Bac maths 2025 Polynésie J1 : sujet et corrigé

Voici le sujet 1 du bac de spécialité mathématiques 2025 en Polynésie, posé le 17 juin 2025, avec l’énoncé intégral suivi d’un corrigé détaillé de chaque question. Le premier exercice s’appuie sur une étude américaine des allergies alimentaires chez l’enfant : arbre pondéré entre zones rurales et urbaines, loi binomiale sur un échantillon de 100 enfants, puis inégalité de concentration sur l’âge moyen des premiers symptômes. Le deuxième suit deux avions en approche d’un aéroport : point d’impact au sol, droites non sécantes, plan perpendiculaire et distance de sécurité en milles nautiques. Le troisième étudie les fonctions \(x \mapsto x^n\text{e}^{-x}\) et la suite d’intégrales associée, avec une intégration par parties et un raisonnement par l’absurde. Le dernier est un vrai-faux varié : équation différentielle, dénombrement, suite, produit scalaire et convexité.

Tous les sujets pour préparer l’épreuve de spécialité du bac 2027 de mathématiques sont regroupés, avec leurs corrigés, sur notre page de révision.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2025
Mathématiques — Sujet 1
Polynésie — 17 juin 2025
Durée de l’épreuve : 4 heures

Sauf mention contraire, toute réponse devra être justifiée

Exercice 1 (5 points)

Une équipe américaine a cartographié pour la première fois les allergies alimentaires chez l’enfant aux États-Unis en 2020. L’étude, publiée dans la revue Clinical Pediatrics, révèle une différence nette entre les zones rurales et les zones urbaines.

On sait qu’en 2020, 17 % de la population des États-Unis habite en zone rurale et 83 % en zone urbaine.

L’étude menée montre que parmi les enfants des États-Unis vivant en zone rurale, il y en a 6,2 % qui sont atteints d’allergie alimentaire.

L’étude révèle aussi que 9 % des enfants des États-Unis sont atteints d’allergie alimentaire.

Pour un évènement \(E\) quelconque, on note \(P(E)\) sa probabilité et \(\overline{E}\) son évènement contraire.

Sauf mention contraire, les probabilités seront données sous forme exacte.

Partie A

On interroge au hasard un enfant dans la population des États-Unis et on note :

\(R\) l’évènement : « l’enfant interrogé habite en zone rurale » ;
\(A\) l’évènement : « l’enfant interrogé est atteint d’allergie alimentaire ».

1. Traduire cette situation à l’aide d’un arbre de probabilité. Cet arbre pourra être complété par la suite.

2. a. Calculer la probabilité que l’enfant interrogé habite en zone rurale et soit atteint d’allergie alimentaire.

b. En déduire la probabilité que l’enfant interrogé habite en zone urbaine et soit atteint d’allergie alimentaire.

c. L’enfant interrogé habite en zone urbaine. Quelle est la probabilité qu’il soit atteint d’allergie alimentaire ? Arrondir le résultat à \(10^{-4}\).

Partie B

On réalise une étude en interrogeant au hasard 100 enfants des États-Unis.

On admet que ce choix se ramène à des tirages successifs indépendants avec remise.

On note \(X\) la variable aléatoire donnant le nombre d’enfants atteints d’allergie alimentaire dans l’échantillon considéré.

1. Justifier que la variable aléatoire \(X\) suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

2. Quelle est la probabilité qu’au moins 10 enfants parmi les 100 interrogés soient atteints d’allergie alimentaire ? Arrondir le résultat à \(10^{-4}\).

Partie C

On s’intéresse à un échantillon de 20 enfants atteints d’allergie alimentaire choisis au hasard.

L’âge d’apparition des premiers symptômes allergiques de ces 20 enfants est modélisé par les variables aléatoires \(A_1, A_2, \ldots, A_{20}\). On admet que ces variables aléatoires sont indépendantes et suivent la même loi d’espérance 4 et de variance \(2{,}25\).

On considère la variable aléatoire :

\[M_{20} = \dfrac{A_1 + A_2 + \ldots + A_{20}}{20}.\]

1. Que représente la variable aléatoire \(M_{20}\) dans le contexte de l’exercice ?

2. Déterminer l’espérance et la variance de \(M_{20}\).

3. Justifier, à l’aide de l’inégalité de concentration, que

\[P(2 \lt M_{20} \lt 6) \gt 0{,}97.\]

Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.

Exercice 2 (5 points)

Deux avions sont en approche d’un aéroport.

On munit l’espace d’un repère orthonormé \((\text{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k})\) dont l’origine O est le pied de la tour de contrôle, et le sol est le plan \(P_0\) d’équation \(z = 0\).

