Bac maths 2023 Mayotte-Liban J2 : sujet et corrigé

Voici le sujet 2 du bac de spécialité mathématiques 2023 de Madagascar et des centres étrangers du groupe 1, passé le 14 mars 2023, avec l’énoncé complet puis un corrigé détaillé de chaque question sur cette même page. On commence par un QCM de cinq questions : primitive de \(x\text{e}^x\), lecture d’une courbe avec maximum et point d’inflexion, paramètres d’une fonction à partir d’une limite, formule de Bayes avec deux urnes et script Python d’une somme d’inverses. Le deuxième exercice étudie la suite \(u_{n+1}=\ln(2u_n+3)-1\) à l’aide d’une fonction auxiliaire et d’une récurrence. Le troisième place une maison cubique et son garage surmonté d’un toit pyramidal dans un repère de l’espace. Le dernier décide, avec une loi binomiale, si un jeu télévisé peut être programmé.

Entraînez-vous avec les autres annales corrigées réunies sur notre page consacrée au bac maths 2027.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2023
Mathématiques — Sujet 2
Centres étrangers groupe 1 (dont Madagascar) — 14 mars 2023
Durée de l’épreuve : 4 heures

Groupe 1 (A) : Burkina Faso, Côte d’Ivoire, Ghana, Guinée, Mali, Mauritanie, Sénégal et Togo. Groupe 1 (B) : Algérie, Angola, Bénin, Cameroun, Congo, Gabon, Irlande, Niger, Nigeria, Portugal, République centrafricaine, République démocratique du Congo, Royaume-Uni, Tchad et Tunisie. Groupe 1 (C) : Belgique, Danemark, Égypte, Guinée équatoriale, Luxembourg, Norvège, Pays-Bas, Suède. Groupe 1 (D) : Afrique du Sud, Arabie saoudite, Bahreïn, Burundi, Comores, Djibouti, Éthiopie, Jordanie, Kenya, Koweït, Madagascar, Mozambique, Qatar. Groupe 1 (E) : Émirats arabes unis, Iran, République de Maurice.

Exercice 1 — QCM (5 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.

Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la proposition choisie.

Aucune justification n’est demandée.

Pour chaque question, une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point.

Question 1 :

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x\text{e}^x\).

Une primitive \(F\) sur \(\mathbb{R}\) de la fonction \(f\) est définie par :

Réponse A	Réponse B	Réponse C	Réponse D
\(F(x)=\dfrac{x^2}{2}\text{e}^x\)	\(F(x)=(x-1)\text{e}^x\)	\(F(x)=(x+1)\text{e}^x\)	\(F(x)=\dfrac{2}{x}\text{e}^{x^2}\)

Question 2 :

La courbe \(\mathcal{C}\) ci-dessous représente une fonction \(f\) définie et deux fois dérivable sur \(]0\,;\,+\infty[\). On sait que :

le maximum de la fonction \(f\) est atteint au point d’abscisse 3 ;
le point P d’abscisse 5 est l’unique point d’inflexion de la courbe \(\mathcal{C}\).

On a :

Réponse A	Réponse B	Réponse C	Réponse D
pour tout \(x\in\,]0\,;\,5[\), \(f(x)\) et \(f^{\prime}(x)\) sont de même signe ;	pour tout \(x\in\,]5\,;\,+\infty[\), \(f(x)\) et \(f^{\prime}(x)\) sont de même signe ;	pour tout \(x\in\,]0\,;\,5[\), \(f^{\prime}(x)\) et \(f^{\prime\prime}(x)\) sont de même signe ;	pour tout \(x\in\,]5\,;\,+\infty[\), \(f(x)\) et \(f^{\prime\prime}(x)\) sont de même signe.

Question 3 :

On considère la fonction \(g\) définie sur \([0\,;\,+\infty[\) par \(g(t)=\dfrac{a}{b+\text{e}^{-t}}\) où \(a\) et \(b\) sont deux nombres réels.

