Bac maths 2023 La Réunion J1 : sujet et corrigé

Voici le sujet 1 du bac de spécialité mathématiques 2023 à La Réunion, posé le 28 mars 2023, suivi d’un corrigé détaillé de toutes les questions sur cette page. Le premier exercice suit une campagne de démarchage téléphonique en deux appels : arbre pondéré, probabilité conditionnelle, loi binomiale et recherche d’une taille d’échantillon. Le deuxième étudie la fonction \(3x+1-2x\ln(x)\) : limites, variations, équation \(f(x)=0\), primitive et concavité pour aboutir à l’inégalité \(\ln(x)\geq\, 1-\frac{1}{x}\). Le troisième mêle un QCM et un raisonnement par récurrence sur une suite définie par \(u_{n+1}=\frac{1}{2}u_n+\frac{1}{2}n+1\). Le dernier se déroule dans un cube : plan normal, projeté orthogonal, triangle rectangle et volume d’un tétraèdre.

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BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2023
Mathématiques — Sujet 1
La Réunion — 28 mars 2023
Durée de l’épreuve : 4 heures

Exercice 1 (5 points)

Une entreprise appelle des personnes par téléphone pour leur vendre un produit.

L’entreprise appelle chaque personne une première fois :
- la probabilité que la personne ne décroche pas est égale à 0,6 ;
- si la personne décroche, la probabilité qu’elle achète le produit est égale à 0,3.
Si la personne n’a pas décroché au premier appel, on procède à un second appel :
- la probabilité que la personne ne décroche pas est égale à 0,3 ;
- si la personne décroche, la probabilité qu’elle achète le produit est égale à 0,2.
Si une personne ne décroche pas au second appel, on cesse de la contacter.

On choisit une personne au hasard et on considère les évènements suivants :

\(D_1\) : « la personne décroche au premier appel » ;
\(D_2\) : « la personne décroche au deuxième appel » ;
\(A\) : « la personne achète le produit ».

Les deux parties peuvent être traitées de manière indépendante

Partie A

1. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-contre.

2. En utilisant l’arbre pondéré, montrer que la probabilité de l’évènement \(A\) est \(P(A)=0{,}204\).

3. On sait que la personne a acheté le produit.
Quelle est la probabilité qu’elle ait décroché au premier appel ?

Partie B

On rappelle que, pour une personne donnée, la probabilité qu’elle achète le produit est égale à 0,204.

1. On considère un échantillon aléatoire de 30 personnes.
On note \(X\) la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes de l’échantillon qui achètent le produit.

a. On admet que \(X\) suit une loi binomiale. Donner, sans justifier, ses paramètres.

b. Déterminer la probabilité qu’exactement 6 personnes de l’échantillon achètent le produit. Arrondir le résultat au millième.

c. Calculer l’espérance de la variable aléatoire \(X\).

Interpréter le résultat.

2. Soit \(n\) un entier naturel non nul.
On considère désormais un échantillon de \(n\) personnes.
Déterminer la plus petite valeur de \(n\) telle que la probabilité qu’au moins l’une des personnes de l’échantillon achète le produit soit supérieure ou égale à 0,99.

Exercice 2 (5 points)

On considère la fonction \(f\) définie sur \(]0~;~+\infty[\) par :

\[f(x)=3x+1-2x\ln(x).\]

On admet que la fonction \(f\) est deux fois dérivable sur \(]0~;~+\infty[\).
On note \(f^{\prime}\) sa dérivée et \(f^{\prime\prime}\) sa dérivée seconde.
On note \(\mathcal{C}_f\) sa courbe représentative dans un repère du plan.

1. Déterminer la limite de la fonction \(f\) en 0 et en \(+\infty\).

2. a. Démontrer que pour tout réel \(x\) strictement positif : \(f^{\prime}(x)=1-2\ln(x)\).

b. Étudier le signe de \(f^{\prime}\) et dresser le tableau de variation de la fonction \(f\) sur l’intervalle \(]0~;~+\infty[\).
On fera figurer dans ce tableau les limites ainsi que la valeur exacte de l’extremum.

3. a. Démontrer que l’équation \(f(x)=0\) admet une unique solution sur \(]0~;~+\infty[\). On notera \(\alpha\) cette solution.

b. En déduire le signe de la fonction \(f\) sur \(]0~;~+\infty[\).

