Bac maths 2023 France sept. J1 : sujet et corrigé

Voici le sujet 1 du bac de spécialité mathématiques de septembre 2023 en France métropolitaine, session de remplacement du 11 septembre 2023 (commune aux Antilles-Guyane), suivi de son corrigé détaillé sur cette même page. Un QCM de quatre questions ouvre l’épreuve : primitive de \(x\,\text{e}^{x^2-3}\), suites géométriques et boucle while d’une fonction Python. Vient ensuite un exercice de géométrie dans l’espace où C se révèle être le projeté orthogonal de D sur un plan, avant le calcul de la distance de D à une droite. Le troisième exercice étudie un test sanguin de détection des allergies avec un arbre pondéré, puis une enquête auprès de 150 habitants modélisée par une loi binomiale. Le dernier, sur 7 points, relie une fonction auxiliaire \(g\) à la convexité de \(f(x)=\text{e}^x\ln x\).

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BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2023
Mathématiques — Sujet 1
France métropolitaine, Antilles-Guyane — 11 septembre 2023
Durée de l’épreuve : 4 heures

Exercice 1 (4 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.

1. On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par

\[f(x)=x\,\text{e}^{x^2-3}.\]

Une des primitives \(F\) de la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\) est définie par :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\(F(x)=2x\,\text{e}^{x^2-3}\)	\(F(x)=(2x^2+1)\text{e}^{x^2-3}\)	\(F(x)=\dfrac12x\,\text{e}^{x^2-3}\)	\(F(x)=\dfrac12\text{e}^{x^2-3}\)

2. On considère la suite \((u_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par :

\[u_n=\text{e}^{2n+1}.\]

La suite \((u_n)\) est :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
arithmétique de raison 2 ;	géométrique de raison e ;	géométrique de raison \(\text{e}^2\) ;	convergente vers e.

Pour les questions 3. et 4., on considère la suite \((u_n)\) définie sur \(\mathbb{N}\) par :

\[u_0=15\quad\text{et pour tout entier naturel } n\ :\ u_{n+1}=1{,}2u_n+12.\]

3. La fonction Python suivante, dont la ligne 4 est incomplète, doit renvoyer la plus petite valeur de l’entier \(n\) telle que \(u_n\gt10\,000\).

def seuil() :
    n=0
    u=15
    while ......:
      n=n+1
      u=1,2*u+12
    return(n)

À la ligne 4, on complète par :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\(u\leq\,10\,000\) ;	\(u=10\,000\)	\(u\gt10\,000\) ;	\(n\leq\,10\,000\).

4. On considère la suite \((v_n)\) définie sur \(\mathbb{N}\) par : \(v_n=u_n+60\).

La suite \((v_n)\) est :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
une suite décroissante ;	une suite géométrique de raison 1,2 ;	une suite arithmétique de raison 60 ;	une suite ni géométrique ni arithmétique.

Exercice 2 (5 points)

L’espace est rapporté à un repère orthonormé \((\text{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k})\).

On considère les points

\(\text{A}(1\,;\,0\,;\,-1)\), \(\text{B}(3\,;\,-1\,;\,2)\), \(\text{C}(2\,;\,-2\,;\,-1)\) et \(\text{D}(4\,;\,-1\,;\,-2)\).

On note \(\Delta\) la droite de représentation paramétrique

\[\{\begin{array}{l}x=0\\y=2+t\\z=-1+t\end{array}.,\quad\text{avec } t\in\mathbb{R}.\]

1. a. Montrer que les points A, B et C définissent un plan que l’on notera \(\mathcal{P}\).

b. Montrer que la droite (CD) est orthogonale au plan \(\mathcal{P}\).

Sur le plan \(\mathcal{P}\), que représente le point C par rapport à D ?

c. Montrer qu’une équation cartésienne du plan \(\mathcal{P}\) est : \(2x+y-z-3=0\).

2. a. Calculer la distance CD.

b. Existe-t-il un point M du plan \(\mathcal{P}\) différent de C vérifiant \(\text{MD}=\sqrt6\) ? Justifier la réponse.

3. a. Montrer que la droite \(\Delta\) est incluse dans le plan \(\mathcal{P}\).

Soit H le projeté orthogonal du point D sur la droite \(\Delta\).

b. Montrer que H est le point de \(\Delta\) associé à la valeur \(t=-2\) dans la représentation paramétrique de \(\Delta\) donnée ci-dessus.

c. En déduire la distance du point D à la droite \(\Delta\).

