Bac maths 2026 centres étrangers J1 : sujet et corrigé

Voici le sujet 1 du bac de spécialité mathématiques 2026 des centres étrangers, posé le 10 juin 2026, avec l’énoncé complet et un corrigé détaillé de chaque question. Le premier exercice part du contrôle de conformité des lames d’escrime achetées à trois fournisseurs : arbre pondéré, formule des probabilités totales, loi binomiale sur un échantillon de 75 lames puis inégalité de concentration. Le deuxième est un vrai-faux indépendant qui mêle équation différentielle, intersection de courbes, théorème des gendarmes, récurrence et somme géométrique. Le troisième se déroule dans un cube : produit scalaire, angle, vecteur normal, projeté orthogonal et droites coplanaires. Le dernier étudie la fonction \(x \mapsto \dfrac{\ln(x)}{x^2}\) (convexité, tangente, inégalité) puis une suite d’intégrales, avec un script Python de méthode des rectangles à compléter.

Ce sujet fait partie des annales que nous rassemblons pour préparer le bac de maths 2027 : tous les sujets de spécialité y sont classés par session.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2026
Mathématiques — Sujet 1
Centres étrangers — 10 juin 2026
Durée de l’épreuve : 4 heures

Exercice 1 (5 points)

La fédération internationale d’escrime établit des normes de fabrication sur les lames des armes des tireurs afin de garantir au maximum leur sécurité.

Pour tester la conformité de l’acier employé, la lame est pliée puis redressée toutes les secondes jusqu’à la rupture.

La lame est conforme si la rupture intervient après plus de cinq heures de test.

Un équipementier d’escrime se fournit auprès de trois fabricants de lames.

Son stock est composé de 60 % de lames du fournisseur A, de 12 % de lames du fournisseur B, le reste venant du fournisseur C.

Une étude qualité a montré que :

90 % des lames du fournisseur A étaient conformes ;
95 % des lames du fournisseur B étaient conformes ;
85 % des lames du fournisseur C étaient conformes.

Partie A

Un contrôle est déclenché sur une des lames vendues par l’équipementier.

On considère les évènements suivants :

\(A\) : « La lame testée provient du fournisseur A » ;
\(B\) : « La lame testée provient du fournisseur B » ;
\(C\) : « La lame testée provient du fournisseur C » ;
\(T\) : « La lame testée est conforme ».

On note \(\overline{T}\) l’évènement contraire de \(T\).

1. Recopier et compléter l’arbre de probabilité ci-dessous représentant la situation.

2. Déterminer \(P(A \cap \overline{T})\) et interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.

3. Démontrer que la probabilité que la lame testée soit conforme est de 0,892.

4. Sachant que la lame testée n’est pas conforme, déterminer la probabilité qu’elle provienne du fournisseur B. On donnera la valeur arrondie au millième.

Partie B

D’après la partie A, la probabilité qu’une lame de l’équipementier ne soit pas conforme est égale à 0,108.

Lors d’une compétition d’escrime, l’équipementier apporte un échantillon de 75 lames provenant de son stock.

On considère qu’il les a choisies au hasard et de manière indépendante.

De plus son stock de lames est suffisamment grand pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise.

On désigne par \(X\) la variable aléatoire égale au nombre de lames non conformes dans cet échantillon.

1. On admet que la variable aléatoire \(X\) suit une loi binomiale.

Préciser ses paramètres.

2. Calculer la probabilité que 6 lames exactement soient non conformes dans cet échantillon. On arrondira le résultat au millième.

3. L’équipementier affirme que la probabilité qu’il y ait strictement plus de 8 lames non conformes dans cet échantillon est inférieure à 50 %.

A-t-il raison ?

Partie C

Soit \(n\) un entier strictement positif désignant le nombre de compétitions durant lesquelles l’équipementier est présent.

Il apporte à chaque fois un échantillon de 75 lames.

Les variables aléatoires \(X_1\), …, \(X_n\), que l’on considère indépendantes, donnent pour chaque échantillon le nombre de lames non conformes.

On pose \(M_n=\dfrac{X_1+X_2+\cdots+X_n}{n}\).

1. Déterminer l’espérance \(\mathrm{E}(M_n)\) et la variance \(\mathrm{V}(M_n)\) de la variable aléatoire \(M_n\).

2. Justifier l’inégalité suivante, pour tout entier naturel \(n\) non nul :

\[P(|M_n-8{,}1| \geq\, 2) \leq\, \dfrac{1{,}8063}{n}.\]

3. Déterminer une valeur de l’entier \(n\) à partir de laquelle \(P(|M_n-8{,}1| \lt 2) \geq\, 0{,}95\).

Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.

