Sommaire de cette fiche
Conocimientos necesarios para este capítulo :
de dos suites.
para determinar el límite de una secuencia.
I. Límite de una función en el infinito
A lo largo de esta sección, es la curva representativa de la función f en un plano cualquiera.
1. Límite finito en el infinito
La función f tiene límite ℓ en
de f (x) para x suficientemente grande. Entonces observamos:
Por ejemplo:
Sea f la función definida en por . Tenemos .
En efecto, la inversa de x se aproxima a 0 a medida que x aumenta.
Sea un intervalo abierto I tal que . Entonces f (x) siempre estará en I para x suficientemente grande.
Gráficamente, por estrecha que sea una banda paralela a la recta de ecuación y = 1 y que
contiene, siempre hay un valor de x a partir del cual ya no sale de esta banda.
Nota:
Análogamente, definimos que caracteriza una asíntota horizontal en
en
de la ecuación y = ℓ.
Por ejemplo:
Hemos visto anteriormente que . También tenemos
.
Por tanto, la recta de ecuación y = 1 es asíntota horizontal a la curva en
y en
.
II. Límite infinito en el infinito
todos los valores de f (x) para x suficientemente grande. Entonces observamos:
Por ejemplo:
Sea f la función raíz cuadrada. Tenemos.
De hecho, se hace tan grande como se quiera a medida que x aumenta.
Sea un intervalo abierto . Entonces f (x) siempre estará en I para x suficientemente grande.
Gráficamente, si consideramos la mitad superior del plano límite una recta con ecuación
y = a, siempre existe un valor de a a partir del cual ya no sale de este semiplano.
2. Límite infinito en un real
La función f tiene el límite
los valores de f (x) para x suficientemente próximos a
III. Operaciones en las fronteras.
IV. Límite de una función compuesta
1. Función compuesta
El compuesto de f seguido de g es la función
Nota:
No hay que confundir y
, ya que suelen ser diferentes.
2. Teorema de composición límite
Si
V. Limitaciones y comparación
1. Teorema de comparación
2. El llamado teorema del encuadre «gendarme» o «sandwich».
Si
Nota:
Al igual que con el teorema de comparación anterior, tenemos dos teoremas
análoga cuando x tiende a – y cuando x tiende a un real
.
Por ejemplo:
Determinemos el límite en – de
.
El límite de cos x en – es indeterminado. Lo mismo ocurre con f (x).
Sin embargo, para cualquier x real estrictamente negativo, así
.
Y dividiendo miembro por miembro por tenemos :
.
Para ,
.
Ahora, .
Por lo tanto, según el teorema de Gendarmes,.
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