Historia de las matemáticas

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La historia de las matemáticas se remonta a miles de años atrás, con pruebas del uso de sistemas numéricos y medidas en civilizaciones antiguas como la egipcia y la mesopotámica. Las matemáticas han seguido evolucionando a lo largo de los siglos, con avances en muchas áreas, como la geometría, el álgebra y las ciencias naturales.

Uno de los primeros grandes avances de las matemáticas fue la aparición de la geometría euclidiana en la antigua Grecia. El matemático griego Euclides definió los conceptos de punto, línea, plano y espacio, así como las reglas para dibujar figuras geométricas y calcular sus propiedades. Estos conceptos han proporcionado una base sólida para muchos otros desarrollos de las matemáticas a lo largo de los siglos.

En la Edad Media, matemáticos como Al-Khwarizmi y Fibonacci contribuyeron a la evolución del álgebra introduciendo conceptos como los números arábigos y la notación posicional. Estos avances permitieron resolver problemas más complejos mediante operaciones matemáticas, como la suma, la resta, la multiplicación y la división.

A lo largo de los siglos, las matemáticas han seguido evolucionando y expandiéndose hacia nuevas áreas. En la época moderna, matemáticos como Isaac Newton y René Descartes han contribuido a la evolución de la física utilizando conceptos matemáticos para explicar las leyes de la naturaleza. Otros matemáticos, como Leonhard Euler y Pierre-Simon Laplace, contribuyeron a la evolución de las ciencias naturales utilizando herramientas matemáticas para modelizar fenómenos complejos.

Hoy en día, las matemáticas siguen desempeñando un papel crucial en muchos campos, como la ciencia, la ingeniería, las finanzas y la tecnología. Las matemáticas se utilizan para resolver problemas complejos, modelizar fenómenos naturales y desarrollar nuevas tecnologías. Las matemáticas son también una materia de estudio en sí misma, con muchas ramas y subdisciplinas, cada una de las cuales explora diferentes aspectos de la ciencia de los números y los cálculos.

La leyenda del ajedrez (3000 a.C.)

Según la leyenda, el origen del juego del ajedrez se remonta a unos 3000 años antes de Cristo.

El rey de la India, Belkib, estaba muy aburrido y buscaba una distracción. Para motivar a sus súbditos a encontrarle un pasatiempo satisfactorio, prometió una recompensa excepcional a quien consiguiera entretenerle. Fue entonces cuando el brahmán Sissa, conocido como el sabio, le regaló el juego de ajedrez. El rey Belkib quedó asombrado y, como recompensa, le dio a Sissa todo lo que quisiera.

Este último respondió entonces:

«Coloca un grano de trigo en la primera casilla, dos en la segunda, cuatro en la tercera, ocho en la cuarta, y así sucesivamente, duplicando el número de granos hasta llegar a la última de las 64 casillas del tablero.
.
1) El monarca accedió inmediatamente a esta petición, que consideró descabellada. Sin hacer cálculos, haz una estimación arbitraria del número total de granos de trigo que hay que colocar en el tablero.
2) Utilizando potencias de dos, expresa el número de granos de trigo que hay que colocar en las casillas 5ª y 10ª. Deduce el número de granos de trigo de la casilla 64. Estima este número utilizando un ordenador.
3) Comprueba que las siguientes ecuaciones son correctas:
i.2^0+2^1=2^2-1
ii.2^0+2^1+2^2=2^3-1
iii.2^0+2^1+2^2+2^3=2^4-1
4) Deduce el número total de granos de trigo que hay que colocar en el tablero. Estima este número utilizando un ordenador.
5) Jonathan quiere representar este número en términos concretos. Para ello, calcula que 30 granos de trigo ocupan un volumen de 1\,cm^3. Además, el área de la superficie del tablero de ajedrez es igual a 900 Dado que es imposible disponer un gran número de granos de trigo en columnas en un solo cuadrado, supondremos que el número total de granos de trigo se vierte en un bloque derecho cuya base es el tablero de ajedrez y cuya altura se desconoce.