L’unité des axes correspond à 1 km.

On modélise les avions par des points.

L’avion Alpha transmet à la tour sa position en \(\text{A}(-7\,;\,1\,;\,7)\) et sa trajectoire est dirigée par le vecteur \(\vec{u}\begin{pmatrix}2\\-1\\-3\end{pmatrix}\).

L’avion Bêta transmet une trajectoire définie par la droite \(d_{\text{B}}\) passant par le point B dont une représentation paramétrique est :

\[\begin{cases} x = -11 + 5t \\ y = -5 + t \\ z = 11 – 4t \end{cases} \quad \text{où } t \text{ décrit } \mathbb{R}\]

1. S’il ne dévie pas de sa trajectoire, déterminer les coordonnées du point S en lequel l’avion Bêta touchera le sol.

2. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite \(d_{\text{A}}\) caractérisant la trajectoire de l’avion Alpha.

b. Les deux avions peuvent-ils entrer en collision ?

3. a. Démontrer que l’avion Alpha passe par la position \(\text{E}(-3\,;\,-1\,;\,1)\).

b. Justifier qu’une équation cartésienne du plan \(P_{\text{E}}\) passant par E et perpendiculaire à la droite \(d_{\text{A}}\) est :

\[2x – y – 3z + 8 = 0.\]

c. Vérifier que le point \(\text{F}(-1\,;\,-3\,;\,3)\) est le point d’intersection du plan \(P_{\text{E}}\) et de la droite \(d_{\text{B}}\).

d. Calculer la valeur exacte de la distance EF, puis vérifier que cela correspond à une distance de 3 464 m, à 1 m près.

4. La réglementation aérienne stipule que deux avions en approche doivent être à tout instant à au moins 3 milles nautiques l’un de l’autre (1 mille nautique vaut 1 852 m).

Si les avions Alpha et Bêta sont respectivement en E et F au même instant, leur distance de sécurité est-elle respectée ?

Exercice 3 (5 points)

On munit le plan d’un repère orthonormé.

Pour tout entier naturel \(n\), on considère la fonction \(f_n\) définie sur \([0\,;\,+\infty[\) par :

\[f_0(x) = \text{e}^{-x} \quad \text{et, pour } n \geq\, 1, \quad f_n(x) = x^n\text{e}^{-x}.\]

Pour tout entier naturel \(n\), on note \(\mathcal{C}_n\) la courbe représentative de la fonction \(f_n\).

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A : Étude des fonctions \(f_n\) pour \(n \geq\, 1\)

On considère un entier naturel \(n \geq\, 1\).

1. a. On admet que la fonction \(f_n\) est dérivable sur \([0\,;\,+\infty[\).

Montrer que pour tout \(x \geq\, 0\),

\[f^{\prime}_n(x) = (n – x)x^{n-1}\text{e}^{-x}.\]

b. Justifier tous les éléments du tableau ci-dessous :

2. Justifier par le calcul que le point \(\text{A}(1\,;\,\text{e}^{-1})\) appartient à la courbe \(\mathcal{C}_n\).

Partie B : Étude des intégrales \(\displaystyle\int_0^1 f_n(x)\,\text{d}x\) pour \(n \geq\, 0\)

Dans cette partie, on étudie les fonctions \(f_n\) sur \([0\,;\,1]\) et on considère la suite \((I_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par :

\[I_n = \displaystyle\int_0^1 f_n(x)\,\text{d}x = \displaystyle\int_0^1 x^n\text{e}^{-x}\,\text{d}x.\]

1. Sur le graphique en ANNEXE, on a représenté les courbes \(\mathcal{C}_0\), \(\mathcal{C}_1\), \(\mathcal{C}_2\), \(\mathcal{C}_{10}\) et \(\mathcal{C}_{100}\).

a. Donner une interprétation graphique de \(I_n\).

b. Par lecture de ce graphique, quelle conjecture peut-on émettre sur la limite de la suite \((I_n)\) ?

2. Calculer \(I_0\).

3. a. Soit \(n\) un entier naturel.

Démontrer que pour tout \(x \in [0\,;\,1]\),

\[0 \leq\, x^{n+1} \leq\, x^n.\]

b. En déduire que pour tout entier naturel \(n\), on a :

\[0 \leq\, I_{n+1} \leq\, I_n.\]

4. Démontrer que la suite \((I_n)\) est convergente, vers une limite positive ou nulle que l’on notera \(\ell\).

5. En utilisant une intégration par parties, démontrer que pour tout entier naturel \(n\) on a :

\[I_{n+1} = (n + 1)I_n – \dfrac{1}{\text{e}}.\]

6. a. Démontrer que si \(\ell \gt 0\), l’égalité de la question 5 conduit à une contradiction.

b. Démontrer que \(\ell = 0\). On pourra utiliser la question 6. a.

