Corrigé du bac S de maths 2020 aux Antilles-Guyane (septembre) à télécharger en PDF

Corrigé Antilles 2020 : présentation de la correction

D’abord, précisons que ce corrigé Antilles 2020 concerne le bac S de mathématiques 2020 aux Antilles-Guyane (septembre), avec une rédaction complète des réponses. Ainsi, vous trouverez 4 exercices indépendants. De plus, on y mobilise surtout la fonction exponentielle, la loi normale, le calcul intégral et la géométrie dans l’espace. Côté timing, l’épreuve dure 4 heures ; par conséquent, prévoyez à peu près 60 minutes pour chaque exercice. Ainsi, chaque étape de calcul reste visible, ce qui permet de repérer précisément l’endroit où un raisonnement a dévié.

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

Partie A

1. Le premier niveau de l’arbre porte sur le matin (\(M\) ou \(\overline{M}\)), le second sur le soir (\(S\) ou \(\overline{S}\)). On a \(P(M) = 0{,}55\) donc \(P(\overline{M}) = 1 – 0{,}55 = 0{,}45\). Les données donnent les probabilités conditionnelles \(P_M(S) = 0{,}7\) et \(P_{\overline{M}}(S) = 0{,}24\), d’où par complément \(P_M(\overline{S}) = 0{,}3\) et \(P_{\overline{M}}(\overline{S}) = 0{,}76\).

2. On suit le chemin \(M\) puis \(S\) de l’arbre et on multiplie les probabilités rencontrées :

\[P(M \cap S) = P(M) \times P_M(S) = 0{,}55 \times 0{,}7 = 0{,}385.\]

Il y a 38,5 % de chances que, ce jour-là, Louise emmène Zoé le matin et la ramène aussi le soir.

3. Les événements \(M\) et \(\overline{M}\) forment une partition de l’univers. D’après la formule des probabilités totales :

\[P(S) = P(M \cap S) + P(\overline{M} \cap S) = 0{,}385 + 0{,}45 \times 0{,}24 = 0{,}385 + 0{,}108 = 0{,}493.\]

On obtient bien \(P(S) = 0{,}493\).

4. On cherche la probabilité de \(M\) sachant que \(S\) est réalisé, c’est-à-dire \(P_S(M)\) :

\[P_S(M) = \dfrac{P(M \cap S)}{P(S)} = \dfrac{0{,}385}{0{,}493} \approx 0{,}781.\]

Sachant que Louise a ramené Zoé le soir, la probabilité qu’elle l’ait aussi emmenée le matin est environ 0,781.

Partie B

1. Avec la calculatrice (loi normale de moyenne 28 et d’écart-type 5) : \(P(X \leq\, 25) \approx 0{,}274\).

2. On calcule \(P(18 \leq\, X \leq\, 38)\). On remarque que \(18 = 28 – 2 \times 5\) et \(38 = 28 + 2 \times 5\) : il s’agit de l’intervalle \([\mu – 2\sigma\,;\,\mu + 2\sigma]\), dont la probabilité est connue pour valoir environ 0,95. La calculatrice précise : \(P(18 \leq\, X \leq\, 38) \approx 0{,}954\).

3. \(P(X \geq\, d) = 0{,}1\) équivaut à \(P(X \lt d) = 0{,}9\), soit \(P(X \leq\, d) = 0{,}9\) (la loi est continue). La fonction « inverse loi normale » de la calculatrice, avec l’aire 0,9, \(\mu = 28\) et \(\sigma = 5\), donne \(d \approx 34{,}41\). La durée cherchée, arrondie à la minute, est \(d = 34\) minutes : seul un trajet sur dix dure plus de 34 minutes environ.

