Bac maths 2023 Amérique du Nord J2 : sujet et corrigé

Voici le sujet 2 du bac de spécialité mathématiques 2023 en Amérique du Nord, posé le 28 mars 2023, accompagné d’un corrigé détaillé de chaque question. Le premier exercice part de la courbe d’une dérivée pour lire les variations et la convexité, puis étudie la fonction \((x^2-5x+6)\text{e}^x\) jusqu’à une inégalité tirée de sa tangente. Le deuxième suit les échanges de licenciés entre un club d’athlétisme et un club de basket à l’aide d’une suite arithmético-géométrique, d’une récurrence et d’un programme Python de seuil. Le troisième calcule dans l’espace l’aire d’un triangle, un projeté orthogonal et le volume d’un tétraèdre. Le dernier est un QCM de cinq questions sur les limites, le théorème des valeurs intermédiaires, une espérance et la loi binomiale.

Entraînez-vous avec les autres annales corrigées réunies sur notre page consacrée au bac maths 2027.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2023
Mathématiques — Sujet 2
Amérique du Nord — 28 mars 2023
Durée de l’épreuve : 4 heures

Exercice 1 (5 points)

Partie A

Le plan est muni d’un repère orthogonal.

On considère une fonction \(f\) définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\). On note \(f^{\prime}\) sa fonction dérivée. On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction dérivée \(f^{\prime}\).

Dans cette partie, les résultats seront obtenus par lecture graphique de la courbe représentative de la fonction dérivée \(f^{\prime}\). Aucune justification n’est demandée.

1. Donner le sens de variation de la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\). On utilisera des valeurs approchées si besoin.

2. Donner les intervalles sur lesquels la fonction \(f\) semble être convexe.

Partie B

On admet que la fonction \(f\) de la partie A est définie sur \(\mathbb{R}\) par

\[f(x)=(x^{2}-5x+6)\text{e}^{x}.\]

On note \(\mathcal{C}\) la courbe représentative de la fonction \(f\) dans un repère.

1. a. Déterminer la limite de la fonction \(f\) en \(+\infty\).

b. Déterminer la limite de la fonction \(f\) en \(-\infty\).

2. Montrer que, pour tout réel \(x\), on a \(f^{\prime}(x)=(x^{2}-3x+1)\text{e}^{x}\).

3. En déduire le sens de variation de la fonction \(f\).

4. Déterminer l’équation réduite de la tangente \((\mathcal{T})\) à la courbe \(\mathcal{C}\) au point d’abscisse 0.

On admet que la fonction \(f\) est deux fois dérivable sur \(\mathbb{R}\). On note \(f^{\prime\prime}\) la fonction dérivée seconde de la fonction \(f\). On admet que, pour tout réel \(x\), on a \(f^{\prime\prime}(x)=(x+1)(x-2)\text{e}^{x}\).

5. a. Étudier la convexité de la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\).

b. Montrer que, pour tout \(x\) appartenant à l’intervalle \([-1\,;\,2]\), on a \(f(x)\leq\, x+6\).

Exercice 2 (5 points)

On étudie un groupe de 3 000 sportifs qui pratiquent soit l’athlétisme dans le club A, soit le basketball dans le club B.

En 2023, le club A compte 1 700 membres et le club B en compte 1 300.

On décide de modéliser le nombre de membres du club A et du club B respectivement par deux suites \((a_n)\) et \((b_n)\), où \(n\) désigne le rang de l’année à partir de 2023.

L’année 2023 correspond au rang 0. On a alors \(a_0=1\,700\) et \(b_0=1\,300\).

Pour notre étude, on fait les hypothèses suivantes :

durant l’étude, aucun sportif ne quitte le groupe ;
chaque année, 15 % des sportifs du club A quittent ce club et adhèrent au club B ;
chaque année, 10 % des sportifs du club B quittent ce club et adhèrent au club A.

