Bac maths 2022 France J1 : sujet et corrigé

Le 11 mai 2022, les candidats de France métropolitaine ont ouvert la session du bac de spécialité mathématiques avec ce sujet 1, reproduit ici en entier et suivi d’un corrigé détaillé question par question. Le premier exercice compare deux protocoles d’administration d’un médicament : un comprimé modélisé par \(f(t)=3t\text{e}^{-0{,}5t+1}\), puis des injections horaires décrites par une suite arithmético-géométrique qui tend vers 6 mg. Le deuxième cherche le projeté orthogonal d’un point sur une droite de l’espace, par un plan orthogonal puis par le produit scalaire, et termine sur l’aire d’un triangle déduite du volume d’un tétraèdre. Le troisième traite d’un stage de formation en entreprise : arbre pondéré, loi binomiale, programme Python et augmentation moyenne des salaires. Le dernier est un QCM de six questions sur les asymptotes, les primitives, la convexité et une équation en \(\text{e}^x\).

Ce sujet fait partie des annales que nous rassemblons pour préparer le bac de maths 2027 : tous les sujets de spécialité y sont classés par session.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2022
France métropolitaine — 11 mai 2022 — Sujet 1 (jour 1)
Mathématiques — Durée : 4 heures

Le sujet propose 4 exercices.

Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 et ne doit traiter que ces 3 exercices.

Exercice 1 (7 points)

Thèmes : fonction exponentielle, suites

Dans le cadre d’un essai clinique on envisage deux protocoles de traitement d’une maladie.

L’objectif de cet exercice est d’étudier, pour ces deux protocoles, l’évolution de la quantité de médicament présente dans le sang d’un patient en fonction du temps.

Les parties A et B sont indépendantes

Partie A : Étude du premier protocole

Le premier protocole consiste à faire absorber un médicament, sous forme de comprimé, au patient.

On modélise la quantité de médicament présente dans le sang du patient, exprimée en mg, par la fonction \(f\) définie sur l’intervalle \([0\,;\,10]\) par

\[f(t)=3t\text{e}^{-0{,}5t+1},\]

où \(t\) désigne le temps, exprimé en heure, écoulé depuis la prise du comprimé.

1. a. On admet que la fonction \(f\) est dérivable sur l’intervalle \([0\,;\,10]\) et on note \(f^{\prime}\) sa fonction dérivée.

Montrer que, pour tout nombre réel \(t\) de \([0\,;\,10]\), on a : \(f^{\prime}(t)=3(-0{,}5t+1)\text{e}^{-0{,}5t+1}\).

b. En déduire le tableau de variations de la fonction \(f\) sur l’intervalle \([0\,;\,10]\).

c. Selon cette modélisation, au bout de combien de temps la quantité de médicament présente dans le sang du patient sera-t-elle maximale ?

Quelle est alors cette quantité maximale ?

2. a. Montrer que l’équation \(f(t)=5\) admet une unique solution sur l’intervalle \([0\,;\,2]\) notée \(\alpha\), dont on donnera une valeur approchée à \(10^{-2}\) près.

On admet que l’équation \(f(t)=5\) admet une unique solution sur l’intervalle \([2\,;\,10]\), notée \(\beta\), et qu’une valeur approchée de \(\beta\) à \(10^{-2}\) près est 3,46.

b. On considère que ce traitement est efficace lorsque la quantité de médicament présente dans le sang du patient est supérieure ou égale à 5 mg.

Déterminer, à la minute près, la durée d’efficacité du médicament dans le cas de ce protocole.

Partie B : Étude du deuxième protocole

Le deuxième protocole consiste à injecter initialement au patient, par piqûre intraveineuse, une dose de 2 mg de médicament puis à réinjecter toutes les heures une dose de 1,8 mg.

On suppose que le médicament se diffuse instantanément dans le sang et qu’il est ensuite progressivement éliminé.

On estime que lorsqu’une heure s’est écoulée après une injection, la quantité de médicament dans le sang a diminué de 30 % par rapport à la quantité présente immédiatement après cette injection.

On modélise cette situation à l’aide de la suite \((u_n)\) où, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n\) désigne la quantité de médicament, exprimée en mg, présente dans le sang du patient immédiatement après l’injection de la \(n\)-ième heure. On a donc \(u_0=2\).

1. Calculer, selon cette modélisation, la quantité \(u_1\), de médicament (en mg) présente dans le sang du patient immédiatement après l’injection de la première heure.