4. On se ramène à la loi normale centrée réduite : si \(Y\) suit la loi normale \(\mathcal{N}(26\,;\,\sigma^2)\), alors \(Z = \dfrac{Y – 26}{\sigma}\) suit la loi normale \(\mathcal{N}(0\,;\,1)\). Comme \(\sigma \gt 0\) :

\[P(Y \geq\, 30) = 0{,}1 \iff P(\dfrac{Y – 26}{\sigma} \geq\, \dfrac{30 – 26}{\sigma}) = 0{,}1 \iff P(Z \geq\, \dfrac{4}{\sigma}) = 0{,}1 \iff P(Z \leq\, \dfrac{4}{\sigma}) = 0{,}9.\]

La calculatrice donne le réel \(u\) tel que \(P(Z \leq\, u) = 0{,}9\) : \(u \approx 1{,}2816\). Donc \(\dfrac{4}{\sigma} \approx 1{,}2816\), d’où \(\sigma \approx \dfrac{4}{1{,}2816} \approx 3{,}121\). Arrondi au centième : \(\sigma \approx 3{,}12\).

Partie C

On teste l’affirmation « la proportion de salariés qui covoiturent est \(p = 0{,}35\) » sur un échantillon de taille \(n = 254\). Les conditions d’utilisation de l’intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies : \(n = 254 \geq\, 30\), \(np = 88{,}9 \geq\, 5\) et \(n(1 – p) = 165{,}1 \geq\, 5\).

L’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % est :

\[I = [p – 1{,}96\dfrac{\sqrt{p(1 – p)}}{\sqrt{n}}\,;\,p + 1{,}96\dfrac{\sqrt{p(1 – p)}}{\sqrt{n}}] = [0{,}35 – 1{,}96\dfrac{\sqrt{0{,}35 \times 0{,}65}}{\sqrt{254}}\,;\,0{,}35 + 1{,}96\dfrac{\sqrt{0{,}35 \times 0{,}65}}{\sqrt{254}}].\]

En arrondissant la borne inférieure par défaut et la borne supérieure par excès, on obtient \(I \approx [0{,}291\,;\,0{,}409]\).

La fréquence observée dans le sondage est \(f = \dfrac{82}{254} \approx 0{,}323\), qui appartient à \(I\). Le sondage ne remet donc pas en cause l’information publiée par l’entreprise (au risque d’erreur de 5 %).

Exercice 2 :

Partie A

1. Quand \(x\) tend vers \(+\infty\), \(-x\) tend vers \(-\infty\) ; or \(\lim\limits_{X \to -\infty} \text{e}^{X} = 0\), donc par composition \(\lim\limits_{x \to +\infty} \text{e}^{-x} = 0\). Par somme : \(\lim\limits_{x \to +\infty} g(x) = 1\). La courbe de \(g\) admet la droite d’équation \(y = 1\) comme asymptote horizontale en \(+\infty\).

2. La dérivée de \(x \mapsto \text{e}^{-x}\) est \(x \mapsto -\text{e}^{-x}\) (forme \(\text{e}^{u}\) avec \(u(x) = -x\)). Donc, pour tout \(x \geq\, 0\) :

\[g^{\prime}(x) = 0 – (-\text{e}^{-x}) = \text{e}^{-x}.\]

Une exponentielle est toujours strictement positive, donc \(g^{\prime}(x) \gt 0\) sur \([0\,;\,+\infty[\) : la fonction \(g\) est strictement croissante sur \([0\,;\,+\infty[\). De plus \(g(0) = 1 – \text{e}^{0} = 0\).

Partie B

1. a. On écrit \(f = u \times v + 1\) avec \(u(x) = x – 1\) et \(v(x) = \text{e}^{-kx}\). Alors \(u^{\prime}(x) = 1\) et \(v^{\prime}(x) = -k\text{e}^{-kx}\). Avec la formule \((uv)^{\prime} = u^{\prime}v + uv^{\prime}\) :

\[f^{\prime}(x) = 1 \times \text{e}^{-kx} + (x – 1) \times (-k\text{e}^{-kx}) = \text{e}^{-kx}[1 – k(x – 1)] = \text{e}^{-kx}(1 – kx + k).\]

On a donc bien, pour tout réel \(x\), \(f^{\prime}(x) = \text{e}^{-kx}(-kx + k + 1)\).

b. La tangente \(T\) au point d’abscisse 1 a pour équation \(y = f^{\prime}(1)(x – 1) + f(1)\). On calcule \(f(1) = 0 \times \text{e}^{-k} + 1 = 1\) et \(f^{\prime}(1) = \text{e}^{-k}(-k + k + 1) = \text{e}^{-k}\). Donc :

\[T : y = \text{e}^{-k}(x – 1) + 1.\]

Le point B est le point de \(T\) situé sur l’axe des ordonnées, donc d’abscisse 0. Son ordonnée vaut \(y_{\text{B}} = \text{e}^{-k}(0 – 1) + 1 = 1 – \text{e}^{-k}\), c’est-à-dire \(y_{\text{B}} = g(k)\).