1. Calculer les nombres de membres de chaque club en 2024.

2. Pour tout entier naturel \(n\), déterminer une relation liant \(a_n\) et \(b_n\).

3. Montrer que la suite \((a_n)\) vérifie la relation suivante pour tout entier naturel \(n\), on a :

\[a_{n+1}=0{,}75\,a_n+300.\]

4. a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), on a :

\[1\,200\leq\, a_{n+1}\leq\, a_n\leq\, 1\,700.\]

b. En déduire que la suite \((a_n)\) converge.

5. Soit \((v_n)\) la suite définie pour tout entier naturel \(n\) par \(v_n=a_n-1\,200\).

a. Démontrer que la suite \((v_n)\) est géométrique.

b. Exprimer \(v_n\) en fonction de \(n\).

c. En déduire que pour tout entier naturel \(n\), \(a_n=500\times 0{,}75^n+1\,200\).

6. a. Déterminer la limite de la suite \((a_n)\).

b. Interpréter le résultat de la question précédente dans le contexte de l’exercice.

7. a. Recopier et compléter le programme Python ci-dessous afin qu’il renvoie la plus petite valeur de \(n\) à partir de laquelle le nombre de membres du club A est strictement inférieur à 1 280.

def seuil() :
    n = 0
    A = 1700
    while ... :
        n=n+1
        A = ...
    return ...

b. Déterminer la valeur renvoyée lorsqu’on appelle la fonction seuil.

Exercice 3 (5 points)

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé d’unité 1 cm, on considère les points

\[\text{D}(3\,;\,1\,;\,5),\qquad \text{E}(3\,;\,-2\,;\,-1),\qquad \text{F}(-1\,;\,2\,;\,1),\qquad \text{G}(3\,;\,2\,;\,-3).\]

1. a. Déterminer les coordonnées des vecteurs \(\vec{\text{EF}}\) et \(\vec{\text{FG}}\).

b. Justifier que les points E, F et G ne sont pas alignés.

2. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (FG).

b. On appelle H le point de coordonnées \((2\,;\,2\,;\,-2)\).

Vérifier que H est le projeté orthogonal de E sur la droite (FG).

c. Montrer que l’aire du triangle EFG est égale à \(12\ \text{cm}^2\).

3. a. Démontrer que le vecteur \(\vec{n}\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}\) est un vecteur normal au plan (EFG).

b. Déterminer une équation cartésienne du plan (EFG).

c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite \((d)\) passant par le point D et orthogonale au plan (EFG).

d. On note K le projeté orthogonal du point D sur le plan (EFG).

À l’aide des questions précédentes, calculer les coordonnées du point K.

4. a. Vérifier que la distance \(DK\) est égale à 5 cm.

b. En déduire le volume du tétraèdre DEFG.

Exercice 4 (5 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point. Les cinq questions sont indépendantes.

1. On considère la fonction \(f\) définie sur l’intervalle \(]1\,;\,+\infty[\) par

\[f(x)=0{,}05-\dfrac{\ln x}{x-1}.\]

La limite de la fonction \(f\) en \(+\infty\) est égale à :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\(+\infty\)	\(0{,}05\)	\(-\infty\)	\(0\)

2. On considère une fonction \(h\) continue sur l’intervalle \([-2\,;\,4]\) telle que :

\[h(-1)=0,\qquad h(1)=4,\qquad h(3)=-1.\]

On peut affirmer que :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
la fonction \(h\) est croissante sur l’intervalle \([-1\,;\,1]\).	la fonction \(h\) est positive sur l’intervalle \([-1\,;\,1]\).	il existe au moins un nombre réel \(a\) dans l’intervalle \([1\,;\,3]\) tel que \(h(a)=1\).	l’équation \(h(x)=1\) admet exactement deux solutions dans l’intervalle \([-2\,;\,4]\).

3. On considère deux suites \((u_n)\) et \((v_n)\) à termes strictement positifs telles que \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty\) et \((v_n)\) converge vers 0.