2. Justifier que, pour tout entier naturel \(n\), on a : \(u_{n+1}=0{,}7u_n+1{,}8\).

3. a. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), on a : \(u_n\leq\, u_{n+1}\lt 6\).

b. En déduire que la suite \((u_n)\) est convergente. On note \(\ell\) sa limite.

c. Déterminer la valeur de \(\ell\). Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.

4. On considère la suite \((v_n)\) définie, pour tout entier naturel \(n\), par \(v_n=6-u_n\).

a. Montrer que la suite \((v_n)\) est une suite géométrique de raison \(0{,}7\) dont on précisera le premier terme.

b. Déterminer l’expression de \(v_n\) en fonction de \(n\), puis de \(u_n\) en fonction de \(n\).

c. Avec ce protocole, on arrête les injections lorsque la quantité de médicament présente dans le sang du patient est supérieure ou égale à 5,5 mg.

Déterminer, en détaillant les calculs, le nombre d’injections réalisées en appliquant ce protocole.

Exercice 2 (7 points)

Thème : géométrie dans l’espace

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé \((\text{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k})\), on considère :

le point A de coordonnées \((-1\,;\,1\,;\,3)\),
la droite \(\mathcal{D}\) dont une représentation paramétrique est : \(\{\begin{array}{l} x=1+2t\\ y=2-t\\ z=2+2t\end{array}.\quad t\in\mathbb{R}\).

On admet que le point A n’appartient pas à la droite \(\mathcal{D}\).

1. a. Donner les coordonnées d’un vecteur directeur \(\vec{u}\) de la droite \(\mathcal{D}\).

b. Montrer que le point B\((-1\,;\,3\,;\,0)\) appartient à la droite \(\mathcal{D}\).

c. Calculer le produit scalaire \(\vec{\text{AB}}\cdot\vec{u}\).

2. On note \(\mathcal{P}\) le plan passant par le point A et orthogonal à la droite \(\mathcal{D}\), et on appelle H le point d’intersection du plan \(\mathcal{P}\) et de la droite \(\mathcal{D}\). Ainsi, H est le projeté orthogonal de A sur la droite \(\mathcal{D}\).

a. Montrer que le plan \(\mathcal{P}\) admet pour équation cartésienne : \(2x-y+2z-3=0\).

b. En déduire que le point H a pour coordonnées \((\dfrac{7}{9}\,;\,\dfrac{19}{9}\,;\,\dfrac{16}{9})\).

c. Calculer la longueur AH. On donnera une valeur exacte.

3. Dans cette question, on se propose de retrouver les coordonnées du point H, projeté orthogonal du point A sur la droite \(\mathcal{D}\), par une autre méthode.

On rappelle que le point B\((-1\,;\,3\,;\,0)\) appartient à la droite \(\mathcal{D}\) et que le vecteur \(\vec{u}\) est un vecteur directeur de la droite \(\mathcal{D}\).

a. Justifier qu’il existe un nombre réel \(k\) tel que \(\vec{\text{HB}}=k\vec{u}\).

b. Montrer que \(k=\dfrac{\vec{\text{AB}}\cdot\vec{u}}{\|\vec{u}\|^2}\).

c. Calculer la valeur du nombre réel \(k\) et retrouver les coordonnées du point H.

4. On considère un point C appartenant au plan \(\mathcal{P}\) tel que le volume du tétraèdre ABCH soit égal à \(\dfrac{8}{9}\).

Calculer l’aire du triangle ACH.

On rappelle que le volume d’un tétraèdre est donné par : \(V=\dfrac{1}{3}\times \mathcal{B}\times h\) où \(\mathcal{B}\) désigne l’aire d’une base et \(h\) la hauteur relative à cette base.

Exercice 3 (7 points)

Thème : probabilités

Le directeur d’une grande entreprise a proposé à l’ensemble de ses salariés un stage de formation à l’utilisation d’un nouveau logiciel.

Ce stage a été suivi par 25 % des salariés.

1. Dans cette entreprise, 52 % des salariés sont des femmes, parmi lesquelles 40 % ont suivi le stage.

On interroge au hasard un salarié de l’entreprise et on considère les évènements :

\(F\) : « le salarié interrogé est une femme »,
\(S\) : « le salarié interrogé a suivi le stage ».

