Voici tous les exercices bac de maths des annales sur les nombres complexes, classés du plus récent au plus ancien.
Chapitre phare de l’ancienne série S, les complexes ont quitté le tronc commun de la spécialité mathématiques en 2021 ; ils relèvent désormais de l’option maths expertes. Les 37 exercices de nombres complexes au bac rassemblés ici viennent donc des anciens sujets de bac S de 2006 à 2020.
On y travaille la forme algébrique et la forme exponentielle, le calcul de module et d’argument, la résolution d’équations du second degré dans \(\mathbb{C}\) et l’interprétation géométrique : triangle isocèle ou rectangle, points alignés, ensembles de points. Des suites de complexes apparaissent aussi.
Ces exercices restent utiles aux élèves de maths expertes et à ceux qui visent une prépa scientifique. Classés du plus récent au plus ancien, ils renvoient chacun au sujet complet, et le corrigé est disponible en bas de page. Ils entraînent aussi au calcul algébrique rigoureux et à la rédaction de preuves géométriques, compétences utiles bien au-delà de ce chapitre.
Exercices bac de maths par thème · Corrigé bac de maths : Nombres complexes
Exercices bac de maths : les 37 exercices des annales sur les nombres complexes
Session 2020
Antilles-Guyane (septembre) · Exercice 4 · 5 points Bac S
Vrai-faux varié : suite géométrique auxiliaire, convergence par encadrement et algorithme de seuil. Par ailleurs, équation dans \(\mathbb{C}\) et suite de points d’affixes complexes.
Nouvelle-Calédonie · Exercice 1 · 5 points Bac S
Résolution de \(z^3=4z^2-8z+8\) dans les complexes, forme exponentielle, nature du quadrilatère OABC, alignement de points et triangle rectangle.
Polynésie (septembre) · Exercice 4 · 5 points Bac S
Suite complexe \(z_{n+1}=(1+i)z_n-i\) : points dans le plan, triangle isocèle rectangle et suite de modules géométrique. Enfin, forme exponentielle et récurrence.
Session 2019
Amérique du Nord · Exercice 2 · 4 points Bac S
Vrai-faux justifié sur les nombres complexes : résolution d’équations et forme exponentielle de \(1+\mathrm{e}^{2ix}\). Ensuite, ensemble de points défini par des modules et solution réelle d’une équation.
Antilles-Guyane · Exercice 3 · 4 points Bac S
Vrai ou faux sur le complexe \(c=\frac{1}{2}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/3}\) : forme algébrique et puissances réelles. Puis, alignement de points et somme de modules en suite géométrique.
Centres étrangers · Exercice 3 · 5 points Bac S
Points d’affixes 1, \(z^2\) et \(1/z\) alignés : formes algébrique et exponentielle. Enfin, équation \(z^2+z+1=0\) et ensemble de points solution.
France · Exercice 3 · 4 points Bac S
Vrai-faux : équation du second degré dans \(\mathbb{C}\), puissances de \(\sqrt3+i\) et maximum de \(xe^{-nx+1}\). De plus, asymptote et algorithme avec logarithme.
Liban · Exercice 2 · 4 points Bac S
Fonction complexe \(z^{\prime}=-\dfrac1z\) : formes algébrique et exponentielle. Par ailleurs, image d’un disque et image d’un cercle de centre \(-\dfrac12\) sur la droite \(x=1\).
Nouvelle-Calédonie (mars) · Exercice 3 · 4 points Bac S
Vrai/faux : racines d’une équation complexe, aire d’un triangle et ensemble de points. Ensuite, alignement des puissances de \(1-i\sqrt3\) et équation trigonométrique.
Session 2018
France · Exercice 4 · 5 points Bac S
Points d’affixes \(z_{n+1}=\frac{3-i\sqrt3}{4}z_n\) : forme exponentielle et récurrence. En outre, suite géométrique des modules et limite de la longueur d’une ligne brisée.