Exercice 3 (4 points)

Les parties A et B sont indépendantes.
Les probabilités demandées seront données à \(10^{-3}\) près.

Pour aider à la détection de certaines allergies, on peut procéder à un test sanguin dont le résultat est soit positif, soit négatif.

Dans une population, ce test donne les résultats suivants :

Si un individu est allergique, le test est positif dans 97 % des cas ;
Si un individu n’est pas allergique, le test est négatif dans 95,7 % des cas.

Par ailleurs, 20 % des individus de la population concernée présentent un test positif.

On choisit au hasard un individu dans la population, et on note :

\(A\) l’évènement « l’individu est allergique » ;
\(T\) l’évènement « l’individu présente un test positif ».

On notera \(\overline{A}\) et \(\overline{T}\) les évènements contraires de \(A\) et \(T\). On appelle par ailleurs \(x\) la probabilité de l’évènement \(A\) : \(x=p(A)\).

Partie A

1. Reproduire et compléter l’arbre ci-contre décrivant la situation, en indiquant sur chaque branche la probabilité correspondante.

2. a. Démontrer l’égalité : \(p(T)=0{,}927x+0{,}043\).

b. En déduire la probabilité que l’individu choisi soit allergique.

3. Justifier par un calcul l’affirmation suivante :

« Si le test d’un individu choisi au hasard est positif, il y a plus de 80 % de chances que cet individu soit allergique ».

Partie B

On réalise une enquête sur les allergies dans une ville en interrogeant 150 habitants choisis au hasard, et on admet que ce choix se ramène à des tirages successifs indépendants avec remise.

On sait que la probabilité qu’un habitant choisi au hasard dans cette ville soit allergique est égale à \(0{,}08\).

On note \(X\) la variable aléatoire qui à un échantillon de 150 habitants choisis au hasard associe le nombre de personnes allergiques dans cet échantillon.

1. Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire \(X\) ?

Préciser ses paramètres.

2. Déterminer la probabilité que 20 personnes exactement parmi les 150 interrogées soient allergiques.

3. Déterminer la probabilité qu’au moins 10 % des personnes parmi les 150 interrogées soient allergiques.

Exercice 4 (7 points)

PARTIE A

On définit sur l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\) la fonction \(g\) par :

\[g(x)=\dfrac2x-\dfrac{1}{x^2}+\ln x\quad\text{où ln désigne la fonction logarithme népérien.}\]

On admet que la fonction \(g\) est dérivable sur \(]0\,;\,+\infty[\,=I\) et on note \(g^{\prime}\) sa fonction dérivée.

1. Montrer que pour \(x\gt0\), le signe de \(g^{\prime}(x)\) est celui du trinôme du second degré \((x^2-2x+2)\).

2. En déduire que la fonction \(g\) est strictement croissante sur \(]0\,;\,+\infty[\).

3. Montrer que l’équation \(g(x)=0\) admet une unique solution sur l’intervalle \([0{,}5\,;\,1]\), que l’on notera \(\alpha\).

4. On donne le tableau de signes de \(g\) sur l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\,=I\) :

\(x\)	0		\(\alpha\)		\(+\infty\)
\(g(x)\)	\|\|	\(-\)	0	\(+\)

Justifier ce tableau de signes à l’aide des résultats obtenus aux questions précédentes.

PARTIE B

On considère la fonction \(f\) définie sur l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\,=I\) par :

\[f(x)=\text{e}^x\ln x.\]

On note \(\mathcal{C}_f\) la courbe représentative de \(f\) dans un repère orthonormé.

1. On admet que la fonction \(f\) est deux fois dérivable sur \(]0\,;\,+\infty[\), on note \(f^{\prime}\) sa fonction dérivée, \(f^{\prime\prime}\) sa fonction dérivée seconde et on admet que :

pour tout nombre réel \(x\gt0\), \(f^{\prime}(x)=\text{e}^x(\dfrac1x+\ln x)\).

Démontrer que, pour tout nombre réel \(x\gt0\), on a : \(f^{\prime\prime}(x)=\text{e}^x(\dfrac2x-\dfrac{1}{x^2}+\ln x)\).