On sait que \(g(0)=2\) et \(\lim\limits_{t\to+\infty}g(t)=3\).

Les valeurs de \(a\) et \(b\) sont :

Réponse A	Réponse B	Réponse C	Réponse D
\(a=2\) et \(b=3\)	\(a=4\) et \(b=\dfrac43\)	\(a=4\) et \(b=1\)	\(a=6\) et \(b=2\)

Question 4 :

Alice dispose de deux urnes A et B contenant chacune quatre boules indiscernables au toucher.

L’urne A contient deux boules vertes et deux boules rouges.

L’urne B contient trois boules vertes et une boule rouge.

Alice choisit au hasard une urne puis une boule dans cette urne. Elle obtient une boule verte.

La probabilité qu’elle ait choisi l’urne B est :

Réponse A	Réponse B	Réponse C	Réponse D
\(\dfrac38\)	\(\dfrac12\)	\(\dfrac35\)	\(\dfrac58\)

Question 5 :

On pose \(S=1+\dfrac12+\dfrac13+\dfrac14+\ldots+\dfrac{1}{100}\).

Parmi les scripts Python ci-dessous, celui qui permet de calculer la somme \(S\) est :

def somme_a():
    S = 0
    for k in range(100):
        S=1/(k+1)
    return S

def somme_b():
    S = 0
    for k in range(100) :
        S = S + 1/(k + 1)
    return S

def somme_c():
    k = 0
    while S < 100 :
        S = S+1/(k+1)
    return S

def somme_d():
    k = 0
    while k < 100:
        S = S + 1/(k + 1)
    return S

Exercice 2 (6 points)

On considère la fonction \(f\) définie sur \(]-1{,}5\,;\,+\infty[\) par

\[f(x)=\ln(2x+3)-1.\]

Le but de cet exercice est d’étudier la convergence de la suite \((u_n)\) définie par :

\(u_0=0\) et \(u_{n+1}=f(u_n)\) pour tout entier naturel \(n\).

Partie A : Étude d’une fonction auxiliaire

On considère la fonction \(g\) définie sur \(]-1{,}5\,;\,+\infty[\) par \(g(x)=f(x)-x\).

1. Déterminer la limite de la fonction \(g\) en \(-1{,}5\).

On admet que la limite de la fonction \(g\) en \(+\infty\) est \(-\infty\).

2. Étudier les variations de la fonction \(g\) sur \(]-1{,}5\,;\,+\infty[\).

3. a. Démontrer que, dans l’intervalle \(]-0{,}5\,;\,+\infty[\), l’équation \(g(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\).

b. Déterminer un encadrement de \(\alpha\) d’amplitude \(10^{-2}\).

Partie B : Étude de la suite \((u_n)\)

On admet que la fonction \(f\) est strictement croissante sur \(]-1{,}5\,;\,+\infty[\).

1. Soit \(x\) un nombre réel. Montrer que si \(x\in[-1\,;\,\alpha]\) alors \(f(x)\in[-1\,;\,\alpha]\).

2. a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\) :

\[-1\leq\, u_n\leq\, u_{n+1}\leq\,\alpha.\]

b. En déduire que la suite \((u_n)\) converge.

Exercice 3 (6 points)

La figure ci-dessous correspond à la maquette d’un projet architectural.

Il s’agit d’une maison de forme cubique (ABCDEFGH) accolée à un garage de forme cubique (BIJKLMNO) où L est le milieu du segment [BF] et K est le milieu du segment [BC].

Le garage est surmonté d’un toit de forme pyramidale (LMNOP) de base carrée LMNO et de sommet P positionné sur la façade de la maison.

On munit l’espace du repère orthonormé \((\text{A}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k})\), avec \(\vec{\imath}=\dfrac12\vec{\text{AB}}\), \(\vec{\jmath}=\dfrac12\vec{\text{AD}}\) et \(\vec{k}=\dfrac12\vec{\text{AE}}\).

1. a. Par lecture graphique, donner les coordonnées des points H, M et N.

b. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (HM).