Exercice 2 (5 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.
Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
Dans cet exercice, les questions sont indépendantes les unes des autres.

1. On considère l’équation différentielle suivante où \(y\) est une fonction de la variable réelle \(x\) définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\).

\[(E) : \quad y^{\prime}+y=2\cos(x)\]

Affirmation 1 : La fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=4\text{e}^{-x}+\cos(x)+\sin(x)\) est solution de l’équation différentielle \((E)\).

2. On considère les fonctions \(f\) et \(g\) définies sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=2x\) et \(g(x)=\sin(x)\).

On note \(\mathcal{C}_f\) la courbe représentative de la fonction \(f\) dans un repère et \(\mathcal{C}_g\) celle de la fonction \(g\).

Affirmation 2 : Les courbes \(\mathcal{C}_f\) et \(\mathcal{C}_g\) ont un seul point d’intersection.

3. On considère la suite \((v_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par :

\[v_n=\dfrac{2n+\sin(n)}{n+1}\]

Affirmation 3 : La suite \((v_n)\) diverge.

4. On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_1=1\) et pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à 1 :

\[u_{n+1}=u_n+2n+1\]

Affirmation 4 : Pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à 1 on a \(u_n=n^2\).

5. On considère la suite \((u_n)\) définie, pour tout entier naturel \(n\), par \(u_n=\text{e}^{-n}\).

On pose, pour tout entier naturel \(n\), \(S_n=u_0+u_1+u_2+\cdots+u_n\).

Affirmation 5 : \(\lim\limits_{n \to +\infty} S_n=\dfrac{\text{e}}{\text{e}-1}\)

Exercice 3 (4 points)

On considère le cube ABCDEFGH représenté ci-dessous.

On munit l’espace du repère orthonormal \((\text{A} ; \vec{\text{AB}}, \vec{\text{AD}}, \vec{\text{AE}})\).

Soit I le milieu du segment [EF], J le milieu de [EH] et K le milieu de [AE].

1. Donner les coordonnées des points I, J et K.

2. a. Déterminer la valeur du produit scalaire \(\vec{\text{AI}}\cdot\vec{\text{AJ}}\).

b. En déduire la mesure de l’angle \(\widehat{\text{IAJ}}\) arrondie au dixième de degré.

3. a. Démontrer que le vecteur \(\vec{\text{KC}}\) est un vecteur normal au plan (AIJ).

b. En déduire qu’une équation cartésienne du plan (AIJ) est

\[x+y-\dfrac{1}{2}z=0\]

4. Soit L le projeté orthogonal du point C sur le plan (AIJ).

a. Déterminer les coordonnées du point L.

b. En déduire que la distance du point C au plan (AIJ) est égale à \(\dfrac{4}{3}\).

5. Soit M un point de la droite (FG).

On admet que les coordonnées de M sont \((1 ; m ; 1)\) avec \(m\) appartenant à \(\mathbb{R}\).

a. Démontrer qu’une représentation paramétrique de la droite (IM) est

\[\{\begin{array}{l} x=\dfrac{1}{2}s+\dfrac{1}{2} \\ y=ms \\ z=1 \end{array}. \quad \text{avec } s \in \mathbb{R}\]

b. Peut-on affirmer que les droites (IM) et (KC) sont coplanaires quelle que soit la valeur de \(m\) ?

Exercice 4 (6 points)

On considère la fonction \(f\) définie sur l’intervalle \(]0 ; +\infty[\) par

\[f(x)=\dfrac{\ln(x)}{x^2}\]

On note \(\mathcal{C}_f\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan.

On admet que la fonction \(f\) est deux fois dérivable sur l’intervalle \(]0 ; +\infty[\).

On note \(f^{\prime}\) sa fonction dérivée et \(f^{\prime\prime}\) sa fonction dérivée seconde.

Partie A

1. a. Déterminer les limites de la fonction \(f\) aux bornes de l’intervalle \(]0 ; +\infty[\).

b. Interpréter graphiquement les résultats obtenus.

2. Pour tout réel strictement positif \(x\), démontrer que

\[f^{\prime}(x)=\dfrac{1-2\ln(x)}{x^3}\]

3. Dresser le tableau de variation de la fonction \(f\) en précisant les limites et les valeurs exactes des éventuels extremums de la fonction.

4. Déterminer l’équation réduite de la droite \(\Delta\), tangente à la courbe \(\mathcal{C}_f\) au point A d’abscisse 1.

