Límites y asíntotas: curso de matemáticas de bachillerato.

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Límites (suma, producto, cociente) en un curso superior de matemáticas con el estudio de formas indeterminadas. En esta lección realizaremos un estudio de las asíntotas horizontales, verticales y oblicuas en el último curso de secundaria obligatoria.
Conocimientos necesarios para este capítulo :
\star\, Determinar el límite posible de una sucesión geométrica.
\star\, Investigar el límite de una suma, producto o cociente
de dos suites.
\star\, Utilizar un teorema de comparación o encuadre
para determinar el límite de una secuencia.
\star\, Establecer (por derivación o no) las variaciones de una función.

I. Límite de una función en el infinito

A lo largo de esta sección, C_f es la curva representativa de la función f en un plano cualquiera.

1. Límite finito en el infinito

Definición:
Sea f una función definida al menos en un intervalo de \mathbb{R} del tipo %5Da\,;\,+\infty%5B.
La función f tiene límite ℓ en +\infty si cualquier intervalo abierto que contenga a ℓ contiene a todas las
de f (x) para x suficientemente grande. Entonces observamos: \lim_{x\to\,+\infty}f\,(x)\,=\,l.

Por ejemplo:

Sea f la función definida en por . Tenemos \lim_{x\to\,+\infty}\,(\,\frac{1}{x}+1\,\,)\,=\,1.
En efecto, la inversa de x se aproxima a 0 a medida que x aumenta.
Sea un intervalo abierto I tal que 1\in\,I. Entonces f (x) siempre estará en I para x suficientemente grande.
Gráficamente, por estrecha que sea una banda paralela a la recta de ecuación y = 1 y que
contiene, siempre hay un valor de x a partir del cual C_f ya no sale de esta banda.

Límite de funciones

Asíntota horizontal.
La recta de ecuación y = ℓ es asíntota horizontal a C_f en +\infty si \lim_{x\to\,+\infty}f\,(x)\,=\,l.

Nota:

Análogamente, definimos \lim_{x\to\,-\infty}f\,(x)\,=\,l que caracteriza una asíntota horizontal en C_f en -\infty de la ecuación y = ℓ.

Por ejemplo:

Hemos visto anteriormente que \lim_{x\to\,+\infty}\,(\,\frac{1}{x}+1\,\,)\,=\,1. También tenemos \lim_{x\to\,-\infty}\,(\,\frac{1}{x}+1\,\,)\,=\,1.
Por tanto, la recta de ecuación y = 1 es asíntota horizontal a la curva C_f en +\infty y en -\infty.

Propiedad (admitida): límites finitos de funciones usuales en ± \infty.
Sea n un número natural distinto de cero.
\lim_{x\to\,+\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}=\lim_{x\to\,+\infty}\frac{1}{x^n}=0 y .

II. Límite infinito en el infinito

Definición:
La función f tiene el límite +\infty en +\infty si cualquier intervalo de \mathbb{R} del tipo %5Da\,;\,+\infty%5B contiene
todos los valores de f (x) para x suficientemente grande. Entonces observamos: \lim_{x\to\,+\infty}f\,(x)\,=\,+\infty.

Por ejemplo:

Sea f la función raíz cuadrada. Tenemos\lim_{x\to\,+\infty}\,\sqrt{x}\,=\,+\infty.
De hecho, \sqrt{x} se hace tan grande como se quiera a medida que x aumenta.
Sea un intervalo abierto I\,=%5Da\,;\,+\infty%5B. Entonces f (x) siempre estará en I para x suficientemente grande.
Gráficamente, si consideramos la mitad superior del plano límite una recta con ecuación
y = a, siempre existe un valor de a a partir del cual C_f ya no sale de este semiplano.

Curva de función de raíz cuadrada.

Propiedad (admitida): límites infinitos de funciones usuales en ±\infty.
Sea n un número natural distinto de cero.
\lim_{x\to\,+\infty}\sqrt{x}=\lim_{x\to\,+\infty}x^n=+\infty y \lim_{x\to\,-\infty}x^n=0\,(+\infty\,\,si\,\,n\,pair\,;\,-\infty\,si\,\,n\,impair\,).

