{,}2\times 0{,}06=0{,}012.\]
Donc \(P(J\cap C)=0{,}012\).
3. Les évènements \(J\) et \(\overline{J}\) forment une partition de l’univers. D’après la formule des probabilités totales :
\[P(C)=P(J\cap C)+P(\overline{J}\cap C)=0{,}012+0{,}8\times 0{,}125=0{,}012+0{,}1=0{,}112.\]
La probabilité qu’un skieur choisisse l’option coupe-file est bien 0,112.
4. On cherche la probabilité conditionnelle \(P_C(\overline{J})\) :
\[P_C(\overline{J})=\dfrac{P(\overline{J}\cap C)}{P(C)}=\dfrac{0{,}1}{0{,}112}\approx 0{,}8929.\]
Sachant qu’il a pris le coupe-file, la probabilité que le skieur ait un forfait SENIOR est d’environ 0,893.
5. La proportion de moins de 25 ans parmi les skieurs ayant pris le coupe-file est \(P_C(J)=\dfrac{P(J\cap C)}{P(C)}=\dfrac{0{,}012}{0{,}112}\approx 0{,}107\) (c’est aussi \(1-P_C(\overline{J})\)). Cela représente environ 10,7 %, ce qui est inférieur à 15 % : l’affirmation est vraie.
Partie B
1. On répète 30 fois, de façon supposée indépendante, la même épreuve à deux issues : le skieur a pris le coupe-file (succès, de probabilité 0,112) ou non. \(X\) compte les succès : \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n=30\) et \(p=0{,}112\).
2. L’évènement « au moins un skieur a pris le coupe-file » est le contraire de « aucun ne l’a pris » :
\[P(X\geq\, 1)=1-P(X=0)=1-(1-0{,}112)^{30}=1-0{,}888^{30}\approx 1-0{,}0283\approx 0{,}972.\]
La probabilité cherchée vaut environ 0,972.
3. « Au plus un » signifie \(X=0\) ou \(X=1\) :
\[P(X\leq\, 1)=P(X=0)+P(X=1)=0{,}888^{30}+\binom\,{30}{1}\times 0{,}112\times 0{,}888^{29}\approx 0{,}0283+0{,}1072\approx 0{,}136.\]
La probabilité qu’au plus un skieur ait pris le coupe-file est d’environ 0,136.
4. Pour une loi binomiale, \(E(X)=np=30\times 0{,}112=\) 3,36. Sur un grand nombre d’échantillons de 30 skieurs, on compte en moyenne 3,36 skieurs ayant choisi l’option coupe-file.
Exercice 2 :
1. Diminuer de 15 % revient à multiplier par 0,85. Au bout de \(n\) heures, le volume vaut \(0{,}85^n\) litre. On résout \(0{,}85^n\lt 0{,}25\) en appliquant la fonction \(\ln\), strictement croissante :
\[n\ln(0{,}85)\lt\ln(0{,}25)\iff n\gt\dfrac{\ln(0{,}25)}{\ln(0{,}85)}\approx 8{,}53\]
(le sens change car \(\ln(0{,}85)\lt 0\)). Le plus petit entier qui convient est 9 ; on vérifie : \(0{,}85^8\approx 0{,}272\) et \(0{,}85^9\approx 0{,}232\). Réponse c.
2. Pour \(x\gt 0\), \(f(2x)=4\ln(6x)=4[\ln(2)+\ln(3x)]=4\ln(2)+4\ln(3x)=\ln(2^4)+f(x)=f(x)+\ln(16)\). Réponse b.
3. En 1 : on reconnaît un taux d’accroissement, car \(\ln(1)=0\) : \(g(x)=\dfrac{\ln(x)-\ln(1)}{x-1}\). Sa limite quand \(x\) tend vers 1 est le nombre dérivé de \(\ln\) en 1, soit \(\dfrac{1}{1}=1\). La limite est finie : pas d’asymptote verticale.
En \(+\infty\) : \(g(x)=\dfrac{\ln(x)}{x}\times \dfrac{x}{x-1}\). Par croissance comparée, \(\dfrac{\ln(x)}{x}\) tend vers 0, et \(\dfrac{x}{x-1}\) tend vers 1 ; donc \(g(x)\) tend vers 0 : la droite d’équation \(y=0\) est asymptote horizontale. Réponse c.
4. Sur \(]\dfrac{1}{\text{e}}\,;\,2]\), on a \(x\gt\text{e}^{-1}\), donc \(\ln(x)\gt -1\), \(1+\ln(x)\gt 0\) et \(h^{\prime}(x)=4x(1+\ln(x))\gt 0\) : \(h\) est strictement croissante et continue sur cet intervalle. Or \(h(\dfrac{1}{\text{e}})=\text{e}^{-2}(1-2)=-\text{e}^{-2}\lt 0\) et \(h(2)=4(1+2\ln(2))\gt 0\). D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, \(h\) s’annule une seule fois sur l’intervalle (en \(x=\text{e}^{-\frac{1}{2}}\approx 0{,}607\), solution de \(1+2\ln(x)=0\)). Réponse b.
