Ce corrigé bac de maths rassemble les solutions détaillées de tous les exercices des annales sur l’arithmétique et les matrices.
En arithmétique, un raisonnement bien construit vaut plus qu’un calcul brillant. Ces 19 corrigés d’arithmétique et matrices montrent comment enchaîner les arguments : congruences manipulées avec précision, théorèmes de Bézout ou de Gauss cités avec leurs hypothèses, disjonction de cas présentée en tableau.
Pour la partie matricielle, les solutions détaillent le produit de matrices, la vérification d’une égalité par récurrence et l’étude de la limite d’une suite. Lors de l’auto-correction, vérifiez notamment l’ordre des facteurs, puisque le produit matriciel n’est pas commutatif.
Ces exercices viennent de l’ancienne spécialité de terminale S et correspondent aujourd’hui à l’option maths expertes, sans être évalués à l’épreuve de spécialité. Les énoncés et les sujets d’origine se trouvent sur la page d’exercices consacrée à ces notions. Chaque justification du corrigé s’y rattache. Refaites ensuite les exercices manqués sans aide, afin de vérifier que chaque théorème est appliqué avec ses hypothèses.
Énoncés de ces exercices · Corrigé bac de maths par thème
Corrigé bac de maths : les 19 exercices sur l'arithmétique et les matrices
Session 2020
Antilles-Guyane (septembre) · Exercice 4 (spécialité) · 5 points Bac S – spécialité
Équation de Pell-Fermat \(x^2-5y^2=1\) : parité, nombres premiers entre eux et congruences modulo 5. Par ailleurs, solutions générées par une matrice et divisibilité par 9.
France (septembre) · Exercice 4 (spécialité) · 5 points Bac S – spécialité
Entiers \(a_n=6\times 5^n-2\) et \(b_n=3\times 5^n+1\) : congruences, PGCD et divisibilité par 7. Ensuite, algorithme corrigé et suites couplées écrites avec une matrice.
Nouvelle-Calédonie · Exercice 4 (spécialité) · 5 points Bac S – spécialité
Vrai/faux de spécialité : équation diophantienne, reste d’une division euclidienne et équation en entiers. Enfin, carré d’une matrice et puissances de matrice.
Polynésie (septembre) · Exercice 4 (spécialité) · 5 points Bac S – spécialité
Puissances d’une matrice 3×3 et suites couplées : diagonalisation et récurrence \(A^n=PD^nP^{-1}\). En outre, expression de \(a_n\) et congruences modulo 5.
Session 2019
France · Exercice 4 (spécialité) · 5 points Bac S – spécialité
Matrices entières de déterminant \(ad-bc=1\) : équation diophantienne \(5x-2y=1\) et nombres premiers entre eux. Puis, conservation du PGCD et suites d’entiers.
Liban · Exercice 4 · 5 points Bac S
Bassins d’une œuvre aquatique en spécialité : suites matricielles \(U_{n+1}=MU_n+C\), diagonalisation et puissances de matrice par récurrence. Enfin, limites et contenance à prévoir.
Session 2018
Pondichéry · Exercice 5 · 5 points Bac S
Chiffre de Rabin : codage de lettres modulo 33 et congruences. Par ailleurs, théorème de Gauss et résolution de systèmes de congruences pour décrypter un message.
Session 2017
Centres étrangers · Exercice 4 · 5 points Bac S
Arbre de Stern-Brocot construit par produits de matrices : fractions associées et déterminant égal à 1. Enfin, irréductibilité des fractions par Bézout.
France · Exercice 4 Bac S – spécialité
Triangles rectangles presque isocèles : équation \(y^2=2x^2+2x+1\), parité et théorème de Bézout. En outre, suites définies par une relation matricielle et récurrence.
Session 2013
France · Exercice 4 · 5 points Bac S – spécialité
Migrations entre ville et campagne : suites couplées écrites \(U_{n+1}=AU_n\) et diagonalisation \(P^{-1}AP=D\). Puis, récurrence sur \(A^n\) et évolution de la population.
Session 2012
Amérique du Nord · Exercice 4 Bac S
Application complexe \(z\mapsto z^2\) : points invariants, forme exponentielle, antécédents et ensembles de points. De plus, triangle rectangle isocèle, avec une variante de spécialité sur similitude et arithmétique.
Antilles-Guyane · Exercice 4 · 5 points Bac S
Équation diophantienne \(11x-5y=14\), congruences modulo 7 pour \(2011^{2012}\), similitude du plan complexe et algorithme de recherche des diviseurs.
France · Exercice 4 · 5 points Bac S – spécialité
Spécialité : similitude directe et transformation complexe \(z\mapsto \frac{1}{(1+i)z+3-i}\) appliquée à une droite.
France · Exercice 4 (spécialité) · 5 points Bac S – spécialité
Plan complexe : points d’une droite et similitude \(z\mapsto (1+\mathrm{i})z+3-\mathrm{i}\). Enfin, inversion \(z\mapsto \dfrac1z\) transformant une droite en cercle.
Liban · Exercice 4 (spécialité) · 5 points Bac S – spécialité
Suite de points \(z_{n+1}=\frac{1+i}{2}z_n+1\) : similitude directe et triangles rectangles isocèles. En outre, suite géométrique des distances et rang de seuil.
Polynésie · Exercice 5 · 5 points Bac S
Codage par puissances modulo 133 : équation diophantienne \(25x-108y=1\), théorème de Gauss et petit théorème de Fermat. Ensuite, congruences et décodage d’un message.
Session 2009
France · Exercice 4 (spécialité) Bac S – spécialité
Arithmétique de spécialité : équation diophantienne \(8x-5y=3\), théorème de Gauss et congruences modulo 40. Enfin, 7, reste de \(2^{2009}\) et nombres divisibles par 7.
Session 2007
France · Exercice 3 (spécialité) · 5 points Bac S – spécialité
Corrigé de spécialité : similitude directe de centre A, réflexion d’écriture \(z^{\prime}=-i\overline{z}+1+i\) et orthocentre. Par ailleurs, cercle circonscrit et alignement par homothétie.
Session 2006
France · Exercice 3 (spécialité) · 5 points Bac S – spécialité
Théorèmes de Bézout et de Gauss, algorithme d’Euclide et résolution d’un système de congruences modulo 19 et modulo 12.
Corrigé bac de maths : thèmes voisins
Questions fréquentes
Faut-il vérifier les hypothèses du théorème de Gauss ?
Oui, systématiquement : il faut établir que les deux entiers concernés sont premiers entre eux avant d’appliquer le théorème. Oublier cette vérification fait perdre une partie des points.
Comment présenter un raisonnement par disjonction de cas modulo n ?
Un tableau listant chaque reste possible et le résultat correspondant est clair et accepté. Concluez ensuite par une phrase qui répond à la question posée.
Mon calcul de puissance de matrice diffère du corrigé : où chercher ?
Vérifiez d’abord l’ordre des produits, puis chaque coefficient de \(A^2\). Une erreur sur un seul coefficient se propage à toutes les puissances suivantes.
