Bac de maths 2022 en Polynésie (jour 2) : sujet et corrigé

Tous les sujets pour préparer l’épreuve de spécialité du bac 2027 de mathématiques sont regroupés, avec leurs corrigés, sur notre page de révision.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2022
Mathématiques — Sujet 2 (jour 2)
Polynésie — 5 mai 2022
Durée de l’épreuve : 4 heures

L’usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.

Le sujet propose 4 exercices.

Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 et ne doit traiter que ces 3 exercices.

Exercice 1 (7 points)

Thèmes : fonctions, primitives, probabilités

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des six questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

1. On considère la fonction \(f\) définie et dérivable sur \(]0\,;\,+\infty[\) par :

\[f(x)=x\ln(x)-x+1.\]

Parmi les quatre expressions suivantes, laquelle est celle de la fonction dérivée de \(f\) ?

2. On considère la fonction \(g\) définie sur \(]0\,;\,+\infty[\) par \(g(x)=x^2[1-\ln(x)]\).

Parmi les quatre affirmations suivantes, laquelle est correcte ?

3. On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x^3-0{,}9x^2-0{,}1x\). Le nombre de solutions de l’équation \(f(x)=0\) sur \(\mathbb{R}\) est :

4. Si \(H\) est une primitive d’une fonction \(h\) définie et continue sur \(\mathbb{R}\), et si \(k\) est la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(k(x)=h(2x)\), alors, une primitive \(K\) de \(k\) est définie sur \(\mathbb{R}\) par :

5. L’équation réduite de la tangente au point d’abscisse 1 de la courbe de la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x\text{e}^x\) est :

6. Les nombres entiers \(n\) solutions de l’inéquation \((0{,}2)^n \lt 0{,}001\) sont tous les nombres entiers \(n\) tels que :

Exercice 2 (7 points)

Thèmes : probabilités

Les douanes s’intéressent aux importations de casques audio portant le logo d’une certaine marque. Les saisies des douanes permettent d’estimer que :

• 20 % des casques audio portant le logo de cette marque sont des contrefaçons ;
• 2 % des casques non contrefaits présentent un défaut de conception ;
• 10 % des casques contrefaits présentent un défaut de conception.

L’agence des fraudes commande au hasard sur un site internet un casque affichant le logo de la marque. On considère les évènements suivants :

• \(C\) : « le casque est contrefait » ;
• \(D\) : « le casque présente un défaut de conception » ;
• \(\overline{C}\) et \(\overline{D}\) désignent respectivement les évènements contraires de \(C\) et \(D\).

Dans l’ensemble de l’exercice, les probabilités seront arrondies à \(10^{-3}\) si nécessaire.

Partie 1

1. Calculer \(P(C \cap D)\). On pourra s’appuyer sur un arbre pondéré.

2. Démontrer que \(P(D)=0{,}036\).

3. Le casque a un défaut. Quelle est la probabilité qu’il soit contrefait ?

Partie 2

On commande \(n\) casques portant le logo de cette marque. On assimile cette expérience à un tirage aléatoire avec remise. On note \(X\) la variable aléatoire qui donne le nombre de casques présentant un défaut de conception dans ce lot.

1. Dans cette question, \(n=35\).

a. Justifier que \(X\) suit une loi binomiale \(\mathcal{B}(n,\ p)\) où \(n=35\) et \(p=0{,}036\).

b. Calculer la probabilité qu’il y ait parmi les casques commandés, exactement un casque présentant un défaut de conception.

c. Calculer \(P(X \leq\, 1)\).

2. Dans cette question, \(n\) n’est pas fixé.

Quel doit être le nombre minimal de casques à commander pour que la probabilité qu’au moins un casque présente un défaut soit supérieur à \(0{,}99\) ?