2. L’architecte place le point P à l’intersection de la droite (HM) et du plan (BCF).

Montrer que les coordonnées de P sont \((2\,;\,\dfrac23\,;\,\dfrac43)\).

3. a. Calculer le produit scalaire \(\vec{\text{PM}}\cdot\vec{\text{PN}}\).

b. Calculer la distance PM.

On admet que la distance PN est égale à \(\dfrac{\sqrt{11}}{3}\).

c. Pour satisfaire à des contraintes techniques, le toit ne peut être construit que si l’angle \(\widehat{\text{MPN}}\) ne dépasse pas \(55^\circ\).

Le toit pourra-t-il être construit ?

4. Justifier que les droites (HM) et (EN) sont sécantes.

Quel est leur point d’intersection ?

Exercice 4 (3 points)

Une société de production s’interroge sur l’opportunité de programmer un jeu télévisé.

Ce jeu réunit quatre candidats et se déroule en deux phases :

La première phase est une phase de qualification. Cette phase ne dépend que du hasard. Pour chaque candidat, la probabilité de se qualifier est \(0{,}6\).
La deuxième phase est une compétition entre les candidats qualifiés. Elle n’a lieu que si deux candidats au moins sont qualifiés. Sa durée dépend du nombre de candidats qualifiés comme l’indique le tableau ci-dessous (lorsqu’il n’y a pas de deuxième phase, on considère que sa durée est nulle).

Nombre de candidats qualifiés pour la deuxième phase	0	1	2	3	4
Durée de la deuxième phase en minutes	0	0	5	9	11

Pour que la société décide de retenir ce jeu, il faut que les deux conditions suivantes soient vérifiées :

Condition n° 1 : La deuxième phase doit avoir lieu dans au moins 80 % des cas.

Condition n° 2 : La durée moyenne de la deuxième phase ne doit pas excéder 6 minutes.

Le jeu peut-il être retenu ?

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

Question 1 : réponse B.

Pour trouver une primitive, le plus sûr est de dériver chaque proposition et de voir laquelle redonne \(f\). Pour \(F(x)=(x-1)\text{e}^x\), on applique la formule \((uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}\) avec \(u(x)=x-1\) et \(v(x)=\text{e}^x\) :

\[F^{\prime}(x)=1\times \text{e}^x+(x-1)\text{e}^x=(1+x-1)\text{e}^x=x\text{e}^x=f(x).\]

À titre de contrôle, la proposition C donne \(((x+1)\text{e}^x)^{\prime}=(x+2)\text{e}^x\), qui n’est pas \(f(x)\). La bonne réponse est donc B.

Question 2 : réponse D.

Lisons les signes sur la courbe. Sur \(]5\,;\,+\infty[\), la courbe est au-dessus de l’axe des abscisses, donc \(f(x)\gt 0\). De plus, P est l’unique point d’inflexion et, après P, la courbe est au-dessus de ses tangentes (on le voit avec la tangente en pointillés en P) : \(f\) est convexe sur \(]5\,;\,+\infty[\), donc \(f^{\prime\prime}(x)\gt 0\). Ainsi \(f(x)\) et \(f^{\prime\prime}(x)\) sont tous deux positifs : la proposition D est vraie.

Les autres sont fausses : sur \(]5\,;\,+\infty[\), \(f\) décroît donc \(f^{\prime}(x)\lt 0\) alors que \(f(x)\gt 0\) (B fausse) ; sur \(]0\,;\,1[\), \(f(x)\lt 0\) alors que \(f\) croît, donc \(f^{\prime}(x)\gt 0\) (A fausse) ; sur \(]0\,;\,3[\), \(f^{\prime}(x)\gt 0\) alors que la courbe est concave avant P, donc \(f^{\prime\prime}(x)\lt 0\) (C fausse). Réponse D.

Question 3 : réponse D.

D’une part \(g(0)=\dfrac{a}{b+\text{e}^0}=\dfrac{a}{b+1}\), donc \(g(0)=2\) donne \(a=2(b+1)\).