5. Vérifier que pour tout réel strictement positif \(x\), on a

\[f^{\prime\prime}(x)=\dfrac{-5+6\ln(x)}{x^4}\]

6. a. Étudier la convexité de la fonction \(f\) en précisant les coordonnées des éventuels points d’inflexion.

b. En déduire que, pour tout réel \(x\) appartenant à \(]0 ; \text{e}^{\frac{5}{6}}]\), on a

\[x-1 \geq\, \dfrac{\ln(x)}{x^2}\]

7. Justifier que, pour tout réel \(x\) appartenant à \([\text{e}^{\frac{5}{6}} ; +\infty[\), on a aussi

\[x-1 \geq\, \dfrac{\ln(x)}{x^2}\]

Partie B

On considère la suite \((I_n)\) définie, pour tout entier naturel non nul \(n\), par :

\[I_n=\int_1^n \dfrac{\ln(x)}{x^2}\,\text{d}x\]

1. Donner une interprétation graphique de \(I_n\) pour \(n\) un entier naturel non nul.

2. Démontrer que la suite \((I_n)\) est croissante.

3. On souhaite calculer une approximation de \(\displaystyle\int_1^{10} f(x)\,\text{d}x\) en déterminant la somme des aires des rectangles tracés dans le graphique ci-dessous.

Pour cela, on utilise le script suivant, écrit en langage Python.

from math import *

S=1/(2*exp(1))
for i in range (2,10):
    S =...
print(S)

Recopier et compléter ce script afin qu’il réponde au problème posé.

4. À l’aide d’une intégration par parties, démontrer que pour tout entier naturel non nul \(n\),

\[I_n=\dfrac{n-1-\ln(n)}{n}\]

5. Calculer la limite de la suite \((I_n)\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\).

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

Partie A

1. Le stock contient 60 % de lames A et 12 % de lames B, donc la proportion de lames C est \(1-0{,}6-0{,}12=0{,}28\). Les probabilités conditionnelles de conformité sont données par l’étude qualité et les probabilités de non-conformité s’obtiennent par complément à 1 : \(P_A(\overline{T})=0{,}1\), \(P_B(\overline{T})=0{,}05\), \(P_C(\overline{T})=0{,}15\). L’arbre complété est le suivant.

2. On suit la branche A puis T barre et on multiplie les probabilités rencontrées :

\[P(A \cap \overline{T})=P(A)\times P_A(\overline{T})=0{,}6\times 0{,}1=0{,}06.\]

Interprétation : la probabilité qu’une lame contrôlée vienne du fournisseur A et ne soit pas conforme est 0,06 ; autrement dit, 6 % des lames du stock sont des lames A non conformes.

3. Les évènements \(A\), \(B\) et \(C\) sont deux à deux incompatibles et leur réunion est l’univers : ils forment une partition. D’après la formule des probabilités totales :

\[P(T)=P(A\cap T)+P(B\cap T)+P(C\cap T)=0{,}6\times 0{,}9+0{,}12\times 0{,}95+0{,}28\times 0{,}85\]

\[P(T)=0{,}54+0{,}114+0{,}238=0{,}892.\]

La probabilité que la lame testée soit conforme vaut bien 0,892.

4. On cherche la probabilité conditionnelle \(P_{\overline{T}}(B)\). On a \(P(\overline{T})=1-0{,}892=0{,}108\) et \(P(B\cap\overline{T})=0{,}12\times 0{,}05=0{,}006\). Par définition :

\[P_{\overline{T}}(B)=\dfrac{P(B\cap\overline{T})}{P(\overline{T})}=\dfrac{0{,}006}{0{,}108}=\dfrac{1}{18}\approx 0{,}056.\]

Sachant que la lame n’est pas conforme, la probabilité qu’elle provienne du fournisseur B est environ 0,056.

Partie B

1. On répète 75 fois, de façon identique et indépendante (tirage assimilé à un tirage avec remise), l’épreuve « prélever une lame », dont le succès « la lame n’est pas conforme » a pour probabilité 0,108. \(X\) compte les succès : \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n=75\) et \(p=0{,}108\).

2. Pour une loi binomiale, \(P(X=k)=\dbinom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\). Ici :

\[P(X=6)=\dbinom{75}{6}\times 0{,}108^6\times 0{,}892^{69}\approx 0{,}120.\]

La probabilité d’avoir exactement 6 lames non conformes est environ 0,120.

3. « Strictement plus de 8 » signifie \(X\geq\, 9\). On passe par l’évènement contraire :

\[P(X \gt 8)=1-P(X\leq\, 8)\approx 1-0{,}578=0{,}422.\]

(Le calcul de \(P(X\leq\, 8)\) se fait avec la fonction de répartition de la loi binomiale de la calculatrice.) Comme \(0{,}422 \lt 0{,}5\), l’équipementier a raison.