On donne ci-dessous le script de la fonction mystere, écrite en langage Python.

On a importé la constante e.

def mystere(n):
    I = 1 - 1/e
    L = [I]
    for i in range(n):
        I = (i + 1)*I - 1/e
        L.append(I)
    return L

7. Que renvoie mystere(100) dans le contexte de l’exercice ?

ANNEXE : exercice 3

Exercice 4 (5 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Dans cet exercice, les questions sont indépendantes les unes des autres.

1. On considère l’équation différentielle :

\[(E) \quad y^{\prime} = \dfrac{1}{2}y + 4.\]

Affirmation 1 : Les solutions de \((E)\) sont les fonctions \(f\) définies sur \(\mathbb{R}\) par :

\[f(x) = k\text{e}^{\frac{1}{2}x} – 8, \quad \text{avec } k \in \mathbb{R}.\]

2. Dans une classe de terminale, il y a 18 filles et 14 garçons.

On constitue une équipe de volley-ball en choisissant au hasard 3 filles et 3 garçons.

Affirmation 2 : Il y a 297 024 possibilités pour former une telle équipe.

3. Soit \((v_n)\) la suite définie pour tout entier naturel \(n\) par :

\[v_n = \dfrac{n}{2 + \cos(n)}.\]

Affirmation 3 : La suite \((v_n)\) diverge vers \(+\infty\).

4. Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé \((\text{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k})\), on considère les points \(\text{A}(1\,;\,1\,;\,2)\), \(\text{B}(5\,;\,-1\,;\,8)\) et \(\text{C}(2\,;\,1\,;\,3)\).

Affirmation 4 : \(\vec{\text{AB}} \cdot \vec{\text{AC}} = 10\) et une mesure de l’angle \(\widehat{\text{BAC}}\) est 30°.

5. On considère une fonction \(h\) définie sur \(]0\,;\,+\infty]\) dont la dérivée seconde est définie sur \(]0\,;\,+\infty]\) par :

\[h^{\prime\prime}(x) = x\ln x – 3x.\]

Affirmation 5 : La fonction \(h\) est convexe sur \([\text{e}^3\,;\,+\infty[\).

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

Partie A

1. L’enfant est choisi au hasard : les pourcentages de l’énoncé deviennent des probabilités. Le premier niveau de l’arbre sépare les zones d’habitation, le second indique la présence ou non d’une allergie.

Premier niveau : \(P(R) = 0{,}17\) et \(P(\overline{R}) = 0{,}83\).
Branches issues de \(R\) : \(P_R(A) = 0{,}062\) (les 6,2 % d’enfants ruraux allergiques) et \(P_R(\overline{A}) = 1 – 0{,}062 = 0{,}938\).
Branches issues de \(\overline{R}\) : \(P_{\overline{R}}(A)\) et \(P_{\overline{R}}(\overline{A})\) sont inconnues pour l’instant ; elles seront obtenues à la question 2. c.

Attention : les 9 % d’enfants allergiques ne se placent pas sur une branche. C’est la probabilité totale \(P(A) = 0{,}09\), qui servira dans la question 2. b.

2. a. On suit le chemin \(R\) puis \(A\) et on multiplie les probabilités rencontrées :

\[P(R \cap A) = P(R) \times P_R(A) = 0{,}17 \times 0{,}062 = 0{,}010\,54.\]

La probabilité que l’enfant habite en zone rurale et soit allergique est \(P(R \cap A) = 0{,}010\,54\).

b. Les évènements \(R\) et \(\overline{R}\) forment une partition de l’univers. D’après la formule des probabilités totales :

\[P(A) = P(R \cap A) + P(\overline{R} \cap A).\]

On en tire :

\[P(\overline{R} \cap A) = P(A) – P(R \cap A) = 0{,}09 – 0{,}010\,54 = 0{,}079\,46.\]

La probabilité que l’enfant habite en zone urbaine et soit allergique est \(P(\overline{R} \cap A) = 0{,}079\,46\).

c. On cherche la probabilité conditionnelle \(P_{\overline{R}}(A)\) :

\[P_{\overline{R}}(A) = \dfrac{P(\overline{R} \cap A)}{P(\overline{R})} = \dfrac{0{,}079\,46}{0{,}83} = \dfrac{3\,973}{41\,500} \approx 0{,}095\,73.\]

Sachant qu’il habite en zone urbaine, l’enfant est allergique avec une probabilité d’environ \(0{,}0957\). On peut compléter l’arbre : \(P_{\overline{R}}(A) \approx 0{,}0957\) et \(P_{\overline{R}}(\overline{A}) \approx 0{,}9043\). Le taux d’allergie est donc nettement plus élevé en ville (environ 9,6 %) qu’à la campagne (6,2 %), ce qui confirme la différence annoncée par l’étude.