On peut affirmer que :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
la suite \((\dfrac{1}{v_n})\) converge.	la suite \((\dfrac{v_n}{u_n})\) converge.	la suite \((u_n)\) est croissante.	\(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}(-u_n)^n=-\infty\)

4. Pour participer à un jeu, un joueur doit payer 4 €.

Il lance ensuite un dé équilibré à six faces :

s’il obtient 1, il remporte 12 € ;
s’il obtient un nombre pair, il remporte 3 € ;
sinon, il ne remporte rien.

En moyenne, le joueur :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
gagne 3,50 €	perd 3 €	perd 1,50 €	perd 0,50 €

5. On considère la variable aléatoire \(X\) suivant la loi binomiale \(\mathcal{B}(3\,;\,p)\).

On sait que \(P(X=0)=\dfrac{1}{125}\). On peut affirmer que :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\(p=\dfrac{1}{5}\)	\(P(X=1)=\dfrac{124}{125}\)	\(p=\dfrac{4}{5}\)	\(P(X=1)=\dfrac{4}{5}\)

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

Partie A

1. Les variations de \(f\) se lisent sur le signe de \(f^{\prime}\), c’est-à-dire sur la position de la courbe par rapport à l’axe des abscisses. La courbe est au-dessus de l’axe jusqu’à environ \(x\approx 0{,}4\), en dessous entre \(0{,}4\) et environ \(2{,}6\), puis de nouveau au-dessus. Donc \(f\) est croissante sur \(]-\infty\,;\,0{,}4]\), décroissante sur \([0{,}4\,;\,2{,}6]\) et croissante sur \([2{,}6\,;\,+\infty[\) (valeurs approchées).

2. Une fonction dérivable est convexe là où sa dérivée est croissante. Sur le graphique, \(f^{\prime}\) monte jusqu’à son maximum en \(x=-1\), descend jusqu’à son minimum en \(x=2\), puis remonte. Donc \(f\) semble convexe sur \(]-\infty\,;\,-1]\) et sur \([2\,;\,+\infty[\) (et concave entre \(-1\) et 2).

Partie B

1. a. Quand \(x\) tend vers \(+\infty\), le trinôme \(x^2-5x+6\) se comporte comme son terme de plus haut degré \(x^2\), donc tend vers \(+\infty\) ; de plus \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\text{e}^x=+\infty\). Par produit, \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\).

b. En \(-\infty\), on a une forme indéterminée « \(+\infty\times 0\) ». On développe : \(f(x)=x^2\text{e}^x-5x\text{e}^x+6\text{e}^x\). Par croissances comparées, \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x^2\text{e}^x=0\) et \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x\text{e}^x=0\), et bien sûr \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\text{e}^x=0\). Par somme, \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=0\) : l’axe des abscisses est asymptote horizontale à \(\mathcal{C}\) en \(-\infty\).

2. \(f\) est le produit \(u\times v\) avec \(u(x)=x^2-5x+6\), \(u^{\prime}(x)=2x-5\), et \(v(x)=\text{e}^x=v^{\prime}(x)\). Avec \((uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}\) :

\[f^{\prime}(x)=(2x-5)\text{e}^x+(x^2-5x+6)\text{e}^x=(x^2-5x+6+2x-5)\text{e}^x=(x^2-3x+1)\text{e}^x.\]

On retrouve bien \(f^{\prime}(x)=(x^2-3x+1)\text{e}^x\).

3. Comme \(\text{e}^x\gt 0\) pour tout réel \(x\), \(f^{\prime}(x)\) a le signe du trinôme \(x^2-3x+1\). Son discriminant vaut \(\Delta=(-3)^2-4\times 1\times 1=5\gt 0\), il a donc deux racines :

\[x_1=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\approx 0{,}38\qquad\text{et}\qquad x_2=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\approx 2{,}62.\]

Le coefficient de \(x^2\) est positif, donc le trinôme est positif à l’extérieur des racines et négatif entre elles :

\(x\)	\(-\infty\) … \(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\)	\(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\) … \(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\)	\(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\) … \(+\infty\)
signe de \(f^{\prime}(x)\)	\(+\)	\(-\)	\(+\)
variations de \(f\)	croissante	décroissante	croissante

Conclusion : \(f\) est croissante sur \(]-\infty\,;\,\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}]\), décroissante sur \([\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\,;\,\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}]\) et croissante sur \([\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\,;\,+\infty[\), ce qui confirme les valeurs approchées 0,4 et 2,6 lues dans la partie A.