Calcula la altura de este bloque derecho.
6) Compara esta altura con la distancia de la Tierra a la Luna.
7) Según la FAO (Organización de las Naciones Unidas para la Agricultura y la Alimentación), Francia produce una media de 40 millones de toneladas de trigo al año. ¿Cuántos años tardarán los productores franceses en satisfacer la petición del rey Belkib?
8) ¿Qué te parece la respuesta solicitada por Sissa?

Juego de ajedrez
Juego de ajedrez

Las lúnulas de Hipócrates de Quío (siglo V a.C.)

La siguiente figura se ha obtenido a partir del siguiente programa de construcción:
1 Construye un segmento [AB].
2 Construye el semicírculo de diámetro [AB].
3 Sitúa un punto C cualquiera en este semicírculo.
4 Construye los segmentos [AC] y [BC].
5 Construye los semicírculos de diámetro [AC] y [BC].
El área de cada parte coloreada se indica como d,e,f,g,h.

lúnulas de Hipócrates
lúnulas de Hipócrates

1) ¿Cuál es la naturaleza del triángulo ABC? Justifica.
2) El objetivo de esta pregunta es demostrar que (d+f)+(e+g)=f+g+h.

Las siguientes preguntas hacen un uso extensivo del cálculo literal.

a) El radio del semicírculo de diámetro [AC] es igual a ?
b) Recuerda la fórmula del área de un círculo de radio R: \pi\times  ,R^2.
Por lo tanto, tenemos: d+f = ?
c) Análogamente, el radio del semicírculo de diámetro [BC] es igual a ?
d) Por lo tanto, tenemos: e+g = ?
e) Se puede deducir que: (d+f)+(e+g)= ?
f) Análogamente, el radio del semicírculo de diámetro [AB] es igual a ?
g) Por lo tanto, tenemos: f+g+h = ?
h) Concluye utilizando la pregunta 1.

Un problema de Euclides (siglo III a.C.)

Euclides, matemático de la antigua Grecia y autor de los Elementos, demostró el siguiente resultado:
«Las rectas que unen dos vértices opuestos de un paralelogramo en el centro de los lados opuestos dividen el
diagonal que une otros dos vértices en tres partes iguales.

El problema de Euclides
El problema de Euclides

1. Demuestra que el cuadrilátero IBJD es un paralelogramo.
2. Utiliza el triángulo ALB para demostrar que G es el punto medio de [AL].
3. Elige el triángulo apropiado para demostrar que L es el punto medio de [GC].
4. Deduce que GA=GL=LC.

¿Quién era Euclides?

Matemático de la antigua Grecia, vivió en Alejandría entre -325 y -265.
Su tratado matemático Los Elementos ha sido considerado la obra más importante de su género.
referencia hasta principios del siglo XX, y a veces le valió el
apodo del padre de la geometría. Se trata de una colección de trece libros en
en el que Euclides intenta exponer con rigor el conjunto de conocimientos
de su tiempo utilizando un sistema hipotético-deductivo en el que las propiedades y
Los teoremas se demuestran a partir de definiciones y axiomas básicos.

Epitafio de Diofanto (siglo III)

Epitafio de Diofanto (siglo III)
Un epitafio es una inscripción grabada en una tumba.
Cuenta la leyenda que en la tumba del matemático Diofanto estaba escrito:

«Pasando bajo esta tumba yace Diofanto.
Estos pocos versos trazados por una mano erudita
Te haré saber a qué edad murió.
Hubo muchos días en los que tuvo que enfrentarse a su destino,
El sexto marcó la época de su infancia.
La duodécima se la llevó su adolescencia.
De las siete partes de su vida, una más pasó,
Entonces, habiéndose casado, su mujer le dio
Cinco años después de un hijo, que, de la suerte severa,
Recibió, por desgracia, la mitad de días que su padre.
Por cuatro años, entre lágrimas, éste sobrevivió.
Di, si sabes contar, a qué edad murió.