Pondichéry · Exercice 2 · 4 points Bac S
Nombre complexe \(j\) : formes trigonométrique, exponentielle et images de points. Ensuite, alignement par quotient d’affixes et triangle isocèle formé par des milieux.
Session 2017
Antilles-Guyane · Exercice 1 · 3 points Bac S
Équation \(z^4+2z^3-z-2=0\) dans \(\mathbb{C}\) : racine évidente et factorisation. Enfin, second degré à discriminant négatif et quadrilatère des solutions qui est un losange.
France · Exercice 3 · 5 points Bac S
Cible circulaire découpée en anneaux et secteurs : module, argument de nombres complexes et forme exponentielle. De plus, lois normales indépendantes pour le module et l’argument d’un tir.
France · Exercice 3 Bac S – spécialité
Repérage d’impacts de foudre : module, argument de nombres complexes en forme exponentielle et loi normale de la distance. Par ailleurs, de l’angle et indépendance.
Session 2013
France · Exercice 3 · 4 points Bac S
Vrai/faux : médiatrice dans le plan complexe et puissance d’un complexe. Enfin, orthogonalité de droites dans un cube et droite perpendiculaire à un plan.
France · Exercice 3 · 4 points Bac S – spécialité
Vrai-faux : ensemble de points défini par des modules et puissance de \(1+i\sqrt3\). En outre, orthogonalité de droites dans un cube et plan de l’espace.
Polynésie · Exercice 2 · 4 points Bac S
QCM corrigé : forme exponentielle d’un quotient complexe et ensemble de points \(-z=\overline{z}\). Ensuite, représentation paramétrique d’une droite et position d’une droite par rapport à un plan.
Pondichéry · Exercice 3 · 5 points Bac S
Rotation d’angle \(-\frac{\pi}{2}\) dans le plan complexe : formes algébrique, exponentielle et milieu. Puis, hauteur d’un triangle et comparaison de longueurs.
Session 2012
Amérique du Nord · Exercice 4 Bac S
Application complexe \(z\mapsto z^2\) : points invariants, forme exponentielle, antécédents et ensembles de points. De plus, triangle rectangle isocèle, avec une variante de spécialité sur similitude et arithmétique.
Antilles-Guyane · Exercice 2 · 4 points Bac S
Points A, B, C d’affixes complexes : triangle rectangle isocèle et ensemble de points défini par un module. Par ailleurs, médiatrice et rotations de centre O.
Centres étrangers · Exercice 4 · 5 points Bac S
Vrai/faux : probabilités conditionnelles, tirage de deux boules et écriture complexe d’une rotation. Ensuite, équation complexe et angle d’un triangle dans le plan complexe.
France · Exercice 4 · 5 points Bac S – spécialité
Spécialité : similitude directe et transformation complexe \(z\mapsto \frac{1}{(1+i)z+3-i}\) appliquée à une droite.
France · Exercice 4 · 5 points Bac S
Transformation complexe \(z\mapsto \frac{1}{z+1}\) : image d’une droite et translation. En outre, médiatrice par les modules et inversion transformant la droite en cercle.
France · Exercice 4 (spécialité) · 5 points Bac S – spécialité
Plan complexe : points d’une droite et similitude \(z\mapsto (1+\mathrm{i})z+3-\mathrm{i}\). Ensuite, inversion \(z\mapsto \dfrac1z\) transformant une droite en cercle.
Liban · Exercice 4 · 5 points Bac S
Corrigé : angle droit par quotient de complexes et centre du cercle circonscrit. Puis, suite \(z_{n+1}=\frac{1+i\sqrt{3}}{2}z_n+2\) interprétée comme rotation et périodicité des points.
Liban · Exercice 4 (spécialité) · 5 points Bac S – spécialité
Suite de points \(z_{n+1}=\frac{1+i}{2}z_n+1\) : similitude directe et triangles rectangles isocèles. Enfin, suite géométrique des distances et rang de seuil.