4. On considère une primitive quelconque de la fonction \(f\) sur l’intervalle \(]0~;~+\infty[\). On la note \(F\).
Peut-on affirmer que la fonction \(F\) est strictement décroissante sur l’intervalle \([\text{e}^{\frac{1}{2}}~;~+\infty[\) ? Justifier.

5. a. Étudier la convexité de la fonction \(f\) sur \(]0~;~+\infty[\).
Quelle est la position de la courbe \(\mathcal{C}_f\) par rapport à ses tangentes ?

b. Déterminer une équation de la tangente \(T\) à la courbe \(\mathcal{C}_f\) au point d’abscisse 1.

c. Déduire des questions 5. a et 5. b que pour tout réel \(x\) strictement positif :

\[\ln(x)\geq\, 1-\dfrac{1}{x}.\]

Exercice 3 (5 points)

On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=3\) et, pour tout entier naturel \(n\),

\[u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n+\dfrac{1}{2}n+1.\]

Partie A

Cette partie est un questionnaire à choix multiples.
Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Une réponse fausse, une absence de réponse, ou une réponse multiple, ne rapporte ni n’enlève de point.

1. La valeur de \(u_2\) est égale à :

a.	b.	c.	b.
\(\dfrac{11}{4}\)	\(\dfrac{13}{2}\)	\(3{,}5\)	\(2{,}7\)

2. La suite \((v_n)\) définie, pour tout entier naturel \(n\), par \(v_n=u_n-n\) est :

a.	b.	c.	d.
arithmétique de raison \(\dfrac{1}{2}\)	géométrique de raison \(\dfrac{1}{2}\)	constante.	ni arithmétique, ni géométrique.

3. On considère la fonction ci-dessous, écrite de manière incomplète en langage Python.

\(n\) désigne un entier naturel non nul.
On rappelle qu’en langage Python « i in range (n) » signifie que i varie de 0 à \(n-1\).

1  def terme (n)
2      U=3
3      for i in range(n):
4  ......................
5      return U

Pour que terme (n) renvoie la valeur de \(u_n\), on peut compléter la ligne 4 par :

a.	b.	c.	d.
`U = U/2 + (i+1)/2+1`	`U = U/2 + n/2 + 1`	`U = U/2 + (i-1)/2+1`	`U = U/2 + i/2 + 1`

Partie B

1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\) :

\[n\leq\, u_n\leq\, n+3.\]

2. En déduire la limite de la suite \((u_n)\).

3. Déterminer la limite de la suite \((\dfrac{u_n}{n})\).

Exercice 4 (5 points)

On considère le cube ABCDEFGH ci-dessous tel que AB = 1.
On note M le centre de la face BCGF et N le centre de la face EFGH.

On se place dans le repère orthonormé \((\text{D}~;~\vec{\text{DH}},~\vec{\text{DC}},~\vec{\text{DA}})\).

1. Donner sans justifier les coordonnées des points F et C.

2. Calculer les coordonnées des points M et N.

3. a. Démontrer que le vecteur \(\vec{\text{AG}}\) est normal au plan (HFC).

b. En déduire une équation cartésienne du plan (HFC).

4. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AG).

5. Démontrer que le point R de coordonnées \((\dfrac{2}{3}~;~\dfrac{2}{3}~;~\dfrac{1}{3})\) est le projeté orthogonal du point G sur le plan (HFC).

6. On admet qu’une représentation paramétrique de la droite (FG) est :

\[\{\begin{array}{l c l} x = 1\\ y = 1\\ z = t \end{array}.\quad (t\in\mathbb{R}).\]

Démontrer qu’il existe un unique point K sur la droite (FG) tel que le triangle KMN soit rectangle en K.

7. Quelle fraction du volume du cube ABCDEFGH le volume du tétraèdre FNKM représente-t-il ?

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

Partie A

1. Chaque groupe de branches issues d’un même nœud a une somme de poids égale à 1. Au premier appel, la personne décroche avec la probabilité \(P(D_1)=1-0{,}6=0{,}4\). Si elle a décroché, elle n’achète pas avec la probabilité \(P_{D_1}(\overline{A})=1-0{,}3=0{,}7\). Si elle n’a pas décroché au premier appel, elle décroche au second avec la probabilité \(P_{\overline{D_1}}(D_2)=1-0{,}3=0{,}7\) et ne décroche pas avec la probabilité \(0{,}3\). Enfin, si elle décroche au second appel, elle achète avec la probabilité \(0{,}2\) et n’achète pas avec la probabilité \(0{,}8\).

