Bac maths 2023 France sept. J2 : sujet et corrigé

Voici le sujet 2 du bac de spécialité mathématiques de septembre 2023 en France métropolitaine et à La Réunion, posé le 12 septembre 2023, suivi de son corrigé détaillé sur cette même page. Le premier exercice étudie un test de dépistage de la paratuberculose chez les vaches : arbre pondéré, valeur prédictive positive, loi binomiale sur un troupeau de 100 bêtes et taille minimale d’échantillon. Le deuxième part de la courbe de la dérivée pour étudier \(f(x) = (2-\ln x)\ln x\) : lecture graphique, limites, variations, convexité et point d’inflexion. Le troisième porte sur une suite définie par récurrence, avec un programme Python à compléter et une démonstration par récurrence. Le dernier est un QCM de géométrie dans l’espace : plan, droite, produit scalaire et angle.

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BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2023
Mathématiques — Sujet 2
France métropolitaine et La Réunion — 12 septembre 2023
Durée de l’épreuve : 4 heures

Exercice 1 (5 points)

La paratuberculose est une maladie digestive infectieuse qui touche les vaches. Elle est due à la présence d’une bactérie dans l’intestin de la vache.

On réalise une étude dans une région dont 0,4 % de la population de vaches est infectée.

Il existe un test qui met en évidence la réaction immunitaire de l’organisme infecté par la bactérie.

Le résultat de ce test peut être soit « positif », soit « négatif ».

On choisit une vache au hasard dans la région.

Compte tenu des caractéristiques du test, on sait que :

Si la vache est atteinte par l’infection, la probabilité que son test soit positif est de \(0{,}992\) ;
Si la vache n’est pas atteinte par l’infection, la probabilité que son test soit négatif est de \(0{,}984\).

On désigne par :

\(I\) l’évènement « la vache est atteinte par l’infection » ;
\(T\) l’évènement « la vache présente un test positif ».

On note \(\overline{I}\) l’évènement contraire de \(I\) et \(\overline{T}\) l’évènement contraire de \(T\).

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

1. Reproduire et compléter l’arbre pondéré ci-dessous modélisant la situation.

2. a. Calculer la probabilité que la vache ne soit pas atteinte par l’infection et que son test soit négatif. On donnera le résultat à \(10^{-3}\) près.

b. Montrer que la probabilité, à \(10^{-3}\) près, que la vache présente un test positif est environ égale à 0,020.

c. La « valeur prédictive positive du test » est la probabilité que la vache soit atteinte par l’infection sachant que son test est positif. Calculer la valeur prédictive positive de ce test. On donnera le résultat à \(10^{-3}\) près.

d. Le test donne une information erronée sur l’état de santé de la vache lorsque la vache n’est pas infectée et présente un résultat positif au test ou lorsque la vache est infectée et présente un résultat négatif au test.

Calculer la probabilité que ce test donne une information erronée sur l’état de santé de la vache. On donnera un résultat à \(10^{-3}\) près.

Partie B

3. Lorsqu’on choisit au hasard dans la région un échantillon de 100 vaches, on assimile ce choix à un tirage avec remise.

On rappelle que, pour une vache choisie au hasard dans la région, la probabilité que le test soit positif est égale à 0,02.

On note \(X\) la variable aléatoire qui à un échantillon de 100 vaches de la région choisies au hasard associe le nombre de vaches présentant un test positif dans cet échantillon.

a. Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire \(X\) ? Justifier la réponse et préciser les paramètres de cette loi.

b. Calculer la probabilité que dans un échantillon de 100 vaches, il y ait exactement 3 vaches présentant un test positif. On donnera un résultat à \(10^{-3}\) près.

c. Calculer la probabilité que dans un échantillon de 100 vaches, il y ait au plus 3 vaches présentant un test positif. On donnera un résultat à \(10^{-3}\) près.

4. On choisit à présent un échantillon de \(n\) vaches dans cette région, \(n\) étant un entier naturel non nul. On admet que l’on peut assimiler ce choix à un tirage avec remise.

Déterminer la valeur minimale de \(n\) pour que la probabilité qu’il y ait, dans l’échantillon, au moins une vache testée positive, soit supérieure ou égale à 0,99.