Partie B

1. Interroger un enfant est une épreuve à deux issues : le succès « l’enfant est atteint d’allergie alimentaire », de probabilité \(p = P(A) = 0{,}09\), et l’échec. On répète cette épreuve 100 fois de façon identique et indépendante (tirages assimilés à des tirages avec remise). La variable \(X\) compte le nombre de succès : elle suit donc la loi binomiale de paramètres \(n = 100\) et \(p = 0{,}09\).

2. On passe par l’évènement contraire, car la calculatrice donne directement les probabilités cumulées \(P(X \leq\, k)\) :

\[P(X \geq\, 10) = 1 – P(X \leq\, 9) \approx 1 – 0{,}587\,51 \approx 0{,}412\,49.\]

La probabilité qu’au moins 10 enfants sur 100 soient allergiques est d’environ \(0{,}4125\).

Partie C

1. \(M_{20}\) est la moyenne des âges d’apparition des premiers symptômes des 20 enfants : elle représente l’âge moyen (en années) d’apparition des premiers symptômes allergiques dans l’échantillon.

2. Par linéarité de l’espérance :

\[E(M_{20}) = \dfrac{1}{20}(E(A_1) + \ldots + E(A_{20})) = \dfrac{20 \times 4}{20} = 4.\]

Les variables \(A_i\) étant indépendantes, la variance de leur somme est la somme de leurs variances, et \(V(aY) = a^2V(Y)\) :

\[V(M_{20}) = \dfrac{1}{20^2}(V(A_1) + \ldots + V(A_{20})) = \dfrac{20 \times 2{,}25}{400} = \dfrac{2{,}25}{20} = 0{,}1125.\]

Ainsi \(E(M_{20}) = 4\) et \(V(M_{20}) = 0{,}1125\).

3. L’intervalle \(]2\,;\,6[\) est centré sur l’espérance 4, avec un rayon de 2. On peut donc écrire :

\[2 \lt M_{20} \lt 6 \iff -2 \lt M_{20} – 4 \lt 2 \iff |M_{20} – 4| \lt 2.\]

L’inégalité de concentration, appliquée à la moyenne \(M_n\) de \(n\) variables indépendantes de même loi, d’espérance \(\mu\) et de variance \(V\), affirme que pour tout réel \(\delta \gt 0\) :

\[P(|M_n – \mu| \geq\, \delta) \leq\, \dfrac{V}{n\delta^2}.\]

Avec \(n = 20\), \(\mu = 4\), \(V = 2{,}25\) et \(\delta = 2\) :

\[P(|M_{20} – 4| \geq\, 2) \leq\, \dfrac{2{,}25}{20 \times 2^2} = \dfrac{2{,}25}{80} = 0{,}028\,125.\]

En passant à l’évènement contraire :

\[P(2 \lt M_{20} \lt 6) = 1 – P(|M_{20} – 4| \geq\, 2) \geq\, 1 – 0{,}028\,125 = 0{,}971\,875.\]

Comme \(0{,}971\,875 \gt 0{,}97\), on obtient bien \(P(2 \lt M_{20} \lt 6) \gt 0{,}97\).

Interprétation : pour un échantillon de 20 enfants allergiques choisis au hasard, il y a plus de 97 % de chances que l’âge moyen d’apparition des premiers symptômes soit strictement compris entre 2 ans et 6 ans.

Exercice 2 :

1. L’avion Bêta touche le sol lorsque son point de \(d_{\text{B}}\) appartient au plan \(P_0\), c’est-à-dire lorsque sa cote est nulle :

\[11 – 4t = 0 \iff t = \dfrac{11}{4}.\]

On remplace \(t\) par \(\dfrac{11}{4}\) dans les deux autres équations : \(x = -11 + 5 \times \dfrac{11}{4} = \dfrac{-44 + 55}{4} = \dfrac{11}{4}\) et \(y = -5 + \dfrac{11}{4} = -\dfrac{9}{4}\).

L’avion Bêta touchera le sol au point \(\text{S}(\dfrac{11}{4}\,;\,-\dfrac{9}{4}\,;\,0)\), soit \(\text{S}(2{,}75\,;\,-2{,}25\,;\,0)\).