Exercice 2 du corrigé Liban 2022 : questions 5 à 7
5. On a \(h(\sqrt{\text{e}})=\text{e}(1+2\times \dfrac{1}{2})=2\text{e}\) et \(h^{\prime}(\sqrt{\text{e}})=4\sqrt{\text{e}}(1+\dfrac{1}{2})=6\sqrt{\text{e}}\). La tangente a pour équation :
\[y=6\sqrt{\text{e}}(x-\sqrt{\text{e}})+2\text{e}=6\sqrt{\text{e}}\,x-6\text{e}+2\text{e}=6\text{e}^{\frac{1}{2}}x-4\text{e}.\]
Réponse d.
6. On dérive \(h^{\prime}(x)=4x+4x\ln(x)\) : \(h^{\prime\prime}(x)=4+4\ln(x)+4x\times \dfrac{1}{x}=8+4\ln(x)=4(2+\ln(x))\). Cette expression est négative pour \(x\lt\text{e}^{-2}\), nulle en \(\text{e}^{-2}\approx 0{,}135\) et positive ensuite. \(h^{\prime\prime}\) s’annule en changeant de signe une seule fois sur \(]0\,;\,2]\) : la courbe a un seul point d’inflexion. Réponse b.
7. On calcule \(u_1=\dfrac{1}{2}\times 6+3=6=u_0\). Par une récurrence immédiate, si \(u_n=6\) alors \(u_{n+1}=3+3=6\) : tous les termes valent 6 (6 est le point fixe de \(x\mapsto \dfrac{1}{2}x+3\)). Réponse d.
| Question | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Réponse | c | b | c | b | d | b | d |
Exercice 3 :
Partie A
1. a. Quand \(x\) tend vers \(-\infty\), \(0{,}5x-2\) tend vers \(-\infty\), donc \(\text{e}^{0{,}5x-2}\) tend vers 0 (limite de l’exponentielle en \(-\infty\)). Comme \(1+x\) tend vers \(-\infty\), par somme \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\).
b. Pour \(x\neq 0\), on développe le membre de droite :
\[1+0{,}5x\times 2-0{,}5x\times \dfrac{\text{e}^{0{,}5x}}{0{,}5x}\times \text{e}^{-2}=1+x-\text{e}^{0{,}5x}\times \text{e}^{-2}=1+x-\text{e}^{0{,}5x-2}=f(x).\]
On pose \(X=0{,}5x\) : quand \(x\) tend vers \(+\infty\), \(X\) aussi, et par croissance comparée \(\dfrac{\text{e}^{X}}{X}\) tend vers \(+\infty\). Donc \(2-\dfrac{\text{e}^{0{,}5x}}{0{,}5x}\times \text{e}^{-2}\) tend vers \(-\infty\) (car \(\text{e}^{-2}\gt 0\)). Comme \(0{,}5x\) tend vers \(+\infty\), par produit la parenthèse multipliée par \(0{,}5x\) tend vers \(-\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty\).
2. a. La dérivée de \(x\mapsto \text{e}^{0{,}5x-2}\) est \(x\mapsto 0{,}5\,\text{e}^{0{,}5x-2}\) (forme \(u^{\prime}\text{e}^u\)). Donc, pour tout réel \(x\), \(f^{\prime}(x)=1-0{,}5\,\text{e}^{0{,}5x-2}\).
b. On résout, en utilisant la stricte croissance de la fonction \(\ln\) :
\[f^{\prime}(x)\lt 0\iff 0{,}5\,\text{e}^{0{,}5x-2}\gt 1\iff\text{e}^{0{,}5x-2}\gt 2\iff 0{,}5x-2\gt\ln(2)\iff x\gt 4+2\ln(2).\]
L’ensemble des solutions est bien \(]4+2\ln(2)\,;\,+\infty[\). De même, \(f^{\prime}(x)\gt 0\) pour \(x\lt 4+2\ln(2)\) et \(f^{\prime}\) s’annule en \(4+2\ln(2)\).