Exercice 2 (5 points)

On considère la fonction \(f\) définie sur l’intervalle \(]0~;~+\infty[\) par

\[f(x) = (2-\ln x) \times \ln x,\]

où \(\ln\) désigne la fonction logarithme népérien.

On admet que la fonction \(f\) est deux fois dérivable sur \(]0~;~+\infty[\).

On note \(C\) la courbe représentative de la fonction \(f\) dans un repère orthogonal et \(C^{\prime}\) la courbe représentative de la fonction \(f^{\prime}\), fonction dérivée de la fonction \(f\).

La courbe \(C^{\prime}\) est donnée ci-dessous ainsi que son unique tangente horizontale (T).

1. Par lecture graphique, avec la précision que permet le tracé ci-dessus, donner :

a. le coefficient directeur de la tangente à \(C\) au point d’abscisse 1.

b. le plus grand intervalle sur lequel la fonction \(f\) est convexe.

2. a. Calculer la limite de la fonction \(f\) en \(+\infty\).

b. Calculer \(\lim\limits_{x \to 0} f(x)\). Interpréter graphiquement ce résultat.

3. Montrer que la courbe \(C\) coupe l’axe des abscisses en deux points exactement dont on précisera les coordonnées.

4. a. Montrer que pour tout réel \(x\) appartenant à \(]0~;~+\infty[\), \(f^{\prime}(x) = \dfrac{2(1-\ln x)}{x}\).

b. En déduire, en justifiant, le tableau de variations de la fonction \(f\) sur \(]0~;~+\infty[\).

5. On note \(f^{\prime\prime}\) la dérivée seconde de \(f\) et on admet que pour tout réel \(x\) appartenant à \(]0~;~+\infty[\), \(f^{\prime\prime}(x) = \dfrac{2(\ln x-2)}{x^{2}}\).

Déterminer par le calcul le plus grand intervalle sur lequel la fonction \(f\) est convexe et préciser les coordonnées du point d’inflexion de la courbe \(C\).

Exercice 3 (5 points)

On considère la suite \((u_{n})\) définie par : \(u_{1}=\dfrac{1}{\text{e}}\) et \(u_{n+1}=\dfrac{1}{\text{e}}(1+\dfrac{1}{n}) u_{n}\) pour tout entier \(n \geq\, 1\).

1. Calculer les valeurs exactes de \(u_{2}\) et \(u_{3}\). On détaillera les calculs.

2. On considère une fonction écrite en langage Python qui, pour un entier naturel \(n\) donné, affiche le terme \(u_{n}\). Compléter les lignes \(L_{2}\) et \(L_{4}\) de ce programme.

L1  def suite(n):
L2    ..................
L3    for i in range(1, n):
L4      u=................
L5  return u

3. On admet que tous les termes de la suite \((u_{n})\) sont strictement positifs.

a. Montrer que pour tout entier naturel \(n\) non nul, on a : \(1+\dfrac{1}{n} \leq\, \text{e}\).

b. En déduire que la suite \((u_{n})\) est décroissante.

c. La suite \((u_{n})\) est-elle convergente ? Justifier votre réponse.

4. a. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul, on a : \(u_{n}=\dfrac{n}{\text{e}^{n}}\).

b. En déduire, si elle existe, la limite de la suite \((u_{n})\).

Exercice 4 (5 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

L’espace est rapporté à un repère orthonormé \((\text{O}~;~\vec{\imath},~\vec{\jmath},~\vec{k})\).

On considère :

les points \(\text{A}(-1~;~-2~;~3)\), \(\text{B}(1~;~-2~;~7)\) et \(\text{C}(1~;~0~;~2)\) ;
la droite \(\Delta\) de représentation paramétrique : \(\{\begin{array}{l}x=1-t \\ y=2 \\ z=-4+3 t\end{array}.\), où \(t \in \mathbb{R}\) ;
le plan \(\mathcal{P}\) d’équation cartésienne : \(3 x+2 y+z-4=0\) ;
le plan \(\mathcal{Q}\) d’équation cartésienne : \(-6 x-4 y-2 z+7=0\).

