Corrigé du sujet
Exercice 1 :
Partie A
1. Le premier niveau de l’arbre sépare \(J\) (probabilité 0,2) et \(\overline{J}\) (forfait SENIOR, probabilité 0,8). Le second niveau porte les probabilités conditionnelles de choisir le coupe-file : \(P_J(C)=0{,}06\), donc \(P_J(\overline{C})=0{,}94\) ; \(P_{\overline{J}}(C)=0{,}125\), donc \(P_{\overline{J}}(\overline{C})=0{,}875\).
2. On suit la branche \(J\) puis \(C\) et on multiplie les probabilités rencontrées :
\[P(J\cap C)=P(J)\times P_J(C)=0{,}2\times 0{,}06=0{,}012.\]
Donc \(P(J\cap C)=0{,}012\).
3. Les évènements \(J\) et \(\overline{J}\) forment une partition de l’univers. D’après la formule des probabilités totales :
\[P(C)=P(J\cap C)+P(\overline{J}\cap C)=0{,}012+0{,}8\times 0{,}125=0{,}012+0{,}1=0{,}112.\]
La probabilité qu’un skieur choisisse l’option coupe-file est bien 0,112.
4. On cherche la probabilité conditionnelle \(P_C(\overline{J})\) :
\[P_C(\overline{J})=\dfrac{P(\overline{J}\cap C)}{P(C)}=\dfrac{0{,}1}{0{,}112}\approx 0{,}8929.\]
Sachant qu’il a pris le coupe-file, la probabilité que le skieur ait un forfait SENIOR est d’environ 0,893.
5. La proportion de moins de 25 ans parmi les skieurs ayant pris le coupe-file est \(P_C(J)=\dfrac{P(J\cap C)}{P(C)}=\dfrac{0{,}012}{0{,}112}\approx 0{,}107\) (c’est aussi \(1-P_C(\overline{J})\)). Cela représente environ 10,7 %, ce qui est inférieur à 15 % : l’affirmation est vraie.
Partie B
1. On répète 30 fois, de façon supposée indépendante, la même épreuve à deux issues : le skieur a pris le coupe-file (succès, de probabilité 0,112) ou non. \(X\) compte les succès : \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n=30\) et \(p=0{,}112\).
2. L’évènement « au moins un skieur a pris le coupe-file » est le contraire de « aucun ne l’a pris » :
\[P(X\geq\, 1)=1-P(X=0)=1-(1-0{,}112)^{30}=1-0{,}888^{30}\approx 1-0{,}0283\approx 0{,}972.\]
La probabilité cherchée vaut environ 0,972.
3. « Au plus un » signifie \(X=0\) ou \(X=1\) :
\[P(X\leq\, 1)=P(X=0)+P(X=1)=0{,}888^{30}+\binom\,{30}{1}\times 0{,}112\times 0{,}888^{29}\approx 0{,}0283+0{,}1072\approx 0{,}136.\]
La probabilité qu’au plus un skieur ait pris le coupe-file est d’environ 0,136.
4. Pour une loi binomiale, \(E(X)=np=30\times 0{,}112=\) 3,36. Sur un grand nombre d’échantillons de 30 skieurs, on compte en moyenne 3,36 skieurs ayant choisi l’option coupe-file.
Exercice 2 :
1. Diminuer de 15 % revient à multiplier par 0,85. Au bout de \(n\) heures, le volume vaut \(0{,}85^n\) litre. On résout \(0{,}85^n\lt 0{,}25\) en appliquant la fonction \(\ln\), strictement croissante :
\[n\ln(0{,}85)\lt\ln(0{,}25)\iff n\gt\dfrac{\ln(0{,}25)}{\ln(0{,}85)}\approx 8{,}53\]
(le sens change car \(\ln(0{,}85)\lt 0\)). Le plus petit entier qui convient est 9 ; on vérifie : \(0{,}85^8\approx 0{,}272\) et \(0{,}85^9\approx 0{,}232\). Réponse c.
2. Pour \(x\gt 0\), \(f(2x)=4\ln(6x)=4[\ln(2)+\ln(3x)]=4\ln(2)+4\ln(3x)=\ln(2^4)+f(x)=f(x)+\ln(16)\). Réponse b.
3. En 1 : on reconnaît un taux d’accroissement, car \(\ln(1)=0\) : \(g(x)=\dfrac{\ln(x)-\ln(1)}{x-1}\). Sa limite quand \(x\) tend vers 1 est le nombre dérivé de \(\ln\) en 1, soit \(\dfrac{1}{1}=1\). La limite est finie : pas d’asymptote verticale.