\(\overline{F}\) et \(\overline{S}\) désignent respectivement les évènements contraires des évènements \(F\) et \(S\).

a. Donner la probabilité de l’évènement \(S\).

b. Recopier et compléter les pointillés de l’arbre pondéré ci-contre sur les quatre branches indiquées.

c. Démontrer que la probabilité que la personne interrogée soit une femme ayant suivi le stage est égale à \(0{,}208\).

d. On sait que la personne interrogée a suivi le stage. Quelle est la probabilité que ce soit une femme ?

e. Le directeur affirme que, parmi les hommes salariés de l’entreprise, moins de 10 % ont suivi le stage.

Justifier l’affirmation du directeur.

2. On note \(X\) la variable aléatoire qui à un échantillon de 20 salariés de cette entreprise choisis au hasard associe le nombre de salariés de cet échantillon ayant suivi le stage. On suppose que l’effectif des salariés de l’entreprise est suffisamment important pour assimiler ce choix à un tirage avec remise.

a. Déterminer, en justifiant, la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire \(X\).

b. Déterminer, à \(10^{-3}\) près, la probabilité que 5 salariés dans un échantillon de 20 aient suivi le stage.

c. Le programme ci-dessous, écrit en langage Python, utilise la fonction binomiale\((i,n,p)\) créée pour l’occasion qui renvoie la valeur de la probabilité \(P(X=i)\) dans le cas où la variable aléatoire \(X\) suit une loi binomiale de paramètres \(n\) et \(p\).

def proba(k):
  P=0
  for i in range(0,k+1) :
    P=P+binomiale(i,20,0.25)
  return P

Déterminer, à \(10^{-3}\) près, la valeur renvoyée par ce programme lorsque l’on saisit proba(5) dans la console Python.

Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.

d. Déterminer, à \(10^{-3}\) près, la probabilité qu’au moins 6 salariés dans un échantillon de 20 aient suivi le stage.

3. Cette question est indépendante des questions 1 et 2.

Pour inciter les salariés à suivre le stage, l’entreprise avait décidé d’augmenter les salaires des salariés ayant suivi le stage de 5 %, contre 2 % d’augmentation pour les salariés n’ayant pas suivi le stage.

Quel est le pourcentage moyen d’augmentation des salaires de cette entreprise dans ces conditions ?

Exercice 4 (7 points)

Thème : fonctions numériques

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.

Les six questions sont indépendantes

1. La courbe représentative de la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=\dfrac{-2x^2+3x-1}{x^2+1}\) admet pour asymptote la droite d’équation :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\(x=-2\) ;	\(y=-1\) ;	\(y=-2\) ;	\(y=0\)

2. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x\text{e}^{x^2}\).

La primitive \(F\) de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) qui vérifie \(F(0)=1\) est définie par :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\(F(x)=\dfrac{x^2}{2}\text{e}^{x^2}\) ;	\(F(x)=\dfrac{1}{2}\text{e}^{x^2}\)	\(F(x)=(1+2x^2)\text{e}^{x^2}\) ;	\(F(x)=\dfrac{1}{2}\text{e}^{x^2}+\dfrac{1}{2}\)

3. On donne ci-contre la représentation graphique \(\mathcal{C}_{f^{\prime}}\) de la fonction dérivée \(f^{\prime}\) d’une fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\).

On peut affirmer que la fonction \(f\) est :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
concave sur \(]0\,;\,+\infty[\) ;	convexe sur \(]0\,;\,+\infty[\) ;	convexe sur \([0\,;\,2]\) ;	convexe sur \([2\,;\,+\infty[\).

4. Parmi les primitives de la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=3\text{e}^{-x^2}+2\) :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
toutes sont croissantes sur \(\mathbb{R}\) ;	toutes sont décroissantes sur \(\mathbb{R}\) ;	certaines sont croissantes sur \(\mathbb{R}\) et d’autres décroissantes sur \(\mathbb{R}\) ;	toutes sont croissantes sur \(]-\infty\,;\,0]\) et décroissantes sur \([0\,;\,+\infty[\).

5. La limite en \(+\infty\) de la fonction \(f\) définie sur l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\) par \(f(x)=\dfrac{2\ln x}{3x^2+1}\) est égale à :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\(\dfrac{2}{3}\) ;	\(+\infty\) ;	\(-\infty\) ;	\(0\).

6. L’équation \(\text{e}^{2x}+\text{e}^x-12=0\) admet dans \(\mathbb{R}\) :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
trois solutions ;	deux solutions ;	une seule solution ;	aucune solution.

