Bac maths 2023 centres étrangers J2 : sujet et corrigé

Voici le sujet 2 du bac de spécialité mathématiques 2023 des centres étrangers (Europe), posé le 22 mars 2023, suivi sur cette page d’un corrigé détaillé de chaque question. Le premier exercice étudie la fonction logistique \(x \mapsto \dfrac{1}{1+\text{e}^{-3x}}\) : lecture graphique d’une tangente, dérivée, limites, équation \(f(x)=0{,}99\), point d’inflexion et position de la courbe par rapport à sa tangente. Le deuxième relie la fonction \(x \mapsto x-\ln(1+x)\) à une suite récurrente, avec une démonstration par récurrence et le calcul de la limite. Le troisième se déroule dans l’espace : triangle rectangle, équation de plan, projeté orthogonal puis volume d’un cône. Le dernier est un QCM sur la loi binomiale appliquée aux pièces défectueuses d’une chaîne de fabrication, avec une fonction Python de seuil.

Ce sujet fait partie des annales que nous rassemblons pour préparer le bac de maths 2027 : tous les sujets de spécialité y sont classés par session.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2023
Mathématiques — Sujet 2
Centres étrangers (Europe) — 22 mars 2023
Durée de l’épreuve : 4 heures

Exercice 1 (5 points)

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\[f(x) = \dfrac{1}{1 + \text{e}^{-3x}}.\]

On note \(\mathcal{C}_f\) sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan.

On nomme A le point de coordonnées \((0~;~\dfrac12)\) et B le point de coordonnées \((1~;~\dfrac54)\).

On a tracé ci-dessous la courbe \(\mathcal{C}_f\) et \(\mathcal{T}\) la tangente à la courbe \(\mathcal{C}_f\) au point d’abscisse \(0\).

Partie A : lectures graphiques

Dans cette partie, les résultats seront obtenus par lecture graphique. Aucune justification n’est demandée.

1. Déterminer l’équation réduite de la tangente \(\mathcal{T}\).

2. Donner les intervalles sur lesquels la fonction \(f\) semble convexe ou concave.

Partie B : étude de la fonction

1. On admet que la fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\).

Déterminer l’expression de sa fonction dérivée \(f^{\prime}\).

2. Justifier que la fonction \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).

3. a. Déterminer la limite en \(+\infty\) de la fonction \(f\).

b. Déterminer la limite en \(-\infty\) de la fonction \(f\).

4. Déterminer la valeur exacte de la solution \(\alpha\) de l’équation \(f(x) = 0{,}99\).

Partie C : Tangente et convexité

1. Déterminer par le calcul une équation de la tangente \(\mathcal{T}\) à la courbe \(\mathcal{C}_f\) au point d’abscisse \(0\).

On admet que la fonction \(f\) est deux fois dérivable sur \(\mathbb{R}\).

On note \(f^{\prime\prime}\) la fonction dérivée seconde de la fonction \(f\).

On admet que \(f^{\prime\prime}\) est définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\[f^{\prime\prime}(x) = \dfrac{9\text{e}^{-3x}(\text{e}^{-3x} – 1)}{(1 + \text{e}^{-3x})^3}.\]

2. Étudier le signe de la fonction \(f^{\prime\prime}\) sur \(\mathbb{R}\).

3. a. Indiquer, en justifiant, sur quel(s) intervalle(s) la fonction \(f\) est convexe.

b. Que représente le point A pour la courbe \(\mathcal{C}_f\) ?

c. En déduire la position relative de la tangente \(\mathcal{T}\) et de la courbe \(\mathcal{C}_f\).

Justifier la réponse.

Exercice 2 (5 points)

Partie A

On considère la fonction \(f\) définie par :

\[f(x) = x – \ln(1 + x).\]

1. Justifier que la fonction \(f\) est définie sur l’intervalle \(]-1~;~+\infty[\).

2. On admet que la fonction \(f\) est dérivable sur \(]-1~;~+\infty[\).

Déterminer l’expression de sa fonction dérivée \(f^{\prime}(x)\).