En \(+\infty\) : \(g(x)=\dfrac{\ln(x)}{x}\times \dfrac{x}{x-1}\). Par croissance comparée, \(\dfrac{\ln(x)}{x}\) tend vers 0, et \(\dfrac{x}{x-1}\) tend vers 1 ; donc \(g(x)\) tend vers 0 : la droite d’équation \(y=0\) est asymptote horizontale. Réponse c.
4. Sur \(]\dfrac{1}{\text{e}}\,;\,2]\), on a \(x\gt\text{e}^{-1}\), donc \(\ln(x)\gt -1\), \(1+\ln(x)\gt 0\) et \(h^{\prime}(x)=4x(1+\ln(x))\gt 0\) : \(h\) est strictement croissante et continue sur cet intervalle. Or \(h(\dfrac{1}{\text{e}})=\text{e}^{-2}(1-2)=-\text{e}^{-2}\lt 0\) et \(h(2)=4(1+2\ln(2))\gt 0\). D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, \(h\) s’annule une seule fois sur l’intervalle (en \(x=\text{e}^{-\frac{1}{2}}\approx 0{,}607\), solution de \(1+2\ln(x)=0\)). Réponse b.
5. On a \(h(\sqrt{\text{e}})=\text{e}(1+2\times \dfrac{1}{2})=2\text{e}\) et \(h^{\prime}(\sqrt{\text{e}})=4\sqrt{\text{e}}(1+\dfrac{1}{2})=6\sqrt{\text{e}}\). La tangente a pour équation :
\[y=6\sqrt{\text{e}}(x-\sqrt{\text{e}})+2\text{e}=6\sqrt{\text{e}}\,x-6\text{e}+2\text{e}=6\text{e}^{\frac{1}{2}}x-4\text{e}.\]
Réponse d.
6. On dérive \(h^{\prime}(x)=4x+4x\ln(x)\) : \(h^{\prime\prime}(x)=4+4\ln(x)+4x\times \dfrac{1}{x}=8+4\ln(x)=4(2+\ln(x))\). Cette expression est négative pour \(x\lt\text{e}^{-2}\), nulle en \(\text{e}^{-2}\approx 0{,}135\) et positive ensuite. \(h^{\prime\prime}\) s’annule en changeant de signe une seule fois sur \(]0\,;\,2]\) : la courbe a un seul point d’inflexion. Réponse b.
7. On calcule \(u_1=\dfrac{1}{2}\times 6+3=6=u_0\). Par une récurrence immédiate, si \(u_n=6\) alors \(u_{n+1}=3+3=6\) : tous les termes valent 6 (6 est le point fixe de \(x\mapsto \dfrac{1}{2}x+3\)). Réponse d.
| Question | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Réponse | c | b | c | b | d | b | d |
Exercice 3 :
Partie A
1. a. Quand \(x\) tend vers \(-\infty\), \(0{,}5x-2\) tend vers \(-\infty\), donc \(\text{e}^{0{,}5x-2}\) tend vers 0 (limite de l’exponentielle en \(-\infty\)). Comme \(1+x\) tend vers \(-\infty\), par somme \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\).
b. Pour \(x\neq 0\), on développe le membre de droite :
\[1+0{,}5x\times 2-0{,}5x\times \dfrac{\text{e}^{0{,}5x}}{0{,}5x}\times \text{e}^{-2}=1+x-\text{e}^{0{,}5x}\times \text{e}^{-2}=1+x-\text{e}^{0{,}5x-2}=f(x).\]
On pose \(X=0{,}5x\) : quand \(x\) tend vers \(+\infty\), \(X\) aussi, et par croissance comparée \(\dfrac{\text{e}^{X}}{X}\) tend vers \(+\infty\). Donc \(2-\dfrac{\text{e}^{0{,}5x}}{0{,}5x}\times \text{e}^{-2}\) tend vers \(-\infty\) (car \(\text{e}^{-2}\gt 0\)). Comme \(0{,}5x\) tend vers \(+\infty\), par produit la parenthèse multipliée par \(0{,}5x\) tend vers \(-\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty\).