2. Le point B a pour coordonnées \((0\,;\,g(k))\) ; il appartient au segment [OJ], où O(0 ; 0) et J(0 ; 1), si et seulement si \(0 \leq\, g(k) \leq\, 1\). Or \(k \gt 0\) et, d’après la partie A, \(g\) est croissante sur \([0\,;\,+\infty[\) avec \(g(0) = 0\) : donc \(g(k) \geq\, g(0) = 0\). D’autre part \(g(k) = 1 – \text{e}^{-k}\) et \(\text{e}^{-k} \gt 0\), donc \(g(k) \lt 1\) (c’est cohérent avec la limite 1 atteinte en croissant). Ainsi \(0 \leq\, g(k) \leq\, 1\) et le point B appartient au segment [OJ], quelle que soit la valeur de \(k \gt 0\).

Partie C

1. Le domaine \(\mathcal{D}\) est la zone comprise, entre \(x = 0\) et \(x = 1\), sous la courbe \(\mathcal{C}_h\) et au-dessus de la droite \(d\) (il est hachuré ci-dessous).

Les fonctions \(h\) et \(x \mapsto x\) sont continues sur [0 ; 1] et, sur cet intervalle, \(\mathcal{C}_h\) est au-dessus de \(d\), c’est-à-dire \(h(x) \geq\, x\). L’aire du domaine compris entre deux courbes est l’intégrale de la fonction « du haut » moins la fonction « du bas », donc \(\mathcal{A} = \displaystyle\int_0^1 [h(x) – x]\, \text{d}x\) (en unités d’aire).

2. a. Pour tout réel \(x\), on fait apparaître le facteur \(1 – x\) :

\[h(x) – x = (x – 1)\text{e}^{-2x} + (1 – x) = -(1 – x)\text{e}^{-2x} + (1 – x) \times 1 = (1 – x)(1 – \text{e}^{-2x}).\]

b. On part de l’inégalité admise \(\text{e}^{-2x} \geq\, 1 – 2x\). En multipliant par \(-1\) (ce qui change le sens) puis en ajoutant 1 :

\[-\text{e}^{-2x} \leq\, -1 + 2x \quad \text{donc} \quad 1 – \text{e}^{-2x} \leq\, 2x.\]

Sur [0 ; 1], on a \(x \leq\, 1\) donc \(1 – x \geq\, 0\) : on peut multiplier les deux membres par \(1 – x\) sans changer le sens de l’inégalité. Avec la question précédente :

\[h(x) – x = (1 – x)(1 – \text{e}^{-2x}) \leq\, 2x(1 – x) = 2x – 2x^2.\]

Donc pour tout \(x\) de [0 ; 1], \(h(x) – x \leq\, 2x – 2x^2\).

c. L’intégrale conserve l’ordre (les bornes sont dans le bon sens, \(0 \lt 1\)) ; en intégrant l’inégalité précédente sur [0 ; 1] :

\[\mathcal{A} = \displaystyle\int_0^1 [h(x) – x]\, \text{d}x \leq\, \displaystyle\int_0^1 (2x – 2x^2) \text{d}x = [x^2 – \dfrac{2}{3}x^3]_0^1 = 1 – \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3}.\]

Exercice 2 du corrigé Antilles 2020, partie C : question 3

Donc \(\mathcal{A} \leq\, \dfrac{1}{3}\).