4. L’équation de la tangente au point d’abscisse 0 est \(y=f^{\prime}(0)(x-0)+f(0)\). Or \(f(0)=(0-0+6)\text{e}^0=6\) et \(f^{\prime}(0)=(0-0+1)\text{e}^0=1\). Donc \((\mathcal{T})\ :\ y=x+6\).

5. a. La convexité est donnée par le signe de \(f^{\prime\prime}(x)=(x+1)(x-2)\text{e}^x\). L’exponentielle est strictement positive ; le produit \((x+1)(x-2)\) est un trinôme de coefficient dominant positif, de racines \(-1\) et 2, donc positif à l’extérieur des racines et négatif entre elles.

\(x\)	\(-\infty\) … \(-1\)	\(-1\) … \(2\)	\(2\) … \(+\infty\)
signe de \(f^{\prime\prime}(x)\)	\(+\)	\(-\)	\(+\)
\(f\)	convexe	concave	convexe

\(f\) est convexe sur \(]-\infty\,;\,-1]\) et sur \([2\,;\,+\infty[\), concave sur \([-1\,;\,2]\) ; la courbe \(\mathcal{C}\) admet deux points d’inflexion, d’abscisses \(-1\) et 2 (où \(f^{\prime\prime}\) s’annule en changeant de signe). C’est cohérent avec la lecture graphique de la partie A.

b. Sur l’intervalle \([-1\,;\,2]\), \(f\) est concave : sa courbe est donc située en dessous de chacune de ses tangentes en un point de cet intervalle. Le point d’abscisse 0 appartient à \([-1\,;\,2]\), et la tangente en ce point est la droite \((\mathcal{T})\) d’équation \(y=x+6\). Ainsi, pour tout \(x\in[-1\,;\,2]\), le point de \(\mathcal{C}\) d’abscisse \(x\) est sous \((\mathcal{T})\), c’est-à-dire \(f(x)\leq\, x+6\).

Exercice 2 :

1. Entre 2023 et 2024, le club A perd 15 % de ses 1 700 membres, soit \(0{,}15\times 1\,700=255\) sportifs, et reçoit 10 % des 1 300 membres du club B, soit \(0{,}10\times 1\,300=130\) sportifs. Donc \(a_1=1\,700-255+130=1\,575\). De même \(b_1=1\,300-130+255=1\,425\). En 2024, le club A compte 1 575 membres et le club B 1 425 membres.

2. Aucun sportif ne quitte le groupe et chacun est dans l’un des deux clubs : l’effectif total reste égal à 3 000. Donc, pour tout entier naturel \(n\), \(a_n+b_n=3\,000\).

3. Chaque année, le club A garde 85 % de ses membres et récupère 10 % de ceux du club B : \(a_{n+1}=0{,}85\,a_n+0{,}1\,b_n\). D’après la question 2, \(b_n=3\,000-a_n\), d’où :

\[a_{n+1}=0{,}85\,a_n+0{,}1(3\,000-a_n)=0{,}85\,a_n-0{,}1\,a_n+300=0{,}75\,a_n+300.\]

4. a. Pour tout entier naturel \(n\), notons \(P(n)\) la propriété : « \(1\,200\leq\, a_{n+1}\leq\, a_n\leq\, 1\,700\) ».

Initialisation. \(a_0=1\,700\) et \(a_1=1\,575\) : on a bien \(1\,200\leq\, 1\,575\leq\, 1\,700\leq\, 1\,700\), donc \(P(0)\) est vraie.

