Terminale — chapitre 6 sur 12

Primitives et équations différentielles

Q: Qu'est-ce qu'une primitive ?

Une fonction F dont la dérivée est f. Deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante.

Q: Comment résoudre y' = ay + b ?

Les solutions sont y(x) = Ce^ax- ba, où C est déterminée par une condition initiale.

Q: Quelles sont les primitives usuelles ?

x^n→x^n+1n+1, 1x→ln x, e^x→ e^x, 1x^2→-1x, 1√ x→2√ x, cos→sin, sin→-cos.

Q: Comment trouver une primitive de u'e^u ou u'/u ?

u'e^u a pour primitive e^u, u'u a pour primitive ln|u|, u'u^n a pour primitive u^n+1n+1.

Une primitive de $f$ est une fonction $F$ dont la dérivée est $f$ ; les solutions de $y' = ay$ sont les $Ce^{ax}$.

Définition — primitive

$F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si $F$ est dérivable sur $I$ et $F' = f$. Toute fonction continue sur $I$ admet des primitives, qui diffèrent d'une constante : $F+C$. Une seule vérifie une condition $F(x_0) = y_0$.

Propriété — primitives usuelles

$f(x)$	$x^n$ ($n\ne-1$)	$\dfrac1x$	$e^x$	$\dfrac1{\sqrt x}$	$\cos x$	$\sin x$
$F(x)$	$\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$	$\ln x$	$e^x$	$2\sqrt x$	$\sin x$	$-\cos x$

Propriété — formes composées

$u'u^n\to\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$ ; $\dfrac{u'}{u}\to\ln|u|$ ; $u'e^u\to e^u$ ; $\dfrac{u'}{\sqrt u}\to2\sqrt u$ ; $\dfrac{u'}{u^2}\to-\dfrac1u$.

Théorème — équation $y' = ay$

Les solutions sur $\mathbb R$ sont les fonctions $y(x) = Ce^{ax}$, $C\in\mathbb R$.

Théorème — équation $y' = ay+b$ ($a\ne0$)

Les solutions sont $y(x) = Ce^{ax}-\dfrac ba$. La fonction constante $-\dfrac ba$ est la solution particulière.

Exemple

$y' = 2y-6$ avec $y(0) = 1$ : $y = Ce^{2x}+3$ et $1 = C+3$ donne $C = -2$ : $y(x) = 3-2e^{2x}$.

Questions fréquentes sur ce chapitre

Qu'est-ce qu'une primitive ?

Une fonction $F$ dont la dérivée est $f$. Deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante.

Comment résoudre y' = ay + b ?

Les solutions sont $y(x) = Ce^{ax}-\dfrac ba$, où $C$ est déterminée par une condition initiale.

Quelles sont les primitives usuelles ?

$x^n\to\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$, $\dfrac1x\to\ln x$, $e^x\to e^x$, $\dfrac1{x^2}\to-\dfrac1x$, $\dfrac1{\sqrt x}\to2\sqrt x$, $\cos\to\sin$, $\sin\to-\cos$.

Comment trouver une primitive de u'e^u ou u'/u ?

$u'e^u$ a pour primitive $e^u$, $\dfrac{u'}u$ a pour primitive $\ln|u|$, $u'u^n$ a pour primitive $\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$.

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