1. Lequel des points suivants appartient au plan \(\mathcal{P}\) ?

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\(R(1~;~-3~;~1)\)	\(S(1~;~2~;~-1)\)	\(T(1~;~0~;~1)\)	\(U(2~;~-1~;~1)\)

2. Le triangle ABC est :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
équilatéral	rectangle isocèle	isocèle non rectangle	rectangle non isocèle

3. La droite \(\Delta\) est :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
orthogonale au plan \(\mathcal{P}\)	sécante au plan \(\mathcal{P}\)	incluse dans le plan \(\mathcal{P}\)	strictement parallèle au plan \(\mathcal{P}\)

4. On donne le produit scalaire \(\vec{\text{BA}} \cdot \vec{\text{BC}}=20\).

Une mesure au degré près de l’angle \(\widehat{\text{ABC}}\) est :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\(34^{\circ}\)	\(120^{\circ}\)	\(90^{\circ}\)	\(0^{\circ}\)

5. L’intersection des plans \(\mathcal{P}\) et \(\mathcal{Q}\) est :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
un plan	l’ensemble vide	une droite	réduite à un point

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

Partie A

1. On traduit les données de l’énoncé en probabilités :

0,4 % des vaches sont infectées : \(P(I) = 0{,}004\), donc \(P(\overline{I}) = 1 – 0{,}004 = 0{,}996\) ;
une vache infectée a un test positif avec la probabilité \(P_I(T) = 0{,}992\), donc \(P_I(\overline{T}) = 1 – 0{,}992 = 0{,}008\) ;
une vache saine a un test négatif avec la probabilité \(P_{\overline{I}}(\overline{T}) = 0{,}984\), donc \(P_{\overline{I}}(T) = 1 – 0{,}984 = 0{,}016\).

L’arbre complété se lit donc ainsi (chaque ligne correspond à un chemin, de la racine vers une feuille) :

Premier niveau	Second niveau	Probabilité du chemin
\(I\) : 0,004	\(T\) : 0,992	\(P(I \cap T) = 0{,}003\,968\)
\(I\) : 0,004	\(\overline{T}\) : 0,008	\(P(I \cap \overline{T}) = 0{,}000\,032\)
\(\overline{I}\) : 0,996	\(T\) : 0,016	\(P(\overline{I} \cap T) = 0{,}015\,936\)
\(\overline{I}\) : 0,996	\(\overline{T}\) : 0,984	\(P(\overline{I} \cap \overline{T}) = 0{,}980\,064\)

Sur l’arbre, on écrit donc 0,996 sur la branche menant à \(\overline{I}\), 0,992 et 0,008 sur les branches issues de \(I\), 0,016 et 0,984 sur les branches issues de \(\overline{I}\). On vérifie que les probabilités issues d’un même nœud ont bien pour somme 1.

2. a. On cherche \(P(\overline{I} \cap \overline{T})\). On multiplie les probabilités le long du chemin \(\overline{I} \to \overline{T}\) :

\[P(\overline{I} \cap \overline{T}) = P(\overline{I}) \times P_{\overline{I}}(\overline{T}) = 0{,}996 \times 0{,}984 = 0{,}980\,064.\]

La probabilité qu’une vache soit saine et ait un test négatif vaut environ 0,980.

b. Les évènements \(I\) et \(\overline{I}\) forment une partition de l’univers. D’après la formule des probabilités totales :

\[P(T) = P(I \cap T) + P(\overline{I} \cap T) = 0{,}004 \times 0{,}992 + 0{,}996 \times 0{,}016 = 0{,}003\,968 + 0{,}015\,936 = 0{,}019\,904.\]

Arrondi au millième, on obtient bien \(P(T) \approx 0{,}020\).

c. La valeur prédictive positive est la probabilité conditionnelle \(P_T(I)\). Par définition :

\[P_T(I) = \dfrac{P(I \cap T)}{P(T)} = \dfrac{0{,}003\,968}{0{,}019\,904} \approx 0{,}199\,36.\]

La valeur prédictive positive du test vaut environ 0,199. Autrement dit, moins d’une vache sur cinq ayant un test positif est réellement infectée : comme la maladie est rare, les « faux positifs » parmi les nombreuses vaches saines sont plus nombreux que les vrais positifs.