3. \(f\) est donc croissante sur \(]-\infty\,;\,4+2\ln(2)]\) et décroissante sur \([4+2\ln(2)\,;\,+\infty[\). Son maximum vaut, puisque \(0{,}5(4+2\ln(2))-2=\ln(2)\) :
\[f(4+2\ln(2))=1+4+2\ln(2)-\text{e}^{\ln(2)}=5+2\ln(2)-2=3+2\ln(2)\approx 4{,}39.\]
| \(x\) | \(-\infty\) | \(4+2\ln(2)\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| signe de \(f^{\prime}(x)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | ||
| variations de \(f\) | \(-\infty\) | \(\nearrow\) | \(3+2\ln(2)\) | \(\searrow\) | \(-\infty\) |
4. L’intervalle \([-1\,;\,0]\) est contenu dans \(]-\infty\,;\,4+2\ln(2)]\), où \(f\) est strictement croissante ; \(f\) y est aussi continue (car dérivable). On calcule :
\[f(-1)=1-1-\text{e}^{-0{,}5-2}=-\text{e}^{-2{,}5}\lt 0\qquad\text{et}\qquad f(0)=1-\text{e}^{-2}\approx 0{,}865\gt 0.\]
0 est compris entre \(f(-1)\) et \(f(0)\). D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (fonction continue et strictement monotone), l’équation \(f(x)=0\) admet une unique solution sur \([-1\,;\,0]\).
Partie B
1. a. Notons \(P(n)\) la propriété « \(u_n\leq\, u_{n+1}\leq\, 4\) ».
Initialisation. \(u_0=0\) et \(u_1=f(0)=1-\text{e}^{-2}\approx 0{,}865\). On a bien \(0\leq\, 0{,}865\leq\, 4\) : \(P(0)\) est vraie.
Hérédité. Supposons \(u_n\leq\, u_{n+1}\leq\, 4\) pour un entier \(n\). Les trois nombres \(u_n\), \(u_{n+1}\) et 4 sont dans \(]-\infty\,;\,4+2\ln(2)]\), intervalle sur lequel \(f\) est croissante : elle conserve donc l’ordre, et \(f(u_n)\leq\, f(u_{n+1})\leq\, f(4)\). Or \(f(4)=1+4-\text{e}^{0}=4\). On obtient \(u_{n+1}\leq\, u_{n+2}\leq\, 4\) : \(P(n+1)\) est vraie.
Conclusion. Par récurrence, \(u_n\leq\, u_{n+1}\leq\, 4\) pour tout entier naturel \(n\).
b. La suite \((u_n)\) est croissante (\(u_n\leq\, u_{n+1}\)) et majorée par 4. D’après le théorème de convergence monotone, elle converge vers un réel \(\ell\leq\, 4\).
2. a. On résout l’équation \(\ell=f(\ell)\) :
\[\ell=1+\ell-\text{e}^{0{,}5\ell-2}\iff\text{e}^{0{,}5\ell-2}=1\iff 0{,}5\ell-2=0\iff\ell=4.\]
L’équation n’a qu’une solution, donc \(\ell=4\).
b. La fonction part de \(u=u_0=0\) et \(n=0\), puis calcule les termes successifs \(u_1,u_2,\dots\) tant que le terme obtenu est inférieur ou égal à \(a\), en comptant les étapes dans \(n\). Elle renvoie donc le premier indice \(n\) pour lequel \(u_n\gt a\). Le résultat 12 signifie que \(u_{11}\leq\, 3{,}99\) et \(u_{12}\gt 3{,}99\) (numériquement \(u_{11}\approx 3{,}9855\) et \(u_{12}\approx 3{,}9927\)). Comme la suite est croissante, à partir du rang 12 tous les termes sont dans \(]3{,}99\,;\,4]\) : ils approchent la limite 4 à moins de 0,01 près.
Exercice 4 :
1. a. Le milieu R a pour coordonnées les moyennes des coordonnées de A et B : \((\dfrac{5+1}{2}\,;\,\dfrac{0+4}{2}\,;\,\dfrac{-1-1}{2})\), soit R\((3\,;\,2\,;\,-1)\). Et \(\vec{\text{AB}}\begin{pmatrix}1-5\\4-0\\-1-(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\4\\0\end{pmatrix}\).
b. Un plan de vecteur normal \(\vec{\text{AB}}\) a une équation de la forme \(-4x+4y+0z+d=0\). Il passe par R, donc \(-4\times 3+4\times 2+d=0\), soit \(d=4\). Une équation de \(\mathcal{P}_1\) est \(-4x+4y+4=0\) ; en divisant par \(-4\), on obtient \(x-y-1=0\).
c. Pour E : \(10-9-1=0\), donc E appartient à \(\mathcal{P}_1\). Ensuite \(\vec{\text{EA}}\begin{pmatrix}-5\\-9\\-9\end{pmatrix}\) et \(\vec{\text{EB}}\begin{pmatrix}-9\\-5\\-9\end{pmatrix}\), donc \(\text{EA}^2=25+81+81=187\) et \(\text{EB}^2=81+25+81=187\). Les distances étant positives, EA = EB \(=\sqrt{187}\).