3. a. En déduire le sens de variation de la fonction \(f\) sur l’intervalle \(]-1~;~+\infty[\).

b. En déduire le signe de la fonction \(f\) sur l’intervalle \(]-1~;~0[\).

4. a. Montrer que, pour tout \(x\) appartenant à l’intervalle \(]-1~;~+\infty[\), on a : \(f(x) = \ln(\dfrac{\text{e}^x}{1 + x})\).

b. En déduire la limite en \(+\infty\) de la fonction \(f\).

Partie B

On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = 10\) et, pour tout entier naturel \(n\),

\[u_{n+1} = u_n – \ln(1 + u_n).\]

On admet que la suite \((u_n)\) est bien définie.

1. Donner la valeur arrondie au millième de \(u_1\).

2. En utilisant la question 3. a. de la partie A, démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), on a \(u_n \geq\, 0\).

3. Démontrer que la suite \((u_n)\) est décroissante.

4. Déduire des questions précédentes que la suite \((u_n)\) converge.

5. Déterminer la limite de la suite \((u_n)\).

Exercice 3 (5 points)

L’espace est muni d’un repère orthonormé \((\text{O}~;~\vec{\imath},~\vec{\jmath},~\vec{k})\).

On considère les points \(\text{A}(3~;~0~;~1)\), \(\text{B}(2~;~1~;~2)\) et \(\text{C}(-2~;~-5~;~1)\).

1. Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.

2. Démontrer que le triangle ABC est rectangle en A.

3. Vérifier que le plan (ABC) a pour équation cartésienne :

\[-x + y – 2z + 5 = 0.\]

4. On considère le point \(\text{S}(1~;~-2~;~4)\).

Déterminer la représentation paramétrique de la droite \((\Delta)\), passant par S et orthogonale au plan (ABC).

5. On appelle H le point d’intersection de la droite \((\Delta)\) et du plan (ABC).

Montrer que les coordonnées de H sont \((0~;~-1~;~2)\).

6. Calculer la valeur exacte de la distance SH.

7. On considère le cercle \(\mathcal{C}\), inclus dans le plan (ABC), de centre H, passant par le point B. On appelle \(\mathcal{D}\) le disque délimité par le cercle \(\mathcal{C}\).

Déterminer la valeur exacte de l’aire du disque \(\mathcal{D}\).

8. En déduire la valeur exacte du volume du cône de sommet S et de base le disque \(\mathcal{D}\).

Exercice 4 (5 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.
Les cinq questions sont indépendantes.

Une chaîne de fabrication produit des pièces mécaniques. On estime que 4 % des pièces produites par cette chaîne sont défectueuses.

On choisit au hasard \(n\) pièces produites par la chaîne de fabrication.

Le nombre de pièces produites est suffisamment grand pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise.

On note \(X\) la variable aléatoire égale au nombre de pièces défectueuses tirées.

Dans les trois questions suivantes, on prend \(n = 50\).

1. Quelle est la probabilité, arrondie au millième, de tirer au moins une pièce défectueuse ?

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\(1\)	\(0{,}870\)	\(0{,}600\)	\(0{,}599\)

2. La probabilité \(p(3 \lt X \leq\, 7)\) est égale à :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\(p(X \leq\, 7) – p(X \gt 3)\)	\(p(X \leq\, 7) – p(X \leq\, 3)\)	\(p(X \lt 7) – p(X \gt 3)\)	\(p(X \lt 7) – p(X \geq\, 3)\)

3. Quel est le plus petit entier naturel \(k\) tel que la probabilité de tirer au plus \(k\) pièces défectueuses soit supérieure ou égale à 95 % ?

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
2	3	4	5

Dans les questions suivantes, \(n\) ne vaut plus nécessairement 50.