Hérédité. Soit \(n\) un entier naturel tel que \(P(n)\) est vraie : \(1\,200\leq\, a_{n+1}\leq\, a_n\leq\, 1\,700\). La fonction \(g : x\mapsto 0{,}75x+300\) est croissante (coefficient directeur positif), donc elle conserve l’ordre :

\[g(1\,200)\leq\, g(a_{n+1})\leq\, g(a_n)\leq\, g(1\,700),\quad\text{soit}\quad 1\,200\leq\, a_{n+2}\leq\, a_{n+1}\leq\, 1\,575.\]

Comme \(1\,575\leq\, 1\,700\), on obtient \(1\,200\leq\, a_{n+2}\leq\, a_{n+1}\leq\, 1\,700\) : \(P(n+1)\) est vraie.

Conclusion. \(P(0)\) est vraie et la propriété est héréditaire ; par le principe de récurrence, pour tout entier naturel \(n\), \(1\,200\leq\, a_{n+1}\leq\, a_n\leq\, 1\,700\).

b. L’inégalité \(a_{n+1}\leq\, a_n\) pour tout \(n\) montre que \((a_n)\) est décroissante, et \(a_n\geq\, 1\,200\) montre qu’elle est minorée par 1 200. D’après le théorème de convergence monotone, une suite décroissante et minorée converge : la suite \((a_n)\) est convergente.

5. a. Pour tout entier naturel \(n\) :

\[v_{n+1}=a_{n+1}-1\,200=0{,}75\,a_n+300-1\,200=0{,}75\,a_n-900=0{,}75(a_n-1\,200)=0{,}75\,v_n.\]

De plus \(v_0=a_0-1\,200=500\). La suite \((v_n)\) est géométrique de raison \(0{,}75\) et de premier terme \(v_0=500\).

b. Par la formule du terme général d’une suite géométrique : \(v_n=500\times 0{,}75^n\) pour tout entier naturel \(n\).

c. Puisque \(v_n=a_n-1\,200\), on a \(a_n=v_n+1\,200\), donc \(a_n=500\times 0{,}75^n+1\,200\).

6. a. Comme \(0\lt 0{,}75\lt 1\), \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}0{,}75^n=0\), donc \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}500\times 0{,}75^n=0\) et, par somme, \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}a_n=1\,200\).

b. Sur le long terme, le nombre de membres du club A va se stabiliser autour de 1 200, et comme l’effectif total reste de 3 000, le club B va se stabiliser autour de 1 800 membres.

7. a. La boucle doit continuer tant que le nombre de membres du club A n’est pas strictement inférieur à 1 280, c’est-à-dire tant que \(A\geq\, 1\,280\). À chaque tour, on passe à l’année suivante et on applique la relation de récurrence ; à la sortie, on renvoie le rang \(n\) :

def seuil() :
    n = 0
    A = 1700
    while A >= 1280 :
        n=n+1
        A = 0.75*A + 300
    return n

b. On cherche le plus petit entier \(n\) tel que \(a_n\lt 1\,280\) :

\[500\times 0{,}75^n+1\,200\lt 1\,280\iff 0{,}75^n\lt \dfrac{80}{500}=0{,}16\iff n\ln(0{,}75)\lt \ln(0{,}16)\iff n\gt \dfrac{\ln(0{,}16)}{\ln(0{,}75)}.\]

On a changé le sens de l’inégalité car \(\ln(0{,}75)\lt 0\). Or \(\dfrac{\ln(0{,}16)}{\ln(0{,}75)}\approx 6{,}37\). Vérification : \(a_6\approx 1\,289\) et \(a_7\approx 1\,267\). La fonction seuil renvoie 7 : c’est en 2030 que le club A passe pour la première fois sous les 1 280 membres.

Exercice 3 :

1. a. On soustrait les coordonnées de l’origine à celles de l’extrémité :

\[\vec{\text{EF}}\begin{pmatrix}-1-3\\2-(-2)\\1-(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\4\\2\end{pmatrix}\qquad\text{et}\qquad\vec{\text{FG}}\begin{pmatrix}3-(-1)\\2-2\\-3-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\0\\-4\end{pmatrix}.\]

b. Si les vecteurs étaient colinéaires, il existerait un réel \(k\) tel que \(\vec{\text{EF}}=k\,\vec{\text{FG}}\). La deuxième coordonnée donnerait \(4=k\times 0=0\), ce qui est impossible. Les vecteurs \(\vec{\text{EF}}\) et \(\vec{\text{FG}}\) ne sont donc pas colinéaires : les points E, F et G ne sont pas alignés (ils définissent donc un plan).