3. Une primitive de \(x \mapsto h(x) – x\) sur [0 ; 1] est \(x \mapsto H(x) – \dfrac{x^2}{2}\). Donc :

\[\mathcal{A} = [H(x) – \dfrac{x^2}{2}]_0^1 = (H(1) – \dfrac{1}{2}) – H(0).\]

On calcule \(H(1) = \dfrac{1}{4}(1 – 2)\text{e}^{-2} + 1 = 1 – \dfrac{1}{4}\text{e}^{-2}\) et \(H(0) = \dfrac{1}{4} \times 1 \times \text{e}^{0} + 0 = \dfrac{1}{4}\). D’où :

\[\mathcal{A} = 1 – \dfrac{1}{4}\text{e}^{-2} – \dfrac{1}{2} – \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{4} – \dfrac{1}{4}\text{e}^{-2}.\]

\(\mathcal{A} = \dfrac{1 – \text{e}^{-2}}{4}\) unité d’aire, soit environ 0,216 u.a., ce qui est bien inférieur à \(\dfrac{1}{3}\).

Exercice 3 :

1. Dans le repère \((\text{A}\,;\,\vec{\text{AB}},\,\vec{\text{AD}},\,\vec{\text{AE}})\), on a B(1 ; 0 ; 0), C(1 ; 1 ; 0), D(0 ; 1 ; 0), E(0 ; 0 ; 1) et H(0 ; 1 ; 1). M est le milieu de [AB] : \(\text{M}(\dfrac{1}{2}\,;\,0\,;\,0)\). N est le milieu de [BC] : \(\text{N}(1\,;\,\dfrac{1}{2}\,;\,0)\).

2. a. La droite (MN) passe par M et a pour vecteur directeur \(\vec{\text{MN}}\begin{pmatrix} 1/2 \\ 1/2 \\ 0 \end{pmatrix}\), ou encore le vecteur colinéaire \(2\vec{\text{MN}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\), plus simple. Une représentation paramétrique de (MN) est donc :

\[\begin{cases} x = \dfrac{1}{2} + s \\ y = s \\ z = 0 \end{cases}, \quad s \in \mathbb{R}.\]

b. Le point K appartient aux deux droites : il existe des réels \(s\) et \(t\) tels que \(\dfrac{1}{2} + s = t\), \(s = 1\) et \(0 = 0\). On obtient \(s = 1\), puis \(t = \dfrac{3}{2}\). En remplaçant dans la représentation de (CD) : \(\text{K}(\dfrac{3}{2}\,;\,1\,;\,0)\). Le point K se trouve sur la droite (CD), au-delà de C, en dehors du cube.

3. a. On calcule deux vecteurs du plan : \(\vec{\text{HM}}\begin{pmatrix} 1/2 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}\) et \(\vec{\text{HN}}\begin{pmatrix} 1 \\ -1/2 \\ -1 \end{pmatrix}\). Ils ne sont pas colinéaires : leurs troisièmes coordonnées sont égales, mais pas leurs premières. Calculons les produits scalaires :

\[\vec{n} \cdot \vec{\text{HM}} = 2 \times \dfrac{1}{2} + (-2) \times (-1) + 3 \times (-1) = 1 + 2 – 3 = 0,\]

\[\vec{n} \cdot \vec{\text{HN}} = 2 \times 1 + (-2) \times (-\dfrac{1}{2}) + 3 \times (-1) = 2 + 1 – 3 = 0.\]

Exercice 3 du corrigé Antilles 2020 : question 4

Le vecteur \(\vec{n}\) est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (HMN) : c’est un vecteur normal au plan (HMN).

b. Le plan (HMN) a donc une équation de la forme \(2x – 2y + 3z + e = 0\). Il passe par H(0 ; 1 ; 1) : \(0 – 2 + 3 + e = 0\), donc \(e = -1\). Une équation cartésienne du plan est \(2x – 2y + 3z – 1 = 0\). Vérification avec M : \(1 – 0 + 0 – 1 = 0\) ; avec N : \(2 – 1 + 0 – 1 = 0\).

c. La droite (CG) passe par C(1 ; 1 ; 0) et est dirigée par \(\vec{\text{CG}} = \vec{\text{AE}}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) : ses points ont pour coordonnées \((1\,;\,1\,;\,r)\) avec \(r \in \mathbb{R}\). Le point L appartient aussi au plan : \(2 \times 1 – 2 \times 1 + 3r – 1 = 0\), soit \(3r = 1\) et \(r = \dfrac{1}{3}\). Donc \(\text{L}(1\,;\,1\,;\,\dfrac{1}{3})\) ; comme \(0 \leq\, \dfrac{1}{3} \leq\, 1\), L est sur l’arête [CG], au tiers de sa hauteur en partant de C.