4. Quelle est la probabilité de ne tirer que des pièces défectueuses ?

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\(0{,}04^n\)	\(0{,}96^n\)	\(1 – 0{,}04^n\)	\(1 – 0{,}96^n\)

5. On considère la fonction Python ci-dessous. Que renvoie-t-elle ?

def seuil(x) :
    n=1
    while 1-0.96**n < x :
        n = n + 1
    return n

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
Le plus petit nombre \(n\) tel que la probabilité de tirer au moins une pièce défectueuse soit supérieure ou égale à x.	Le plus petit nombre \(n\) tel que la probabilité de ne tirer aucune pièce défectueuse soit supérieure ou égale à x.	Le plus grand nombre \(n\) tel que la probabilité de ne tirer que des pièces défectueuses soit supérieure ou égale à x.	Le plus grand nombre \(n\) tel que la probabilité de ne tirer aucune pièce défectueuse soit supérieure ou égale à x.

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

Partie A : lectures graphiques

1. La tangente \(\mathcal{T}\) passe par A et par B. Son ordonnée à l’origine se lit en A : c’est \(\dfrac12\). Pour passer de A à B, on avance de 1 unité en abscisse et on monte de \(\dfrac54 – \dfrac12 = \dfrac34\) en ordonnée : le coefficient directeur vaut donc \(\dfrac34\).

L’équation réduite de la tangente est \(y = \dfrac34 x + \dfrac12\).

2. À gauche de l’axe des ordonnées, la courbe s’incurve vers le haut (elle est au-dessus de ses tangentes) ; à droite, elle s’incurve vers le bas.

La fonction \(f\) semble convexe sur \(]-\infty~;~0]\) et concave sur \([0~;~+\infty[\).

Partie B : étude de la fonction

1. On écrit \(f = \dfrac{1}{u}\) avec \(u(x) = 1 + \text{e}^{-3x}\). La dérivée de \(x \mapsto \text{e}^{-3x}\) est \(x \mapsto -3\text{e}^{-3x}\) (formule \((\text{e}^{v})^{\prime} = v^{\prime}\text{e}^{v}\)), donc \(u^{\prime}(x) = -3\text{e}^{-3x}\).

Comme \((\dfrac1u)^{\prime} = -\dfrac{u^{\prime}}{u^2}\), on obtient pour tout réel \(x\) :

\[f^{\prime}(x) = -\dfrac{-3\text{e}^{-3x}}{(1 + \text{e}^{-3x})^2} = \dfrac{3\text{e}^{-3x}}{(1 + \text{e}^{-3x})^2}.\]

2. Pour tout réel \(x\), \(\text{e}^{-3x} \gt 0\), donc le numérateur \(3\text{e}^{-3x}\) est strictement positif. Le dénominateur est un carré d’un nombre non nul (car \(1 + \text{e}^{-3x} \gt 1\)), donc il est strictement positif lui aussi.

Ainsi \(f^{\prime}(x) \gt 0\) pour tout réel \(x\) : la fonction \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).

3. a. Quand \(x\) tend vers \(+\infty\), \(-3x\) tend vers \(-\infty\), et comme \(\lim\limits_{X \to -\infty} \text{e}^{X} = 0\), on a \(\lim\limits_{x \to +\infty} \text{e}^{-3x} = 0\).

Donc \(\lim\limits_{x \to +\infty} (1 + \text{e}^{-3x}) = 1\) et, par quotient, \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 1\). La droite d’équation \(y = 1\) est asymptote horizontale à \(\mathcal{C}_f\) en \(+\infty\).

b. Quand \(x\) tend vers \(-\infty\), \(-3x\) tend vers \(+\infty\), donc \(\lim\limits_{x \to -\infty} \text{e}^{-3x} = +\infty\), puis \(\lim\limits_{x \to -\infty} (1 + \text{e}^{-3x}) = +\infty\).

L’inverse d’une quantité qui tend vers \(+\infty\) tend vers 0 : \(\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = 0\). L’axe des abscisses est asymptote horizontale à \(\mathcal{C}_f\) en \(-\infty\).

