bac maths

SESSION 2019
MATHÉMATIQUES
Série S
Durée de l’épreuve : 4 heures
Enseignement obligatoire – Coefficient : 7

Exercice 1 (4 points)
Commun à tous les candidats
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (Q.C.M.) qui envisage quatre situations
relatives à une station de ski.
Les quatre questions sont indépendantes.

Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses est exacte. Le candidat indiquera sur sa
copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse exacte.

Aucune justification n’est demandée.

Une réponse exacte rapporte un point, une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.

1. Une étude statistique a établi qu’un client sur quatre pratique le surf.
Dans une télécabine accueillant 80 clients de la station, la probabilité arrondie au millième qu’il
y ait exactement 20 clients pratiquant le surf est :
a) 0,560                     b) 0,25              c) 1              d) 0,103

2. L’épaisseur maximale d’une avalanche, exprimée en centimètre, peut être modélisée par une
variable aléatoire X qui suit une loi normale de moyenne mimetex Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF et d’écart-type inconnu.
On sait que mimetex Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF.

Quelle est la probabilité mimetex Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF?
a) On ne peut pas répondre car il manque des éléments dans l’énoncé.
b) 0,025

c) 0,95

d) 0,975

3. Dans un couloir neigeux, on modélise l’intervalle de temps séparant deux avalanches
successives, appelé temps d’occurrence d’une avalanche, exprimé en année, par une variable
aléatoire T qui suit une loi exponentielle.
On a établi qu’une avalanche se déclenche en moyenne tous les 5 ans. Ainsi E (T ) = 5 .
La probabilité mimetex Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF est égale à :
a) 0,5       b)  mimetex Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF      c) mimetex Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF         d) mimetex Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF

4. L’office de tourisme souhaite effectuer un sondage pour estimer la proportion de clients
satisfaits des prestations offertes dans la station de ski.
Pour cela, il utilise un intervalle de confiance de longueur 0,04 avec un niveau de confiance de
0,95.
Le nombre de clients à interroger est :
a) 50                      b) 2 500                c) 25              d) 625

Exercice 2 (6 points)
Commun à tous les candidats
Le but de cet exercice est d’étudier la suite mimetex Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF définie par la donnée de son premier terme mimetex Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF et,
pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, par la relation :
mimetex Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF .

Partie A
1. Vérifier, en détaillant le calcul, que si mimetex Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF alors mimetex Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF .
2. Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous pour qu’en saisissant préalablement dans U une
valeur de mimetex Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF , il calcule les termes de la suite mimetex Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF de mimetex Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF à mimetex Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF .
bac-S-centres-etrangers-2019-1 Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF

3. On a exécuté cet algorithme pour mimetex Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF puis pour mimetex Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF .
Voici les valeurs obtenues.
bac-S-centres-etrangers-2019-2-500x325 Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF

Quelle semble être la limite de cette suite si mimetex Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF ? Et si mimetex Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF ?

Partie B
On considère la suite mimetex Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF définie pour tout entier naturel n, supérieur ou égal à 1, par :
mimetex Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF .
On rappelle que le nombre e est la valeur de la fonction exponentielle en 1, c’est-à-dire que mimetex Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF .

1. Prouver que la fonction F définie sur l’intervalle [0;1] par mimetex Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF est une
primitive sur l’intervalle [0;1] de la fonction f définie sur l’intervalle [0;1] par mimetex Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF.
2. En déduire que mimetex Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF .

3. On admet que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, on a :
mimetex Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF .
Utiliser cette formule pour calculer mimetex Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF .

4. a) Justifier que, pour tout nombre réel x de l’intervalle [0;1] et pour tout entier naturel n
supérieur ou égal à 1, on a :

mimetex Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF.
b) Justifier que :
mimetex Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF.
c) En déduire que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, on a :
mimetex Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF.

d) Déterminer mimetex Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF .

Partie C
Dans cette partie, on note n! le nombre défini, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, par :
bac-S-centres-etrangers-2019-3 Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF

On a ainsi par exemple
bac-S-centres-etrangers-2019-4-500x106 Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF

Et, plus généralement :

(n+1)!=(n+1)n!