4. Construction, face par face :

Exercice 3 du corrigé Antilles 2020 (suite)

• On place K en prolongeant (MN) jusqu’à la droite (CD), au-delà de C (ou en reportant \(\text{CK} = \dfrac{1}{2}\text{CD}\)).
• Face ABCD : M et N sont dans le plan, on trace le segment [MN].
• Face CDHG : K et H appartiennent au plan (HMN) et au plan de cette face, donc l’intersection est la droite (KH). Elle coupe l’arête [CG] au point L, ce qui confirme la question 3.c. On trace [LH].
• Face BCGF : N et L sont dans le plan, on trace [NL].
• Face ABFE : elle est parallèle à la face CDHG, donc le plan (HMN) la coupe selon une droite parallèle à (LH). On trace la parallèle à (LH) passant par M ; elle coupe l’arête [AE] en un point S. Par le calcul, S vérifie \(x = y = 0\) et \(3z – 1 = 0\), donc \(\text{S}(0\,;\,0\,;\,\dfrac{1}{3})\).
• Face ADHE : on trace [SH], qui est parallèle à [NL] (faces ADHE et BCGF parallèles).

La section du cube par le plan (HMN) est le pentagone MNLHS.

Exercice 4 (candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité) :

1. Affirmation 1 : fausse. Calculons les premiers termes. \(u_0 = 4\), \(u_1 = -\dfrac{2}{3} \times 4 + 1 = -\dfrac{5}{3}\), \(u_2 = -\dfrac{2}{3} \times (-\dfrac{5}{3}) + 1 = \dfrac{19}{9}\). Donc \(v_0 = 4 – \dfrac{2}{3} = \dfrac{10}{3}\), \(v_1 = -\dfrac{5}{3} – \dfrac{2}{3} = -\dfrac{7}{3}\) et \(v_2 = \dfrac{19}{9} – \dfrac{6}{9} = \dfrac{13}{9}\).

\[\dfrac{v_1}{v_0} = -\dfrac{7}{3} \times \dfrac{3}{10} = -\dfrac{7}{10} \qquad \text{et} \qquad \dfrac{v_2}{v_1} = \dfrac{13}{9} \times (-\dfrac{3}{7}) = -\dfrac{13}{21}.\]

Les deux quotients sont différents : il n’existe pas de raison commune, donc \((v_n)\) n’est pas géométrique. (Pour que la suite \(u_n – a\) soit géométrique, il faudrait prendre pour \(a\) le point fixe \(a = -\dfrac{2}{3}a + 1\), c’est-à-dire \(a = \dfrac{3}{5}\), et non \(\dfrac{2}{3}\).)

2. Affirmation 2 : vraie. Pour tout entier \(n \geq\, 1\), \(-1 \leq\, \cos(n) \leq\, 1\), donc \(2 \leq\, 3 + \cos(n) \leq\, 4\). En divisant par \(n^2 \gt 0\) :

\[\dfrac{2}{n^2} \leq\, w_n \leq\, \dfrac{4}{n^2}.\]

Or \(\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{2}{n^2} = \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{4}{n^2} = 0\). D’après le théorème des gendarmes, \((w_n)\) converge vers 0.

3. Affirmation 3 : fausse. La boucle tourne tant que \(U \leq\, 5000\) ; elle s’arrête donc dès que \(U\) dépasse strictement 5 000. Les valeurs successives de \(U\) sont : 5, 7, 13, 31, 85, 247, 733, 2 191, 6 565. À la fin, \(U\) contient 6 565 (et \(N = 8\)), et non 5 000. D’ailleurs, \(U\) ne peut jamais valoir exactement 5 000 à la sortie, puisqu’on sort seulement quand \(U \gt 5000\).