2. a. La droite \(d_{\text{A}}\) passe par \(\text{A}(-7\,;\,1\,;\,7)\) et a pour vecteur directeur \(\vec{u}(2\,;\,-1\,;\,-3)\). En notant \(s\) le paramètre (pour ne pas le confondre avec celui de \(d_{\text{B}}\)), un point \(M(x\,;\,y\,;\,z)\) est sur \(d_{\text{A}}\) si et seulement si \(\vec{AM} = s\vec{u}\), d’où :

\[d_{\text{A}} : \begin{cases} x = -7 + 2s \\ y = 1 – s \\ z = 7 – 3s \end{cases} \quad \text{où } s \text{ décrit } \mathbb{R}.\]

b. Une collision n’est possible que si les deux trajectoires ont un point commun. Un vecteur directeur de \(d_{\text{B}}\) est \(\vec{v}(5\,;\,1\,;\,-4)\). Les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) ne sont pas colinéaires (les premières coordonnées donneraient un coefficient \(\dfrac{5}{2}\), les deuxièmes un coefficient \(-1\)) : les droites ne sont pas parallèles.

On cherche alors s’il existe des réels \(s\) et \(t\) donnant le même point :

\[\begin{cases} -7 + 2s = -11 + 5t \\ 1 – s = -5 + t \\ 7 – 3s = 11 – 4t \end{cases}\]

La deuxième équation donne \(t = 6 – s\). En reportant dans la première : \(-7 + 2s = -11 + 30 – 5s\), soit \(7s = 26\) et \(s = \dfrac{26}{7}\). En reportant dans la troisième : \(7 – 3s = 11 – 24 + 4s\), soit \(7s = 20\) et \(s = \dfrac{20}{7}\).

On obtient deux valeurs différentes de \(s\) : le système n’a pas de solution. Les droites \(d_{\text{A}}\) et \(d_{\text{B}}\) ne sont ni parallèles ni sécantes, elles sont non coplanaires. Les trajectoires n’ont aucun point commun, donc les deux avions ne peuvent pas entrer en collision.

3. a. On cherche un réel \(s\) tel que le point de paramètre \(s\) de \(d_{\text{A}}\) soit E :

\[\begin{cases} -7 + 2s = -3 \\ 1 – s = -1 \\ 7 – 3s = 1 \end{cases} \iff \begin{cases} s = 2 \\ s = 2 \\ s = 2 \end{cases}\]

Les trois équations donnent la même valeur \(s = 2\) : E appartient à \(d_{\text{A}}\), l’avion Alpha passe par la position E.

b. Le plan \(P_{\text{E}}\) est perpendiculaire à \(d_{\text{A}}\), donc le vecteur directeur \(\vec{u}(2\,;\,-1\,;\,-3)\) de \(d_{\text{A}}\) est un vecteur normal à \(P_{\text{E}}\). Une équation de \(P_{\text{E}}\) est donc de la forme \(2x – y – 3z + d = 0\) avec \(d\) réel.

Comme E est dans le plan : \(2 \times (-3) – (-1) – 3 \times 1 + d = 0\), soit \(-8 + d = 0\), donc \(d = 8\).

Une équation cartésienne de \(P_{\text{E}}\) est bien \(2x – y – 3z + 8 = 0\).

c. Point de \(d_{\text{B}}\) : pour \(t = 2\), on obtient \(x = -11 + 10 = -1\), \(y = -5 + 2 = -3\) et \(z = 11 – 8 = 3\). Donc F est sur \(d_{\text{B}}\).

Point de \(P_{\text{E}}\) : \(2 \times (-1) – (-3) – 3 \times 3 + 8 = -2 + 3 – 9 + 8 = 0\). Donc F est dans \(P_{\text{E}}\).

Enfin, \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \times 5 + (-1) \times 1 + (-3) \times (-4) = 21 \neq 0\) : le vecteur directeur de \(d_{\text{B}}\) n’est pas orthogonal au vecteur normal du plan, donc \(d_{\text{B}}\) n’est pas parallèle à \(P_{\text{E}}\) et le coupe en un seul point. F est donc le point d’intersection de \(P_{\text{E}}\) et de \(d_{\text{B}}\).

d. Le repère étant orthonormé, on calcule à partir des coordonnées \(\vec{\text{EF}}(-1 + 3\,;\,-3 + 1\,;\,3 – 1) = (2\,;\,-2\,;\,2)\), puis :

\[\text{EF} = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\ \text{km}.\]

Or \(2\sqrt{3} \approx 3{,}464\,10\) km, soit \(\text{EF} = 2\sqrt{3}\) km, environ 3 464 m à 1 m près.