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

Partie A : Étude du premier protocole

1. a. La fonction \(f\) est le produit de \(u(t)=3t\), de dérivée \(u^{\prime}(t)=3\), et de \(v(t)=\text{e}^{-0{,}5t+1}\). Comme la dérivée de \(\text{e}^{w}\) est \(w^{\prime}\text{e}^{w}\), avec \(w(t)=-0{,}5t+1\) et \(w^{\prime}(t)=-0{,}5\), on obtient \(v^{\prime}(t)=-0{,}5\,\text{e}^{-0{,}5t+1}\). Avec \((uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}\) :

\[f^{\prime}(t)=3\text{e}^{-0{,}5t+1}+3t\times (-0{,}5\,\text{e}^{-0{,}5t+1})=3\text{e}^{-0{,}5t+1}(1-0{,}5t)=3(-0{,}5t+1)\text{e}^{-0{,}5t+1}.\]

b. Une exponentielle est strictement positive et 3 est positif, donc \(f^{\prime}(t)\) est du signe de \(-0{,}5t+1\). Or \(-0{,}5t+1\geq\, 0\iff t\leq\, 2\). Ainsi \(f^{\prime}\) est positive sur \([0\,;\,2]\), nulle en 2 et négative sur \([2\,;\,10]\). On calcule les valeurs utiles : \(f(0)=0\), \(f(2)=6\text{e}^{0}=6\) et \(f(10)=30\text{e}^{-4}\approx 0{,}55\).

\(t\)	0		2		10
signe de \(f^{\prime}(t)\)		\(+\)	0	\(-\)
variations de \(f\)	0	croissante ↗	6	décroissante ↘	\(30\text{e}^{-4}\)

c. D’après le tableau, \(f\) atteint son maximum en \(t=2\), et ce maximum vaut \(f(2)=6\). La quantité de médicament est maximale 2 heures après la prise du comprimé, et elle vaut alors 6 mg.

2. a. Sur \([0\,;\,2]\), la fonction \(f\) est continue (car dérivable) et strictement croissante ; elle prend donc chaque valeur comprise entre \(f(0)=0\) et \(f(2)=6\) exactement une fois. Comme \(0\leq\, 5\leq\, 6\), le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires assure que l’équation \(f(t)=5\) possède une unique solution \(\alpha\) dans \([0\,;\,2]\).

Pour l’approcher, on procède par balayage à la calculatrice : \(f(1{,}02)\approx 4{,}995\lt 5\) et \(f(1{,}03)\approx 5{,}019\gt 5\), donc \(1{,}02\lt\alpha\lt 1{,}03\), et plus précisément \(\alpha\approx 1{,}0221\). On retient \(\alpha\approx 1{,}02\).

b. D’après les variations de \(f\), on a \(f(t)\geq\, 5\) exactement lorsque \(t\in[\alpha\,;\,\beta]\) : avant \(\alpha\) la quantité n’a pas encore atteint 5 mg, après \(\beta\) elle est repassée en dessous. La durée d’efficacité est donc \(\beta-\alpha\approx 3{,}46-1{,}02=2{,}44\) heures. En minutes : \(2{,}44\times 60=146{,}4\). Le traitement est efficace pendant environ 146 minutes, soit 2 h 26 min. (Avec des valeurs plus précises, \(\beta-\alpha\approx 3{,}4621-1{,}0221=2{,}4400\) h, on retrouve bien 146 minutes.)

Partie B : Étude du deuxième protocole

1. Une heure après l’injection initiale, il reste 70 % des 2 mg, puis on ajoute 1,8 mg :

\[u_1=0{,}7\times 2+1{,}8=1{,}4+1{,}8=3{,}2.\]

Juste après l’injection de la première heure, le sang contient 3,2 mg de médicament.

2. Juste après l’injection de la \(n\)-ième heure, il y a \(u_n\) mg dans le sang. Pendant l’heure qui suit, cette quantité baisse de 30 % : diminuer de 30 %, c’est multiplier par \(1-0{,}30=0{,}7\), il reste donc \(0{,}7u_n\) mg. On injecte alors une nouvelle dose de 1,8 mg. Ainsi, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=0{,}7u_n+1{,}8\).

3. a. Pour tout entier naturel \(n\), on note \(\mathcal{P}(n)\) : « \(u_n\leq\, u_{n+1}\lt 6\) ».

