Exercices de maths Terminale : Primitives et équations différentielles

Exercice 1Vérifier une primitive

1. Montrer que \(F(x) = x^2e^{x}\) est une primitive de \(f(x) = (x^2 + 2x)e^{x}\).
2. Montrer que \(G(x) = x\ln x - x\) est une primitive de \(\ln x\).

Exercice 2Primitives usuelles

Déterminer une primitive :

1. \(f(x) = 3x^2 - 4x + 5\)
2. \(g(x) = \dfrac{1}{x^2}\)
3. \(h(x) = e^{x} + \dfrac{2}{x}\)
4. \(k(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x}}\)
5. \(m(x) = \cos x - 2\sin x\)

Exercice 3Primitives composées

Déterminer une primitive :

1. \(f(x) = e^{3x - 1}\)
2. \(g(x) = 2x(x^2 + 1)^4\)
3. \(h(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 3}\)
4. \(k(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}\)
5. \(m(x) = xe^{-x^2}\)

Exercice 4Condition initiale

1. Déterminer la primitive \(F\) de \(f(x) = 2x - 3\) telle que \(F(1) = 4\).
2. Déterminer la primitive \(G\) de \(g(x) = e^{2x}\) telle que \(G(0) = 0\).
3. Déterminer la primitive \(H\) de \(h(x) = \dfrac{1}{x}\) sur \(]0\,;\,+\infty[\) telle que \(H(e) = 2\).

Exercice 5Équation y' = ay

Résoudre :

1. \(y' = 3y\)
2. \(y' = -0{,}5y\) avec \(y(0) = 4\)
3. \(2y' + y = 0\) avec \(y(2) = 1\)

Exercice 6Équation y' = ay + b

Résoudre :

1. \(y' = 2y + 6\)
2. \(y' = -y + 3\) avec \(y(0) = 1\)
3. \(y' - 4y = 8\) avec \(y(0) = 0\)

Exercice 7Solution particulière

On considère \(y' = y + e^{2x}\).

1. Chercher une solution particulière de la forme \(ke^{2x}\).
2. Résoudre l'équation homogène associée.
3. Donner la solution générale, puis celle vérifiant \(y(0) = 2\).

Exercice 8Refroidissement

La température \(T(t)\) d'un objet vérifie \(T' = -0{,}1(T - 20)\), avec \(T(0) = 80\) (°C, min).

1. Résoudre l'équation.
2. Température après \(10\) min ?
3. Au bout de combien de temps \(T < 25\) ?

Exercice 9Décroissance radioactive

Une quantité \(N(t)\) vérifie \(N' = -\lambda N\) avec \(N(0) = N_0\).

1. Exprimer \(N(t)\).
2. La demi-vie est le temps \(t_{1/2}\) tel que \(N(t_{1/2}) = \dfrac{N_0}{2}\). L'exprimer en fonction de \(\lambda\).
3. Pour le carbone 14, \(t_{1/2} \approx 5\,730\) ans. Calculer \(\lambda\).

Exercice 10Problème

Une population \(P(t)\) (milliers) vérifie \(P' = 0{,}05P - 2\), \(P(0) = 60\).

1. Résoudre.
2. Étudier la limite de \(P\) en \(+\infty\). Interpréter.
3. Que se passe-t-il si \(P(0) = 30\) ?