d. L’information est erronée dans deux cas incompatibles : un faux positif (\(\overline{I} \cap T\)) ou un faux négatif (\(I \cap \overline{T}\)). On additionne leurs probabilités :

\[P(\overline{I} \cap T) + P(I \cap \overline{T}) = 0{,}996 \times 0{,}016 + 0{,}004 \times 0{,}008 = 0{,}015\,936 + 0{,}000\,032 = 0{,}015\,968.\]

La probabilité que le test donne une information erronée est environ 0,016.

Partie B

3. a. Pour chaque vache de l’échantillon, on répète la même épreuve de Bernoulli : le succès « le test est positif » a la probabilité \(p = 0{,}02\). Le choix étant assimilé à un tirage avec remise, les 100 épreuves sont identiques et indépendantes. La variable \(X\) compte le nombre de succès : elle suit donc la loi binomiale de paramètres \(n = 100\) et \(p = 0{,}02\).

b. Pour une loi binomiale, \(P(X = k) = \dbinom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\). Ici :

\[P(X = 3) = \dbinom{100}{3} \times 0{,}02^{3} \times 0{,}98^{97} = 161\,700 \times 0{,}000\,008 \times 0{,}98^{97} \approx 0{,}182.\]

La probabilité d’avoir exactement 3 vaches positives est environ 0,182.

c. « Au plus 3 » signifie \(X \leq\, 3\), c’est-à-dire \(X \in \{0~;~1~;~2~;~3\}\) :

\[P(X \leq\, 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) \approx 0{,}133 + 0{,}271 + 0{,}273 + 0{,}182.\]

La calculatrice (fonction de répartition binomiale) donne \(P(X \leq\, 3) \approx 0{,}859\).

4. Avec un échantillon de \(n\) vaches, le nombre \(Y\) de vaches testées positives suit la loi binomiale de paramètres \(n\) et 0,02. L’évènement « au moins une vache positive » est le contraire de « aucune vache positive », donc :

\[P(Y \geq\, 1) = 1 – P(Y = 0) = 1 – 0{,}98^n.\]

On cherche le plus petit entier \(n\) tel que \(1 – 0{,}98^n \geq\, 0{,}99\), c’est-à-dire \(0{,}98^n \leq\, 0{,}01\). La fonction \(\ln\) est strictement croissante sur \(]0~;~+\infty[\), elle conserve donc l’ordre :

\[0{,}98^n \leq\, 0{,}01 \iff n \ln(0{,}98) \leq\, \ln(0{,}01) \iff n \geq\, \dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}98)}.\]

Le sens de l’inégalité change à la dernière étape car on divise par \(\ln(0{,}98)\), qui est strictement négatif (car \(0{,}98 \lt 1\)). Or \(\dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}98)} \approx 227{,}95\). Vérification : \(0{,}98^{227} \approx 0{,}010\,19 \gt 0{,}01\) et \(0{,}98^{228} \approx 0{,}009\,99 \leq\, 0{,}01\).

Il faut donc un échantillon d’au moins 228 vaches.

Exercice 2 :

1. a. Le coefficient directeur de la tangente à \(C\) au point d’abscisse 1 est le nombre dérivé \(f^{\prime}(1)\). On le lit sur la courbe \(C^{\prime}\) : c’est l’ordonnée du point de \(C^{\prime}\) d’abscisse 1, soit environ 2.

b. La fonction \(f\) est convexe sur un intervalle lorsque sa dérivée \(f^{\prime}\) y est croissante. Sur le graphique, \(C^{\prime}\) descend jusqu’au point où elle touche sa tangente horizontale (T), d’abscisse environ 7,4, puis remonte. Le plus grand intervalle sur lequel \(f\) est convexe est donc environ \([7{,}4~;~+\infty[\).