Initialisation. \(u_0=2\) et \(u_1=3{,}2\), donc \(u_0\leq\, u_1\lt 6\) : \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.

Hérédité. Soit \(n\) un entier naturel tel que \(u_n\leq\, u_{n+1}\lt 6\). En multipliant par \(0{,}7\), qui est positif, l’ordre est conservé : \(0{,}7u_n\leq\, 0{,}7u_{n+1}\lt 4{,}2\). En ajoutant 1,8 à chaque membre : \(0{,}7u_n+1{,}8\leq\, 0{,}7u_{n+1}+1{,}8\lt 6\), c’est-à-dire \(u_{n+1}\leq\, u_{n+2}\lt 6\). Donc \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie.

Conclusion. La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire : pour tout entier naturel \(n\), \(u_n\leq\, u_{n+1}\lt 6\).

b. L’inégalité \(u_n\leq\, u_{n+1}\) pour tout \(n\) signifie que \((u_n)\) est croissante, et \(u_{n+1}\lt 6\) (avec \(u_0=2\lt 6\)) qu’elle est majorée par 6. Toute suite croissante et majorée converge (théorème de convergence monotone) : la suite \((u_n)\) converge vers une limite \(\ell\).

c. La fonction \(x\mapsto 0{,}7x+1{,}8\) est continue sur \(\mathbb{R}\). En passant à la limite dans \(u_{n+1}=0{,}7u_n+1{,}8\), on obtient \(\ell=0{,}7\ell+1{,}8\), soit \(0{,}3\ell=1{,}8\), d’où \(\ell=6\). Interprétation : au fil des heures, la quantité de médicament présente juste après chaque injection se rapproche de 6 mg, sans jamais atteindre cette valeur.

4. a. Pour tout entier naturel \(n\) :

\[v_{n+1}=6-u_{n+1}=6-0{,}7u_n-1{,}8=4{,}2-0{,}7u_n=0{,}7(6-u_n)=0{,}7v_n.\]

La suite \((v_n)\) est donc géométrique de raison \(0{,}7\), de premier terme \(v_0=6-u_0=6-2=4\).

b. Pour une suite géométrique, \(v_n=v_0\times q^n\), donc \(v_n=4\times 0{,}7^n\). Comme \(u_n=6-v_n\), on obtient \(u_n=6-4\times 0{,}7^n\).

c. On cherche les entiers \(n\) tels que \(u_n\geq\, 5{,}5\) :

\[6-4\times 0{,}7^n\geq\, 5{,}5\iff 4\times 0{,}7^n\leq\, 0{,}5\iff 0{,}7^n\leq\, 0{,}125.\]

La fonction \(\ln\) est strictement croissante sur \(]0\,;\,+\infty[\), donc cette inégalité équivaut à \(n\ln(0{,}7)\leq\,\ln(0{,}125)\). Comme \(\ln(0{,}7)\lt 0\), on divise en changeant le sens :

\[n\geq\,\dfrac{\ln(0{,}125)}{\ln(0{,}7)}\approx 5{,}83.\]

Le plus petit entier convenable est \(n=6\) : on vérifie que \(u_5=6-4\times 0{,}7^5\approx 5{,}33\lt 5{,}5\) et \(u_6=6-4\times 0{,}7^6\approx 5{,}53\geq\, 5{,}5\). Le seuil est donc atteint juste après l’injection de la 6e heure. Les injections ont eu lieu aux heures 0, 1, 2, 3, 4, 5 et 6 : on a réalisé 7 injections (l’injection initiale de 2 mg puis 6 injections de 1,8 mg).

Exercice 2 :

1. a. Dans la représentation paramétrique, les coefficients de \(t\) donnent un vecteur directeur : \(\vec{u}(2\,;\,-1\,;\,2)\).

b. On cherche un réel \(t\) donnant les coordonnées de B. La première équation \(1+2t=-1\) donne \(t=-1\). Pour \(t=-1\) : \(y=2-(-1)=3\) et \(z=2+2\times (-1)=0\). On retrouve bien \((-1\,;\,3\,;\,0)\) : B appartient à \(\mathcal{D}\) (paramètre \(t=-1\)).

c. \(\vec{\text{AB}}\) a pour coordonnées \((-1-(-1)\,;\,3-1\,;\,0-3)=(0\,;\,2\,;\,-3)\). Dans un repère orthonormé :

\[\vec{\text{AB}}\cdot\vec{u}=0\times 2+2\times (-1)+(-3)\times 2=0-2-6=-8.\]

Donc \(\vec{\text{AB}}\cdot\vec{u}=-8\).