2. a. La droite (FG) passe par F\((-1\,;\,2\,;\,1)\) et est dirigée par \(\vec{\text{FG}}\begin{pmatrix}4\\0\\-4\end{pmatrix}\). Une représentation paramétrique est :

\[(\text{FG})\ :\ \{\begin{array}{l}x=-1+4t\\y=2\\z=1-4t\end{array}.\qquad t\in\mathbb{R}.\]

b. Deux conditions sont à vérifier : H appartient à (FG), et \(\vec{\text{EH}}\) est orthogonal à \(\vec{\text{FG}}\).

Appartenance : avec \(t=\dfrac{3}{4}\), on obtient \(x=-1+3=2\), \(y=2\) et \(z=1-3=-2\) : ce sont les coordonnées de H, donc H \(\in\) (FG).

Orthogonalité : \(\vec{\text{EH}}\begin{pmatrix}2-3\\2+2\\-2+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\4\\-1\end{pmatrix}\) et \(\vec{\text{EH}}\cdot\vec{\text{FG}}=(-1)\times 4+4\times 0+(-1)\times (-4)=0\).

Donc H est bien le projeté orthogonal de E sur la droite (FG).

c. D’après b., le segment [EH] est la hauteur du triangle EFG issue de E, relative à la base [FG]. On calcule les longueurs :

\[\text{EH}=\sqrt{(-1)^2+4^2+(-1)^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\qquad\text{et}\qquad\text{FG}=\sqrt{4^2+0^2+(-4)^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}.\]

L’aire vaut alors \(\dfrac{\text{FG}\times \text{EH}}{2}=\dfrac{4\sqrt{2}\times 3\sqrt{2}}{2}=\dfrac{12\times 2}{2}=12\). L’aire du triangle EFG est bien de \(12\ \text{cm}^2\).

3. a. Un vecteur est normal à un plan s’il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan. On utilise \(\vec{\text{EF}}\) et \(\vec{\text{FG}}\), non colinéaires d’après la question 1.b :

\[\vec{n}\cdot\vec{\text{EF}}=2\times (-4)+1\times 4+2\times 2=0\qquad\text{et}\qquad\vec{n}\cdot\vec{\text{FG}}=2\times 4+1\times 0+2\times (-4)=0.\]

\(\vec{n}\) est donc un vecteur normal au plan (EFG).

b. Le plan (EFG) admet une équation de la forme \(2x+y+2z+d=0\). Il contient E\((3\,;\,-2\,;\,-1)\), donc \(6-2-2+d=0\), soit \(d=-2\). Une équation cartésienne de (EFG) est \(2x+y+2z-2=0\). (Contrôle avec F : \(-2+2+2-2=0\) ; avec G : \(6+2-6-2=0\).)

c. La droite \((d)\), orthogonale au plan (EFG), a pour vecteur directeur le vecteur normal \(\vec{n}\), et elle passe par D\((3\,;\,1\,;\,5)\) :

\[(d)\ :\ \{\begin{array}{l}x=3+2t\\y=1+t\\z=5+2t\end{array}.\qquad t\in\mathbb{R}.\]

d. Le point K est le point d’intersection de la droite \((d)\) avec le plan (EFG). On remplace \(x\), \(y\) et \(z\) de la représentation de \((d)\) dans l’équation du plan :

\[2(3+2t)+(1+t)+2(5+2t)-2=0\iff 9t+15=0\iff t=-\dfrac{5}{3}.\]

On en déduit \(x_K=3-\dfrac{10}{3}=-\dfrac{1}{3}\), \(y_K=1-\dfrac{5}{3}=-\dfrac{2}{3}\) et \(z_K=5-\dfrac{10}{3}=\dfrac{5}{3}\). K a pour coordonnées \((-\dfrac{1}{3}\,;\,-\dfrac{2}{3}\,;\,\dfrac{5}{3})\).