Nouvelle-Calédonie (mars) · Exercice 1 · 5 points Bac S
Polynôme complexe de degré 3 : racine évidente, factorisation et résolution dans \(\mathbb{C}\). De plus, points du plan complexe, symétrique et points cocycliques.
Nouvelle-Calédonie (mars) · Exercice 3 · 5 points Bac S
Vrai/faux justifié : suite \(\sin(a_n)\), alignement de points d’affixes \(e^{2in\pi/3}\) et courbes d’une fonction. Par ailleurs, de sa dérivée et d’une primitive.
Polynésie · Exercice 2 · 5 points Bac S
Triangle rectangle dans le plan complexe : rotations, milieux et cercle circonscrit. Ensuite, droites perpendiculaires et segments de même longueur par quotient d’affixes.
Pondichéry · Exercice 4 · 5 points Bac S
Nombres complexes : restitution sur le module d’un produit, transformation \(z^{\prime}=\frac{1-z}{\overline{z}-1}\) et cercle unité. Enfin, alignement et ensemble de points.
Session 2011
France · Exercice 2 Bac S
Questionnaire sur les nombres complexes : image par rotation et médiatrice. Ensuite, cercle défini par un imaginaire pur et demi-droite définie par un argument.
Session 2010
France · Exercice 4 Bac S
Nombres complexes et triangles équilatéraux : \(\alpha=1+\mathrm{i}\sqrt3\) et points sur un cercle. Enfin, rotation d’angle \(\frac{\pi}{3}\) et milieux formant un triangle équilatéral.
Session 2009
France · Exercice 4 Bac S
Transformation \(z\mapsto \frac12(z+\frac1z)\) dans le plan complexe : modules et arguments. Par ailleurs, points invariants et image du cercle unité sur un segment.
Session 2008
France · Exercice 4 · 5 points Bac S
Transformation \(z^{\prime}=z^2-4z\) du plan complexe : images de points, équation du second degré et relations entre modules. Enfin, arguments, cercle et construction de points.
Session 2007
France · Exercice 3 · 5 points Bac S
Équation complexe de degré 3 factorisée et résolue, puis rotation et homothétie dans le plan complexe avec points alignés.
France · Exercice 3 (spécialité) · 5 points Bac S – spécialité
Corrigé de spécialité : similitude directe de centre A, réflexion d’écriture \(z^{\prime}=-i\overline{z}+1+i\) et orthocentre. Puis, cercle circonscrit et alignement par homothétie.
Session 2006
France · Exercice 3 · 5 points Bac S
Transformation \(z^{\prime}=\frac{1}{\overline{z}}\) : restitution organisée sur les arguments et points invariants. De plus, alignement et construction géométrique de l’image d’un point.
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Revoir le cours avant de s’entraîner
Questions fréquentes
Les nombres complexes sont-ils encore au bac de spécialité ?
Non, ils ne sont plus évalués à l’épreuve de spécialité mathématiques depuis 2021. Ils sont étudiés dans l’option maths expertes, dont l’évaluation relève du contrôle continu.
Pourquoi s’entraîner sur ces anciens exercices ?
Ils constituent une réserve de problèmes de bon niveau pour l’option maths expertes et pour préparer les études supérieures scientifiques, où les complexes sont utilisés très tôt.
Comment calculer le module et un argument d’un complexe ?
Pour \(z = a + ib\), le module vaut \(\sqrt{a^2 + b^2}\). Un argument \(\theta\) vérifie \(\cos\theta = \frac{a}{|z|}\) et \(\sin\theta = \frac{b}{|z|}\), à lire ensuite sur le cercle trigonométrique.
Comment prouver qu’un triangle est rectangle avec les complexes ?
On calcule souvent le quotient \(\frac{z_C – z_A}{z_B – z_A}\) : s’il est imaginaire pur non nul, le triangle est rectangle en \(A\). On peut aussi comparer les longueurs avec les modules et le théorème de Pythagore.