¡Responde a la pregunta!

¿Quién era Diofanto?

Diofanto vivió en Alejandría en el siglo III. Es autor de la Aritmética, obra que influyó considerablemente en los matemáticos árabes y renacentistas en el desarrollo del álgebra, lo que le valió el título de padre del álgebra. Es conocido por su estudio de las llamadas ecuaciones de Diofantina, que aún hoy figuran en los planes de estudios de ciencias. Su famoso epitafio aparece por primera vez en la Antología Palatina de Metrodoro, en el siglo VI.

La fuente de Fibonacci (1175-1240)

El siguiente problema se inspira en el «Liber abbaci» (libro del ábaco) publicado por Fibonacci en 1202.
Consideramos dos torres separadas 50 pasos. El primero tiene una altura de 30 escalones y el segundo de 40. Entre las dos torres hay una fuente con dos pájaros que vuelan hacia ella desde cada torre. Los pájaros salen al mismo tiempo, vuelan a la misma velocidad y llegan a la fuente al mismo tiempo.
¿A qué distancia de cada torre está la fuente?

Fuente de Fibonacci
Fuente de Fibonacci

1) Compara las distancias AE y CE.
2) Expresar DE^2 en función de CE y CD , luego en función de AE y CE .
3) Expresa DE en función de BD y BE. Utilizando esta expresión para DE, expande DE^2.
4) A partir de las preguntas anteriores, deduce la relación :

100\times  ,BE=50^2+40^2-30^2
5) Resuelve el problema.

¿Quién era Fibonacci?

Leonardo de Pisa, más conocido como Fibonacci, fue un matemático italiano. Su «Liber abbaci», publicado en 1202, contribuyó a difundir en Occidente la ciencia matemática de árabes y griegos.

Un poema de Nicolas Boileau-Despréaux (1636-1711)

Nicolas Boileau-Despréaux fue un poeta, escritor y crítico francés. El siguiente poema es a la vez original y pesimista, porque pinta un cuadro particularmente laborioso de la vida.
Completa el tiempo que falta en este poema y averigua cuánto tiempo bueno cree el autor que pasa el hombre en un día.

El hombre cuya vida entera
Tiene noventa y seis años
Duerme durante un tercio de su carrera,
Es sólo _________.
Añadir por enfermedad, demandas, viajes, accidentes
Al menos una cuarta parte de la vida,
Son otros dos _________ años.
Dos horas de estudio al día
O funciona – hacer _________ años,
Penas negras, preocupaciones –
Para el doble hacer _________ años.
Para el caso que nos ocupa
Media hora, – todavía _________ años.
Cinco cuartos de hora de aseo:
Barba, etc. – _________.
Por día para comer y beber
Dos horas es _________.
Esto lleva la breve
Hasta los noventa y cinco años.
Aún queda un año
Qué hacen los pájaros en primavera.
En un día determinado, el hombre tiene
_________ de buenos tiempos.

Nicolas Boileau-Despréaux
Nicolas Boileau-Despréaux

Teorema de Varignon (1654-1722)

Consideremos un cuadrilátero ABCD.

Sean I,J,K,L los puntos medios de los lados [AB],[BC],[CD],[DA].

Teorema de Varignon
Teorema de Varignon

1. ¿Qué conjetura se puede hacer sobre la naturaleza del cuadrilátero IJKL?
2. Demuestre que las rectas (IL) y (BD) son paralelas.
3. Demuestra que las rectas (JK) y (BD) son paralelas.
4. Demuestra la conjetura de la pregunta 1.
5. Enuncie el teorema de Varignon.
6. ¿Qué ocurre si AC=BD?
7. ¿Qué ocurre si las rectas (AC) y (BD) son perpendiculares?