2. Une personne achète le produit soit en décrochant dès le premier appel, soit en ne décrochant pas au premier puis en décrochant au second. Ces deux chemins sont incompatibles, donc d’après la formule des probabilités totales :

\[P(A)=P(D_1)\times P_{D_1}(A)+P(\overline{D_1})\times P_{\overline{D_1}}(D_2)\times P_{\overline{D_1}\cap D_2}(A)\]

\[P(A)=0{,}4\times 0{,}3+0{,}6\times 0{,}7\times 0{,}2=0{,}12+0{,}084=0{,}204.\]

On retrouve bien \(P(A)=0{,}204\).

3. On cherche la probabilité conditionnelle \(P_A(D_1)\) :

\[P_A(D_1)=\dfrac{P(A\cap D_1)}{P(A)}=\dfrac{0{,}4\times 0{,}3}{0{,}204}=\dfrac{0{,}12}{0{,}204}=\dfrac{10}{17}\approx 0{,}588.\]

Sachant que la personne a acheté le produit, la probabilité qu’elle ait décroché au premier appel est \(\dfrac{10}{17}\approx 0{,}588\).

Partie B

1. a. On répète 30 fois, de façon indépendante, une épreuve à deux issues dont le succès « la personne achète » a pour probabilité 0,204. \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n=30\) et \(p=0{,}204\).

b. D’après la formule de la loi binomiale :

\[P(X=6)=\binom\,{30}{6}\times 0{,}204^{6}\times 0{,}796^{24}\approx 0{,}179.\]

La probabilité qu’exactement 6 personnes achètent le produit est environ 0,179.

c. L’espérance d’une loi binomiale vaut \(np\) :

\[E(X)=30\times 0{,}204=6{,}12.\]

\(E(X)=6{,}12\) : sur un grand nombre d’échantillons de 30 personnes, l’entreprise vend en moyenne environ 6,12 produits par échantillon de 30 personnes contactées.

2. Notons \(Y\) le nombre d’acheteurs parmi les \(n\) personnes ; \(Y\) suit la loi binomiale de paramètres \(n\) et 0,204. L’évènement « au moins une personne achète » est le contraire de « personne n’achète », donc :

\[P(Y\geq\, 1)=1-P(Y=0)=1-0{,}796^{n}.\]

On résout :

\[1-0{,}796^{n}\geq\, 0{,}99\iff 0{,}796^{n}\leq\, 0{,}01\iff n\ln(0{,}796)\leq\, \ln(0{,}01).\]

Comme \(\ln(0{,}796)\lt 0\), diviser par ce nombre change le sens de l’inégalité :

\[n\geq\, \dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}796)}\approx 20{,}18.\]

Vérification : \(1-0{,}796^{20}\approx 0{,}9896\lt 0{,}99\) et \(1-0{,}796^{21}\approx 0{,}9917\geq\, 0{,}99\). La plus petite valeur cherchée est \(n=21\).

Exercice 2 :

1. Limite en 0. On sait (croissance comparée) que \(\lim\limits_{x\to 0^+}x\ln(x)=0\). Comme \(\lim\limits_{x\to 0^+}(3x+1)=1\), on obtient par somme \(\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=1\).

Limite en \(+\infty\). On factorise par \(x\) : \(f(x)=x(3-2\ln(x))+1\). Quand \(x\to+\infty\), \(\ln(x)\to+\infty\), donc \(3-2\ln(x)\to-\infty\) ; par produit avec \(x\to+\infty\), \(x(3-2\ln(x))\to-\infty\) et donc \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-\infty\).

2. a. On dérive \(2x\ln(x)\) comme un produit \(uv\) avec \(u(x)=2x\), \(v(x)=\ln(x)\) : \((2x\ln(x))^{\prime}=2\ln(x)+2x\times \dfrac{1}{x}=2\ln(x)+2\). Ainsi, pour tout \(x\gt 0\) :

\[f^{\prime}(x)=3-(2\ln(x)+2)=1-2\ln(x).\]

b. On résout \(f^{\prime}(x)\gt 0\iff 1-2\ln(x)\gt 0\iff \ln(x)\lt\dfrac{1}{2}\iff x\lt\text{e}^{\frac{1}{2}}\), par stricte croissance de l’exponentielle. Donc \(f^{\prime}\) est strictement positive sur \(]0~;~\text{e}^{\frac{1}{2}}[\), nulle en \(\text{e}^{\frac{1}{2}}=\sqrt{\text{e}}\) et strictement négative sur \(]\text{e}^{\frac{1}{2}}~;~+\infty[\).