2. a. On a \(\lim\limits_{x \to +\infty} \ln x = +\infty\), donc \(\lim\limits_{x \to +\infty} (2 – \ln x) = -\infty\). Par produit d’une limite \(-\infty\) par une limite \(+\infty\) :

\[\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = -\infty.\]

b. On a \(\lim\limits_{x \to 0} \ln x = -\infty\), donc \(\lim\limits_{x \to 0} (2 – \ln x) = +\infty\). Par produit :

\[\lim\limits_{x \to 0} f(x) = -\infty.\]

Graphiquement, la courbe \(C\) admet l’axe des ordonnées (droite d’équation \(x = 0\)) comme asymptote verticale.

3. Les points d’intersection de \(C\) avec l’axe des abscisses ont pour abscisses les solutions de \(f(x) = 0\) sur \(]0~;~+\infty[\). Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul :

\[f(x) = 0 \iff 2 – \ln x = 0 \ \text{ ou } \ \ln x = 0 \iff \ln x = 2 \ \text{ ou } \ \ln x = 0 \iff x = \text{e}^2 \ \text{ ou } \ x = 1.\]

L’équation a exactement deux solutions, donc \(C\) coupe l’axe des abscisses en exactement deux points : \((1~;~0)\) et \((\text{e}^2~;~0)\).

4. a. On dérive le produit \(f = u \times v\) avec \(u(x) = 2 – \ln x\), \(u^{\prime}(x) = -\dfrac1x\), et \(v(x) = \ln x\), \(v^{\prime}(x) = \dfrac1x\). Comme \((uv)^{\prime} = u^{\prime}v + uv^{\prime}\) :

\[f^{\prime}(x) = -\dfrac1x \times \ln x + (2 – \ln x) \times \dfrac1x = \dfrac{-\ln x + 2 – \ln x}{x} = \dfrac{2 – 2\ln x}{x} = \dfrac{2(1 – \ln x)}{x}.\]

b. Sur \(]0~;~+\infty[\), on a \(x \gt 0\) et \(2 \gt 0\), donc \(f^{\prime}(x)\) a le signe de \(1 – \ln x\). Or, la fonction \(\ln\) étant strictement croissante :

\(1 – \ln x \gt 0 \iff \ln x \lt 1 \iff x \lt \text{e}\) ;
\(1 – \ln x = 0 \iff x = \text{e}\) ;
\(1 – \ln x \lt 0 \iff x \gt \text{e}\).

La fonction \(f\) est donc strictement croissante sur \(]0~;~\text{e}]\) et strictement décroissante sur \([\text{e}~;~+\infty[\). Son maximum vaut \(f(\text{e}) = (2 – \ln \text{e}) \times \ln \text{e} = (2 – 1) \times 1 = 1\). Avec les limites de la question 2, on obtient le tableau :

\(x\)	\(0\)		\(\text{e}\)		\(+\infty\)
Signe de \(f^{\prime}(x)\)	\|\|	\(+\)	\(0\)	\(-\)
Variations de \(f\)	\(-\infty\)	\(\nearrow\)	\(1\)	\(\searrow\)	\(-\infty\)

5. \(f\) est convexe sur un intervalle si et seulement si \(f^{\prime\prime}\) y est positive. Comme \(x^2 \gt 0\) et \(2 \gt 0\), \(f^{\prime\prime}(x)\) a le signe de \(\ln x – 2\) :

\[f^{\prime\prime}(x) \geq\, 0 \iff \ln x – 2 \geq\, 0 \iff \ln x \geq\, 2 \iff x \geq\, \text{e}^2.\]

Le plus grand intervalle sur lequel \(f\) est convexe est donc \([\text{e}^2~;~+\infty[\) (on retrouve la lecture graphique, car \(\text{e}^2 \approx 7{,}39\)). Sur \(]0~;~\text{e}^2]\), \(f^{\prime\prime}\) est négative et \(f\) est concave.

La dérivée seconde s’annule en \(\text{e}^2\) en changeant de signe : la courbe \(C\) change de convexité en ce point, qui est un point d’inflexion. Son ordonnée est \(f(\text{e}^2) = (2 – 2) \times 2 = 0\). Le point d’inflexion de \(C\) est \((\text{e}^2~;~0)\), qui est aussi l’un des deux points trouvés à la question 3.