Exercice 4 du corrigé Antilles 2020 : questions 4 à 5

4. Affirmation 4 : vraie. Un produit est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul. D’une part \(z – \text{i} = 0\) donne \(z = \text{i}\), de module 1. D’autre part, pour \(z^2 + \sqrt{3}z + 1 = 0\), le discriminant vaut \(\Delta = 3 – 4 = -1 \lt 0\) : il y a deux solutions complexes conjuguées

\[z_1 = \dfrac{-\sqrt{3} – \text{i}}{2} \qquad \text{et} \qquad z_2 = \dfrac{-\sqrt{3} + \text{i}}{2}.\]

Leur module commun vaut \(\sqrt{\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4}} = 1\). Les trois solutions de (E) sont donc de module 1.

5. Affirmation 5 : fausse. On a \(\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}} = \text{i}\), donc \(z_{n+1} = 2\text{i}\,z_n\) et \(z_{n+2} = 2\text{i} \times 2\text{i}\,z_n = -4z_n\). L’affixe du milieu de \([M_nM_{n+2}]\) est

\[\dfrac{z_n + z_{n+2}}{2} = \dfrac{z_n – 4z_n}{2} = -\dfrac{3}{2}z_n.\]

Comme \(|z_n| = 2^{n+1} \neq 0\), ce milieu n’est jamais O. Contre-exemple concret : \(z_0 = 2\), \(z_1 = 4\text{i}\), \(z_2 = -8\) ; le milieu de \([M_0M_2]\) a pour affixe \(-3\), ce n’est pas O.

Exercice 4 (candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité) :

Partie A

1. On écrit \(x^2 – 5y^2 = (x^2 – y^2) – 4y^2 = (x – y)(x + y) – 4y^2\). Si \(x\) et \(y\) avaient la même parité, \(x – y\) serait pair, donc \((x – y)(x + y)\) aussi ; comme \(4y^2\) est pair, \(x^2 – 5y^2\) serait pair. Or \(x^2 – 5y^2 = 1\) est impair : contradiction. \(x\) et \(y\) ne peuvent pas avoir la même parité.

2. L’égalité \(x^2 – 5y^2 = 1\) s’écrit \(x \times x + y \times (-5y) = 1\). On a trouvé deux entiers relatifs \(u = x\) et \(v = -5y\) tels que \(ux + vy = 1\). D’après le théorème de Bézout, \(x\) et \(y\) sont premiers entre eux. (Autre rédaction : tout diviseur commun \(d\) de \(x\) et \(y\) divise \(x^2 – 5y^2 = 1\), donc \(d = 1\).)

3. Si \(k \equiv r\ [5]\), alors \(k^2 \equiv r^2\ [5]\). Il suffit de calculer \(0^2 = 0\), \(1^2 = 1\), \(2^2 = 4\), \(3^2 = 9 \equiv 4\) et \(4^2 = 16 \equiv 1\) modulo 5 :

4. De \(x^2 – 5y^2 = 1\) on tire \(x^2 = 1 + 5y^2\), donc \(x^2 \equiv 1\ [5]\). Dans le tableau, le reste de \(k^2\) vaut 1 seulement lorsque le reste de \(k\) vaut 1 ou 4. Donc \(x \equiv 1\ [5]\) ou \(x \equiv 4\ [5]\).

Partie B

1. On effectue le produit de la matrice \(A\) par le vecteur colonne :

\[\begin{pmatrix} x_{n+1} \\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 20 \\ 4 9 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9x_n + 20y_n \\ 4x_n + 9y_n \end{pmatrix}.\]

Donc \(x_{n+1} = 9x_n + 20y_n\) et \(y_{n+1} = 4x_n + 9y_n\). On remarque au passage que ces suites sont à valeurs entières naturelles, puisque \(x_0\) et \(y_0\) le sont et que les coefficients sont positifs.

2. Notons \(\mathcal{P}(n)\) la propriété : « \(x_n^2 – 5y_n^2 = 1\) ».

Initialisation. \(x_0^2 – 5y_0^2 = 1 – 0 = 1\) : \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.