La valeur du maximum : \(f(\text{e}^{\frac{1}{2}})=3\text{e}^{\frac{1}{2}}+1-2\text{e}^{\frac{1}{2}}\times \dfrac{1}{2}=2\text{e}^{\frac{1}{2}}+1\approx 4{,}30\).

\(x\)	\(0\)		\(\text{e}^{\frac{1}{2}}\)		\(+\infty\)
\(f^{\prime}(x)\)	\|\|	\(+\)	\(0\)	\(-\)
\(f\)	\|\| \(1\)	croissante ↗	\(2\text{e}^{\frac{1}{2}}+1\)	décroissante ↘	\(-\infty\)

3. a. Sur \(]0~;~\text{e}^{\frac{1}{2}}]\) : \(f\) est strictement croissante et tend vers 1 en 0, donc pour tout \(x\) de cet intervalle, \(f(x)\gt 1\gt 0\). L’équation \(f(x)=0\) n’y a aucune solution.

Sur \([\text{e}^{\frac{1}{2}}~;~+\infty[\) : \(f\) est continue (car dérivable) et strictement décroissante ; elle part de \(2\text{e}^{\frac{1}{2}}+1\gt 0\) et tend vers \(-\infty\). Comme 0 est compris entre ces deux valeurs, le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (théorème de la bijection) assure que l’équation \(f(x)=0\) possède une unique solution \(\alpha\) sur cet intervalle.

Au total, l’équation \(f(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\) sur \(]0~;~+\infty[\), avec \(\alpha\gt\text{e}^{\frac{1}{2}}\). À la calculatrice, \(\alpha\approx 4{,}96\).

b. D’après l’étude précédente : \(f(x)\gt 0\) sur \(]0~;~\alpha[\), \(f(\alpha)=0\) et \(f(x)\lt 0\) sur \(]\alpha~;~+\infty[\).

4. Une primitive \(F\) de \(f\) vérifie \(F^{\prime}=f\). Les variations de \(F\) sont donc données par le signe de \(f\). Or \(\text{e}^{\frac{1}{2}}\approx 1{,}65\lt\alpha\), et sur \([\text{e}^{\frac{1}{2}}~;~\alpha[\) la fonction \(f\) est strictement positive : \(F\) y est strictement croissante. On ne peut donc pas affirmer que \(F\) est strictement décroissante sur \([\text{e}^{\frac{1}{2}}~;~+\infty[\) : elle n’est strictement décroissante que sur \([\alpha~;~+\infty[\).

5. a. On dérive \(f^{\prime}(x)=1-2\ln(x)\) : \(f^{\prime\prime}(x)=-\dfrac{2}{x}\). Pour tout \(x\gt 0\), \(f^{\prime\prime}(x)\lt 0\), donc \(f\) est concave sur \(]0~;~+\infty[\). Pour une fonction concave, la courbe est située en dessous de chacune de ses tangentes.

b. L’équation de la tangente au point d’abscisse 1 est \(y=f^{\prime}(1)(x-1)+f(1)\). On calcule \(f(1)=3+1-2\times 1\times \ln(1)=4\) et \(f^{\prime}(1)=1-2\ln(1)=1\). Donc \(y=1\times (x-1)+4\), soit \(T : y=x+3\).

c. D’après 5. a, la courbe \(\mathcal{C}_f\) est sous sa tangente \(T\), donc pour tout \(x\gt 0\), \(f(x)\leq\, x+3\). On transforme :

\[3x+1-2x\ln(x)\leq\, x+3\iff 2x-2\leq\, 2x\ln(x).\]

Comme \(2x\gt 0\), on peut diviser par \(2x\) sans changer le sens de l’inégalité :

\[\dfrac{2x-2}{2x}\leq\,\ln(x)\iff 1-\dfrac{1}{x}\leq\,\ln(x).\]

On a bien démontré que pour tout \(x\gt 0\), \(\ln(x)\geq\, 1-\dfrac{1}{x}\).

Exercice 3 :

Partie A

1. On applique la relation de récurrence : \(u_1=\dfrac{1}{2}\times 3+\dfrac{1}{2}\times 0+1=\dfrac{5}{2}\), puis \(u_2=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{5}{2}+\dfrac{1}{2}\times 1+1=\dfrac{5}{4}+\dfrac{2}{4}+\dfrac{4}{4}=\dfrac{11}{4}\). Réponse a.