4. Le dénominateur \(1 + \text{e}^{-3x}\) est strictement positif, on peut donc « faire les produits en croix » :

\[f(x) = 0{,}99 \iff 1 = 0{,}99(1 + \text{e}^{-3x}) \iff 1 – 0{,}99 = 0{,}99\,\text{e}^{-3x} \iff \text{e}^{-3x} = \dfrac{0{,}01}{0{,}99} = \dfrac{1}{99}.\]

On applique la fonction logarithme népérien, qui est la réciproque de l’exponentielle :

\[-3x = \ln(\dfrac{1}{99}) = -\ln 99 \iff x = \dfrac{\ln 99}{3}.\]

La solution de l’équation est \(\alpha = \dfrac{\ln 99}{3}\), soit environ \(1{,}532\). L’unicité est cohérente avec la stricte croissance de \(f\).

Partie C : Tangente et convexité

1. La tangente au point d’abscisse 0 a pour équation \(y = f^{\prime}(0)(x – 0) + f(0)\).

Comme \(\text{e}^{0} = 1\) : \(f(0) = \dfrac{1}{1 + 1} = \dfrac12\) et \(f^{\prime}(0) = \dfrac{3 \times 1}{(1 + 1)^2} = \dfrac34\).

Une équation de \(\mathcal{T}\) est donc \(y = \dfrac34 x + \dfrac12\), ce qui confirme la lecture graphique de la partie A.

2. Dans l’expression de \(f^{\prime\prime}(x)\), le facteur \(9\text{e}^{-3x}\) est strictement positif, et \((1 + \text{e}^{-3x})^3\) aussi (cube d’un nombre positif). Le signe de \(f^{\prime\prime}(x)\) est donc celui de \(\text{e}^{-3x} – 1\).

Or, la fonction exponentielle étant strictement croissante et \(\text{e}^0 = 1\) :

\(\text{e}^{-3x} – 1 \gt 0 \iff \text{e}^{-3x} \gt \text{e}^0 \iff -3x \gt 0 \iff x \lt 0\) ;
\(\text{e}^{-3x} – 1 = 0 \iff -3x = 0 \iff x = 0\) ;
\(\text{e}^{-3x} – 1 \lt 0 \iff x \gt 0\).

\(f^{\prime\prime}(x) \gt 0\) sur \(]-\infty~;~0[\), \(f^{\prime\prime}(0) = 0\) et \(f^{\prime\prime}(x) \lt 0\) sur \(]0~;~+\infty[\).

3. a. Une fonction deux fois dérivable est convexe sur un intervalle où sa dérivée seconde est positive. D’après la question précédente, \(f\) est convexe sur \(]-\infty~;~0]\) (et concave sur \([0~;~+\infty[\), où \(f^{\prime\prime}\) est négative).

b. La dérivée seconde s’annule en 0 en changeant de signe : la courbe passe de convexe à concave en son point d’abscisse 0. Le point A\((0~;~\dfrac12)\) est donc un point d’inflexion de \(\mathcal{C}_f\).

c. On utilise la propriété : sur un intervalle où une fonction est convexe, sa courbe est au-dessus de chacune de ses tangentes ; sur un intervalle où elle est concave, elle est en dessous.

Sur \(]-\infty~;~0]\), \(f\) est convexe, donc \(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de sa tangente \(\mathcal{T}\) au point A (qui appartient à cet intervalle).
Sur \([0~;~+\infty[\), \(f\) est concave, donc \(\mathcal{C}_f\) est en dessous de \(\mathcal{T}\).

La courbe \(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de \(\mathcal{T}\) pour \(x \leq\, 0\) et en dessous pour \(x \geq\, 0\) : elle traverse sa tangente au point d’inflexion A, comme on le voit sur la figure.