2. a. La dérivée de \(x\mapsto \text{e}^{0{,}5x-2}\) est \(x\mapsto 0{,}5\,\text{e}^{0{,}5x-2}\) (forme \(u^{\prime}\text{e}^u\)). Donc, pour tout réel \(x\), \(f^{\prime}(x)=1-0{,}5\,\text{e}^{0{,}5x-2}\).
b. On résout, en utilisant la stricte croissance de la fonction \(\ln\) :
\[f^{\prime}(x)\lt 0\iff 0{,}5\,\text{e}^{0{,}5x-2}\gt 1\iff\text{e}^{0{,}5x-2}\gt 2\iff 0{,}5x-2\gt\ln(2)\iff x\gt 4+2\ln(2).\]
L’ensemble des solutions est bien \(]4+2\ln(2)\,;\,+\infty[\). De même, \(f^{\prime}(x)\gt 0\) pour \(x\lt 4+2\ln(2)\) et \(f^{\prime}\) s’annule en \(4+2\ln(2)\).
3. \(f\) est donc croissante sur \(]-\infty\,;\,4+2\ln(2)]\) et décroissante sur \([4+2\ln(2)\,;\,+\infty[\). Son maximum vaut, puisque \(0{,}5(4+2\ln(2))-2=\ln(2)\) :
\[f(4+2\ln(2))=1+4+2\ln(2)-\text{e}^{\ln(2)}=5+2\ln(2)-2=3+2\ln(2)\approx 4{,}39.\]
| \(x\) | \(-\infty\) | \(4+2\ln(2)\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| signe de \(f^{\prime}(x)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | ||
| variations de \(f\) | \(-\infty\) | \(\nearrow\) | \(3+2\ln(2)\) | \(\searrow\) | \(-\infty\) |
4. L’intervalle \([-1\,;\,0]\) est contenu dans \(]-\infty\,;\,4+2\ln(2)]\), où \(f\) est strictement croissante ; \(f\) y est aussi continue (car dérivable). On calcule :
\[f(-1)=1-1-\text{e}^{-0{,}5-2}=-\text{e}^{-2{,}5}\lt 0\qquad\text{et}\qquad f(0)=1-\text{e}^{-2}\approx 0{,}865\gt 0.\]
0 est compris entre \(f(-1)\) et \(f(0)\). D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (fonction continue et strictement monotone), l’équation \(f(x)=0\) admet une unique solution sur \([-1\,;\,0]\).
Partie B
1. a. Notons \(P(n)\) la propriété « \(u_n\leq\, u_{n+1}\leq\, 4\) ».
Initialisation. \(u_0=0\) et \(u_1=f(0)=1-\text{e}^{-2}\approx 0{,}865\). On a bien \(0\leq\, 0{,}865\leq\, 4\) : \(P(0)\) est vraie.
Hérédité. Supposons \(u_n\leq\, u_{n+1}\leq\, 4\) pour un entier \(n\). Les trois nombres \(u_n\), \(u_{n+1}\) et 4 sont dans \(]-\infty\,;\,4+2\ln(2)]\), intervalle sur lequel \(f\) est croissante : elle conserve donc l’ordre, et \(f(u_n)\leq\, f(u_{n+1})\leq\, f(4)\). Or \(f(4)=1+4-\text{e}^{0}=4\). On obtient \(u_{n+1}\leq\, u_{n+2}\leq\, 4\) : \(P(n+1)\) est vraie.
Conclusion. Par récurrence, \(u_n\leq\, u_{n+1}\leq\, 4\) pour tout entier naturel \(n\).
b. La suite \((u_n)\) est croissante (\(u_n\leq\, u_{n+1}\)) et majorée par 4. D’après le théorème de convergence monotone, elle converge vers un réel \(\ell\leq\, 4\).
2. a. On résout l’équation \(\ell=f(\ell)\) :
\[\ell=1+\ell-\text{e}^{0{,}5\ell-2}\iff\text{e}^{0{,}5\ell-2}=1\iff 0{,}5\ell-2=0\iff\ell=4.\]
L’équation n’a qu’une solution, donc \(\ell=4\).
b. La fonction part de \(u=u_0=0\) et \(n=0\), puis calcule les termes successifs \(u_1,u_2,\dots\) tant que le terme obtenu est inférieur ou égal à \(a\), en comptant les étapes dans \(n\). Elle renvoie donc le premier indice \(n\) pour lequel \(u_n\gt a\). Le résultat 12 signifie que \(u_{11}\leq\, 3{,}99\) et \(u_{12}\gt 3{,}99\) (numériquement \(u_{11}\approx 3{,}9855\) et \(u_{12}\approx 3{,}9927\)). Comme la suite est croissante, à partir du rang 12 tous les termes sont dans \(]3{,}99\,;\,4]\) : ils approchent la limite 4 à moins de 0,01 près.