¿Quién era Varignon?

Pierre Varignon (1654-1722) fue un matemático francés. Era
particularmente famoso en Francia por haber adoptado, con el Marqués de
En el hospital, la teoría del cálculo infinitesimal de Isaac Newton. También fue
conocido en su época por su tratado de ciencia física en el que exponía las
La regla de composición de fuerzas concurrentes. Hoy en día, no es
conocido más en los institutos que por su famoso
paralelogramo.

La fórmula de Gauss (1777-1855)

Se dice que a la edad de 10 años, Gauss determinó un método hasta entonces desconocido para calcular muy rápidamente la suma de los cien primeros números enteros: 1+2+3+4+5+6+….+98+99+100.

Su método tuvo tanto éxito que Gauss fue capaz de hacer el cálculo más rápido que su profesor. El objetivo de este ejercicio es utilizar una hoja de cálculo para comprender el truco de Gauss.

1) En la primera columna (A) de la hoja de cálculo, introduzca la lista de los 100 primeros números enteros en orden ascendente.
2) Del mismo modo, en la segunda columna (B), introduzca la lista de los 100 primeros números enteros en orden descendente.
3) En la tercera columna (C), calcula la suma de los dos números escritos uno al lado del otro en cada fila. ¿Qué tiene de extraordinario?
4) Vaya a cualquier celda vacía que no pertenezca a las tres primeras columnas. Calcula la suma de todos los números de la primera columna (A).

Utilizaremos la fórmula: =SUMA(A:A)
5) Análogamente, en otras dos celdas vacías, calcula la suma de todos los números de la segunda columna (B), entonces la suma de todos los números de la tercera columna (C).
6) Explica por qué la suma de los números de la tercera columna (C) es 101×100.
7) ¿Qué fórmula rápida se puede escribir para calcular la suma de los cien primeros números enteros?
8) Calcula la suma de los 1000 primeros números enteros. Especifique el resultado y la fórmula de Gauss para calcular rápidamente este resultado a mano.

¿Quién era Gauss?

Carl Friedrich Gauss (1777-1855) fue un astrónomo, físico y matemático alemán. Sus variados campos de predilección hacen de él un científico extremadamente prolífico: mecánica celeste, magnetismo, óptica, teoría de números, intuición de la geometría no euclidiana, etc. Niño prodigio, completó su primer tratado de aritmética a los 21 años. A menudo se le considera el mayor matemático desde la Antigüedad. Le gustaban especialmente las matemáticas, a las que llamaba la reina de las ciencias.

El triángulo de Sierpinski (1882-1969)

PASO 1: Comenzamos con un triángulo equilátero completamente negro.

PASO 2: Construimos el triángulo blanco cuyos vértices son los puntos medios del triángulo anterior.

PASO 3: Repite el proceso. En cada triángulo negro se construye un triángulo blanco.

Triángulo de Sierpinski
Triángulo de Sierpinski

1) Construye el triángulo de Sierpinski que se obtendría en el paso 4. Debe considerarse la posibilidad de construir un triángulo inicial suficientemente grande.
2) En cada paso, ¿qué fracción de área representa la parte negra en relación con el área total del triángulo grande?

Los resultados se piden como fracción y luego como porcentaje.

Completo.

tabla

3) Sin construir los triángulos siguientes, deduzca de los resultados anteriores la fracción de área ocupada por la parte negra en el paso 5 y luego en el paso 10.

tabla1

¿Quién era Sierpinski?

Waclaw Sierpinski (1882-1969) fue un matemático polaco. Es uno de los cofundadores de la moderna escuela matemática polaca. Contribuyó al progreso de varias ramas particulares de las matemáticas: teoría de conjuntos, topología, lógica. El triángulo de Sierpinski (véase también: la alfombra de Sierpinski) pertenece a una gran familia de curvas llamadas fractales.

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