2. a. Un vecteur normal à \(\mathcal{P}_1\) est \(\vec{n_1}\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}\) et un vecteur normal à \(\mathcal{P}_2\) est \(\vec{n_2}\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\). Ces vecteurs ne sont pas colinéaires (la troisième coordonnée de \(\vec{n_1}\) est nulle, pas celle de \(\vec{n_2}\)). Les plans ne sont donc pas parallèles : ils sont sécants selon une droite.
b. Soit M\((2+t\,;\,1+t\,;\,t)\) un point de la droite proposée. Il vérifie l’équation de \(\mathcal{P}_1\) : \((2+t)-(1+t)-1=0\), et celle de \(\mathcal{P}_2\) : \((2+t)-t-2=0\). La droite proposée est donc contenue dans les deux plans, c’est-à-dire dans leur intersection \(\Delta\). Comme \(\Delta\) est une droite, les deux droites sont confondues : le système donné est une représentation paramétrique de \(\Delta\).
Exercice 4 du corrigé Liban 2022 : questions 3 à 4
3. Un vecteur directeur de \(\Delta\) est \(\vec{v}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\) et un vecteur normal à \(\mathcal{P}_3\) est \(\vec{n_3}\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\). Comme \(\vec{v}\cdot\vec{n_3}=0+1+1=2\neq 0\), la droite n’est pas parallèle au plan : elle le coupe en un point. On remplace dans l’équation de \(\mathcal{P}_3\) :
\[(1+t)+t-3=0\iff 2t=2\iff t=1.\]
Le point d’intersection est \(\Omega(3\,;\,2\,;\,1)\).
4. a. \(\Omega\) appartient à \(\Delta\), donc à \(\mathcal{P}_1\) et \(\mathcal{P}_2\), et il appartient à \(\mathcal{P}_3\). Comme \(\mathcal{P}_1\) est le plan médiateur de [AB], \(\Omega\text{A}=\Omega\text{B}\) ; comme \(\mathcal{P}_2\) est celui de [AC], \(\Omega\text{A}=\Omega\text{C}\) ; comme \(\mathcal{P}_3\) est celui de [AD], \(\Omega\text{A}=\Omega\text{D}\). Donc \(\Omega\text{A}=\Omega\text{B}=\Omega\text{C}=\Omega\text{D}\).
b. Les quatre points sont à la même distance \(\Omega\text{A}\) de \(\Omega\). Avec \(\vec{\Omega\text{A}}\begin{pmatrix}2\\-2\\-2\end{pmatrix}\), on trouve \(\Omega\text{A}=\sqrt{4+4+4}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\). On peut contrôler avec \(\vec{\Omega\text{D}}\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}\) : même longueur. Ainsi A, B, C et D appartiennent à la sphère de centre \(\Omega(3\,;\,2\,;\,1)\) et de rayon \(2\sqrt{3}\).
Corrigé Liban 2022 : conseils de révision
D’abord, ouvrez l’énoncé du sujet et traitez un exercice entier sans aide, comme le jour de l’épreuve. Ensuite, comparez votre copie avec la correction ligne par ligne : au-delà du résultat final, regardez surtout la justification attendue. En outre, identifiez les chapitres qui vous ont bloqué, notamment la fonction logarithme népérien ou la fonction exponentielle, puis reprenez le cours correspondant. Pour finir, reprenez plus tard les exercices où vous avez hésité, jusqu’à pouvoir les rédiger seul du début à la fin. Pour un rappel de cours indépendant, vous pouvez aussi consulter l’article de Wikipédia sur fonction logarithme.
Points de vigilance
- Avec le logarithme, vérifiez toujours que l’expression est strictement positive avant d’appliquer une propriété algébrique.
- Face à une forme indéterminée avec l’exponentielle, pensez aux croissances comparées plutôt qu’à un calcul direct.
- En géométrie dans l’espace, ne confondez pas le vecteur normal d’un plan et le vecteur directeur d’une droite.
Corrigé Liban 2022 : questions fréquentes
Où trouver l’énoncé complet ? Il se trouve sur la page du sujet ; ainsi, vous pouvez chercher chaque exercice avant de lire la correction.
Quelles notions revoir avant de commencer ? Surtout, la fonction logarithme népérien, la fonction exponentielle et la géométrie dans l’espace, mais aussi les limites.
Faut-il tout justifier ? Oui, en règle générale ; en revanche, dans un QCM, l’énoncé précise le plus souvent qu’aucune justification n’est attendue.
De plus, Retour à l’énoncé : Bac de maths 2022 à Mayotte et au Liban (jour 1) : sujet et corrigé.