Exercice 3 (7 points)

Thèmes : suites, fonctions

Au début de l’année 2021, une colonie d’oiseaux comptait 40 individus. L’observation conduit à modéliser l’évolution de la population par la suite \((u_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par :

\[\{\begin{array}{l} u_0=40\\ u_{n+1}=0{,}008u_n(200-u_n)\end{array}.\]

où \(u_n\) désigne le nombre d’individus au début de l’année \((2021+n)\).

1. Donner une estimation, selon ce modèle, du nombre d’oiseaux dans la colonie au début de l’année 2022.

On considère la fonction \(f\) définie sur l’intervalle \([0\,;\,100]\) par \(f(x)=0{,}008x(200-x)\).

2. Résoudre dans l’intervalle \([0\,;\,100]\) l’équation \(f(x)=x\).

3. a. Démontrer que la fonction \(f\) est croissante sur l’intervalle \([0\,;\,100]\) et dresser son tableau de variations.

b. En remarquant que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=f(u_n)\) démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\) :

\[0 \leq\, u_n \leq\, u_{n+1} \leq\, 100.\]

c. En déduire que la suite \((u_n)\) est convergente.

d. Déterminer la limite \(\ell\) de la suite \((u_n)\). Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.

4. On considère l’algorithme suivant :

def seuil(p) :
    n=0
    u = 40
    while u < p :
        n =n+1
        u = 0.008*u*(200-u)
    return(n+2021)

L’exécution de seuil(100) ne renvoie aucune valeur. Expliquer pourquoi à l’aide de la question 3.

Exercice 4 (7 points)

Thèmes : géométrie dans le plan et dans l’espace

On considère le cube ABCDEFGH d’arête de longueur 1.

L’espace est muni du repère orthonormé \((\text{A}\,;\,\vec{\text{AB}},\,\vec{\text{AD}},\,\vec{\text{AE}})\). Le point I est le milieu du segment [EF], K le centre du carré ADHE et O le milieu du segment [AG].

Le but de l’exercice est de calculer de deux manières différentes, la distance du point B au plan (AIG).

Partie 1. Première méthode

1. Donner, sans justification, les coordonnées des points A, B, et G.

On admet que les points I et K ont pour coordonnées \(\text{I}(\dfrac{1}{2}\,;\,0\,;\,1)\) et \(\text{K}(0\,;\,\dfrac{1}{2}\,;\,\dfrac{1}{2})\).

2. Démontrer que la droite (BK) est orthogonale au plan (AIG).

3. Vérifier qu’une équation cartésienne du plan (AIG) est : \(2x-y-z=0\).

4. Donner une représentation paramétrique de la droite (BK).

5. En déduire que le projeté orthogonal L du point B sur le plan (AIG) a pour coordonnées \(\text{L}(\dfrac{1}{3}\,;\,\dfrac{1}{3}\,;\,\dfrac{1}{3})\).

6. Déterminer la distance du point B au plan (AIG).

Partie 2. Deuxième méthode

On rappelle que le volume \(V\) d’une pyramide est donné par la formule \(V=\dfrac{1}{3}\times b \times h\), où \(b\) est l’aire d’une base et \(h\) la hauteur associée à cette base.

1. a. Justifier que dans le tétraèdre ABIG, [GF] est la hauteur relative à la base AIB.

b. En déduire le volume du tétraèdre ABIG.

2. On admet que \(\text{AI}=\text{IG}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\) et que \(\text{AG}=\sqrt{3}\).

Démontrer que l’aire du triangle isocèle AIG est égale à \(\dfrac{\sqrt{6}}{4}\) unité d’aire.

3. En déduire la distance du point B au plan (AIG).

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

1. Réponse a.

La fonction \(f\) est dérivable sur \(]0\,;\,+\infty[\). Le terme \(x\ln(x)\) est un produit \(uv\) avec \(u(x)=x\) et \(v(x)=\ln(x)\) : sa dérivée vaut \(u^{\prime}v+uv^{\prime}=1\times \ln(x)+x\times \dfrac{1}{x}=\ln(x)+1\). La dérivée de \(-x+1\) vaut \(-1\).

\[f^{\prime}(x)=\ln(x)+1-1=\ln(x).\]

Donc \(f^{\prime}(x)=\ln(x)\) : réponse a.