Partie C

1. Chaque \(X_i\) suit la même loi que \(X\), c’est-à-dire la loi binomiale \(\mathcal{B}(75 ; 0{,}108)\). On a donc \(\mathrm{E}(X_i)=75\times 0{,}108=8{,}1\) et \(\mathrm{V}(X_i)=75\times 0{,}108\times 0{,}892=7{,}2252\).

Par linéarité de l’espérance :

\[\mathrm{E}(M_n)=\dfrac{1}{n}(\mathrm{E}(X_1)+\cdots+\mathrm{E}(X_n))=\dfrac{1}{n}\times n\times 8{,}1=8{,}1.\]

Comme les \(X_i\) sont indépendantes, la variance de leur somme est la somme des variances, et \(\mathrm{V}(aY)=a^2\mathrm{V}(Y)\) :

\[\mathrm{V}(M_n)=\dfrac{1}{n^2}(\mathrm{V}(X_1)+\cdots+\mathrm{V}(X_n))=\dfrac{n\times 7{,}2252}{n^2}=\dfrac{7{,}2252}{n}.\]

Conclusion : \(\mathrm{E}(M_n)=8{,}1\) et \(\mathrm{V}(M_n)=\dfrac{7{,}2252}{n}\).

2. On applique l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev à la variable \(M_n\) : pour tout réel \(\delta \gt 0\), \(P(|M_n-\mathrm{E}(M_n)|\geq\, \delta)\leq\, \dfrac{\mathrm{V}(M_n)}{\delta^2}\). Avec \(\delta=2\) :

\[P(|M_n-8{,}1|\geq\, 2)\leq\, \dfrac{7{,}2252}{n\times 2^2}=\dfrac{1{,}8063}{n}.\]

C’est l’inégalité demandée (c’est aussi l’inégalité de concentration appliquée à l’échantillon \(X_1, \ldots, X_n\)).

3. L’évènement \(|M_n-8{,}1| \lt 2\) est le contraire de \(|M_n-8{,}1|\geq\, 2\), donc d’après la question précédente :

\[P(|M_n-8{,}1| \lt 2)\geq\, 1-\dfrac{1{,}8063}{n}.\]

Il suffit donc que \(1-\dfrac{1{,}8063}{n}\geq\, 0{,}95\), c’est-à-dire \(\dfrac{1{,}8063}{n}\leq\, 0{,}05\), soit \(n\geq\, \dfrac{1{,}8063}{0{,}05}=36{,}126\). Comme \(n\) est entier, à partir de \(n=37\) on a \(P(|M_n-8{,}1| \lt 2)\geq\, 0{,}95\).

Interprétation : si l’équipementier participe à au moins 37 compétitions, la probabilité que le nombre moyen de lames non conformes par échantillon soit strictement compris entre 6,1 et 10,1 est au moins égale à 95 %.

Exercice 2 :

1. Affirmation 1 : vraie.

La fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(f^{\prime}(x)=-4\text{e}^{-x}-\sin(x)+\cos(x)\). En ajoutant \(f(x)\) :

\[f^{\prime}(x)+f(x)=-4\text{e}^{-x}-\sin(x)+\cos(x)+4\text{e}^{-x}+\cos(x)+\sin(x)=2\cos(x).\]

Les termes en exponentielle et en sinus se compensent : \(f\) vérifie \((E)\) pour tout réel \(x\), elle en est donc solution.

2. Affirmation 2 : vraie.

Les abscisses des points d’intersection sont les solutions de \(2x=\sin(x)\). Posons \(h(x)=2x-\sin(x)\) sur \(\mathbb{R}\). Elle est dérivable et \(h^{\prime}(x)=2-\cos(x)\). Comme \(\cos(x)\leq\, 1\), on a \(h^{\prime}(x)\geq\, 1 \gt 0\) : \(h\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), donc elle s’annule au plus une fois. Or \(h(0)=0-\sin(0)=0\). L’équation a donc une unique solution, \(x=0\) : les deux courbes ont un seul point commun, l’origine du repère.

3. Affirmation 3 : fausse.

Pour tout entier naturel \(n\), \(-1\leq\, \sin(n)\leq\, 1\), donc, en ajoutant \(2n\) puis en divisant par \(n+1 \gt 0\) :

\[\dfrac{2n-1}{n+1}\leq\, v_n\leq\, \dfrac{2n+1}{n+1}.\]

En divisant numérateur et dénominateur par \(n\) (pour \(n\geq\, 1\)), \(\dfrac{2n-1}{n+1}=\dfrac{2-\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n}}\) tend vers 2, et de même \(\dfrac{2n+1}{n+1}=\dfrac{2+\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n}}\) tend vers 2. D’après le théorème des gendarmes, \(\lim\limits_{n\to+\infty}v_n=2\) : la suite \((v_n)\) converge vers 2, elle ne diverge pas.