Exercice 3 :

1. On applique la relation de récurrence avec \(n = 1\), puis \(n = 2\) :

\[u_2 = \dfrac{1}{\text{e}}(1 + \dfrac11) u_1 = \dfrac{1}{\text{e}} \times 2 \times \dfrac{1}{\text{e}} = \dfrac{2}{\text{e}^2}.\]

\[u_3 = \dfrac{1}{\text{e}}(1 + \dfrac12) u_2 = \dfrac{1}{\text{e}} \times \dfrac32 \times \dfrac{2}{\text{e}^2} = \dfrac{3}{\text{e}^3}.\]

Ainsi \(u_2 = \dfrac{2}{\text{e}^2}\) et \(u_3 = \dfrac{3}{\text{e}^3}\).

2. La ligne \(L_2\) doit initialiser la variable u à \(u_1 = \dfrac{1}{\text{e}}\). Dans la boucle, i prend les valeurs 1, 2, …, \(n-1\) : au passage d’indice i, on remplace \(u_i\) par \(u_{i+1} = \dfrac{1}{\text{e}}(1 + \dfrac1i) u_i\). Après les \(n – 1\) passages, u contient \(u_n\). En utilisant la fonction exponentielle du module math (\(\dfrac{1}{\text{e}} = \text{e}^{-1}\)), le programme complet est :

from math import exp
def suite(n):
    u = exp(-1)
    for i in range(1, n):
        u = exp(-1) * (1 + 1/i) * u
    return u

On peut aussi écrire u = 1/e en ligne 2 si l’on a importé la constante e par from math import e. L’instruction return u doit être indentée pour appartenir à la fonction.

3. a. Soit \(n\) un entier naturel non nul. Comme \(n \geq\, 1\), on a \(0 \lt \dfrac1n \leq\, 1\), donc \(1 + \dfrac1n \leq\, 2\). Or \(\text{e} \approx 2{,}718\), donc \(2 \lt \text{e}\). Par transitivité, \(1 + \dfrac1n \leq\, \text{e}\).

b. On divise l’inégalité précédente par \(\text{e} \gt 0\) : \(\dfrac{1}{\text{e}}(1 + \dfrac1n) \leq\, 1\). On multiplie ensuite par \(u_n\), qui est strictement positif, ce qui conserve le sens de l’inégalité :

\[u_{n+1} = \dfrac{1}{\text{e}}(1 + \dfrac1n) u_n \leq\, u_n.\]

Cela est vrai pour tout \(n \geq\, 1\) : la suite \((u_n)\) est décroissante.

c. La suite \((u_n)\) est décroissante et minorée par 0 (tous ses termes sont strictement positifs). D’après le théorème de convergence monotone, la suite \((u_n)\) est convergente, et sa limite \(\ell\) vérifie \(\ell \geq\, 0\).

4. a. Pour \(n \geq\, 1\), notons \(\mathcal{P}(n)\) la propriété : « \(u_n = \dfrac{n}{\text{e}^n}\) ».

Initialisation. Pour \(n = 1\) : \(\dfrac{1}{\text{e}^1} = \dfrac{1}{\text{e}} = u_1\). Donc \(\mathcal{P}(1)\) est vraie.

Hérédité. Soit \(n \geq\, 1\) un entier tel que \(\mathcal{P}(n)\) soit vraie, c’est-à-dire \(u_n = \dfrac{n}{\text{e}^n}\). Alors, en écrivant \(1 + \dfrac1n = \dfrac{n+1}{n}\) :

\[u_{n+1} = \dfrac{1}{\text{e}} \times \dfrac{n+1}{n} \times \dfrac{n}{\text{e}^n} = \dfrac{n+1}{\text{e} \times \text{e}^n} = \dfrac{n+1}{\text{e}^{n+1}}.\]

Donc \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie.

Conclusion. La propriété est vraie au rang 1 et elle est héréditaire ; d’après le principe de récurrence, \(u_n = \dfrac{n}{\text{e}^n}\) pour tout entier \(n \geq\, 1\). On retrouve bien les valeurs de \(u_2\) et \(u_3\) de la question 1.

b. D’après le théorème des croissances comparées, \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\text{e}^x}{x} = +\infty\), donc par passage à l’inverse \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x}{\text{e}^x} = 0\). En particulier, pour les entiers :

\[\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{n}{\text{e}^n} = 0.\]

La suite \((u_n)\) converge vers 0.