D’autre part \(\lim\limits_{t\to+\infty}\text{e}^{-t}=0\), donc (pour \(b\neq 0\)) \(\lim\limits_{t\to+\infty}g(t)=\dfrac{a}{b}\), et la condition donne \(a=3b\).

En égalant : \(3b=2b+2\), d’où \(b=2\) puis \(a=6\). On vérifie : \(g(0)=\dfrac{6}{3}=2\) et la limite vaut \(\dfrac62=3\). Réponse D.

Question 4 : réponse C.

Notons B l’événement « Alice choisit l’urne B » et V l’événement « la boule tirée est verte ». Le choix de l’urne se fait au hasard, donc \(P(\text{B})=\dfrac12\), et d’après la composition des urnes \(P_{\text{A}}(V)=\dfrac24=\dfrac12\) et \(P_{\text{B}}(V)=\dfrac34\).

Par la formule des probabilités totales :

\[P(V)=\dfrac12\times \dfrac12+\dfrac12\times \dfrac34=\dfrac14+\dfrac38=\dfrac58.\]

On cherche une probabilité « à l’envers », c’est-à-dire \(P_V(\text{B})\) :

\[P_V(\text{B})=\dfrac{P(\text{B}\cap V)}{P(V)}=\dfrac{\dfrac38}{\dfrac58}=\dfrac35.\]

Réponse C.

Question 5 : réponse b.

La variable \(k\) parcourt les entiers de 0 à 99 avec range(100), donc \(k+1\) parcourt les entiers de 1 à 100 : il faut ajouter \(\dfrac{1}{k+1}\) à chaque tour à une somme initialisée à 0. C’est exactement ce que fait le script b.

Le script a remplace \(S\) à chaque tour au lieu de l’augmenter : il renvoie seulement \(\dfrac{1}{100}\). Dans les scripts c et d, la variable \(S\) est utilisée sans avoir reçu de valeur (c’est \(k\) qui est initialisé), ce qui provoque une erreur ; de plus, dans d, \(k\) n’est jamais augmenté, la boucle ne s’arrêterait pas.

Exercice 2 :

Partie A

1. Limite de \(g\) en \(-1{,}5\).

Pour tout \(x\gt -1{,}5\), \(g(x)=\ln(2x+3)-1-x\). Quand \(x\) tend vers \(-1{,}5\) par valeurs supérieures, \(2x+3\) tend vers 0 en restant positif, donc \(\ln(2x+3)\) tend vers \(-\infty\) (car \(\lim\limits_{X\to 0^+}\ln X=-\infty\)). Pendant ce temps, \(-1-x\) tend vers \(-1+1{,}5=0{,}5\). Par somme :

\[\lim\limits_{x\to -1{,}5}g(x)=-\infty.\]

2. Variations de \(g\).

La fonction \(x\mapsto \ln(2x+3)\) est de la forme \(\ln(u)\) avec \(u(x)=2x+3\gt 0\), de dérivée \(\dfrac{u^{\prime}}{u}=\dfrac{2}{2x+3}\). Donc, pour tout \(x\gt -1{,}5\) :

\[g^{\prime}(x)=\dfrac{2}{2x+3}-1=\dfrac{2-(2x+3)}{2x+3}=\dfrac{-2x-1}{2x+3}.\]

Sur \(]-1{,}5\,;\,+\infty[\), le dénominateur \(2x+3\) est strictement positif, donc \(g^{\prime}(x)\) a le signe de \(-2x-1\), qui est positif lorsque \(x\lt -0{,}5\) et négatif lorsque \(x\gt -0{,}5\).