Exercice 2 :

Partie A

1. Le logarithme népérien n’est défini que pour un nombre strictement positif. Il faut donc \(1 + x \gt 0\), c’est-à-dire \(x \gt -1\). La soustraction \(x – \ln(1+x)\) ne pose alors aucun autre problème : \(f\) est définie sur \(]-1~;~+\infty[\).

2. La dérivée de \(x \mapsto \ln(1+x)\) est \(x \mapsto \dfrac{1}{1+x}\) (formule \((\ln u)^{\prime} = \dfrac{u^{\prime}}{u}\) avec \(u(x) = 1 + x\)). Donc pour tout \(x \gt -1\) :

\[f^{\prime}(x) = 1 – \dfrac{1}{1+x} = \dfrac{1 + x – 1}{1+x} = \dfrac{x}{1+x}.\]

On retient \(f^{\prime}(x) = \dfrac{x}{1+x}\).

3. a. Sur \(]-1~;~+\infty[\), le dénominateur \(1 + x\) est strictement positif : \(f^{\prime}(x)\) a le signe de \(x\).

\(x\)	\(-1\)		\(0\)		\(+\infty\)
signe de \(f^{\prime}(x)\)		\(-\)	\(0\)	\(+\)
variations de \(f\)		\(\searrow\)	\(0\)	\(\nearrow\)

\(f\) est strictement décroissante sur \(]-1~;~0]\) et strictement croissante sur \([0~;~+\infty[\).

b. On calcule \(f(0) = 0 – \ln 1 = 0\). Sur \(]-1~;~0[\), \(f\) est strictement décroissante, donc pour \(-1 \lt x \lt 0\), on a \(f(x) \gt f(0) = 0\).

La fonction \(f\) est strictement positive sur \(]-1~;~0[\). (Plus généralement, 0 est le minimum de \(f\), donc \(f(x) \geq\, 0\) sur tout l’intervalle \(]-1~;~+\infty[\).)

4. a. Pour tout réel \(x\), \(x = \ln(\text{e}^x)\). Pour \(x \gt -1\), les nombres \(\text{e}^x\) et \(1 + x\) sont strictement positifs, et la propriété \(\ln a – \ln b = \ln\dfrac{a}{b}\) donne :

\[f(x) = \ln(\text{e}^x) – \ln(1+x) = \ln(\dfrac{\text{e}^x}{1+x}).\]

b. Par croissances comparées, \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\text{e}^x}{x} = +\infty\). On écrit, pour \(x \gt 0\) :

\[\dfrac{\text{e}^x}{1+x} = \dfrac{\text{e}^x}{x} \times \dfrac{x}{1+x} = \dfrac{\text{e}^x}{x} \times \dfrac{1}{1 + \frac1x}.\]

Le second facteur tend vers 1, donc \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\text{e}^x}{1+x} = +\infty\). Comme \(\lim\limits_{X \to +\infty} \ln X = +\infty\), par composition : \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\).

Partie B

On remarque que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1} = f(u_n)\), où \(f\) est la fonction de la partie A.

1. Avec \(n = 0\) : \(u_1 = u_0 – \ln(1 + u_0) = 10 – \ln 11\). À la calculatrice, \(u_1 \approx 7{,}602\).

2. On note \(P(n)\) la propriété « \(u_n \geq\, 0\) ».

Initialisation. \(u_0 = 10 \geq\, 0\) : \(P(0)\) est vraie.

Hérédité. Soit \(n\) un entier naturel tel que \(u_n \geq\, 0\). D’après la question 3. a. de la partie A, \(f\) est croissante sur \([0~;~+\infty[\). Comme \(u_n \geq\, 0\), on peut appliquer \(f\) à l’inégalité sans en changer le sens : \(f(u_n) \geq\, f(0)\), c’est-à-dire \(u_{n+1} \geq\, 0\). \(P(n+1)\) est vraie.

Conclusion. La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire, donc par récurrence, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n \geq\, 0\).

3. Pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1} – u_n = -\ln(1 + u_n)\).

D’après la question 2, \(u_n \geq\, 0\), donc \(1 + u_n \geq\, 1\) ; la fonction \(\ln\) étant croissante, \(\ln(1 + u_n) \geq\, \ln 1 = 0\). Par conséquent \(u_{n+1} – u_n \leq\, 0\).

La suite \((u_n)\) est décroissante.

4. La suite \((u_n)\) est décroissante (question 3) et minorée par 0 (question 2). D’après le théorème de convergence monotone, la suite \((u_n)\) converge vers une limite \(\ell\), avec \(\ell \geq\, 0\).

5. La fonction \(f\) est continue sur \([0~;~+\infty[\) (elle y est dérivable) et \(u_{n+1} = f(u_n)\). La limite \(\ell\) vérifie donc \(f(\ell) = \ell\) :

\[\ell – \ln(1 + \ell) = \ell \iff \ln(1 + \ell) = 0 \iff 1 + \ell = 1 \iff \ell = 0.\]

La suite \((u_n)\) converge vers 0.

Exercice 3 :

1. On calcule les coordonnées de deux vecteurs : \(\vec{\text{AB}}\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}\) et \(\vec{\text{AC}}\begin{pmatrix}-5\\-5\\0\end{pmatrix}\).

S’ils étaient colinéaires, il existerait un réel \(k\) tel que \(\vec{\text{AC}} = k\,\vec{\text{AB}}\). La troisième coordonnée donnerait \(0 = k \times 1\), soit \(k = 0\), mais alors la première donnerait \(-5 = 0\) : c’est impossible.

Les vecteurs ne sont pas colinéaires, donc les points A, B et C ne sont pas alignés.

2. Le repère étant orthonormé, on calcule le produit scalaire :

\[\vec{\text{AB}} \cdot \vec{\text{AC}} = (-1)(-5) + 1 \times (-5) + 1 \times 0 = 5 – 5 + 0 = 0.\]

Les vecteurs \(\vec{\text{AB}}\) et \(\vec{\text{AC}}\) sont orthogonaux : le triangle ABC est rectangle en A.

3. Les points A, B et C n’étant pas alignés, ils définissent un unique plan. Il suffit de vérifier que leurs coordonnées satisfont l’équation \(-x + y – 2z + 5 = 0\) :

A : \(-3 + 0 – 2 \times 1 + 5 = 0\) ;
B : \(-2 + 1 – 2 \times 2 + 5 = 0\) ;
C : \(-(-2) + (-5) – 2 \times 1 + 5 = 2 – 5 – 2 + 5 = 0\).

Les trois égalités sont vraies : \(-x + y – 2z + 5 = 0\) est bien une équation du plan (ABC).

4. Les coefficients de \(x\), \(y\) et \(z\) dans l’équation du plan donnent un vecteur normal : \(\vec{n}\begin{pmatrix}-1\\1\\-2\end{pmatrix}\). Une droite orthogonale au plan (ABC) est dirigée par ce vecteur normal.

La droite \((\Delta)\) passe par \(\text{S}(1~;~-2~;~4)\) et a pour vecteur directeur \(\vec{n}\) ; une représentation paramétrique en est :

\[(\Delta) : \{\begin{array}{l}x = 1 – t\\ y = -2 + t\\ z = 4 – 2t\end{array}. \quad t \in \mathbb{R}.\]

5. Le point H est sur \((\Delta)\) : ses coordonnées s’écrivent \((1 – t~;~-2 + t~;~4 – 2t)\) pour un certain réel \(t\). Il est aussi dans le plan (ABC), donc :

\[-(1 – t) + (-2 + t) – 2(4 – 2t) + 5 = 0 \iff -1 + t – 2 + t – 8 + 4t + 5 = 0 \iff 6t – 6 = 0 \iff t = 1.\]

En remplaçant \(t\) par 1 : \(x = 0\), \(y = -1\), \(z = 2\). Le point H a bien pour coordonnées \((0~;~-1~;~2)\).