4. Affirmation 4 : vraie.

Démontrons par récurrence la propriété \(\mathcal{P}(n)\) : « \(u_n=n^2\) » pour tout entier \(n\geq\, 1\).

Initialisation : \(u_1=1=1^2\), donc \(\mathcal{P}(1)\) est vraie.

Hérédité : soit \(n\geq\, 1\) tel que \(u_n=n^2\). Alors \(u_{n+1}=u_n+2n+1=n^2+2n+1=(n+1)^2\) (identité remarquable), donc \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie.

Conclusion : par le principe de récurrence, \(u_n=n^2\) pour tout entier \(n\geq\, 1\).

5. Affirmation 5 : vraie.

On a \(u_n=\text{e}^{-n}=(\text{e}^{-1})^n\) : \((u_n)\) est géométrique de premier terme \(u_0=1\) et de raison \(q=\text{e}^{-1}\ne 1\). La somme de ses \(n+1\) premiers termes vaut :

\[S_n=\dfrac{1-(\text{e}^{-1})^{n+1}}{1-\text{e}^{-1}}.\]

Comme \(0 \lt \text{e}^{-1} \lt 1\), \((\text{e}^{-1})^{n+1}\) tend vers 0, donc \(S_n\) tend vers \(\dfrac{1}{1-\text{e}^{-1}}\). En multipliant numérateur et dénominateur par e :

\[\lim\limits_{n\to+\infty}S_n=\dfrac{\text{e}}{\text{e}-1}.\]

Exercice 3 :

1. Dans ce repère, A(0 ; 0 ; 0), B(1 ; 0 ; 0), C(1 ; 1 ; 0), D(0 ; 1 ; 0), E(0 ; 0 ; 1), F(1 ; 0 ; 1), G(1 ; 1 ; 1) et H(0 ; 1 ; 1). Les coordonnées d’un milieu sont les moyennes des coordonnées des extrémités, d’où :

\(\text{I}(\dfrac{1}{2} ; 0 ; 1)\), \(\text{J}(0 ; \dfrac{1}{2} ; 1)\) et \(\text{K}(0 ; 0 ; \dfrac{1}{2})\).

2. a. On a \(\vec{\text{AI}}(\dfrac{1}{2} ; 0 ; 1)\) et \(\vec{\text{AJ}}(0 ; \dfrac{1}{2} ; 1)\). Le repère étant orthonormé :

\[\vec{\text{AI}}\cdot\vec{\text{AJ}}=\dfrac{1}{2}\times 0+0\times \dfrac{1}{2}+1\times 1=1.\]

b. Les longueurs valent \(\text{AI}=\sqrt{\dfrac{1}{4}+0+1}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\) et, de même, \(\text{AJ}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\). Or \(\vec{\text{AI}}\cdot\vec{\text{AJ}}=\text{AI}\times \text{AJ}\times \cos(\widehat{\text{IAJ}})\), donc :

\[\cos(\widehat{\text{IAJ}})=\dfrac{1}{\frac{5}{4}}=\dfrac{4}{5}=0{,}8.\]

À la calculatrice, \(\widehat{\text{IAJ}}\approx 36{,}9^\circ\).

3. a. On a \(\vec{\text{KC}}(1 ; 1 ; -\dfrac{1}{2})\). Les vecteurs \(\vec{\text{AI}}\) et \(\vec{\text{AJ}}\) ne sont pas colinéaires (la première coordonnée de \(\vec{\text{AJ}}\) est nulle mais pas celle de \(\vec{\text{AI}}\)) ; ils dirigent donc le plan (AIJ). Calculons :

\[\vec{\text{KC}}\cdot\vec{\text{AI}}=1\times \dfrac{1}{2}+1\times 0-\dfrac{1}{2}\times 1=0 \qquad \vec{\text{KC}}\cdot\vec{\text{AJ}}=1\times 0+1\times \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\times 1=0.\]

\(\vec{\text{KC}}\) est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (AIJ) : c’est un vecteur normal à ce plan.

b. Un plan de vecteur normal \(\vec{n}(a ; b ; c)\) a une équation de la forme \(ax+by+cz+d=0\). Ici, (AIJ) a une équation \(x+y-\dfrac{1}{2}z+d=0\). Le point A(0 ; 0 ; 0) lui appartient, donc \(d=0\). Une équation cartésienne de (AIJ) est bien \(x+y-\dfrac{1}{2}z=0\).