2. a. Le plan \(\mathcal{P}\) est orthogonal à \(\mathcal{D}\), donc le vecteur directeur \(\vec{u}(2\,;\,-1\,;\,2)\) de \(\mathcal{D}\) est normal à \(\mathcal{P}\). Une équation de \(\mathcal{P}\) est donc de la forme \(2x-y+2z+d=0\). Comme A\((-1\,;\,1\,;\,3)\) appartient à \(\mathcal{P}\) : \(2\times (-1)-1+2\times 3+d=0\), soit \(3+d=0\) et \(d=-3\). Le plan \(\mathcal{P}\) a bien pour équation \(2x-y+2z-3=0\).

b. H est le point commun à \(\mathcal{D}\) et \(\mathcal{P}\). On injecte la représentation paramétrique de \(\mathcal{D}\) dans l’équation de \(\mathcal{P}\) :

\[2(1+2t)-(2-t)+2(2+2t)-3=0\iff 2+4t-2+t+4+4t-3=0\iff 9t+1=0\iff t=-\dfrac{1}{9}.\]

On remplace : \(x=1-\dfrac{2}{9}=\dfrac{7}{9}\), \(y=2+\dfrac{1}{9}=\dfrac{19}{9}\), \(z=2-\dfrac{2}{9}=\dfrac{16}{9}\). Donc H\((\dfrac{7}{9}\,;\,\dfrac{19}{9}\,;\,\dfrac{16}{9})\).

c. \(\vec{\text{AH}}(\dfrac{7}{9}+1\,;\,\dfrac{19}{9}-1\,;\,\dfrac{16}{9}-3)=(\dfrac{16}{9}\,;\,\dfrac{10}{9}\,;\,-\dfrac{11}{9})\), d’où :

\[\text{AH}=\sqrt{\dfrac{256+100+121}{81}}=\dfrac{\sqrt{477}}{9}=\dfrac{\sqrt{9\times 53}}{9}=\dfrac{3\sqrt{53}}{9}=\dfrac{\sqrt{53}}{3}.\]

Ainsi \(\text{AH}=\dfrac{\sqrt{53}}{3}\) (environ 2,43).

3. a. Les points H et B sont tous deux sur la droite \(\mathcal{D}\), donc \(\vec{\text{HB}}\) est soit nul, soit un vecteur directeur de \(\mathcal{D}\). Dans les deux cas il est colinéaire à \(\vec{u}\), qui est non nul : il existe un réel \(k\) tel que \(\vec{\text{HB}}=k\vec{u}\).

b. Avec la relation de Chasles, \(\vec{\text{AB}}=\vec{\text{AH}}+\vec{\text{HB}}\), donc par bilinéarité du produit scalaire :

\[\vec{\text{AB}}\cdot\vec{u}=\vec{\text{AH}}\cdot\vec{u}+\vec{\text{HB}}\cdot\vec{u}=\vec{\text{AH}}\cdot\vec{u}+k\,\vec{u}\cdot\vec{u}.\]

Or A et H sont dans le plan \(\mathcal{P}\), orthogonal à \(\vec{u}\) : \(\vec{\text{AH}}\cdot\vec{u}=0\). Il reste \(\vec{\text{AB}}\cdot\vec{u}=k\|\vec{u}\|^2\), et comme \(\vec{u}\) n’est pas nul, \(k=\dfrac{\vec{\text{AB}}\cdot\vec{u}}{\|\vec{u}\|^2}\).

c. \(\|\vec{u}\|^2=2^2+(-1)^2+2^2=9\) et \(\vec{\text{AB}}\cdot\vec{u}=-8\), donc \(k=-\dfrac{8}{9}\). De \(\vec{\text{HB}}=k\vec{u}\) on tire \(\vec{\text{BH}}=-k\vec{u}=\dfrac{8}{9}\vec{u}\), donc :

\[x_H=-1+\dfrac{8}{9}\times 2=\dfrac{7}{9},\qquad y_H=3+\dfrac{8}{9}\times (-1)=\dfrac{19}{9},\qquad z_H=0+\dfrac{8}{9}\times 2=\dfrac{16}{9}.\]

On retrouve H\((\dfrac{7}{9}\,;\,\dfrac{19}{9}\,;\,\dfrac{16}{9})\).