2. On pourra remarquer que pour tout réel \(x\gt0\), \(f^{\prime\prime}(x)=\text{e}^x\times g(x)\), où \(g\) désigne la fonction étudiée dans la partie A.

3. a. Dresser le tableau de signes de la fonction \(f^{\prime\prime}\) sur \(]0\,;\,+\infty[\). Justifier.

b. Justifier que la courbe \(\mathcal{C}_f\) admet un unique point d’inflexion A.

c. Étudier la convexité de la fonction \(f\) sur l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\). Justifier.

4. a. Calculer les limites de \(f\) aux bornes de son ensemble de définition.

b. Montrer que \(f^{\prime}(\alpha)=\dfrac{\text{e}^{\alpha}}{\alpha^2}(1-\alpha)\).

On rappelle que \(\alpha\) est l’unique solution de l’équation \(g(x)=0\).

c. Démontrer que \(f^{\prime}(\alpha)\gt0\) et en déduire le signe de \(f^{\prime}(x)\) pour \(x\) appartenant à \(]0\,;\,+\infty[\).

d. En déduire le tableau de variations complet de la fonction \(f\) sur \(]0\,;\,+\infty[\).

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

1. Il suffit de dériver chaque proposition et de retrouver \(f\). Pour la réponse d, la dérivée de \(\text{e}^{u}\) étant \(u^{\prime}\text{e}^{u}\) avec \(u(x)=x^2-3\) et \(u^{\prime}(x)=2x\), on obtient \(F^{\prime}(x)=\dfrac12\times 2x\,\text{e}^{x^2-3}=x\,\text{e}^{x^2-3}=f(x)\). Réponse d.

Les autres ne conviennent pas : par exemple, en a, \(F^{\prime}(0)=2\text{e}^{-3}\neq0=f(0)\).

2. Pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=\text{e}^{2(n+1)+1}=\text{e}^{2n+1+2}=\text{e}^{2}\times \text{e}^{2n+1}=\text{e}^2\,u_n\). On passe d’un terme au suivant en multipliant toujours par \(\text{e}^2\) : la suite est géométrique de raison \(\text{e}^2\). Réponse c.

3. La boucle while se répète tant que sa condition est vraie. On veut qu’elle s’arrête dès que \(u\gt10\,000\) : il faut donc qu’elle continue tant que \(u\leq\,10\,000\). Réponse a.

4. Pour tout entier naturel \(n\), \(v_{n+1}=u_{n+1}+60=1{,}2u_n+12+60=1{,}2u_n+72=1{,}2(u_n+60)=1{,}2\,v_n\). La suite \((v_n)\) est géométrique de raison 1,2 (de premier terme \(v_0=75\)). Réponse b.

Exercice 2 :

1. a. On calcule \(\vec{\text{AB}}\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\) et \(\vec{\text{AC}}\begin{pmatrix}1\\-2\\0\end{pmatrix}\). La troisième coordonnée de \(\vec{\text{AC}}\) est nulle alors que celle de \(\vec{\text{AB}}\) vaut 3 : aucun réel \(k\) ne vérifie \(\vec{\text{AB}}=k\,\vec{\text{AC}}\). Les vecteurs ne sont pas colinéaires, les points A, B, C ne sont donc pas alignés : ils définissent un plan \(\mathcal{P}\).

b. On a \(\vec{\text{CD}}\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}\). Dans le repère orthonormé :

\(\vec{\text{CD}}\cdot\vec{\text{AB}}=2\times 2+1\times (-1)+(-1)\times 3=4-1-3=0\) et \(\vec{\text{CD}}\cdot\vec{\text{AC}}=2\times 1+1\times (-2)+(-1)\times 0=0\).

Le vecteur \(\vec{\text{CD}}\) est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan \(\mathcal{P}\) : la droite (CD) est orthogonale au plan \(\mathcal{P}\). Comme de plus C appartient à \(\mathcal{P}\), C est le projeté orthogonal du point D sur le plan \(\mathcal{P}\).

c. Le vecteur \(\vec{\text{CD}}\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}\) est normal à \(\mathcal{P}\), donc \(\mathcal{P}\) a une équation de la forme \(2x+y-z+d=0\). Le point \(\text{A}(1\,;\,0\,;\,-1)\) est dans le plan : \(2+0+1+d=0\), d’où \(d=-3\). Une équation cartésienne de \(\mathcal{P}\) est bien \(2x+y-z-3=0\). (Vérification : B donne \(6-1-2-3=0\) et C donne \(4-2+1-3=0\).)