2. Réponse c.

On développe : \(g(x)=x^2-x^2\ln(x)=x^2-x\times \big(x\ln(x)\big)\).

Quand \(x\) tend vers 0, \(x^2\) tend vers 0. Par croissances comparées, \(\displaystyle\lim_{x \to 0} x\ln(x)=0\), donc le produit \(x\times x\ln(x)\) tend aussi vers \(0\times 0=0\).

Par différence, \(\displaystyle\lim_{x \to 0} g(x)=0\) : réponse c.

3. Réponse d.

On factorise par \(x\) : \(f(x)=x(x^2-0{,}9x-0{,}1)\).

Pour le trinôme \(x^2-0{,}9x-0{,}1\), le discriminant vaut \(\Delta=(-0{,}9)^2-4\times 1\times (-0{,}1)=0{,}81+0{,}4=1{,}21=1{,}1^2\gt 0\). Ses racines sont \(\dfrac{0{,}9-1{,}1}{2}=-0{,}1\) et \(\dfrac{0{,}9+1{,}1}{2}=1\).

Ainsi \(f(x)=x(x+0{,}1)(x-1)\) s’annule en \(-0{,}1\), \(0\) et \(1\) : trois valeurs distinctes. L’équation a 3 solutions : réponse d.

4. Réponse c.

On dérive la fonction proposée \(K(x)=\dfrac{1}{2}H(2x)\). La fonction \(x\mapsto H(2x)\) est la composée de \(x\mapsto 2x\) suivie de \(H\) : sa dérivée est \(x\mapsto 2H^{\prime}(2x)=2h(2x)\). Donc

\[K^{\prime}(x)=\dfrac{1}{2}\times 2h(2x)=h(2x)=k(x).\]

\(K\) est bien une primitive de \(k\) : réponse c. (Avec la réponse a, on obtiendrait \(2h(2x)\), soit le double de \(k(x)\).)

5. Réponse b.

\(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) comme produit, et \(f^{\prime}(x)=1\times \text{e}^x+x\text{e}^x=(1+x)\text{e}^x\).

On a \(f(1)=\text{e}\) et \(f^{\prime}(1)=2\text{e}\). La tangente au point d’abscisse 1 a pour équation \(y=f^{\prime}(1)(x-1)+f(1)\), soit :

\[y=2\text{e}(x-1)+\text{e}=2\text{e}x-2\text{e}+\text{e}=2\text{e}x-\text{e}.\]

Réponse b : \(y=2\text{e}x-\text{e}\).

6. Réponse d.

Les deux membres sont strictement positifs et la fonction \(\ln\) est strictement croissante sur \(]0\,;\,+\infty[\), donc :

\[(0{,}2)^n \lt 0{,}001 \iff n\ln(0{,}2) \lt \ln(0{,}001) \iff n \gt \dfrac{\ln(0{,}001)}{\ln(0{,}2)}\]

car \(\ln(0{,}2)\lt 0\) (on change le sens de l’inégalité en divisant par un nombre négatif). Or \(\dfrac{\ln(0{,}001)}{\ln(0{,}2)}\approx 4{,}29\).

Vérification : \(0{,}2^4=0{,}0016\) est encore supérieur à \(0{,}001\), tandis que \(0{,}2^5=0{,}00032\) est inférieur. Les solutions sont les entiers \(n\geq\, 5\) : réponse d.

Exercice 2 :

Partie 1

Le casque est choisi au hasard, donc les pourcentages de l’énoncé se lisent comme des probabilités : \(P(C)=0{,}2\), \(P_C(D)=0{,}1\) et \(P_{\overline{C}}(D)=0{,}02\). On en tire l’arbre pondéré suivant.