4. a. L est le point du plan (AIJ) tel que (CL) soit orthogonale au plan : L est donc l’intersection du plan avec la droite passant par C et dirigée par le vecteur normal \(\vec{\text{KC}}\). Cette droite admet la représentation paramétrique \(x=1+t\), \(y=1+t\), \(z=-\dfrac{1}{2}t\), \(t\in\mathbb{R}\). En reportant dans l’équation du plan :

\[(1+t)+(1+t)-\dfrac{1}{2}\times (-\dfrac{1}{2}t)=0 \iff 2+\dfrac{9}{4}t=0 \iff t=-\dfrac{8}{9}.\]

D’où \(\text{L}(\dfrac{1}{9} ; \dfrac{1}{9} ; \dfrac{4}{9})\).

b. La distance de C au plan (AIJ) est la longueur CL, avec \(\vec{\text{CL}}(-\dfrac{8}{9} ; -\dfrac{8}{9} ; \dfrac{4}{9})\) :

\[\text{CL}=\sqrt{\dfrac{64}{81}+\dfrac{64}{81}+\dfrac{16}{81}}=\sqrt{\dfrac{144}{81}}=\dfrac{12}{9}=\dfrac{4}{3}.\]

La distance du point C au plan (AIJ) est bien \(\dfrac{4}{3}\).

5. a. La droite (IM) passe par \(\text{I}(\dfrac{1}{2} ; 0 ; 1)\) et est dirigée par \(\vec{\text{IM}}(1-\dfrac{1}{2} ; m-0 ; 1-1)\), soit \(\vec{\text{IM}}(\dfrac{1}{2} ; m ; 0)\). Un point \(P(x ; y ; z)\) est sur (IM) si et seulement s’il existe un réel \(s\) tel que \(\vec{\text{I}P}=s\,\vec{\text{IM}}\), ce qui donne :

\[\{\begin{array}{l} x=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}s \\ y=ms \\ z=1 \end{array}. \quad s\in\mathbb{R},\]

qui est bien la représentation annoncée.

b. Deux droites sont coplanaires si et seulement si elles sont parallèles ou sécantes.

Parallélisme : \(\vec{\text{IM}}(\dfrac{1}{2} ; m ; 0)\) et \(\vec{\text{KC}}(1 ; 1 ; -\dfrac{1}{2})\) ne sont jamais colinéaires, car la troisième coordonnée de \(\vec{\text{IM}}\) est nulle alors que celle de \(\vec{\text{KC}}\) ne l’est pas, et \(\vec{\text{IM}}\) n’est pas nul. Les droites ne sont donc jamais parallèles.

Intersection : la droite (KC) a pour représentation \(x=1+t\), \(y=1+t\), \(z=-\dfrac{1}{2}t\). Un point commun doit vérifier \(z=1\), donc \(-\dfrac{1}{2}t=1\), soit \(t=-2\) : c’est le point \((-1 ; -1 ; 1)\). Il est sur (IM) si \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}s=-1\), soit \(s=-3\), et \(ms=-1\), soit \(m=\dfrac{1}{3}\).

Les droites (IM) et (KC) ne sont donc sécantes, et donc coplanaires, que pour \(m=\dfrac{1}{3}\). Pour toute autre valeur de \(m\), elles ne sont ni parallèles ni sécantes. Non, on ne peut pas affirmer qu’elles sont coplanaires quelle que soit la valeur de \(m\) (par exemple pour \(m=0\), elles ne le sont pas).

Exercice 4 :

Partie A

1. a. En \(0\) : \(\lim\limits_{x\to 0^+}\ln(x)=-\infty\) et \(\lim\limits_{x\to 0^+}x^2=0^+\), donc par quotient \(\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=-\infty\).

En \(+\infty\) : d’après les croissances comparées, \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x^2}=0\) (on peut aussi écrire \(f(x)=\dfrac{\ln(x)}{x}\times \dfrac{1}{x}\), produit de deux facteurs qui tendent vers 0). Donc \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0\).

b. La droite d’équation \(x=0\) (l’axe des ordonnées) est asymptote verticale à \(\mathcal{C}_f\), et la droite d’équation \(y=0\) (l’axe des abscisses) est asymptote horizontale à \(\mathcal{C}_f\) en \(+\infty\).