2. a. \(\text{CD}=\sqrt{2^2+1^2+(-1)^2}=\sqrt{6}\), donc \(\text{CD}=\sqrt6\).

b. Soit M un point de \(\mathcal{P}\) distinct de C. La droite (CD) étant orthogonale à \(\mathcal{P}\), elle est orthogonale à la droite (CM) contenue dans ce plan : le triangle CDM est rectangle en C. Le théorème de Pythagore donne \(\text{MD}^2=\text{CD}^2+\text{CM}^2=6+\text{CM}^2\gt6\), puisque \(\text{CM}\gt0\). Donc \(\text{MD}\gt\sqrt6\) : il n’existe aucun point M de \(\mathcal{P}\), autre que C, tel que \(\text{MD}=\sqrt6\). C’est la propriété du projeté orthogonal : C est l’unique point du plan le plus proche de D.

3. a. Soit \(M(0\,;\,2+t\,;\,-1+t)\) un point quelconque de \(\Delta\). En remplaçant dans l’équation de \(\mathcal{P}\) : \(2\times 0+(2+t)-(-1+t)-3=2+t+1-t-3=0\). L’égalité est vraie pour tout réel \(t\) : tous les points de \(\Delta\) sont dans \(\mathcal{P}\), donc \(\Delta\) est incluse dans \(\mathcal{P}\).

b. Pour \(t=-2\), on obtient le point \(\text{K}(0\,;\,0\,;\,-3)\) de \(\Delta\). Un vecteur directeur de \(\Delta\) est \(\vec{u}\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\) (coefficients de \(t\)) et \(\vec{\text{DK}}\begin{pmatrix}0-4\\0+1\\-3+2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\1\\-1\end{pmatrix}\).

Alors \(\vec{\text{DK}}\cdot\vec{u}=-4\times 0+1\times 1+(-1)\times 1=0\) : la droite (DK) est perpendiculaire à \(\Delta\) en K, point de \(\Delta\). K est donc le projeté orthogonal de D sur \(\Delta\) : H est le point de paramètre \(t=-2\), c’est-à-dire \(\text{H}(0\,;\,0\,;\,-3)\).

c. La distance de D à la droite \(\Delta\) est la longueur DH : \(\text{DH}=\sqrt{(-4)^2+1^2+(-1)^2}=\sqrt{18}=\sqrt{9\times 2}\), soit \(\text{DH}=3\sqrt2\).

Exercice 3 :

Partie A

1. Traduisons les données : \(p(A)=x\), donc \(p(\overline{A})=1-x\) ; \(p_A(T)=0{,}97\), donc \(p_A(\overline{T})=0{,}03\) ; \(p_{\overline{A}}(\overline{T})=0{,}957\), donc \(p_{\overline{A}}(T)=0{,}043\). L’arbre complété porte :

Premier niveau	Second niveau
\(A\) : \(x\)	\(T\) : 0,97 ; \(\overline{T}\) : 0,03
\(\overline{A}\) : \(1-x\)	\(T\) : 0,043 ; \(\overline{T}\) : 0,957

2. a. Les évènements \(A\) et \(\overline{A}\) forment une partition de l’univers. D’après la formule des probabilités totales :

\[p(T)=p(A)\,p_A(T)+p(\overline{A})p_{\overline{A}}(T)=0{,}97x+0{,}043(1-x)=0{,}97x-0{,}043x+0{,}043.\]

On obtient bien \(p(T)=0{,}927x+0{,}043\).

b. On sait que \(p(T)=0{,}2\), donc \(0{,}927x+0{,}043=0{,}2\), soit \(0{,}927x=0{,}157\) et \(x=\dfrac{0{,}157}{0{,}927}\approx0{,}16936\). La probabilité que l’individu soit allergique est \(p(A)\approx0{,}169\).

3. On cherche la probabilité conditionnelle \(p_T(A)=\dfrac{p(A\cap T)}{p(T)}=\dfrac{0{,}97x}{0{,}2}=4{,}85x\). Avec la valeur exacte \(x=\dfrac{0{,}157}{0{,}927}\), on trouve \(p_T(A)=\dfrac{4{,}85\times 0{,}157}{0{,}927}\approx0{,}821\).