1. On suit la branche \(C\) puis \(D\) et on multiplie les probabilités rencontrées :

\[P(C\cap D)=P(C)\times P_C(D)=0{,}2\times 0{,}1=0{,}02.\]

\(P(C\cap D)=0{,}02\) : 2 % des casques sont à la fois contrefaits et défectueux.

2. Les évènements \(C\) et \(\overline{C}\) forment une partition de l’univers. D’après la formule des probabilités totales :

\[P(D)=P(C\cap D)+P(\overline{C}\cap D)=0{,}02+0{,}8\times 0{,}02=0{,}02+0{,}016=0{,}036.\]

On a bien \(P(D)=0{,}036\).

3. On cherche la probabilité conditionnelle \(P_D(C)\) :

\[P_D(C)=\dfrac{P(C\cap D)}{P(D)}=\dfrac{0{,}02}{0{,}036}=\dfrac{5}{9}\approx 0{,}556.\]

Sachant que le casque est défectueux, la probabilité qu’il soit contrefait est environ \(0{,}556\) : un peu plus d’une chance sur deux, alors que seuls 20 % des casques sont contrefaits.

Partie 2

1. a. Commander un casque et regarder s’il est défectueux est une épreuve à deux issues (épreuve de Bernoulli) dont le succès « le casque présente un défaut » a pour probabilité \(p=P(D)=0{,}036\) d’après la partie 1.

On répète cette épreuve 35 fois et, comme on l’assimile à un tirage avec remise, les répétitions sont identiques et indépendantes. \(X\) compte le nombre de succès.

Donc \(X\) suit la loi binomiale \(\mathcal{B}(35\,;\,0{,}036)\).

b. On calcule \(P(X=1)\) :

\[P(X=1)=\binom\,{35}{1}\times 0{,}036^1\times 0{,}964^{34}=35\times 0{,}036\times 0{,}964^{34}\approx 0{,}362.\]

La probabilité d’avoir exactement un casque défectueux est environ \(0{,}362\).

c. \(P(X=0)=0{,}964^{35}\approx 0{,}277\), donc :

\[P(X\leq\, 1)=P(X=0)+P(X=1)\approx 0{,}639.\]

\(P(X\leq\, 1)\approx 0{,}639\) (calcul direct à la calculatrice avec la fonction de répartition binomiale).

2. Pour \(n\) casques, le nombre \(X_n\) de casques défectueux suit la loi \(\mathcal{B}(n\,;\,0{,}036)\). L’évènement « au moins un casque défectueux » est le contraire de « aucun casque défectueux », donc :

\[P(X_n\geq\, 1)=1-P(X_n=0)=1-0{,}964^n.\]

On cherche le plus petit entier \(n\) tel que \(1-0{,}964^n\gt 0{,}99\), c’est-à-dire \(0{,}964^n\lt 0{,}01\). En appliquant la fonction \(\ln\), strictement croissante :

\[n\ln(0{,}964)\lt \ln(0{,}01) \iff n\gt \dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}964)}\]

car \(\ln(0{,}964)\lt 0\). Or \(\dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}964)}\approx 125{,}6\).

Contrôle : \(1-0{,}964^{125}\approx 0{,}9898\) et \(1-0{,}964^{126}\approx 0{,}9901\). Il faut commander au minimum 126 casques.

Exercice 3 :

1. Le début de l’année 2022 correspond à \(n=1\) :

\[u_1=0{,}008\times 40\times (200-40)=0{,}008\times 40\times 160=51{,}2.\]

Selon ce modèle, la colonie compte environ 51 oiseaux au début de 2022.

2. Pour \(x\) dans \([0\,;\,100]\) :

\[f(x)=x \iff 0{,}008x(200-x)-x=0 \iff x\big(0{,}008(200-x)-1\big)=0 \iff x(0{,}6-0{,}008x)=0.\]

Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul : \(x=0\) ou \(0{,}6-0{,}008x=0\), c’est-à-dire \(x=\dfrac{0{,}6}{0{,}008}=75\). Les deux valeurs appartiennent à \([0\,;\,100]\).

L’équation \(f(x)=x\) a deux solutions : 0 et 75.