Donc \(g\) est strictement croissante sur \(]-1{,}5\,;\,-0{,}5]\) et strictement décroissante sur \([-0{,}5\,;\,+\infty[\). Elle admet un maximum en \(-0{,}5\) :

\[g(-0{,}5)=\ln(2)-1+0{,}5=\ln(2)-0{,}5\approx 0{,}193.\]

\(x\)	\(-1{,}5\)		\(-0{,}5\)		\(+\infty\)
signe de \(g^{\prime}(x)\)		\(+\)	0	\(-\)
variations de \(g\)	\(-\infty\)	\(\nearrow\)	\(\ln(2)-0{,}5\)	\(\searrow\)	\(-\infty\)

3. a. Existence et unicité de \(\alpha\).

Sur l’intervalle \(]-0{,}5\,;\,+\infty[\), la fonction \(g\) est continue (elle est dérivable) et strictement décroissante. Quand \(x\) tend vers \(-0{,}5\), \(g(x)\) tend vers \(g(-0{,}5)=\ln(2)-0{,}5\gt 0\), et \(\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=-\infty\). Ainsi \(g\) réalise une bijection de \(]-0{,}5\,;\,+\infty[\) sur \(]-\infty\,;\,\ln(2)-0{,}5[\), intervalle qui contient 0.

D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation \(g(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \(]-0{,}5\,;\,+\infty[\).

b. À la calculatrice, on balaye d’abord avec un pas de 0,1 : \(g(0{,}2)\approx 0{,}024\gt 0\) et \(g(0{,}3)\approx -0{,}02\lt 0\). Puis avec un pas de 0,01 :

\[g(0{,}25)\approx 0{,}0028\gt 0\quad\text{et}\quad g(0{,}26)\approx -0{,}0015\lt 0.\]

Comme \(g\) est décroissante sur cet intervalle, on en déduit \(0{,}25\lt\alpha\lt 0{,}26\) (en fait \(\alpha\approx 0{,}2564\)).

Partie B

1. Soit \(x\in[-1\,;\,\alpha]\), c’est-à-dire \(-1\leq\, x\leq\,\alpha\). Ces nombres sont dans \(]-1{,}5\,;\,+\infty[\), où \(f\) est strictement croissante ; appliquer \(f\) conserve donc l’ordre :

\[f(-1)\leq\, f(x)\leq\, f(\alpha).\]

Calculons les deux bornes. D’une part \(f(-1)=\ln(-2+3)-1=\ln(1)-1=-1\). D’autre part, \(\alpha\) vérifie \(g(\alpha)=0\), c’est-à-dire \(f(\alpha)-\alpha=0\), soit \(f(\alpha)=\alpha\).

Donc \(-1\leq\, f(x)\leq\,\alpha\) : si \(x\in[-1\,;\,\alpha]\), alors \(f(x)\in[-1\,;\,\alpha]\).

2. a. Pour tout entier naturel \(n\), notons \(\mathcal{P}(n)\) la propriété : « \(-1\leq\, u_n\leq\, u_{n+1}\leq\,\alpha\) ».

Initialisation. \(u_0=0\) et \(u_1=f(0)=\ln(3)-1\approx 0{,}099\). Comme \(\alpha\gt 0{,}25\), on a bien \(-1\leq\, 0\leq\, 0{,}099\leq\,\alpha\) : \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.

Hérédité. Supposons \(\mathcal{P}(n)\) vraie pour un entier \(n\) fixé : \(-1\leq\, u_n\leq\, u_{n+1}\leq\,\alpha\). Tous ces nombres sont dans \([-1\,;\,\alpha]\), où \(f\) est croissante ; en appliquant \(f\), l’ordre est conservé :

\[f(-1)\leq\, f(u_n)\leq\, f(u_{n+1})\leq\, f(\alpha).\]

Or \(f(-1)=-1\), \(f(u_n)=u_{n+1}\), \(f(u_{n+1})=u_{n+2}\) et \(f(\alpha)=\alpha\) (question 1). On obtient \(-1\leq\, u_{n+1}\leq\, u_{n+2}\leq\,\alpha\) : \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie.