Ainsi \(p_T(A)\approx0{,}821\gt0{,}8\) : l’affirmation est vraie, un individu dont le test est positif a environ 82 % de chances d’être allergique.

Partie B

1. On répète 150 fois, de manière identique et indépendante (tirages avec remise), une épreuve de Bernoulli dont le succès « l’habitant est allergique » a pour probabilité 0,08. La variable \(X\), qui compte les succès, suit la loi binomiale de paramètres \(n=150\) et \(p=0{,}08\).

2. \(p(X=20)=\dbinom{150}{20}\times 0{,}08^{20}\times 0{,}92^{130}\approx0{,}00821\), soit \(p(X=20)\approx0{,}008\).

3. 10 % de 150 personnes représentent 15 personnes. On cherche \(p(X\geq\,15)=1-p(X\leq\,14)\). La calculatrice donne \(p(X\leq\,14)\approx0{,}7797\), d’où \(p(X\geq\,15)\approx0{,}220\).

Exercice 4 :

Partie A

1. Pour \(x\gt0\), on dérive terme à terme : la dérivée de \(\dfrac2x\) est \(-\dfrac{2}{x^2}\), celle de \(-\dfrac{1}{x^2}=-x^{-2}\) est \(2x^{-3}=\dfrac{2}{x^3}\), celle de \(\ln x\) est \(\dfrac1x\). En réduisant au même dénominateur \(x^3\) :

\[g^{\prime}(x)=-\dfrac{2}{x^2}+\dfrac{2}{x^3}+\dfrac1x=\dfrac{-2x+2+x^2}{x^3}=\dfrac{x^2-2x+2}{x^3}.\]

Pour \(x\gt0\), on a \(x^3\gt0\) : \(g^{\prime}(x)\) a le même signe que \(x^2-2x+2\).

2. Le discriminant du trinôme \(x^2-2x+2\) est \(\Delta=(-2)^2-4\times 1\times 2=-4\lt0\). Le trinôme n’a donc pas de racine et garde le signe de son coefficient dominant 1 : il est strictement positif pour tout réel \(x\). (On peut aussi écrire \(x^2-2x+2=(x-1)^2+1\geq\,1\).) Par conséquent \(g^{\prime}(x)\gt0\) sur \(]0\,;\,+\infty[\) et \(g\) est strictement croissante sur \(]0\,;\,+\infty[\).

3. Sur \([0{,}5\,;\,1]\), la fonction \(g\) est continue (car dérivable) et strictement croissante. De plus :

\(g(0{,}5)=\dfrac{2}{0{,}5}-\dfrac{1}{0{,}25}+\ln(0{,}5)=4-4-\ln2=-\ln2\approx-0{,}69\lt0\) et \(g(1)=2-1+\ln1=1\gt0\).

Le nombre 0 est compris entre \(g(0{,}5)\) et \(g(1)\). D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (appliqué à une fonction continue et strictement monotone), l’équation \(g(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \([0{,}5\,;\,1]\). La calculatrice donne \(\alpha\approx0{,}592\).

4. La fonction \(g\) est strictement croissante sur \(]0\,;\,+\infty[\) et \(g(\alpha)=0\). Donc :

si \(0\lt x\lt\alpha\), alors \(g(x)\lt g(\alpha)=0\) ;
si \(x\gt\alpha\), alors \(g(x)\gt g(\alpha)=0\).

Comme \(g\) est strictement croissante sur tout \(]0\,;\,+\infty[\), \(\alpha\) est aussi la seule solution de \(g(x)=0\) sur cet intervalle. Le tableau de signes proposé est donc justifié : \(g\) est négative sur \(]0\,;\,\alpha[\), nulle en \(\alpha\) et positive sur \(]\alpha\,;\,+\infty[\).

Partie B

1. On dérive \(f^{\prime}(x)=\text{e}^x\times v(x)\) avec \(v(x)=\dfrac1x+\ln x\) et \(v^{\prime}(x)=-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac1x\). La formule \((uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}\) donne :

\[f^{\prime\prime}(x)=\text{e}^x(\dfrac1x+\ln x)+\text{e}^x(-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac1x)=\text{e}^x(\dfrac1x+\dfrac1x-\dfrac{1}{x^2}+\ln x).\]

Donc \(f^{\prime\prime}(x)=\text{e}^x(\dfrac2x-\dfrac{1}{x^2}+\ln x)\) pour tout \(x\gt0\).