4. a. \(\vec{\text{DK}}\) a pour coordonnées \((-\dfrac{10}{3}\,;\,-\dfrac{5}{3}\,;\,-\dfrac{10}{3})\), c’est-à-dire \(-\dfrac{5}{3}\vec{n}\). Donc :

\[\text{DK}=\sqrt{\dfrac{100}{9}+\dfrac{25}{9}+\dfrac{100}{9}}=\sqrt{\dfrac{225}{9}}=\sqrt{25}=5.\]

La distance DK est bien égale à 5 cm.

b. Dans le tétraèdre DEFG, prenons pour base le triangle EFG, d’aire 12 cm². Comme K est le projeté orthogonal de D sur le plan (EFG), la hauteur associée est DK = 5 cm. Le volume d’une pyramide est \(\dfrac{1}{3}\times \text{aire de la base}\times \text{hauteur}\) :

\[V=\dfrac{1}{3}\times 12\times 5=20.\]

Le volume du tétraèdre DEFG est de \(20\ \text{cm}^3\).

Exercice 4 :

1. Réponse b. Pour \(x\gt 1\), on écrit \(\dfrac{\ln x}{x-1}=\dfrac{\ln x}{x}\times \dfrac{x}{x-1}\). Par croissances comparées, \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0\), et \(\dfrac{x}{x-1}=\dfrac{1}{1-\frac{1}{x}}\) tend vers 1. Le quotient tend donc vers 0 et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=0{,}05\).

2. Réponse c. \(h\) est continue sur \([1\,;\,3]\), avec \(h(3)=-1\) et \(h(1)=4\) ; le réel 1 est compris entre \(-1\) et 4, donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe au moins un réel \(a\in[1\,;\,3]\) tel que \(h(a)=1\). Les autres affirmations ne sont pas garanties : trois valeurs ne disent rien des variations ni du signe entre ces points (a et b), et on sait seulement qu’il y a au moins une solution sur \([-1\,;\,1]\) et au moins une sur \([1\,;\,3]\), rien n’empêche d’en avoir davantage (d).

3. Réponse b. \((v_n)\) tend vers 0 et \((u_n)\) tend vers \(+\infty\), donc par quotient \(\dfrac{v_n}{u_n}\) tend vers 0 : la suite converge. La a est fausse car \(\dfrac{1}{v_n}\) tend vers \(+\infty\) (les \(v_n\) sont positifs). La c est fausse : une suite peut tendre vers \(+\infty\) sans être croissante, par exemple \(u_n=n+(-1)^n\). La d est fausse : \((-u_n)^n\) change de signe selon la parité de \(n\), elle n’a pas de limite.

4. Réponse d. Notons \(G\) le gain algébrique du joueur (gain moins mise). Avec un dé équilibré : obtenir 1 a une probabilité \(\dfrac{1}{6}\) et donne \(G=12-4=8\) ; obtenir 2, 4 ou 6 a une probabilité \(\dfrac{3}{6}\) et donne \(G=3-4=-1\) ; obtenir 3 ou 5 a une probabilité \(\dfrac{2}{6}\) et donne \(G=-4\).

\[E(G)=8\times \dfrac{1}{6}+(-1)\times \dfrac{3}{6}+(-4)\times \dfrac{2}{6}=\dfrac{8-3-8}{6}=-\dfrac{1}{2}.\]

En moyenne, le joueur perd 0,50 € par partie.

5. Réponse c. Pour la loi \(\mathcal{B}(3\,;\,p)\), \(P(X=0)=(1-p)^3\). Donc \((1-p)^3=\dfrac{1}{125}=(\dfrac{1}{5})^3\), d’où \(1-p=\dfrac{1}{5}\) (la fonction cube est strictement croissante) et \(p=\dfrac{4}{5}\). On peut vérifier que b et d sont fausses : \(P(X=1)=3\times \dfrac{4}{5}\times (\dfrac{1}{5})^2=\dfrac{12}{125}\).

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