4. Les points A, C et H sont tous dans le plan \(\mathcal{P}\) ; on choisit le triangle ACH comme base du tétraèdre ABCH. La droite (BH) est la droite \(\mathcal{D}\), orthogonale à \(\mathcal{P}\), et H est dans \(\mathcal{P}\) : la hauteur issue de B est donc BH. D’après la question 3, \(\vec{\text{HB}}=-\dfrac{8}{9}\vec{u}\), donc :

\[\text{BH}=\dfrac{8}{9}\times \|\vec{u}\|=\dfrac{8}{9}\times 3=\dfrac{8}{3}.\]

La formule du volume donne \(\dfrac{1}{3}\times \mathcal{A}_{\text{ACH}}\times \dfrac{8}{3}=\dfrac{8}{9}\), soit \(\dfrac{8}{9}\mathcal{A}_{\text{ACH}}=\dfrac{8}{9}\). L’aire du triangle ACH vaut donc 1 unité d’aire.

Exercice 3 :

1. a. L’énoncé indique que 25 % des salariés ont suivi le stage : \(P(S)=0{,}25\).

b. On a \(P(F)=0{,}52\), donc \(P(\overline{F})=1-0{,}52=0{,}48\). Parmi les femmes, 40 % ont suivi le stage : \(P_F(S)=0{,}4\), et donc \(P_F(\overline{S})=1-0{,}4=0{,}6\). Les deux branches issues de \(\overline{F}\) ne sont pas demandées (elles font l’objet de la question e).

c. On suit le chemin « \(F\) puis \(S\) » en multipliant les probabilités :

\[P(F\cap S)=P(F)\times P_F(S)=0{,}52\times 0{,}4=0{,}208.\]

La probabilité que la personne interrogée soit une femme ayant suivi le stage est bien \(0{,}208\).

d. On cherche \(P_S(F)\). Par définition d’une probabilité conditionnelle :

\[P_S(F)=\dfrac{P(F\cap S)}{P(S)}=\dfrac{0{,}208}{0{,}25}=0{,}832.\]

Sachant que la personne a suivi le stage, la probabilité que ce soit une femme est \(0{,}832\).

e. D’après la formule des probabilités totales, \(P(S)=P(F\cap S)+P(\overline{F}\cap S)\), donc \(P(\overline{F}\cap S)=0{,}25-0{,}208=0{,}042\). La proportion d’hommes ayant suivi le stage parmi les hommes est :

\[P_{\overline{F}}(S)=\dfrac{P(\overline{F}\cap S)}{P(\overline{F})}=\dfrac{0{,}042}{0{,}48}=0{,}0875.\]

Comme \(0{,}0875\lt 0{,}1\), seulement 8,75 % des hommes ont suivi le stage : le directeur a raison.

2. a. Interroger un salarié et regarder s’il a suivi le stage est une épreuve de Bernoulli, de succès « le salarié a suivi le stage », de probabilité \(p=0{,}25\). Le choix des 20 salariés étant assimilé à un tirage avec remise, on répète 20 fois cette épreuve de manière identique et indépendante. \(X\) compte le nombre de succès : \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n=20\) et \(p=0{,}25\).

b. On applique la formule de la loi binomiale :

\[P(X=5)=\binom\,{20}{5}\times 0{,}25^5\times 0{,}75^{15}=15\,504\times 0{,}25^5\times 0{,}75^{15}\approx 0{,}202.\]

La probabilité que exactement 5 salariés de l’échantillon aient suivi le stage est environ 0,202.

c. La boucle fait prendre à i les valeurs 0, 1, …, k et ajoute à chaque tour \(P(X=i)\) à la variable P. La fonction renvoie donc \(P(X=0)+P(X=1)+\dots+P(X=k)=P(X\leq\, k)\). Pour \(k=5\), la calculatrice donne \(P(X\leq\, 5)\approx 0{,}6172\). Le programme renvoie environ 0,617 : la probabilité qu’au plus 5 salariés de l’échantillon de 20 aient suivi le stage est d’environ 0,617.

d. « Au moins 6 » est l’évènement contraire de « au plus 5 », donc :

\[P(X\geq\, 6)=1-P(X\leq\, 5)\approx 1-0{,}6172\approx 0{,}383.\]

La probabilité qu’au moins 6 salariés aient suivi le stage est environ 0,383.

