Secciones planas de sólidos: clase de matemáticas de 3º curso.

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Curso de matemáticas de 9º curso sobre volúmenes de sólidos y secciones de sólidos en el espacio. En esta lección, veremos el área de figuras (rectángulo, paralelogramo, trapecio) y las fórmulas para calcular el volumen de una pirámide, un cilindro de revolución o una pelota. Después, en un segundo paso, realizaremos secciones de sólidos por un plano y haremos cálculos con los conceptos de reducción y ampliación.

I. Fórmulas de áreas de figuras y volúmenes de sólidos :

1.fórmulas de superficie de las figuras :

fórmulas de área

2.Forma de los volúmenes de sólidos :

fórmulas de volumen

II. Secciones planas de superficies :

Definición:
En geometría, la intersección entre un sólido y un plano se denomina sección plana.

sección sólida

1. Sección de una bola por un plano :

Propiedad:
La sección de una bola a través de un plano es un disco.
Cuando el plano pasa por el centro de la bola, la sección es un disco del mismo centro y radio.

sección esfera

2. sección de un bloque derecho por un plano

Propiedad:
La sección de un bloque recto por un plano paralelo a una cara es un rectángulo.

sección derecha del bloque

Propiedad:
La sección de un bloque recto por un plano paralelo a una arista es un rectángulo.

sección derecha del bloque

3.sección de un cilindro de revolución por un plano :

Propiedad:
La sección de un cilindro de revolución de radio R por un plano paralelo a las bases es un disco de radio R.

sección del cilindro

4.sección de una pirámide por un plano :

Propiedad:
La sección de una pirámide por un plano paralelo a la base es un polígono que tiene la forma
misma forma que la base.

sección piramidal

Sección de un cono de revolución por un plano :

Propiedad:
La sección de un cono de revolución por un plano paralelo a la base es un disco cuyo centro pertenece a la altura de dicho cono.

sección de cono

III. Ampliaciones y reducciones sólidas:

Definición:
Consideremos una sección plana paralela a una base.
Obtenemos una reducción (o una ampliación ) del sólido.
Cuando dos figuras tienen la misma forma, podemos calcular el siguiente coeficiente:
El coeficiente de reducción, denominado k, viene dado por la fórmula:k=\frac{longueur\,finale}{longueur\,\,initiale} >0.
Propiedad:

Consideremos una ampliación (o reducción) de la proporción k.

  • Si k>1 entonces se trata de una ampliación;
  • Si k<1 entonces es una reducción.
Propiedad:

Al ampliar (o reducir) la relación k :

  • las longitudes se multiplican por k ;
  • las superficies se multiplican por k^2;
  • los volúmenes se multiplican por k^3.

Por ejemplo:

Consideremos la pirámide de base ABCD y sección IJKL paralela a su base.

Sabemos que SJ= 6 cm; SB = 10 cm; A_{ABCD}=24_,cm^2.

Calcula el área de la sección IJKL.

sección piramidal

El coeficiente de reducción es k=\frac{SJ}{SB}=\frac{6}{10}=0,6<1.

Tenemos:

A_{IJKL}=k^2\times \,A_{ABCD}\\A_{IJKL}=0,6^2\times \,24\,\\A_{IJKL}=8,64\,cm^2

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