2. On dérive un quotient \(\dfrac{u}{v}\) avec \(u(x)=\ln(x)\), \(u^{\prime}(x)=\dfrac{1}{x}\), \(v(x)=x^2\), \(v^{\prime}(x)=2x\) :

\[f^{\prime}(x)=\dfrac{\frac{1}{x}\times x^2-\ln(x)\times 2x}{x^4}=\dfrac{x-2x\ln(x)}{x^4}=\dfrac{x(1-2\ln(x))}{x^4}=\dfrac{1-2\ln(x)}{x^3}.\]

3. Sur \(]0 ; +\infty[\), \(x^3 \gt 0\), donc \(f^{\prime}(x)\) a le signe de \(1-2\ln(x)\). Or \(1-2\ln(x) \gt 0 \iff \ln(x) \lt \dfrac{1}{2} \iff x \lt \text{e}^{\frac{1}{2}}=\sqrt{\text{e}}\). Ainsi \(f^{\prime}\) est positive sur \(]0 ; \sqrt{\text{e}}]\), négative sur \([\sqrt{\text{e}} ; +\infty[\) et s’annule en \(\sqrt{\text{e}}\). Le maximum vaut :

\[f(\sqrt{\text{e}})=\dfrac{\ln(\sqrt{\text{e}})}{(\sqrt{\text{e}})^2}=\dfrac{\frac{1}{2}}{\text{e}}=\dfrac{1}{2\text{e}}.\]

\(x\)	\(0\)		\(\sqrt{\text{e}}\)		\(+\infty\)
signe de \(f^{\prime}(x)\)	\|\|	\(+\)	\(0\)	\(-\)
variations de \(f\)	\|\| \(-\infty\)	croissante ↗	\(\dfrac{1}{2\text{e}}\)	décroissante ↘	\(0\)

4. La tangente au point d’abscisse 1 a pour équation \(y=f^{\prime}(1)(x-1)+f(1)\). Or \(f(1)=\dfrac{\ln(1)}{1}=0\) et \(f^{\prime}(1)=\dfrac{1-2\ln(1)}{1}=1\). Donc \(\Delta : y=x-1\).

5. On dérive \(f^{\prime}=\dfrac{u}{v}\) avec \(u(x)=1-2\ln(x)\), \(u^{\prime}(x)=-\dfrac{2}{x}\), \(v(x)=x^3\), \(v^{\prime}(x)=3x^2\) :

\[f^{\prime\prime}(x)=\dfrac{-\frac{2}{x}\times x^3-(1-2\ln(x))\times 3x^2}{x^6}=\dfrac{x^2(-2-3+6\ln(x))}{x^6}=\dfrac{-5+6\ln(x)}{x^4}.\]

6. a. Comme \(x^4 \gt 0\), \(f^{\prime\prime}(x)\) a le signe de \(-5+6\ln(x)\), et \(-5+6\ln(x)\geq\, 0 \iff \ln(x)\geq\,\dfrac{5}{6}\iff x\geq\, \text{e}^{\frac{5}{6}}\). Donc :

\(f^{\prime\prime}\leq\, 0\) sur \(]0 ; \text{e}^{\frac{5}{6}}]\) : \(f\) est concave sur cet intervalle ;
\(f^{\prime\prime}\geq\, 0\) sur \([\text{e}^{\frac{5}{6}} ; +\infty[\) : \(f\) est convexe sur cet intervalle.

La dérivée seconde s’annule en changeant de signe en \(\text{e}^{\frac{5}{6}}\) : la courbe admet un point d’inflexion d’abscisse \(\text{e}^{\frac{5}{6}}\), d’ordonnée \(f(\text{e}^{\frac{5}{6}})=\dfrac{\frac{5}{6}}{\text{e}^{\frac{5}{3}}}=\dfrac{5}{6\text{e}^{\frac{5}{3}}}\). Le point d’inflexion est \((\text{e}^{\frac{5}{6}} ; \dfrac{5}{6\text{e}^{\frac{5}{3}}})\), soit environ \((2{,}30 ; 0{,}157)\).

b. Sur l’intervalle \(]0 ; \text{e}^{\frac{5}{6}}]\), \(f\) est concave, donc sa courbe est située en dessous de chacune de ses tangentes en un point de cet intervalle. Le point A d’abscisse 1 en fait partie, car \(1 \lt \text{e}^{\frac{5}{6}}\approx 2{,}30\). La courbe est donc sous \(\Delta\), ce qui s’écrit, pour tout \(x\) de cet intervalle, \(f(x)\leq\, x-1\), c’est-à-dire \(x-1\geq\,\dfrac{\ln(x)}{x^2}\).