Exercice 4 :
1. a. Le milieu R a pour coordonnées les moyennes des coordonnées de A et B : \((\dfrac{5+1}{2}\,;\,\dfrac{0+4}{2}\,;\,\dfrac{-1-1}{2})\), soit R\((3\,;\,2\,;\,-1)\). Et \(\vec{\text{AB}}\begin{pmatrix}1-5\\4-0\\-1-(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\4\\0\end{pmatrix}\).
b. Un plan de vecteur normal \(\vec{\text{AB}}\) a une équation de la forme \(-4x+4y+0z+d=0\). Il passe par R, donc \(-4\times 3+4\times 2+d=0\), soit \(d=4\). Une équation de \(\mathcal{P}_1\) est \(-4x+4y+4=0\) ; en divisant par \(-4\), on obtient \(x-y-1=0\).
c. Pour E : \(10-9-1=0\), donc E appartient à \(\mathcal{P}_1\). Ensuite \(\vec{\text{EA}}\begin{pmatrix}-5\\-9\\-9\end{pmatrix}\) et \(\vec{\text{EB}}\begin{pmatrix}-9\\-5\\-9\end{pmatrix}\), donc \(\text{EA}^2=25+81+81=187\) et \(\text{EB}^2=81+25+81=187\). Les distances étant positives, EA = EB \(=\sqrt{187}\).
2. a. Un vecteur normal à \(\mathcal{P}_1\) est \(\vec{n_1}\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}\) et un vecteur normal à \(\mathcal{P}_2\) est \(\vec{n_2}\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\). Ces vecteurs ne sont pas colinéaires (la troisième coordonnée de \(\vec{n_1}\) est nulle, pas celle de \(\vec{n_2}\)). Les plans ne sont donc pas parallèles : ils sont sécants selon une droite.
b. Soit M\((2+t\,;\,1+t\,;\,t)\) un point de la droite proposée. Il vérifie l’équation de \(\mathcal{P}_1\) : \((2+t)-(1+t)-1=0\), et celle de \(\mathcal{P}_2\) : \((2+t)-t-2=0\). La droite proposée est donc contenue dans les deux plans, c’est-à-dire dans leur intersection \(\Delta\). Comme \(\Delta\) est une droite, les deux droites sont confondues : le système donné est une représentation paramétrique de \(\Delta\).
3. Un vecteur directeur de \(\Delta\) est \(\vec{v}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\) et un vecteur normal à \(\mathcal{P}_3\) est \(\vec{n_3}\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\). Comme \(\vec{v}\cdot\vec{n_3}=0+1+1=2\neq 0\), la droite n’est pas parallèle au plan : elle le coupe en un point. On remplace dans l’équation de \(\mathcal{P}_3\) :
\[(1+t)+t-3=0\iff 2t=2\iff t=1.\]
Le point d’intersection est \(\Omega(3\,;\,2\,;\,1)\).
4. a. \(\Omega\) appartient à \(\Delta\), donc à \(\mathcal{P}_1\) et \(\mathcal{P}_2\), et il appartient à \(\mathcal{P}_3\). Comme \(\mathcal{P}_1\) est le plan médiateur de [AB], \(\Omega\text{A}=\Omega\text{B}\) ; comme \(\mathcal{P}_2\) est celui de [AC], \(\Omega\text{A}=\Omega\text{C}\) ; comme \(\mathcal{P}_3\) est celui de [AD], \(\Omega\text{A}=\Omega\text{D}\). Donc \(\Omega\text{A}=\Omega\text{B}=\Omega\text{C}=\Omega\text{D}\).
b. Les quatre points sont à la même distance \(\Omega\text{A}\) de \(\Omega\). Avec \(\vec{\Omega\text{A}}\begin{pmatrix}2\\-2\\-2\end{pmatrix}\), on trouve \(\Omega\text{A}=\sqrt{4+4+4}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\). On peut contrôler avec \(\vec{\Omega\text{D}}\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}\) : même longueur. Ainsi A, B, C et D appartiennent à la sphère de centre \(\Omega(3\,;\,2\,;\,1)\) et de rayon \(2\sqrt{3}\).
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