3. a. On a \(f(x)=1{,}6x-0{,}008x^2\), fonction polynôme dérivable, avec :

\[f^{\prime}(x)=1{,}6-0{,}016x=0{,}016(100-x).\]

Pour \(x\in[0\,;\,100]\), \(100-x\geq\, 0\), donc \(f^{\prime}(x)\geq\, 0\) (avec égalité seulement en 100) : \(f\) est croissante sur \([0\,;\,100]\). De plus \(f(0)=0\) et \(f(100)=0{,}008\times 100\times 100=80\).

b. Pour tout entier naturel \(n\), notons \(\mathcal{P}_n\) la propriété : « \(0 \leq\, u_n \leq\, u_{n+1} \leq\, 100\) ».

Initialisation. \(u_0=40\) et \(u_1=51{,}2\), donc \(0\leq\, u_0\leq\, u_1\leq\, 100\) : \(\mathcal{P}_0\) est vraie.

Hérédité. Soit \(n\) un entier naturel tel que \(\mathcal{P}_n\) est vraie : \(0 \leq\, u_n \leq\, u_{n+1} \leq\, 100\). Tous ces nombres sont dans \([0\,;\,100]\), intervalle sur lequel \(f\) est croissante : appliquer \(f\) conserve donc l’ordre.

\[f(0)\leq\, f(u_n)\leq\, f(u_{n+1})\leq\, f(100),\ \text{soit}\ 0\leq\, u_{n+1}\leq\, u_{n+2}\leq\, 80.\]

Comme \(80\leq\, 100\), on obtient \(0\leq\, u_{n+1}\leq\, u_{n+2}\leq\, 100\) : \(\mathcal{P}_{n+1}\) est vraie.

Conclusion. La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire, donc pour tout entier naturel \(n\), \(0 \leq\, u_n \leq\, u_{n+1} \leq\, 100\).

c. D’après la question précédente, \(u_n\leq\, u_{n+1}\) pour tout \(n\) : la suite est croissante. Elle est aussi majorée par 100. D’après le théorème de convergence monotone, la suite \((u_n)\) est convergente.

d. La suite converge vers \(\ell\), et \(u_{n+1}=f(u_n)\) avec \(f\) continue sur \([0\,;\,100]\) (fonction polynôme). Tous les termes sont dans \([0\,;\,100]\), donc \(\ell\) aussi. En passant à la limite dans \(u_{n+1}=f(u_n)\), on obtient \(\ell=f(\ell)\) : \(\ell\) est une solution de \(f(x)=x\), donc \(\ell=0\) ou \(\ell=75\).

Or la suite est croissante, donc \(u_n\geq\, u_0=40\) pour tout \(n\), et par passage à la limite \(\ell\geq\, 40\). Cela exclut 0, donc \(\ell=75\).

Interprétation : selon ce modèle, la population d’oiseaux augmente chaque année et se stabilise à long terme autour de 75 individus.

4. La fonction seuil(p) part de \(u=u_0=40\) et calcule les termes successifs de la suite tant que \(u\) est strictement inférieur à p ; elle renverrait l’année du premier terme supérieur ou égal à p.

Or, d’après la question 3.b, pour tout \(n\geq\, 0\), \(u_{n+1}=f(u_n)\leq\, f(100)=80\) : aucun terme ne dépasse 80 (et même, la suite croissante de limite 75 reste toujours inférieure ou égale à 75). La condition u < 100 reste donc toujours vraie, la boucle while ne s’arrête jamais et l’instruction return n’est jamais atteinte : seuil(100) tourne indéfiniment et ne renvoie aucune valeur.

Exercice 4 :

Partie 1. Première méthode

1. A est l’origine du repère, B l’extrémité du premier vecteur de base et G le sommet opposé à A :

\(\text{A}(0\,;\,0\,;\,0)\), \(\text{B}(1\,;\,0\,;\,0)\), \(\text{G}(1\,;\,1\,;\,1)\).