4. La distance minimale imposée est de 3 milles nautiques, soit \(3 \times 1\,852 = 5\,556\) m.

Or \(\text{EF} \approx 3\,464\) m, et \(3\,464 \lt 5\,556\). Exprimée en milles nautiques, la distance EF vaut environ \(\dfrac{3\,464}{1\,852} \approx 1{,}87\), ce qui est inférieur à 3.

Si les avions sont en E et F au même instant, la distance de sécurité n’est pas respectée.

Exercice 3 :

Partie A

1. a. \(f_n\) est le produit de \(u(x) = x^n\) et de \(v(x) = \text{e}^{-x}\), avec \(u^{\prime}(x) = nx^{n-1}\) et \(v^{\prime}(x) = -\text{e}^{-x}\). Par la formule \((uv)^{\prime} = u^{\prime}v + uv^{\prime}\), pour tout \(x \geq\, 0\) :

\[f^{\prime}_n(x) = nx^{n-1}\text{e}^{-x} – x^n\text{e}^{-x}.\]

On met \(x^{n-1}\text{e}^{-x}\) en facteur, en écrivant \(x^n = x \times x^{n-1}\) :

\[f^{\prime}_n(x) = x^{n-1}\text{e}^{-x}(n – x) = (n – x)x^{n-1}\text{e}^{-x}.\]

b. Signe de la dérivée. Pour tout \(x \gt 0\), \(\text{e}^{-x} \gt 0\) et \(x^{n-1} \gt 0\) ; le signe de \(f^{\prime}_n(x)\) est donc celui de \(n – x\). Ainsi \(f^{\prime}_n(x) \gt 0\) pour \(0 \lt x \lt n\), \(f^{\prime}_n(n) = 0\) et \(f^{\prime}_n(x) \lt 0\) pour \(x \gt n\). (En \(x = 0\), la dérivée vaut 0 si \(n \geq\, 2\) et 1 si \(n = 1\) : une annulation isolée ne change pas le sens de variation.)

Variations. \(f_n\) est donc croissante sur \([0\,;\,n]\) et décroissante sur \([n\,;\,+\infty[\).

Valeurs. \(f_n(0) = 0^n \times \text{e}^{0} = 0\) car \(n \geq\, 1\), et \(f_n(n) = n^n\text{e}^{-n} = \dfrac{n^n}{\text{e}^n} = (\dfrac{n}{\text{e}})^n\) : c’est le maximum de \(f_n\).

Limite en \(+\infty\). Pour \(x \gt 0\), \(f_n(x) = \dfrac{x^n}{\text{e}^x}\). Par croissances comparées, \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\text{e}^x}{x^n} = +\infty\), donc par passage à l’inverse \(\lim\limits_{x \to +\infty} f_n(x) = 0\).

Tous les éléments du tableau sont ainsi justifiés.

2. Pour tout entier \(n \geq\, 1\) : \(f_n(1) = 1^n \times \text{e}^{-1} = \text{e}^{-1}\). Les coordonnées de A vérifient \(y = f_n(x)\), donc A appartient à \(\mathcal{C}_n\) pour tout \(n \geq\, 1\). (C’est aussi vrai pour \(n = 0\), car \(f_0(1) = \text{e}^{-1}\) : toutes les courbes de l’annexe passent par ce point.)

Partie B

1. a. La fonction \(f_n\) est continue et positive sur \([0\,;\,1]\) (produit d’une puissance positive et d’une exponentielle). Donc \(I_n\) est l’aire, en unités d’aire, du domaine compris entre la courbe \(\mathcal{C}_n\), l’axe des abscisses et les droites d’équations \(x = 0\) et \(x = 1\).

b. Sur l’annexe, chaque courbe est située sous la précédente sur \([0\,;\,1]\) : les domaines sont emboîtés et leurs aires diminuent quand \(n\) augmente. La courbe \(\mathcal{C}_{100}\) est presque confondue avec l’axe des abscisses sauf tout près de \(x = 1\), donc l’aire correspondante est très petite. On conjecture que la suite \((I_n)\) converge vers 0.

2. Une primitive de \(x \mapsto \text{e}^{-x}\) est \(x \mapsto -\text{e}^{-x}\), donc :

\[I_0 = \int_0^1 \text{e}^{-x}\,\text{d}x = [-\text{e}^{-x}]_0^1 = -\text{e}^{-1} + \text{e}^{0} = 1 – \text{e}^{-1}.\]

Ainsi \(I_0 = 1 – \dfrac{1}{\text{e}} \approx 0{,}632\).