2. Límite infinito en un real

Definición:
Sea f una función definida en un intervalo abierto de \mathbb{R} del tipo %5Dx_0\,-\varepsilon\,;\,x_0%5B o %5Dx_0\,;\,x_0+\varepsilon%5B.
La función f tiene el límite +\infty en x_0 si cualquier intervalo de \mathbb{R} del tipo %5DA\,;\,+\infty%5B contiene todo
los valores de f (x) para x suficientemente próximos a x_0. Entonces observamos: \lim_{x\to\,x_0}f\,(x)\,=\,+\infty.
Definición: asíntota vertical.
La recta con ecuación x=x_0 es verticalmente asintótica a C_f si \lim_{x\to\,x_0}f\,(x)\,=\,+\infty o \lim_{x\to\,x_0}f\,(x)\,=\,-\infty.
Propiedad (admitida): límites finitos de funciones usuales en 0.
Sea n un número natural distinto de cero.
\lim_{x\to\,0^+}\frac{1}{\sqrt{x}}=\lim_{x\to\,0^+}\frac{1}{x^n}=+\infty y \lim_{x\to\,0^+}\frac{1}{x^n}=0\,(+\infty\,\,si\,\,n\,pair\,;\,-\infty\,si\,\,n\,impair\,).

III. Operaciones en las fronteras.

Propiedad: límite de una suma, producto y cociente de dos funciones.

límite-suma-cociente

IV. Límite de una función compuesta

1. Función compuesta

Definición:
Sea f una función definida en E con valores en F, y sea g una función definida en F.
El compuesto de f seguido de g es la función g\,o\,f definida en E por g\,o\,f\,(x)\,=\,g(\,f\,(x)).

Nota:

No hay que confundir g\,o\,f y fo\,g, ya que suelen ser diferentes.

2. Teorema de composición límite

Teorema :
Sea h el compuesto de la función f seguida de g y a, b y c tres reales o ± \infty.
Si \lim_{x\to\,a}f\,(x)\,=\,b y \lim_{x\to\,b}g\,(x)\,=\,c, entonces \lim_{x\to\,a}h\,(x)\,=\,c.

V. Limitaciones y comparación

1. Teorema de comparación

Teorema :

Teorema de comparación

2. El llamado teorema del encuadre «gendarme» o «sandwich».

Teorema :
Sean dos reales a y ℓ y tres funciones f , g y h tales que, para x > a, tenemos f\,(x)\,\leq\,\,g(x)\,\leq\,\,h(x).
Si \lim_{x\to\,+\infty}f\,(x)\,=\lim_{x\to\,+\infty}h\,(x)\,=\,l, entonces \lim_{x\to\,+\infty}g\,(x)\,=l.

Nota:

Al igual que con el teorema de comparación anterior, tenemos dos teoremas
análoga cuando x tiende a –\infty y cuando x tiende a un real x_0.

Por ejemplo:

Determinemos el límite en –\infty de f\,(x)\,=\,\frac{x\,cos\,x\,}{x^2\,+\,1}.
El límite de cos x en –\infty es indeterminado. Lo mismo ocurre con f (x).
Sin embargo, para cualquier x real estrictamente negativo, -1\,\leq\,\,cos\,x\,\leq\,\,1 así x\,\leq\,\,x\,cos\,x\,\leq\,\,-x.
Y dividiendo miembro por miembro por x^2\,+\,1\,>\,0 tenemos :
\frac{x}{x^2+1}\leq\,\,\frac{x\,cos\,x}{x^2+1}\leq\,\,\frac{-x}{x^2+1}.

Para x\,\in\,R\,^*,\frac{x}{x^2\,+\,1}=\frac{1}{x+\frac{1}{x}}.

Ahora, \lim_{x\to\,-\infty}x+\frac{1}{x}=-\infty. \lim_{x\to\,-\infty}\frac{x}{x^2\,+\,1}=\lim_{x\to\,-\infty}\frac{-x}{x^2\,+\,1}=0

Por lo tanto, según el teorema de Gendarmes,\lim_{x\to\,-\infty}\frac{x\,cos\,x\,}{x^2\,+\,1}=0.

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