3. Un quart des salariés (ceux qui ont suivi le stage) reçoit 5 % d’augmentation, les trois quarts restants reçoivent 2 %. Le pourcentage moyen d’augmentation est la moyenne de ces pourcentages pondérée par les proportions de salariés :

\[0{,}25\times 5+0{,}75\times 2=1{,}25+1{,}5=2{,}75.\]

Le pourcentage moyen d’augmentation par salarié est de 2,75 %.

Remarque. Ce calcul donne la moyenne des augmentations individuelles. Si l’on s’intéresse plutôt à la hausse de la masse salariale totale, le résultat n’est égal à 2,75 % que si les deux groupes ont le même salaire moyen. Par exemple, si ceux qui ont suivi le stage gagnent en moyenne 2 000 € et les autres 1 500 €, la masse salariale (pour 100 salariés) passe de \(25\times 2000+75\times 1500=162\,500\) € à \(25\times 2100+75\times 1530=167\,250\) €, soit une hausse d’environ 2,92 %. L’énoncé ne donnant aucune information sur les salaires, c’est la réponse 2,75 % qui est attendue.

Exercice 4 :

1. Réponse c. Le dénominateur \(x^2+1\) ne s’annule jamais, donc pas d’asymptote verticale (la réponse a est exclue). Pour \(x\neq 0\), on factorise par \(x^2\) : \(f(x)=\dfrac{-2+\frac{3}{x}-\frac{1}{x^2}}{1+\frac{1}{x^2}}\), qui tend vers \(\dfrac{-2}{1}=-2\) en \(+\infty\) comme en \(-\infty\). La droite d’équation \(y=-2\) est asymptote horizontale.

2. Réponse d. On reconnaît \(f(x)=\dfrac{1}{2}\times 2x\,\text{e}^{x^2}\), de la forme \(\dfrac{1}{2}u^{\prime}\text{e}^{u}\) avec \(u(x)=x^2\). Les primitives de \(f\) sont donc les fonctions \(x\mapsto \dfrac{1}{2}\text{e}^{x^2}+c\). La condition \(F(0)=1\) donne \(\dfrac{1}{2}+c=1\), donc \(c=\dfrac{1}{2}\) et \(F(x)=\dfrac{1}{2}\text{e}^{x^2}+\dfrac{1}{2}\). (Pour la réponse b, \(F(0)=\dfrac{1}{2}\neq 1\).)

3. Réponse c. La fonction \(f\) est convexe là où sa dérivée \(f^{\prime}\) est croissante. Sur le graphique, \(f^{\prime}\) croît de \(x=0\) jusqu’à son maximum, atteint vers \(x=4\), puis décroît. Elle est donc croissante sur \([0\,;\,2]\), et \(f\) est convexe sur cet intervalle. En revanche \(f^{\prime}\) décroît au-delà de 4 : \(f\) n’est convexe ni sur \(]0\,;\,+\infty[\) ni sur \([2\,;\,+\infty[\), et elle n’est pas concave sur \(]0\,;\,+\infty[\) puisque \(f^{\prime}\) y commence par croître.

4. Réponse a. Si \(F\) est une primitive de \(f\), alors \(F^{\prime}=f\). Or \(3\text{e}^{-x^2}\gt 0\), donc \(f(x)=3\text{e}^{-x^2}+2\gt 2\gt 0\) pour tout réel \(x\). Toutes les primitives de \(f\) ont une dérivée strictement positive : elles sont toutes croissantes sur \(\mathbb{R}\).

5. Réponse d. Pour \(x\gt 0\), on écrit \(f(x)=\dfrac{\ln x}{x^2}\times \dfrac{2x^2}{3x^2+1}=\dfrac{\ln x}{x^2}\times \dfrac{2}{3+\frac{1}{x^2}}\). Par croissances comparées, \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x^2}=0\), et le second facteur tend vers \(\dfrac{2}{3}\). Par produit, \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0\).

6. Réponse c. On pose \(X=\text{e}^x\), qui est strictement positif ; comme \(\text{e}^{2x}=(\text{e}^x)^2\), l’équation devient \(X^2+X-12=0\). Son discriminant vaut \(\Delta=1+48=49\), d’où \(X=\dfrac{-1+7}{2}=3\) ou \(X=\dfrac{-1-7}{2}=-4\). La valeur \(-4\) est impossible car \(\text{e}^x\gt 0\) ; il reste \(\text{e}^x=3\), soit \(x=\ln 3\). L’équation a une seule solution.

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