3. a. Soit \(x \in [0\,;\,1]\). On part de l’encadrement \(0 \leq\, x \leq\, 1\) et on le multiplie par \(x^n\), qui est positif ou nul (le sens des inégalités est conservé) :

\[0 \times x^n \leq\, x \times x^n \leq\, 1 \times x^n, \quad \text{soit} \quad 0 \leq\, x^{n+1} \leq\, x^n.\]

b. On multiplie cet encadrement par \(\text{e}^{-x} \gt 0\) : pour tout \(x \in [0\,;\,1]\), \(0 \leq\, x^{n+1}\text{e}^{-x} \leq\, x^n\text{e}^{-x}\), c’est-à-dire \(0 \leq\, f_{n+1}(x) \leq\, f_n(x)\).

Les bornes étant dans le bon ordre (\(0 \leq\, 1\)), la positivité et la croissance de l’intégrale permettent d’intégrer cet encadrement sur \([0\,;\,1]\) :

\[0 \leq\, \int_0^1 f_{n+1}(x)\,\text{d}x \leq\, \int_0^1 f_n(x)\,\text{d}x, \quad \text{soit} \quad 0 \leq\, I_{n+1} \leq\, I_n.\]

4. D’après la question précédente, pour tout entier \(n\) : \(I_{n+1} \leq\, I_n\), donc la suite \((I_n)\) est décroissante ; et \(I_n \geq\, 0\), donc elle est minorée par 0. D’après le théorème de convergence monotone, une suite décroissante et minorée converge. La suite \((I_n)\) converge donc vers une limite \(\ell\), et comme tous ses termes sont positifs ou nuls, par passage à la limite dans l’inégalité \(I_n \geq\, 0\), on a \(\ell \geq\, 0\).

5. Soit \(n\) un entier naturel. Dans \(I_{n+1} = \displaystyle\int_0^1 x^{n+1}\text{e}^{-x}\,\text{d}x\), on dérive la puissance et on primitive l’exponentielle :

\(u(x) = x^{n+1}\), donc \(u^{\prime}(x) = (n+1)x^n\) ;
\(v^{\prime}(x) = \text{e}^{-x}\), donc on peut prendre \(v(x) = -\text{e}^{-x}\).

Les fonctions \(u\) et \(v\) sont dérivables sur \([0\,;\,1]\), de dérivées continues. La formule d’intégration par parties donne :

\[I_{n+1} = [-x^{n+1}\text{e}^{-x}]_0^1 – \int_0^1 (n+1)x^n \times (-\text{e}^{-x})\text{d}x.\]

Le crochet vaut \(-1 \times \text{e}^{-1} – (-0 \times \text{e}^{0}) = -\dfrac{1}{\text{e}}\) (car \(n + 1 \geq\, 1\), donc \(0^{n+1} = 0\)). Par linéarité, l’intégrale restante vaut \(-(n+1)I_n\). D’où :

\[I_{n+1} = -\dfrac{1}{\text{e}} + (n+1)I_n = (n+1)I_n – \dfrac{1}{\text{e}}.\]

6. a. Supposons \(\ell \gt 0\). Comme \(\lim\limits_{n \to +\infty} I_n = \ell \gt 0\) et \(\lim\limits_{n \to +\infty} (n+1) = +\infty\), par produit \(\lim\limits_{n \to +\infty} (n+1)I_n = +\infty\), puis \(\lim\limits_{n \to +\infty} ((n+1)I_n – \dfrac{1}{\text{e}}) = +\infty\).

D’après la question 5, cela signifie que \(\lim\limits_{n \to +\infty} I_{n+1} = +\infty\). Mais \((I_{n+1})\) est la même suite décalée d’un rang : elle converge vers le réel \(\ell\). Une suite ne pouvant avoir deux limites différentes, l’hypothèse \(\ell \gt 0\) mène à une contradiction.

b. D’après la question 4, \(\ell \geq\, 0\). D’après la question 6. a, le cas \(\ell \gt 0\) est impossible. Il reste donc \(\ell = 0\) : la suite \((I_n)\) converge vers 0, ce qui confirme la conjecture de la question 1. b.

7. Lisons le script. La variable I part de \(1 – \dfrac{1}{\text{e}} = I_0\) et la liste L contient d’abord ce seul terme. Au passage dans la boucle pour la valeur i, l’instruction I = (i + 1)*I - 1/e applique la relation de la question 5 : si I contient \(I_i\), elle contient ensuite \(I_{i+1}\), qui est ajouté à la fin de la liste. La boucle tourne pour i allant de 0 à 99.

mystere(100) renvoie donc la liste des 101 premiers termes de la suite, \([I_0, I_1, \ldots, I_{100}]\) (en valeurs approchées).

