Ángulos orientados y marcadores polares: curso de matemáticas en 1º de bachillerato.

1er curso de matemáticas

Sommaire de cette fiche

1 I. Localización en el círculo trigonométrico.
- 1.1 1. bobinado a la derecha numérico.
- 1.2 2. el radián
2 II. Medidas de un ángulo orientado.
3 III. Coseno y seno de un ángulo real y dirigido.

Curso sobre ángulos orientados y marcadores polares en 1ère. En esta lección hablaremos del seno, el coseno y la tangente con las distintas relaciones trigonométricas.

I. Localización en el círculo trigonométrico.

1. bobinado a la derecha numérico.

Definición: círculo trigonométrico.

La circunferencia trigonométrica $\varphi$ es la circunferencia con centro O y radio 1.

Tiene una dirección de desplazamiento llamada dirección de avance, que es en sentido contrario a las agujas del reloj.

Con esta elección, se dice que el plan está orientado.

Propiedad :

Cualquier número real tiene un único punto imagen en el círculo $\varphi$ Si existe $k\in\,\mathbb{Z}$ como $x'=x+2k\pi$ entonces y tienen el mismo punto imagen en el círculo $\varphi$ .

2. el radián

Definición:

La medida del radián de un ángulo es igual a la longitud del arco de la circunferencia trigonométrica que interseca.

Propiedad :

Las medidas de ángulos en radianes y grados son proporcionales.

II. Medidas de un ángulo orientado.

Definición: ángulo orientado.

Sean $\vec{u}$ y $\vec{v}$ dos vectores distintos de cero y los puntos M y N tales que $\vec{OM}$ y $\vec{ON}$ son sus respectivos representantes del origen O. Sean M’ y N’ los puntos de intersección de las semirrectas [OM) y [ON) con la circunferencia trigonométrica.

Sean x e y dos números reales que tienen como puntos imagen M’ y N’, entonces y-x es una medida en radianes del ángulo orientado $(\vec{u};\vec{v})$ .

Propiedad: medida principal.

El ángulo $(\vec{u};\vec{v})$ tiene una única medida $\alpha$ en el intervalo $%5D-\pi:\pi%5B$ llamada medida principal del ángulo.

Propiedades :

Relación de Chasles para ángulos: sean $\vec{u}$ , $\vec{v}$ y $\vec{w}$ tres vectores distintos de cero, entonces $(\vec{u},\vec{v})+(\vec{v},\vec{w})=(\vec{u},\vec{w})$ .
Caracterización de la colinealidad de dos vectores: dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ son colineales si, y sólo si, $(\vec{u},\vec{v})=0%5B\pi%5D$ .

Propiedades :

Sean $\vec{u}$ y $\vec{v}$ dos vectores distintos de cero.

$(\vec{v},\vec{u})=-(\vec{u},\vec{v})$ ;
$(-\vec{u},-\vec{v})=\,(\vec{u},\vec{v})$
$(-\vec{u},\vec{v})=\,(\vec{u},\vec{v})%5B\pi%5D$
$(\vec{u},-\vec{v})=\,(\vec{u},\vec{v})%5B\pi%5D$

III. Coseno y seno de un ángulo real y dirigido.

1. Localización mediante coseno y seno.

Teorema: Coordenadas de un punto del círculo trigonométrico.

sea x un número real y M su punto imagen en el círculo trigonométrico $\varphi$ . El punto M tiene las coordenadas .

Propiedades :

Para cualquier real x y cualquier entero relativo k.

(Teorema de Pitágoras).
$-1\leq\,\,cosx\leq\,\,1$
$-1\leq\,\,sinx\leq\,\,1$
$cos(x+2k\pi)=cosx$
$sin(x+2k\pi)=sinx$

Valores particulares :

2. Ángulos asociados.

Propiedades :

Para cualquier número real x :

$cos(\pi-x)=-cosx$
$sin(\pi-x)=sinx$
$cos(\pi+x)=-cosx$
$sin(\pi+x)=-sinx$

Propiedades :

Para cualquier número real x :

$cos(\frac{\pi}{2}-x)=sinx$ .
$sin(\frac{\pi}{2}-x)=cosx$ .
$cos(\frac{\pi}{2}+x)=-sinx$ .
$sin(\frac{\pi}{2}+x)=cosx$ .

3. Fórmulas de duplicación.

Propiedades :

Consideremos dos números reales a y b.

$cos(a+b)=cosa\times \,cosb-sina\times \,sinb$ .
$cos(a-b)=cosa\times \,cosb+sina\times \,sinb$ .
$sin(a+b)=sina\times \,cosb+cosa\times \,sinb$ .
$sin(a-b)=sina\times \,cosb-cosa\times \,sinb$ .

Propiedades :

Consideremos un número real a.

$cos(2a)=cos^2\,a-sin^2\,a\\=2cos^2\,a-1\\=1-2sin^2\,a$ .
$sin2a=2\times \,cosa\times \,sina$ .

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