Exercice 4 :

Aucune justification n’était demandée ; on en donne une pour chaque question.

1. Réponse c. On remplace les coordonnées de chaque point dans \(3x + 2y + z – 4\) :

\(R\) : \(3 – 6 + 1 – 4 = -6 \neq 0\) ;
\(S\) : \(3 + 4 – 1 – 4 = 2 \neq 0\) ;
\(T\) : \(3 + 0 + 1 – 4 = 0\) ;
\(U\) : \(6 – 2 + 1 – 4 = 1 \neq 0\).

Seul le point \(T(1~;~0~;~1)\) appartient au plan \(\mathcal{P}\).

2. Réponse d. On calcule \(\vec{\text{AB}}(2~;~0~;~4)\), \(\vec{\text{AC}}(2~;~2~;~-1)\) et \(\vec{\text{BC}}(0~;~2~;~-5)\).

Produit scalaire : \(\vec{\text{AB}} \cdot \vec{\text{AC}} = 2 \times 2 + 0 \times 2 + 4 \times (-1) = 0\). Les vecteurs sont orthogonaux, donc le triangle est rectangle en A.

Longueurs : \(\text{AB}^2 = 4 + 0 + 16 = 20\), \(\text{AC}^2 = 4 + 4 + 1 = 9\) et \(\text{BC}^2 = 0 + 4 + 25 = 29\) (on vérifie \(20 + 9 = 29\)). Les trois longueurs sont différentes : le triangle ABC est rectangle non isocèle.

3. Réponse d. Un vecteur directeur de \(\Delta\) est \(\vec{v}(-1~;~0~;~3)\) (coefficients de \(t\)) et un vecteur normal à \(\mathcal{P}\) est \(\vec{n}(3~;~2~;~1)\). Or \(\vec{v} \cdot \vec{n} = -3 + 0 + 3 = 0\) : la droite \(\Delta\) est parallèle au plan \(\mathcal{P}\) (ce qui exclut les réponses a et b).

Pour \(t = 0\), on obtient le point \(\text{H}(1~;~2~;~-4)\) de \(\Delta\). Or \(3 \times 1 + 2 \times 2 + (-4) – 4 = -1 \neq 0\), donc H n’est pas dans \(\mathcal{P}\) et \(\Delta\) n’est pas incluse dans \(\mathcal{P}\). La droite \(\Delta\) est strictement parallèle au plan \(\mathcal{P}\).

4. Réponse a. On utilise \(\vec{\text{BA}} \cdot \vec{\text{BC}} = \text{BA} \times \text{BC} \times \cos\widehat{\text{ABC}}\). D’après la question 2, \(\text{BA} = \sqrt{20}\) et \(\text{BC} = \sqrt{29}\), donc :

\[\cos\widehat{\text{ABC}} = \dfrac{20}{\sqrt{20} \times \sqrt{29}} = \sqrt{\dfrac{20}{29}} \approx 0{,}830\,5.\]

La calculatrice donne \(\widehat{\text{ABC}} \approx 33{,}85^{\circ}\), soit \(34^{\circ}\) au degré près. On pouvait aussi raisonner sans calcul : le triangle est rectangle en A, donc l’angle en B est aigu (ce qui élimine 120° et 90°) et non nul.

5. Réponse b. Un vecteur normal à \(\mathcal{Q}\) est \(\vec{n^{\prime}}(-6~;~-4~;~-2) = -2\,\vec{n}\) : il est colinéaire à \(\vec{n}\), donc les plans \(\mathcal{P}\) et \(\mathcal{Q}\) sont parallèles.

En divisant l’équation de \(\mathcal{Q}\) par \(-2\), on obtient \(3x + 2y + z – 3{,}5 = 0\). Un point commun aux deux plans vérifierait à la fois \(3x + 2y + z = 4\) et \(3x + 2y + z = 3{,}5\), ce qui est impossible. Les plans sont strictement parallèles : leur intersection est l’ensemble vide.

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