Límites y asíntotas: curso de matemáticas de bachillerato.

curso de matemáticas en el último año de bachillerato

Sommaire de cette fiche

1 I. Límite de una función en el infinito
- 1.1 1. Límite finito en el infinito
2 II. Límite infinito en el infinito
- 2.1 2. Límite infinito en un real
3 III. Operaciones en las fronteras.
4 IV. Límite de una función compuesta
- 4.1 1. Función compuesta
- 4.2 2. Teorema de composición límite
5 V. Limitaciones y comparación
- 5.1 1. Teorema de comparación
- 5.2 2. El llamado teorema del encuadre «gendarme» o «sandwich».

Límites (suma, producto, cociente) en un curso superior de matemáticas con el estudio de formas indeterminadas. En esta lección realizaremos un estudio de las asíntotas horizontales, verticales y oblicuas en el último curso de secundaria obligatoria.
Conocimientos necesarios para este capítulo :
$\star\,$ Determinar el límite posible de una sucesión geométrica.
$\star\,$ Investigar el límite de una suma, producto o cociente
de dos suites.
$\star\,$ Utilizar un teorema de comparación o encuadre
para determinar el límite de una secuencia.
$\star\,$ Establecer (por derivación o no) las variaciones de una función.

I. Límite de una función en el infinito

A lo largo de esta sección, es la curva representativa de la función f en un plano cualquiera.

1. Límite finito en el infinito

Definición:

Sea f una función definida al menos en un intervalo de $\mathbb{R}$ del tipo $%5Da\,;\,+\infty%5B$ .
La función f tiene límite ℓ en $+\infty$ si cualquier intervalo abierto que contenga a ℓ contiene a todas las
de f (x) para x suficientemente grande. Entonces observamos: $\lim_{x\to\,+\infty}f\,(x)\,=\,l$ .

Por ejemplo:

Sea f la función definida en por . Tenemos $\lim_{x\to\,+\infty}\,(\,\frac{1}{x}+1\,\,)\,=\,1$ .
En efecto, la inversa de x se aproxima a 0 a medida que x aumenta.
Sea un intervalo abierto I tal que $1\in\,I$ . Entonces f (x) siempre estará en I para x suficientemente grande.
Gráficamente, por estrecha que sea una banda paralela a la recta de ecuación y = 1 y que
contiene, siempre hay un valor de x a partir del cual ya no sale de esta banda.

Asíntota horizontal.

La recta de ecuación y = ℓ es asíntota horizontal a

en $+\infty$ si $\lim_{x\to\,+\infty}f\,(x)\,=\,l$ .

Nota:

Análogamente, definimos $\lim_{x\to\,-\infty}f\,(x)\,=\,l$ que caracteriza una asíntota horizontal en en $-\infty$ de la ecuación y = ℓ.

Por ejemplo:

Hemos visto anteriormente que $\lim_{x\to\,+\infty}\,(\,\frac{1}{x}+1\,\,)\,=\,1$ . También tenemos $\lim_{x\to\,-\infty}\,(\,\frac{1}{x}+1\,\,)\,=\,1$ .
Por tanto, la recta de ecuación y = 1 es asíntota horizontal a la curva en $+\infty$ y en $-\infty$ .

Propiedad (admitida): límites finitos de funciones usuales en ± $\infty$ .

Sea n un número natural distinto de cero.
$\lim_{x\to\,+\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}=\lim_{x\to\,+\infty}\frac{1}{x^n}=0$

y .

II. Límite infinito en el infinito

Definición:

La función f tiene el límite $+\infty$ en $+\infty$ si cualquier intervalo de $\mathbb{R}$ del tipo $%5Da\,;\,+\infty%5B$ contiene
todos los valores de f (x) para x suficientemente grande. Entonces observamos: $\lim_{x\to\,+\infty}f\,(x)\,=\,+\infty$

Por ejemplo:

Sea f la función raíz cuadrada. Tenemos $\lim_{x\to\,+\infty}\,\sqrt{x}\,=\,+\infty$ .
De hecho, $\sqrt{x}$ se hace tan grande como se quiera a medida que x aumenta.
Sea un intervalo abierto $I\,=%5Da\,;\,+\infty%5B$ . Entonces f (x) siempre estará en I para x suficientemente grande.
Gráficamente, si consideramos la mitad superior del plano límite una recta con ecuación
y = a, siempre existe un valor de a a partir del cual ya no sale de este semiplano.

Propiedad (admitida): límites infinitos de funciones usuales en ± $\infty$ .