Conclusion. La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire, donc par récurrence pour tout entier naturel \(n\), \(-1\leq\, u_n\leq\, u_{n+1}\leq\,\alpha\).

b. L’inégalité \(u_n\leq\, u_{n+1}\) pour tout \(n\) signifie que la suite \((u_n)\) est croissante, et l’inégalité \(u_{n+1}\leq\,\alpha\) (avec \(u_0\leq\,\alpha\)) signifie qu’elle est majorée par \(\alpha\). D’après le théorème de convergence monotone, une suite croissante et majorée converge : la suite \((u_n)\) est convergente, et sa limite est inférieure ou égale à \(\alpha\).

Exercice 3 :

Dans ce repère, l’unité vaut la moitié de l’arête de la maison : l’arête du cube ABCDEFGH mesure donc 2 unités, et celle du garage (dont L et K sont des milieux) mesure 1 unité.

1. a. On a A(0 ; 0 ; 0), B(2 ; 0 ; 0), D(0 ; 2 ; 0) et E(0 ; 0 ; 2). Le point H est au-dessus de D, à la hauteur de E. Le garage s’appuie sur la face BCGF : I prolonge [AB] d’une unité et M est au-dessus de I à la hauteur 1 ; N se déduit de M par une unité dans la direction de \(\vec{\jmath}\). D’où :

\[\text{H}(0\,;\,2\,;\,2),\qquad \text{M}(3\,;\,0\,;\,1),\qquad \text{N}(3\,;\,1\,;\,1).\]

b. La droite (HM) passe par H et a pour vecteur directeur \(\vec{\text{HM}}\) de coordonnées \((3-0\,;\,0-2\,;\,1-2)=(3\,;\,-2\,;\,-1)\). Une représentation paramétrique de (HM) est donc :

\[\{\begin{array}{l}x=3t\\y=2-2t\\z=2-t\end{array}.\qquad t\in\mathbb{R}.\]

2. Les points B, C et F ont tous pour abscisse 2 (ils sont sur la face du cube opposée à la face ADHE, d’équation \(x=0\)) : le plan (BCF) est le plan d’équation \(x=2\).

Un point de (HM) de paramètre \(t\) appartient à ce plan si et seulement si \(3t=2\), c’est-à-dire \(t=\dfrac23\). On obtient alors \(y=2-2\times \dfrac23=\dfrac23\) et \(z=2-\dfrac23=\dfrac43\). Donc P a pour coordonnées \((2\,;\,\dfrac23\,;\,\dfrac43)\).

3. a. On calcule les coordonnées des deux vecteurs :

\[\vec{\text{PM}}(3-2\,;\,0-\dfrac23\,;\,1-\dfrac43)=(1\,;\,-\dfrac23\,;\,-\dfrac13),\qquad\vec{\text{PN}}(3-2\,;\,1-\dfrac23\,;\,1-\dfrac43)=(1\,;\,\dfrac13\,;\,-\dfrac13).\]

Le repère est orthonormé, donc le produit scalaire est la somme des produits des coordonnées :

\[\vec{\text{PM}}\cdot\vec{\text{PN}}=1\times 1+(-\dfrac23)\times \dfrac13+(-\dfrac13)\times (-\dfrac13)=1-\dfrac29+\dfrac19=\dfrac89.\]

Donc \(\vec{\text{PM}}\cdot\vec{\text{PN}}=\dfrac89\).

b. \(\text{PM}=\sqrt{1^2+(-\dfrac23)^2+(-\dfrac13)^2}=\sqrt{1+\dfrac49+\dfrac19}=\sqrt{\dfrac{14}{9}}\), soit \(\text{PM}=\dfrac{\sqrt{14}}{3}\).

c. Le produit scalaire s’écrit aussi \(\vec{\text{PM}}\cdot\vec{\text{PN}}=\text{PM}\times \text{PN}\times \cos\widehat{\text{MPN}}\). Donc :

\[\cos\widehat{\text{MPN}}=\dfrac{\dfrac89}{\dfrac{\sqrt{14}}{3}\times \dfrac{\sqrt{11}}{3}}=\dfrac{\dfrac89}{\dfrac{\sqrt{154}}{9}}=\dfrac{8}{\sqrt{154}}\approx 0{,}645.\]

La calculatrice donne \(\widehat{\text{MPN}}\approx 49{,}9^\circ\). Cet angle ne dépasse pas \(55^\circ\) : le toit pourra être construit.