Remarque : dans le sujet, la quatrième proposition (2,7) est notée « b. » au lieu de « d. » ; c’est une coquille sans conséquence puisque la bonne réponse est la a.

2. Pour tout \(n\) :

\[v_{n+1}=u_{n+1}-(n+1)=\dfrac{1}{2}u_n+\dfrac{1}{2}n+1-n-1=\dfrac{1}{2}u_n-\dfrac{1}{2}n=\dfrac{1}{2}(u_n-n)=\dfrac{1}{2}v_n.\]

La suite \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac{1}{2}\) (et de premier terme \(v_0=3\)). Réponse b.

3. Au passage numéro \(i\) dans la boucle, la variable U contient \(u_i\) et doit recevoir \(u_{i+1}=\dfrac{1}{2}u_i+\dfrac{1}{2}i+1\). L’indice qui intervient est donc \(i\) (et non \(n\), qui est fixe, ni \(i+1\) ou \(i-1\)). Après \(n\) passages, U contient \(u_n\). Réponse d. Le programme complet s’écrit :

def terme(n):
    U = 3
    for i in range(n):
        U = U/2 + i/2 + 1
    return U

Partie B

1. Pour tout entier naturel \(n\), notons \(\mathcal{P}(n)\) la propriété : « \(n\leq\, u_n\leq\, n+3\) ».

Initialisation. Pour \(n=0\) : \(u_0=3\) et on a bien \(0\leq\, 3\leq\, 0+3\). \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.

Hérédité. Soit \(n\) un entier naturel tel que \(\mathcal{P}(n)\) est vraie : \(n\leq\, u_n\leq\, n+3\). En multipliant par \(\dfrac{1}{2}\gt 0\) :

\[\dfrac{n}{2}\leq\,\dfrac{1}{2}u_n\leq\,\dfrac{n}{2}+\dfrac{3}{2}.\]

On ajoute \(\dfrac{1}{2}n+1\) à chaque membre :

\[n+1\leq\, u_{n+1}\leq\, n+\dfrac{5}{2}.\]

Or \(n+\dfrac{5}{2}\leq\, n+4=(n+1)+3\). Donc \(n+1\leq\, u_{n+1}\leq\, (n+1)+3\) : \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie.

Conclusion. La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire, donc pour tout entier naturel \(n\), \(n\leq\, u_n\leq\, n+3\).

2. Pour tout \(n\), \(u_n\geq\, n\) et \(\lim\limits_{n\to+\infty}n=+\infty\). Par le théorème de comparaison, \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=+\infty\).

3. Pour \(n\geq\, 1\), on divise l’encadrement de la question 1 par \(n\gt 0\) :

\[1\leq\,\dfrac{u_n}{n}\leq\, 1+\dfrac{3}{n}.\]

Comme \(\lim\limits_{n\to+\infty}(1+\dfrac{3}{n})=1\), le théorème des gendarmes donne \(\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{u_n}{n}=1\).

Exercice 4 :

Dans le repère \((\text{D}~;~\vec{\text{DH}},~\vec{\text{DC}},~\vec{\text{DA}})\), la première coordonnée se lit selon l’arête [DH], la deuxième selon [DC] et la troisième selon [DA]. On a ainsi D(0 ; 0 ; 0), H(1 ; 0 ; 0), C(0 ; 1 ; 0), A(0 ; 0 ; 1), G(1 ; 1 ; 0), E(1 ; 0 ; 1) et B(0 ; 1 ; 1).

1. \(\vec{\text{DF}}=\vec{\text{DH}}+\vec{\text{DC}}+\vec{\text{DA}}\), donc F(1 ; 1 ; 1) ; et \(\vec{\text{DC}}\) est le deuxième vecteur de base, donc C(0 ; 1 ; 0).

2. M, centre du carré BCGF, est le milieu de sa diagonale [BG] : \(\text{M}(\dfrac{0+1}{2}~;~\dfrac{1+1}{2}~;~\dfrac{1+0}{2})\), soit \(\text{M}(\dfrac{1}{2}~;~1~;~\dfrac{1}{2})\).

N, centre du carré EFGH, est le milieu de sa diagonale [EG] : \(\text{N}(\dfrac{1+1}{2}~;~\dfrac{0+1}{2}~;~\dfrac{1+0}{2})\), soit \(\text{N}(1~;~\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2})\).

3. a. On calcule \(\vec{\text{AG}}\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}\), \(\vec{\text{HF}}\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\) et \(\vec{\text{HC}}\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}\).