7. Soit \(x\geq\,\text{e}^{\frac{5}{6}}\). D’après le tableau de variation, le maximum de \(f\) sur \(]0 ; +\infty[\) est \(\dfrac{1}{2\text{e}}\approx 0{,}18\), donc \(f(x)\leq\,\dfrac{1}{2\text{e}}\). D’autre part, \(x-1\geq\, \text{e}^{\frac{5}{6}}-1\). Or \(\text{e}^{\frac{5}{6}} \gt \text{e}^{\frac{1}{2}}\) et \(\text{e}^{\frac{1}{2}}\approx 1{,}65\), donc \(\text{e}^{\frac{5}{6}}-1 \gt 0{,}6 \gt \dfrac{1}{2\text{e}}\) (car \(2\text{e} \gt 5\) donne \(\dfrac{1}{2\text{e}} \lt 0{,}2\)). On obtient la chaîne :

\[x-1\geq\, \text{e}^{\frac{5}{6}}-1 \gt \dfrac{1}{2\text{e}}\geq\, f(x).\]

Donc, pour tout \(x\) de \([\text{e}^{\frac{5}{6}} ; +\infty[\), on a aussi \(x-1\geq\,\dfrac{\ln(x)}{x^2}\). Avec la question précédente, l’inégalité est donc vraie sur tout \(]0 ; +\infty[\) : la courbe est entièrement sous sa tangente \(\Delta\).

Partie B

1. Pour \(x\geq\, 1\), \(\ln(x)\geq\, 0\) et \(x^2 \gt 0\), donc \(f(x)\geq\, 0\) sur \([1 ; n]\). La fonction \(f\) étant continue et positive sur cet intervalle, \(I_n\) est l’aire, en unités d’aire, du domaine compris entre la courbe \(\mathcal{C}_f\), l’axe des abscisses et les droites d’équations \(x=1\) et \(x=n\).

2. D’après la relation de Chasles, pour tout \(n\geq\, 1\) :

\[I_{n+1}-I_n=\int_1^{n+1}f(x)\,\text{d}x-\int_1^n f(x)\,\text{d}x=\int_n^{n+1}f(x)\,\text{d}x.\]

Sur \([n ; n+1]\subset[1 ; +\infty[\), \(f\) est positive, et les bornes sont dans l’ordre croissant, donc cette intégrale est positive. Ainsi \(I_{n+1}-I_n\geq\, 0\) : la suite \((I_n)\) est croissante.

3. Chaque rectangle a pour largeur 1, donc son aire est égale à sa hauteur. Le premier, posé sur \([1 ; 2]\), a pour hauteur le maximum de \(f\), soit \(\dfrac{1}{2\text{e}}\) (atteint en \(\sqrt{\text{e}}\approx 1{,}65\)) : c’est la valeur initiale de S, écrite 1/(2*exp(1)). Pour \(i\) allant de 2 à 9, \(f\) est décroissante sur \([i ; i+1]\) et le rectangle posé sur cet intervalle a pour hauteur \(f(i)=\dfrac{\ln(i)}{i^2}\). La boucle for i in range(2,10) parcourt justement \(i=2, 3, \ldots, 9\) ; à chaque tour on ajoute \(f(i)\) à S. En Python, log de la bibliothèque math est le logarithme népérien.

from math import *

S=1/(2*exp(1))
for i in range (2,10):
    S = S + log(i)/i**2
print(S)

Le programme affiche environ 0,779 (valeur approchée par excès de l’intégrale, qui vaut environ 0,670 d’après la question 4).

4. On pose \(u(x)=\ln(x)\) et \(v^{\prime}(x)=\dfrac{1}{x^2}\), d’où \(u^{\prime}(x)=\dfrac{1}{x}\) et \(v(x)=-\dfrac{1}{x}\). Ces fonctions sont dérivables à dérivées continues sur \([1 ; n]\). La formule d’intégration par parties donne :

\[I_n=[-\dfrac{\ln(x)}{x}]_1^n-\int_1^n\dfrac{1}{x}\times (-\dfrac{1}{x})\text{d}x=-\dfrac{\ln(n)}{n}+\dfrac{\ln(1)}{1}+\int_1^n\dfrac{1}{x^2}\,\text{d}x.\]

Comme \(\ln(1)=0\) et qu’une primitive de \(\dfrac{1}{x^2}\) est \(-\dfrac{1}{x}\) :

\[I_n=-\dfrac{\ln(n)}{n}+[-\dfrac{1}{x}]_1^n=-\dfrac{\ln(n)}{n}-\dfrac{1}{n}+1=\dfrac{n-1-\ln(n)}{n}.\]

5. On écrit \(I_n=1-\dfrac{1}{n}-\dfrac{\ln(n)}{n}\). On a \(\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n}=0\) et, par croissances comparées, \(\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{\ln(n)}{n}=0\). Par somme, \(\lim\limits_{n\to+\infty}I_n=1\) : l’aire sous la courbe au-delà de \(x=1\) tend vers 1 unité d’aire.

Les autres sujets du bac de maths 2026

Bac de maths 2027 : tous les sujets Cours de terminale Exercices de terminale

Voter... post

Vous avez la possibilité de télécharger puis d'imprimer gratuitement ce document «bac de maths 2026 aux centres étrangers (jour 1) : sujet et corrigé» au format PDF.