2. Calculons les coordonnées des vecteurs utiles :

\[\vec{\text{BK}}(-1\,;\,\dfrac{1}{2}\,;\,\dfrac{1}{2}),\quad \vec{\text{AI}}(\dfrac{1}{2}\,;\,0\,;\,1),\quad \vec{\text{AG}}(1\,;\,1\,;\,1).\]

\(\vec{\text{AI}}\) et \(\vec{\text{AG}}\) ne sont pas colinéaires (la deuxième coordonnée du premier est nulle, pas celle du second) : ils dirigent le plan (AIG). Le repère étant orthonormé :

\[\vec{\text{BK}}\cdot\vec{\text{AI}}=-1\times \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\times 0+\dfrac{1}{2}\times 1=0,\qquad \vec{\text{BK}}\cdot\vec{\text{AG}}=-1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=0.\]

\(\vec{\text{BK}}\) est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (AIG), donc la droite (BK) est orthogonale au plan (AIG).

3. Les coordonnées des trois points vérifient l’équation \(2x-y-z=0\) :

• A : \(2\times 0-0-0=0\) ;
• I : \(2\times \dfrac{1}{2}-0-1=0\) ;
• G : \(2\times 1-1-1=0\).

Cette équation est celle d’un plan (ses coefficients \(2\), \(-1\), \(-1\) ne sont pas tous nuls) qui contient les trois points non alignés A, I et G (question 2). C’est donc le plan (AIG) : \(2x-y-z=0\) est une équation cartésienne de (AIG). On remarque d’ailleurs que le vecteur normal \(\vec{n}(2\,;\,-1\,;\,-1)\) vaut \(-2\,\vec{\text{BK}}\), ce qui est cohérent avec la question 2.

4. La droite (BK) passe par \(\text{B}(1\,;\,0\,;\,0)\) et a pour vecteur directeur \(\vec{n}=-2\,\vec{\text{BK}}\), de coordonnées \((2\,;\,-1\,;\,-1)\). Une représentation paramétrique est :

\[\{\begin{array}{l} x=1+2t\\ y=-t\\ z=-t\end{array}.\quad t\in\mathbb{R}.\]

(On peut aussi utiliser \(\vec{\text{BK}}\) : \(x=1-s\), \(y=\dfrac{s}{2}\), \(z=\dfrac{s}{2}\), \(s\in\mathbb{R}\).)

5. Comme (BK) est orthogonale au plan (AIG) et passe par B, le projeté orthogonal L de B sur (AIG) est le point d’intersection de (BK) et du plan. On remplace \(x\), \(y\) et \(z\) par la représentation paramétrique dans l’équation du plan :

\[2(1+2t)-(-t)-(-t)=0 \iff 2+6t=0 \iff t=-\dfrac{1}{3}.\]

Pour \(t=-\dfrac{1}{3}\) : \(x=1-\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}\), \(y=\dfrac{1}{3}\), \(z=\dfrac{1}{3}\). On obtient bien \(\text{L}(\dfrac{1}{3}\,;\,\dfrac{1}{3}\,;\,\dfrac{1}{3})\).

6. La distance de B au plan (AIG) est la longueur BL. Dans le repère orthonormé :

\[\text{BL}=\sqrt{(\dfrac{1}{3}-1)^2+(\dfrac{1}{3})^2+(\dfrac{1}{3})^2}=\sqrt{\dfrac{4}{9}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{9}}=\sqrt{\dfrac{6}{9}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}.\]

La distance du point B au plan (AIG) vaut \(\dfrac{\sqrt{6}}{3}\approx 0{,}816\).

Partie 2. Deuxième méthode

1. a. Les points A, B et I sont tous dans le plan de la face ABFE (I est le milieu de [EF]), et F aussi. Dans le cube, la face BCGF est un carré, donc (GF) est perpendiculaire à (FB) ; la face EFGH est un carré, donc (GF) est perpendiculaire à (FE).