2. On reconnaît dans la parenthèse l’expression de \(g(x)\) : \(f^{\prime\prime}(x)=\text{e}^x\times g(x)\).

3. a. Pour tout réel \(x\), \(\text{e}^x\gt0\) : \(f^{\prime\prime}(x)\) a le même signe que \(g(x)\), étudié en partie A.

\(x\)	0		\(\alpha\)		\(+\infty\)
signe de \(f^{\prime\prime}(x)\)	\|\|	\(-\)	0	\(+\)

b. Un point d’inflexion est un point où la courbe traverse sa tangente, ce qui se produit lorsque \(f^{\prime\prime}\) s’annule en changeant de signe. D’après le tableau, \(f^{\prime\prime}\) ne s’annule qu’en \(\alpha\), où elle passe du signe \(-\) au signe \(+\). La courbe \(\mathcal{C}_f\) admet donc un unique point d’inflexion A, d’abscisse \(\alpha\) (numériquement \(\text{A}(\alpha\,;\,f(\alpha))\) avec \(\alpha\approx0{,}592\) et \(f(\alpha)\approx-0{,}948\)).

c. Une fonction est convexe sur un intervalle où sa dérivée seconde est positive, concave là où elle est négative. Donc \(f\) est concave sur \(]0\,;\,\alpha]\) et convexe sur \([\alpha\,;\,+\infty[\).

4. a. En 0 : \(\lim\limits_{x\to0}\text{e}^x=1\) et \(\lim\limits_{x\to0,\,x\gt0}\ln x=-\infty\), donc par produit \(\lim\limits_{x\to0}f(x)=-\infty\) (la courbe admet l’axe des ordonnées pour asymptote verticale).

En \(+\infty\) : \(\lim\limits_{x\to+\infty}\text{e}^x=+\infty\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}\ln x=+\infty\), donc par produit \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\).

b. Puisque \(g(\alpha)=0\), on a \(\dfrac2\alpha-\dfrac{1}{\alpha^2}+\ln\alpha=0\), d’où \(\ln\alpha=\dfrac{1}{\alpha^2}-\dfrac{2}{\alpha}\). En reportant dans \(f^{\prime}(\alpha)\) :

\[f^{\prime}(\alpha)=\text{e}^{\alpha}(\dfrac1\alpha+\dfrac{1}{\alpha^2}-\dfrac2\alpha)=\text{e}^{\alpha}(\dfrac{1}{\alpha^2}-\dfrac1\alpha)=\text{e}^{\alpha}\times \dfrac{1-\alpha}{\alpha^2}.\]

On obtient bien \(f^{\prime}(\alpha)=\dfrac{\text{e}^{\alpha}}{\alpha^2}(1-\alpha)\).

c. On a \(\text{e}^{\alpha}\gt0\), \(\alpha^2\gt0\), et \(\alpha\in[0{,}5\,;\,1]\) avec \(\alpha\neq1\) (car \(g(1)=1\neq0\)), donc \(\alpha\lt1\) et \(1-\alpha\gt0\). Par produit et quotient de nombres strictement positifs, \(f^{\prime}(\alpha)\gt0\) (numériquement \(f^{\prime}(\alpha)\approx2{,}11\)).

Pour le signe de \(f^{\prime}\), utilisons les variations de \(f^{\prime}\) : sa dérivée est \(f^{\prime\prime}\), négative sur \(]0\,;\,\alpha]\) et positive sur \([\alpha\,;\,+\infty[\). La fonction \(f^{\prime}\) est donc décroissante puis croissante : elle admet en \(\alpha\) un minimum égal à \(f^{\prime}(\alpha)\). Pour tout \(x\gt0\), \(f^{\prime}(x)\geq\, f^{\prime}(\alpha)\gt0\) : \(f^{\prime}(x)\gt0\) sur \(]0\,;\,+\infty[\).

d. La dérivée étant strictement positive, \(f\) est strictement croissante sur \(]0\,;\,+\infty[\), de \(-\infty\) à \(+\infty\) :

\(x\)	0		\(+\infty\)
signe de \(f^{\prime}(x)\)	\|\|	\(+\)
variations de \(f\)	\|\| \(-\infty\)	↗	\(+\infty\)

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