4. Première justification, géométrique : les droites (EH) et (MN) sont toutes deux dirigées par \(\vec{\jmath}\), elles sont donc parallèles et définissent un plan qui contient E, H, M et N. Les droites (HM) et (EN) sont ainsi coplanaires ; elles ne sont pas parallèles car \(\vec{\text{HM}}(3\,;\,-2\,;\,-1)\) et \(\vec{\text{EN}}(3\,;\,1\,;\,-1)\) n’ont pas des coordonnées proportionnelles (mêmes premières coordonnées mais deuxièmes différentes). Deux droites coplanaires non parallèles sont sécantes.

Pour trouver le point d’intersection, on paramètre (EN), qui passe par E(0 ; 0 ; 2) et est dirigée par \(\vec{\text{EN}}\) :

\[\{\begin{array}{l}x=3s\\y=s\\z=2-s\end{array}.\qquad s\in\mathbb{R}.\]

Un point commun aux deux droites correspond à des paramètres \(t\) et \(s\) tels que \(3t=3s\), \(2-2t=s\) et \(2-t=2-s\). Les première et troisième équations donnent \(s=t\) ; la deuxième devient \(2-2t=t\), soit \(t=\dfrac23\). Ce couple vérifie les trois équations, ce qui confirme que les droites sont sécantes, et le point obtenu est \((3\times \dfrac23\,;\,\dfrac23\,;\,2-\dfrac23)\).

Les droites (HM) et (EN) se coupent en P\((2\,;\,\dfrac23\,;\,\dfrac43)\), le sommet du toit.

Exercice 4 :

Notons \(X\) le nombre de candidats qualifiés à l’issue de la première phase. On répète 4 fois, de façon indépendante (la qualification ne dépend que du hasard), une épreuve à deux issues dont le succès « le candidat se qualifie » a pour probabilité 0,6. Donc \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n=4\) et \(p=0{,}6\) : pour \(k\) entier de 0 à 4,

\[P(X=k)=\binom\,{4}{k}\times 0{,}6^k\times 0{,}4^{4-k}.\]

\(k\)	0	1	2	3	4
\(P(X=k)\)	\(0{,}0256\)	\(0{,}1536\)	\(0{,}3456\)	\(0{,}3456\)	\(0{,}1296\)

Par exemple \(P(X=2)=6\times 0{,}36\times 0{,}16=0{,}3456\) et \(P(X=4)=0{,}6^4=0{,}1296\).

Condition n° 1. La deuxième phase a lieu si et seulement si \(X\geq\, 2\). Par l’événement contraire :

\[P(X\geq\, 2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-0{,}0256-0{,}1536=0{,}8208.\]

Comme \(0{,}8208\geq\, 0{,}8\), la deuxième phase a lieu dans plus de 80 % des cas : la condition n° 1 est vérifiée.

Condition n° 2. Notons \(T\) la durée, en minutes, de la deuxième phase. D’après le tableau, \(T\) prend les valeurs 0, 5, 9 et 11 avec \(P(T=0)=P(X=0)+P(X=1)\), \(P(T=5)=P(X=2)\), \(P(T=9)=P(X=3)\) et \(P(T=11)=P(X=4)\). La durée moyenne est l’espérance de \(T\) :

\[E(T)=0\times 0{,}1792+5\times 0{,}3456+9\times 0{,}3456+11\times 0{,}1296=1{,}728+3{,}1104+1{,}4256=6{,}264.\]

La durée moyenne est d’environ 6,26 minutes, elle dépasse 6 minutes : la condition n° 2 n’est pas vérifiée.

Conclusion : une des deux conditions n’étant pas remplie, le jeu ne peut pas être retenu.

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