Ángulos orientados y marcadores polares: 1er curso de matemáticas.

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Curso sobre ángulos orientados y marcadores polares en 1ère. En esta lección hablaremos del seno, el coseno y la tangente con las distintas relaciones trigonométricas.

I. Localización en el círculo trigonométrico.

1. bobinado a la derecha numérico.

Definición: círculo trigonométrico.

La circunferencia trigonométrica \varphi es la circunferencia con centro O y radio 1.

Tiene una dirección de desplazamiento llamada dirección de avance, que es en sentido contrario a las agujas del reloj.

Con esta elección, se dice que el plan está orientado.

círculo trigonométrico

Propiedad :

Cualquier número real x tiene un único punto imagen en el círculo \varphiSi existe k\in\,\mathbb{Z} como x'=x+2k\pientonces x y x' tienen el mismo punto imagen en el círculo \varphi.

2. el radián

Definición:

La medida del radián de un ángulo es igual a la longitud del arco de la circunferencia trigonométrica que interseca.

radian

Propiedad :
Las medidas de ángulos en radianes y grados son proporcionales.

II. Medidas de un ángulo orientado.

Definición: ángulo orientado.

Sean \vec{u} y \vec{v} dos vectores distintos de cero y los puntos M y N tales que \vec{OM} y \vec{ON} son sus respectivos representantes del origen O. Sean M’ y N’ los puntos de intersección de las semirrectas [OM) y [ON) con la circunferencia trigonométrica.

Sean x e y dos números reales que tienen como puntos imagen M’ y N’, entonces y-x es una medida en radianes del ángulo orientado (\vec{u};\vec{v}).

Propiedad: medida principal.
El ángulo (\vec{u};\vec{v}) tiene una única medida \alpha en el intervalo %5D-\pi:\pi%5B llamada medida principal del ángulo.
Propiedades :
  1. Relación de Chasles para ángulos: sean \vec{u},\vec{v} y \vec{w} tres vectores distintos de cero, entonces (\vec{u},\vec{v})+(\vec{v},\vec{w})=(\vec{u},\vec{w}).
  2. Caracterización de la colinealidad de dos vectores: dos vectores \vec{u} y \vec{v} son colineales si, y sólo si, (\vec{u},\vec{v})=0%5B\pi%5D.
Propiedades :

Sean \vec{u} y \vec{v} dos vectores distintos de cero.

  1. (\vec{v},\vec{u})=-(\vec{u},\vec{v});
  2. (-\vec{u},-\vec{v})=\,(\vec{u},\vec{v})
  3. (-\vec{u},\vec{v})=\,(\vec{u},\vec{v})%5B\pi%5D
  4. (\vec{u},-\vec{v})=\,(\vec{u},\vec{v})%5B\pi%5D

III. Coseno y seno de un ángulo real y dirigido.

1. Localización mediante coseno y seno.

Teorema: Coordenadas de un punto del círculo trigonométrico.

sea x un número real y M su punto imagen en el círculo trigonométrico \varphi. El punto M tiene las coordenadas (cosx;sinx).

cosx sinx

Propiedades :

Para cualquier real x y cualquier entero relativo k.

  1. cos^2x+sin^2x=1 (Teorema de Pitágoras).
  2. -1\leq\,\,cosx\leq\,\,1
  3. -1\leq\,\,sinx\leq\,\,1
  4. cos(x+2k\pi)=cosx
  5. sin(x+2k\pi)=sinx

Valores particulares :

valores de la tabla cos sin

círculo del trigo

2. Ángulos asociados.

Propiedades :

Para cualquier número real x :

  1. cos(-x)=cosx
  2. sin(-x)=-sinx
  3. cos(\pi-x)=-cosx
  4. sin(\pi-x)=sinx
  5. cos(\pi+x)=-cosx
  6. sin(\pi+x)=-sinx

coseno

Propiedades :

Para cualquier número real x :

  1. cos(\frac{\pi}{2}-x)=sinx.
  2. sin(\frac{\pi}{2}-x)=cosx.
  3. cos(\frac{\pi}{2}+x)=-sinx.
  4. sin(\frac{\pi}{2}+x)=cosx.

sinus

3. Fórmulas de duplicación.

Propiedades :

Consideremos dos números reales a y b.

  1. cos(a+b)=cosa\times  \,cosb-sina\times  \,sinb.
  2. cos(a-b)=cosa\times  \,cosb+sina\times  \,sinb.
  3. sin(a+b)=sina\times  \,cosb+cosa\times  \,sinb.
  4. sin(a-b)=sina\times  \,cosb-cosa\times  \,sinb.
Propiedades :

Consideremos un número real a.

  1. cos(2a)=cos^2\,a-sin^2\,a\\=2cos^2\,a-1\\=1-2sin^2\,a.
  2. sin2a=2\times  \,cosa\times  \,sina.

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