Hérédité. Supposons \(\mathcal{P}(n)\) vraie pour un entier naturel \(n\). On développe :

\[x_{n+1}^2 – 5y_{n+1}^2 = (9x_n + 20y_n)^2 – 5(4x_n + 9y_n)^2 = 81x_n^2 + 360x_ny_n + 400y_n^2 – 80x_n^2 – 360x_ny_n – 405y_n^2.\]

\[x_{n+1}^2 – 5y_{n+1}^2 = x_n^2 – 5y_n^2 = 1 \quad \text{(hypothèse de récurrence)}.\]

Donc \(\mathcal{P}(n + 1)\) est vraie.

Conclusion. La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire : pour tout entier naturel \(n\), \((x_n, y_n)\) est solution de (E).

3. a. On calcule le produit ligne par colonne :

\[A^2 = \begin{pmatrix} 9 \times 9 + 20 \times 4 9 \times 20 + 20 \times 9 \\ 4 \times 9 + 9 \times 4 4 \times 20 + 9 \times 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 161 360 \\ 72 161 \end{pmatrix}.\]

Par une récurrence immédiate, \(\begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix} = A^n\begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix}\), donc \(\begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} = A^2\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 161 \\ 72 \end{pmatrix}\) : \(x_2 = 161\) et \(y_2 = 72\). Vérification : \(161^2 – 5 \times 72^2 = 25\,921 – 25\,920 = 1\).

Exercice 4 du corrigé Antilles 2020, partie B (suite)

b. Pour tout entier naturel \(p\), \(\begin{pmatrix} x_{p+2} \\ y_{p+2} \end{pmatrix} = A\begin{pmatrix} x_{p+1} \\ y_{p+1} \end{pmatrix} = A^2\begin{pmatrix} x_p \\ y_p \end{pmatrix}\), d’où \(y_{p+2} = 72x_p + 161y_p\). Si \(y_p\) est un multiple de 9, on écrit \(y_p = 9m\) avec \(m\) entier ; comme \(72 = 9 \times 8\) :

\[y_{p+2} = 9 \times 8x_p + 161 \times 9m = 9(8x_p + 161m).\]

\(y_{p+2}\) est donc un multiple de 9.

c. Montrons par récurrence que, pour tout entier naturel \(q\), \(y_{2q}\) est un multiple de 9. Initialisation : \(y_0 = 0 = 9 \times 0\). Hérédité : si \(y_{2q}\) est un multiple de 9, la question b appliquée à \(p = 2q\) montre que \(y_{2q+2} = y_{2(q+1)}\) en est un aussi. La propriété est donc vraie pour tout \(q\). Avec \(q = 1010\) : \(y_{2020}\) est un multiple de 9.

Bien travailler ce corrigé Antilles 2020

D’abord, ouvrez l’énoncé du sujet et traitez un exercice entier sans aide, comme le jour de l’épreuve. Ensuite, relisez la correction question par question et soulignez les arguments qui manquaient dans votre copie. Par ailleurs, faites la liste des points de cours à revoir ; ici, ce sera souvent la fonction exponentielle et la loi normale. Enfin, refaites les questions ratées deux ou trois jours plus tard, cette fois sans rien regarder. En complément, l’article fonction exponentielle de Wikipédia rappelle les définitions et propriétés utiles.

Les erreurs fréquentes à éviter

• Face à une forme indéterminée avec l’exponentielle, pensez aux croissances comparées plutôt qu’à un calcul direct.
• Avec une loi normale, vérifiez à la calculatrice que vous avez bien saisi l’écart-type et non la variance.
• Une intégrale ne mesure une aire que si la fonction est positive sur l’intervalle : vérifiez le signe avant de conclure en unités d’aire.

Corrigé Antilles 2020 : questions fréquentes

Où trouver l’énoncé complet ? Il se trouve sur la page du sujet ; ainsi, vous pouvez chercher chaque exercice avant de lire la correction.

Quelles notions revoir avant de commencer ? Avant tout, la fonction exponentielle, la loi normale et le calcul intégral, mais aussi la géométrie dans l’espace.

Faut-il tout justifier ? Dans la plupart des questions, oui : c’est pourquoi la rédaction compte autant que le résultat, sauf dans les QCM où seule la réponse est demandée.

De plus, Retour à l’énoncé : Bac S de maths 2020 aux Antilles-Guyane (septembre) : sujet et corrigé.

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