Les vecteurs \(\vec{\text{HF}}\) et \(\vec{\text{HC}}\) ne sont pas colinéaires (la première coordonnée de l’un est nulle, pas celle de l’autre) : ils dirigent le plan (HFC). Or :

\[\vec{\text{AG}}\cdot\vec{\text{HF}}=1\times 0+1\times 1+(-1)\times 1=0\quad\text{et}\quad\vec{\text{AG}}\cdot\vec{\text{HC}}=1\times (-1)+1\times 1+(-1)\times 0=0.\]

\(\vec{\text{AG}}\) est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (HFC) : c’est un vecteur normal au plan (HFC).

b. Un plan de vecteur normal \(\vec{\text{AG}}(1~;~1~;~-1)\) a une équation de la forme \(x+y-z+d=0\). Il passe par H(1 ; 0 ; 0), donc \(1+0-0+d=0\), d’où \(d=-1\). Une équation cartésienne du plan (HFC) est \(x+y-z-1=0\). (Contrôle : F donne \(1+1-1-1=0\) et C donne \(0+1-0-1=0\).)

4. La droite (AG) passe par A(0 ; 0 ; 1) et a pour vecteur directeur \(\vec{\text{AG}}(1~;~1~;~-1)\). Une représentation paramétrique est :

\[\{\begin{array}{l c l} x = t\\ y = t\\ z = 1-t \end{array}.\quad (t\in\mathbb{R}).\]

5. Deux conditions sont à vérifier.

R appartient au plan (HFC) : \(\dfrac{2}{3}+\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3}-1=\dfrac{3}{3}-1=0\).

La droite (GR) est orthogonale au plan : \(\vec{\text{GR}}\begin{pmatrix}\frac{2}{3}-1\\ \frac{2}{3}-1\\ \frac{1}{3}-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{1}{3}\\ -\frac{1}{3}\\ \frac{1}{3}\end{pmatrix}=-\dfrac{1}{3}\vec{\text{AG}}\), donc \(\vec{\text{GR}}\) est colinéaire au vecteur normal \(\vec{\text{AG}}\).

R est donc le point du plan (HFC) tel que (GR) soit perpendiculaire à ce plan : R est le projeté orthogonal de G sur le plan (HFC). On remarque que R est aussi sur la droite (AG) (paramètre \(t=\dfrac{2}{3}\)).

6. Un point K de (FG) a des coordonnées de la forme \((1~;~1~;~t)\). Alors :

\[\vec{\text{KM}}\begin{pmatrix}-\frac{1}{2}\\ 0\\ \frac{1}{2}-t\end{pmatrix}\quad\text{et}\quad\vec{\text{KN}}\begin{pmatrix}0\\ -\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}-t\end{pmatrix}.\]

Ces deux vecteurs ne sont jamais nuls (leur première ou deuxième coordonnée vaut \(-\frac{1}{2}\)), donc K est toujours distinct de M et de N. Le triangle KMN est rectangle en K si et seulement si \(\vec{\text{KM}}\cdot\vec{\text{KN}}=0\) :

\[(-\dfrac{1}{2})\times 0+0\times (-\dfrac{1}{2})+(\dfrac{1}{2}-t)^2=0\iff(\dfrac{1}{2}-t)^2=0\iff t=\dfrac{1}{2}.\]

Il existe donc un unique point K qui convient : \(\text{K}(1~;~1~;~\dfrac{1}{2})\), c’est-à-dire le milieu de l’arête [FG].

7. Les points F(1 ; 1 ; 1), N\((1~;~\frac{1}{2}~;~\frac{1}{2})\) et K\((1~;~1~;~\frac{1}{2})\) ont tous pour première coordonnée 1 : ils sont dans le plan de la face EFGH. On prend le triangle FKN comme base.

\(\vec{\text{KF}}(0~;~0~;~\frac{1}{2})\) et \(\vec{\text{KN}}(0~;~-\frac{1}{2}~;~0)\) ont un produit scalaire nul : le triangle FKN est rectangle en K, avec KF = KN = \(\dfrac{1}{2}\). Son aire vaut \(\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{8}\).

La hauteur issue de M est la distance de M au plan de la face EFGH (d’équation \(x=1\)) : \(1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}\). D’où :

\[V_{\text{FNKM}}=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{8}\times \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{48}.\]

Le cube a pour volume \(1^3=1\). Le volume du tétraèdre FNKM représente donc \(\dfrac{1}{48}\) du volume du cube.

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