6. Dans un repère orthonormé :

\[\text{SH} = \sqrt{(0 – 1)^2 + (-1 + 2)^2 + (2 – 4)^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}.\]

\(\text{SH} = \sqrt6\). C’est la distance du point S au plan (ABC), puisque H est le projeté orthogonal de S sur ce plan.

7. Le rayon du cercle \(\mathcal{C}\) est \(\text{HB}\). Avec \(\text{H}(0~;~-1~;~2)\) et \(\text{B}(2~;~1~;~2)\) :

\[\text{HB}^2 = (2 – 0)^2 + (1 + 1)^2 + (2 – 2)^2 = 4 + 4 + 0 = 8.\]

L’aire du disque est \(\pi \times \text{HB}^2\), donc l’aire de \(\mathcal{D}\) vaut \(8\pi\) (unités d’aire), soit environ 25,13.

8. La droite (SH) est orthogonale au plan (ABC) qui contient la base \(\mathcal{D}\), et H est le centre de cette base : la hauteur du cône est donc \(\text{SH} = \sqrt6\).

Le volume d’un cône est \(\dfrac13 \times \text{aire de la base} \times \text{hauteur}\) :

\[V = \dfrac13 \times 8\pi \times \sqrt6 = \dfrac{8\sqrt6\,\pi}{3}.\]

Le volume du cône vaut \(\dfrac{8\sqrt6\,\pi}{3}\) (unités de volume), soit environ 20,52.

Exercice 4 :

On répète \(n\) fois, de façon indépendante (tirage assimilé à un tirage avec remise), une épreuve à deux issues dont le « succès » est « la pièce est défectueuse », de probabilité \(0{,}04\). La variable \(X\) suit donc la loi binomiale \(\mathcal{B}(n~;~0{,}04)\).

1. On passe par l’événement contraire « aucune pièce défectueuse » :

\[p(X \geq\, 1) = 1 – p(X = 0) = 1 – 0{,}96^{50} \approx 1 – 0{,}1299 \approx 0{,}8701.\]

Arrondie au millième, la probabilité vaut 0,870 : réponse b.

2. Comme \(X\) ne prend que des valeurs entières, l’événement \(\{X \leq\, 7\}\) est la réunion disjointe de \(\{X \leq\, 3\}\) et de \(\{3 \lt X \leq\, 7\}\). Donc \(p(3 \lt X \leq\, 7) = p(X \leq\, 7) – p(X \leq\, 3)\) : réponse b.

Numériquement, cela donne environ \(0{,}9992 – 0{,}8609 \approx 0{,}1383\).

3. On calcule les probabilités cumulées de la loi \(\mathcal{B}(50~;~0{,}04)\) à la calculatrice :

\(k\)	2	3	4	5
\(p(X \leq\, k)\)	\(\approx 0{,}6767\)	\(\approx 0{,}8609\)	\(\approx 0{,}9510\)	\(\approx 0{,}9856\)

La probabilité cumulée dépasse 0,95 pour la première fois en \(k = 4\) : réponse c.

4. Ne tirer que des pièces défectueuses, c’est obtenir \(n\) succès sur \(n\) épreuves : \(p(X = n) = 0{,}04^n\). Réponse a.

5. La quantité \(1 – 0{,}96^n\) est la probabilité \(p(X \geq\, 1)\) de tirer au moins une pièce défectueuse parmi \(n\) (voir la question 1). La boucle augmente \(n\) de 1 tant que cette probabilité est strictement inférieure à x ; elle s’arrête dès que \(1 – 0{,}96^n \geq\, x\), et comme \(n\) part de 1 en augmentant de 1 en 1, la valeur renvoyée est la première qui convient.

La fonction renvoie le plus petit nombre \(n\) tel que la probabilité de tirer au moins une pièce défectueuse soit supérieure ou égale à x : réponse a.

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