Remarque : si on exécute réellement ce script, les valeurs obtenues deviennent négatives dès \(I_{18}\) (environ \(-0{,}196\)) puis explosent, ce qui est impossible puisque \(I_n \geq\, 0\). La cause est numérique : \(\text{e}\) n’est stocké qu’approximativement, et à chaque étape l’erreur est multipliée par \(i + 1\) ; après 100 étapes, elle a été multipliée par \(100!\). Le script est correct mathématiquement, mais inutilisable en pratique pour les grandes valeurs de \(n\).

Exercice 4 :

1. Affirmation 1 : vraie. L’équation est de la forme \(y^{\prime} = ay + b\) avec \(a = \dfrac{1}{2}\) et \(b = 4\). D’après le cours, ses solutions sont les fonctions \(x \mapsto k\text{e}^{ax} – \dfrac{b}{a}\), \(k \in \mathbb{R}\). Ici \(\dfrac{b}{a} = \dfrac{4}{1/2} = 8\), ce qui donne exactement \(f(x) = k\text{e}^{\frac{1}{2}x} – 8\).

Vérification directe : \(f^{\prime}(x) = \dfrac{k}{2}\text{e}^{\frac{1}{2}x}\) et \(\dfrac{1}{2}f(x) + 4 = \dfrac{k}{2}\text{e}^{\frac{1}{2}x} – 4 + 4 = \dfrac{k}{2}\text{e}^{\frac{1}{2}x}\) : l’égalité \(f^{\prime} = \dfrac{1}{2}f + 4\) est bien satisfaite.

2. Affirmation 2 : vraie. Dans une équipe, l’ordre des joueurs ne compte pas et un élève ne peut pas être choisi deux fois : on utilise des combinaisons. Il y a \(\dbinom{18}{3} = \dfrac{18 \times 17 \times 16}{6} = 816\) façons de choisir les 3 filles et \(\dbinom{14}{3} = \dfrac{14 \times 13 \times 12}{6} = 364\) façons de choisir les 3 garçons. Chaque groupe de filles pouvant être associé à chaque groupe de garçons, le principe multiplicatif donne \(816 \times 364 = 297\,024\) équipes possibles.

3. Affirmation 3 : vraie. Pour tout entier \(n\), \(-1 \leq\, \cos(n) \leq\, 1\), donc \(1 \leq\, 2 + \cos(n) \leq\, 3\). Le dénominateur est strictement positif et au plus égal à 3 ; comme \(n \geq\, 0\), diviser \(n\) par un nombre plus petit donne un résultat plus grand :

\[v_n = \dfrac{n}{2 + \cos(n)} \geq\, \dfrac{n}{3}.\]

Or \(\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{n}{3} = +\infty\). Par le théorème de comparaison, \(\lim\limits_{n \to +\infty} v_n = +\infty\).

4. Affirmation 4 : fausse. On a \(\vec{\text{AB}}(4\,;\,-2\,;\,6)\) et \(\vec{\text{AC}}(1\,;\,0\,;\,1)\). Dans un repère orthonormé :

\[\vec{\text{AB}} \cdot \vec{\text{AC}} = 4 \times 1 + (-2) \times 0 + 6 \times 1 = 10.\]

La première partie est donc exacte. Pour l’angle, on calcule les longueurs : \(\text{AB} = \sqrt{16 + 4 + 36} = \sqrt{56}\) et \(\text{AC} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2}\). Comme \(\vec{\text{AB}} \cdot \vec{\text{AC}} = \text{AB} \times \text{AC} \times \cos\widehat{\text{BAC}}\) :

\[\cos\widehat{\text{BAC}} = \dfrac{10}{\sqrt{56} \times \sqrt{2}} = \dfrac{10}{\sqrt{112}} = \dfrac{10}{4\sqrt{7}} = \dfrac{5\sqrt{7}}{14} \approx 0{,}945.\]

Si l’angle mesurait 30°, son cosinus vaudrait \(\dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866\). Les deux valeurs sont différentes, donc l’angle ne mesure pas 30° (il mesure environ 19,1°). L’affirmation, qui exige les deux conditions, est fausse.

5. Affirmation 5 : vraie. On factorise : \(h^{\prime\prime}(x) = x(\ln x – 3)\). Sur \([\text{e}^3\,;\,+\infty[\), on a \(x \gt 0\) et, la fonction \(\ln\) étant croissante, \(\ln x \geq\, \ln(\text{e}^3) = 3\), donc \(\ln x – 3 \geq\, 0\). Le produit \(h^{\prime\prime}(x)\) est donc positif ou nul sur cet intervalle. Une fonction dont la dérivée seconde est positive sur un intervalle y est convexe : \(h\) est convexe sur \([\text{e}^3\,;\,+\infty[\).

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