La droite (GF) est ainsi orthogonale à deux droites sécantes (FB) et (FE) du plan (ABF) : elle est orthogonale à ce plan, qui est le plan (AIB). Comme F appartient à ce plan, F est le pied de la perpendiculaire issue de G : [GF] est la hauteur du tétraèdre ABIG relative à la base AIB.

b. Dans le triangle AIB, la base [AB] mesure 1 et la hauteur issue de I est la distance de I à la droite (AB), égale à la longueur de l’arête AE, soit 1. L’aire de AIB vaut donc \(\dfrac{1\times 1}{2}=\dfrac{1}{2}\). Avec \(\text{GF}=1\) :

\[V_{\text{ABIG}}=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{2}\times 1=\dfrac{1}{6}.\]

Le volume du tétraèdre ABIG est \(\dfrac{1}{6}\) unité de volume.

2. Le triangle AIG est isocèle en I (AI = IG). Le point O, milieu de la base [AG], est donc le pied de la hauteur issue de I : le triangle AOI est rectangle en O, avec \(\text{AO}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

D’après le théorème de Pythagore dans le triangle AOI :

\[\text{IO}^2=\text{AI}^2-\text{AO}^2=\dfrac{5}{4}-\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{2},\ \text{donc}\ \text{IO}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.\]

L’aire du triangle AIG est alors :

\[\mathcal{A}_{\text{AIG}}=\dfrac{\text{AG}\times \text{IO}}{2}=\dfrac{1}{2}\times \sqrt{3}\times \dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\sqrt{6}}{4}.\]

L’aire du triangle AIG est bien \(\dfrac{\sqrt{6}}{4}\) unité d’aire.

3. On regarde maintenant le même tétraèdre avec pour base le triangle AIG. La hauteur associée est la distance \(h\) du sommet B au plan (AIG). Le volume ne change pas :

\[\dfrac{1}{3}\times \dfrac{\sqrt{6}}{4}\times h=\dfrac{1}{6} \iff \dfrac{\sqrt{6}}{12}\,h=\dfrac{1}{6} \iff h=\dfrac{12}{6\sqrt{6}}=\dfrac{2}{\sqrt{6}}=\dfrac{2\sqrt{6}}{6}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}.\]

La distance du point B au plan (AIG) est \(\dfrac{\sqrt{6}}{3}\), ce qui confirme le résultat de la première méthode.

Les autres sujets du bac de maths 2022

• Bac de maths 2022 aux centres étrangers (jour 1) : sujet et corrigé
• Bac de maths 2022 aux centres étrangers (jour 2) : sujet et corrigé
• Bac de maths 2022 en Amérique du Nord (jour 1) : sujet et corrigé
• Bac de maths 2022 en Amérique du Nord (jour 2) : sujet et corrigé
• Bac de maths 2022 en Amérique du Sud (jour 1) : sujet et corrigé
• Bac de maths 2022 en Amérique du Sud (jour 2) : sujet et corrigé
• Bac de maths 2022 en Asie (jour 1) : sujet et corrigé
• Bac de maths 2022 en Asie (jour 2) : sujet et corrigé
• Bac de maths 2022 en France (jour 1) : sujet et corrigé
• Bac de maths 2022 en France (jour 2) : sujet et corrigé
• Bac de maths 2022 en France (septembre, jour 1) : sujet et corrigé
• Bac de maths 2022 en France (septembre, jour 2) : sujet et corrigé
• Bac de maths 2022 en Nouvelle-Calédonie (jour 1) : sujet et corrigé
• Bac de maths 2022 en Nouvelle-Calédonie (jour 2) : sujet et corrigé
• Bac de maths 2022 en Polynésie (jour 1) : sujet et corrigé
• Bac de maths 2022 en Polynésie (septembre) : sujet et corrigé
• Bac de maths 2022 à Mayotte et au Liban (jour 1) : sujet et corrigé
• Bac de maths 2022 à Mayotte et au Liban (jour 2) : sujet et corrigé