1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, on a :
mimetex Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF .
On rappelle que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, on a :
mimetex Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF  et mimetex Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF.
2. On admet que :

mimetex Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF.
a) Déterminer la limite de la suite mimetex Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF  lorsque mimetex Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF .
b) Déterminer la limite de la suite mimetex Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF  lorsque mimetex Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF .

Exercice 3 (5 points)
Commun à tous les candidats
Le plan est muni d’un repère orthonormé direct mimetex Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF.
Le but de cet exercice est de déterminer les nombres complexes z non nuls tels que les points
d’affixes 1, z² et mimetex Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF soient alignés.
Sur le graphique ci-dessous, le point A a pour affixe 1.

bac-S-centres-etrangers-2019-5-462x380 Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF

Partie A : étude d’exemples
1. Un premier exemple
Dans cette question, on pose : z = i .
a) Donner la forme algébrique des nombre complexes z² et mimetex Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF.
b) Placer les points mimetex Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF d’affixe z²  et mimetex Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF d’affixe mimetex Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF sur le graphique ci-dessus.
On remarque que dans ce cas les points A, mimetex Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF et mimetex Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF ne sont pas alignés.

2. Une équation
Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation d’inconnue z : mimetex Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF .

3. Un deuxième exemple
Dans cette question, on pose :
mimetex Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF.
a) Déterminer la forme exponentielle de z, puis celles des nombres complexes z² et mimetex Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF.
b) Placer les points mimetex Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF d’affixe z² et mimetex Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF d’affixe mimetex Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF sur le graphique ci-dessus.
On remarque que dans ce cas les points A, mimetex Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF et mimetex Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF sont alignés.

Partie B : étude du cas général
Soit z un nombre complexe non nul.
On note N le point d’affixe z² et P le point d’affixe mimetex Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF.
1. Établir que, pour tout nombre complexe z différent de 0, on a :
mimetex Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF.
2. On rappelle que si  mimetex Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF est un vecteur non nul et mimetex Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF  un vecteur, d’affixes respectives mimetex Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF et mimetex Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF ,
les vecteurs mimetex Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF et mimetex Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF sont colinéaires si et seulement si il existe un nombre réel k tel que mimetex Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF .
En déduire que, pour mimetex Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF , les points A, N et P définis ci-dessus sont alignés si et seulement si
z² + z +1 est un réel.

3. On pose z = x + i y , où x et y désignent des nombres réels.
Justifier que : mimetex Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF .
4. a) Déterminer l’ensemble des points M d’affixe mimetex Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF tels que les points A, N et P soient
alignés.
b) Tracer cet ensemble de points sur le graphique ci-dessus.

Exercice 4 (5 points)
Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
Dans l’espace, on considère un cube ABCDEFGH de centre mimetex Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF et d’arête de longueur 6.

bac-S-centres-etrangers-2019-6-411x380 Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF

Les points P, Q et R sont définis par :
mimetex Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF, mimetex Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF, mimetex Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF.
Dans tout ce qui suit on utilise le repère orthonormé mimetex Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF avec :
mimetex Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF , mimetex Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF  , mimetex Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF.

Dans ce repère, on a par exemple :
B(6;0;0) , F(6;0;6) et R(0;4;6) .
1. a) Donner, sans justifier, les coordonnées des points P, Q et Ω.
b) Déterminer les nombres réels b et c tels que mimetex Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF soit un vecteur normal au plan (PQR) .
c) En déduire qu’une équation du plan (PQR) est : mimetex Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF .
2. a) On note mimetex Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF la droite perpendiculaire au plan (PQR) passant par le point Ω, centre du cube.
Donner une représentation paramétrique de la droite mimetex Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF.
b) En déduire que la droite mimetex Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF coupe le plan (PQR) au point I de coordonnées
mimetex Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF.
c) Calculer la distance mimetex Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF .
3. On considère les points J(6;4;0) et K(6;6;2) .
a) Justifier que le point J appartient au plan (PQR) .
b) Vérifier que les droites (JK) et (QR) sont parallèles.
c) Sur la figure ci-dessus, tracer la section du cube par le plan (PQR) .
On laissera apparents les traits de construction, ou bien on expliquera la démarche.

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