Sea n un número natural distinto de cero.
$\lim_{x\to\,+\infty}\sqrt{x}=\lim_{x\to\,+\infty}x^n=+\infty$

y $\lim_{x\to\,-\infty}x^n=0\,(+\infty\,\,si\,\,n\,pair\,;\,-\infty\,si\,\,n\,impair\,).$

2. Límite infinito en un real

Definición:

Sea f una función definida en un intervalo abierto de $\mathbb{R}$ del tipo $%5Dx_0\,-\varepsilon\,;\,x_0%5B$ o $%5Dx_0\,;\,x_0+\varepsilon%5B$ .
La función f tiene el límite $+\infty$ en

si cualquier intervalo de $\mathbb{R}$ del tipo $%5DA\,;\,+\infty%5B$ contiene todo
los valores de f (x) para x suficientemente próximos a

. Entonces observamos: $\lim_{x\to\,x_0}f\,(x)\,=\,+\infty$

Definición: asíntota vertical.

La recta con ecuación

es verticalmente asintótica a

si $\lim_{x\to\,x_0}f\,(x)\,=\,+\infty$

o $\lim_{x\to\,x_0}f\,(x)\,=\,-\infty$

Propiedad (admitida): límites finitos de funciones usuales en 0.

Sea n un número natural distinto de cero.
$\lim_{x\to\,0^+}\frac{1}{\sqrt{x}}=\lim_{x\to\,0^+}\frac{1}{x^n}=+\infty$

y $\lim_{x\to\,0^+}\frac{1}{x^n}=0\,(+\infty\,\,si\,\,n\,pair\,;\,-\infty\,si\,\,n\,impair\,).$

III. Operaciones en las fronteras.

Propiedad: límite de una suma, producto y cociente de dos funciones.

IV. Límite de una función compuesta

1. Función compuesta

Definición:

Sea f una función definida en E con valores en F, y sea g una función definida en F.
El compuesto de f seguido de g es la función $g\,o\,f$ definida en E por $g\,o\,f\,(x)\,=\,g(\,f\,(x))$ .

Nota:

No hay que confundir $g\,o\,f$ y $fo\,g$ , ya que suelen ser diferentes.

2. Teorema de composición límite

Teorema :

Sea h el compuesto de la función f seguida de g y a, b y c tres reales o ± $\infty$ .
Si $\lim_{x\to\,a}f\,(x)\,=\,b$ y $\lim_{x\to\,b}g\,(x)\,=\,c$ , entonces $\lim_{x\to\,a}h\,(x)\,=\,c$ .

V. Limitaciones y comparación

1. Teorema de comparación

Teorema :

2. El llamado teorema del encuadre «gendarme» o «sandwich».

Teorema :

Sean dos reales a y ℓ y tres funciones f , g y h tales que, para x > a, tenemos $f\,(x)\,\leq\,\,g(x)\,\leq\,\,h(x)$ .
Si $\lim_{x\to\,+\infty}f\,(x)\,=\lim_{x\to\,+\infty}h\,(x)\,=\,l$

, entonces $\lim_{x\to\,+\infty}g\,(x)\,=l$ .

Nota:

Al igual que con el teorema de comparación anterior, tenemos dos teoremas
análoga cuando x tiende a – $\infty$ y cuando x tiende a un real .

Por ejemplo:

Determinemos el límite en – $\infty$ de $f\,(x)\,=\,\frac{x\,cos\,x\,}{x^2\,+\,1}$ .
El límite de cos x en – $\infty$ es indeterminado. Lo mismo ocurre con f (x).
Sin embargo, para cualquier x real estrictamente negativo, $-1\,\leq\,\,cos\,x\,\leq\,\,1$ así $x\,\leq\,\,x\,cos\,x\,\leq\,\,-x$ .
Y dividiendo miembro por miembro por $x^2\,+\,1\,>\,0$ tenemos :
$\frac{x}{x^2+1}\leq\,\,\frac{x\,cos\,x}{x^2+1}\leq\,\,\frac{-x}{x^2+1}$ .

Para $x\,\in\,R\,^*$ , $\frac{x}{x^2\,+\,1}=\frac{1}{x+\frac{1}{x}}$ .

Ahora, $\lim_{x\to\,-\infty}x+\frac{1}{x}=-\infty$ . $\lim_{x\to\,-\infty}\frac{x}{x^2\,+\,1}=\lim_{x\to\,-\infty}\frac{-x}{x^2\,+\,1}=0$

Por lo tanto, según el teorema de Gendarmes, $\lim_{x\to\,-\infty}\frac{x\,cos\,x\,}{x^2\,+\,1}=0$ .

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