Bac de maths 2022 en Amérique du Sud (jour 2) : sujet et corrigé

Ce sujet fait partie des annales que nous rassemblons pour préparer le bac de maths 2027 : tous les sujets de spécialité y sont classés par session.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2022
Mathématiques — Jour 2
Amérique du Sud — 27 septembre 2022
Durée de l’épreuve : 4 heures

Le sujet propose 4 exercices.

Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 exercices et ne doit traiter que ces 3 exercices.

Chaque exercice est noté sur 7 points (le total sera ramené sur 20 points).

Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront prises en compte.

Exercice 1 — Probabilités (7 points)

Une entreprise fabrique des composants pour l’industrie automobile. Ces composants sont conçus sur trois chaînes de montage numérotées de 1 à 3.

• La moitié des composants est conçue sur la chaîne n° 1 ;
• 30 % des composants sont conçus sur la chaîne n° 2 ;
• les composants restant sont conçus sur la chaîne n° 3.

À l’issue du processus de fabrication, il apparaît que 1 % des pièces issues de la chaîne n° 1 présentent un défaut, de même que 0,5 % des pièces issues de la chaîne n° 2 et 4 % des pièces issues de la chaîne n° 3.

On prélève au hasard un de ces composants. On note :

• \(C_1\) l’évènement « le composant provient de la chaîne n° 1 » ;
• \(C_2\) l’évènement « le composant provient de la chaîne n° 2 » ;
• \(C_3\) l’évènement « le composant provient de la chaîne n° 3 » ;
• \(D\) l’évènement « le composant est défectueux » et \(\overline{D}\) son évènement contraire.

Dans tout l’exercice, les calculs de probabilité seront donnés en valeur décimale exacte ou arrondie à \(10^{-4}\) si nécessaire.

Partie A

1. Représenter cette situation par un arbre pondéré.

2. Calculer la probabilité que le composant prélevé provienne de la chaîne n° 3 et soit défectueux.

3. Montrer que la probabilité de l’évènement \(D\) est \(P(D) = 0{,}0145\).

4. Calculer la probabilité qu’un composant défectueux provienne de la chaîne n° 3.

Partie B

L’entreprise décide de conditionner les composants produits en constituant des lots de \(n\) unités. On note \(X\) la variable aléatoire qui, à chaque lot de \(n\) unités, associe le nombre de composants défectueux de ce lot.

Compte tenu des modes de production et de conditionnement de l’entreprise, on peut considérer que \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n\) et \(p = 0{,}0145\).

1. Dans cette question, les lots possèdent 20 unités. On pose \(n = 20\).

a. Calculer la probabilité pour qu’un lot possède exactement trois composants défectueux.

b. Calculer la probabilité pour qu’un lot ne possède aucun composant défectueux.

En déduire la probabilité qu’un lot possède au moins un composant défectueux.

2. Le directeur de l’entreprise souhaite que la probabilité de n’avoir aucun composant défectueux dans un lot de \(n\) composants soit supérieure à \(0{,}85\).

Il propose de former des lots de 11 composants au maximum. A-t-il raison ? Justifier la réponse.

Partie C

Les coûts de fabrication des composants de cette entreprise sont de 15 euros s’ils proviennent de la chaîne de montage n° 1, 12 euros s’ils proviennent de la chaîne de montage n° 2 et 9 euros s’ils proviennent de la chaîne de montage n° 3.

Calculer le coût moyen de fabrication d’un composant pour cette entreprise.

Exercice 2 — Fonctions, fonction logarithme (7 points)

Le but de cet exercice est d’étudier la fonction \(f\), définie sur \(]0~;~+\infty[\), par :

\[f(x) = 3x – x\ln(x) – 2\ln(x).\]

Partie A : Étude d’une fonction auxiliaire \(g\)

Soit \(g\) la fonction définie sur \(]0~;~+\infty[\) par

\[g(x) = 2(x – 1) – x\ln(x).\]

On note \(g^{\prime}\) la fonction dérivée de \(g\). On admet que \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} g(x) = -\infty\).

1. Calculer \(g(1)\) et \(g(\text{e})\).

2. Déterminer \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} g(x)\) en justifiant votre démarche.

3. Montrer que, pour tout \(x \gt 0\), \(g^{\prime}(x) = 1 – \ln(x)\).

En déduire le tableau des variations de \(g\) sur \(]0~;~+\infty[\).

4. Montrer que l’équation \(g(x) = 0\) admet exactement deux solutions distinctes sur \(]0~;~+\infty[\) : 1 et \(\alpha\) avec \(\alpha\) appartenant à l’intervalle \([\text{e}~;~+\infty[\).

On donnera un encadrement de \(\alpha\) à 0,01 près.

5. En déduire le tableau de signes de \(g\) sur \(]0~;~+\infty[\).

Partie B : Étude de la fonction \(f\)

On considère dans cette partie la fonction \(f\), définie sur \(]0~;~+\infty[\), par

\[f(x) = 3x – x\ln(x) – 2\ln(x).\]

On note \(f^{\prime}\) la fonction dérivée de \(f\).

La représentation graphique \(\mathcal{C}_f\) de cette fonction \(f\) est donnée dans le repère \((\text{O}~;~\vec{\imath},~\vec{\jmath})\) ci-dessous. On admet que : \(\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = +\infty\).

1. Déterminer la limite de \(f\) en \(+\infty\) en justifiant votre démarche.

2. a. Justifier que pour tout \(x \gt 0\), \(f^{\prime}(x) = \dfrac{g(x)}{x}\).

b. En déduire le tableau des variations de \(f\) sur \(]0~;~+\infty[\).

3. On admet que, pour tout \(x \gt 0\), la dérivée seconde de \(f\), notée \(f^{\prime\prime}\), est définie par \(f^{\prime\prime}(x) = \dfrac{2 – x}{x^2}\).

Étudier la convexité de \(f\) et préciser les coordonnées du point d’inflexion de \(\mathcal{C}_f\).

Exercice 3 — Suites (7 points)

La population d’une espèce en voie de disparition est surveillée de près dans une réserve naturelle.

Les conditions climatiques ainsi que le braconnage font que cette population diminue de 10 % chaque année.

Afin de compenser ces pertes, on réintroduit dans la réserve 100 individus à la fin de chaque année.

On souhaite étudier l’évolution de l’effectif de cette population au cours du temps. Pour cela, on modélise l’effectif de la population de l’espèce par la suite \((u_n)\) où \(u_n\) représente l’effectif de la population au début de l’année \(2020 + n\).

On admet que pour tout entier naturel \(n\), \(u_n \geq\, 0\).

Au début de l’année 2020, la population étudiée compte 2 000 individus, ainsi \(u_0 = 2\,000\).

1. Justifier que la suite \((u_n)\) vérifie la relation de récurrence :

\[u_{n+1} = 0{,}9u_n + 100.\]

2. Calculer \(u_1\) puis \(u_2\).

3. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\) : \(1\,000 \lt u_{n+1} \leq\, u_n\).

4. La suite \((u_n)\) est-elle convergente ? Justifier la réponse.

5. On considère la suite \((v_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par \(v_n = u_n – 1\,000\).

a. Montrer que la suite \((v_n)\) est géométrique de raison \(0{,}9\).

b. En déduire que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n = 1\,000(1 + 0{,}9^n)\).

c. Déterminer la limite de la suite \((u_n)\).

En donner une interprétation dans le contexte de cet exercice.

6. On souhaite déterminer le nombre d’années nécessaires pour que l’effectif de la population passe en dessous d’un certain seuil \(S\) (avec \(S \gt 1\,000\)).

a. Déterminer le plus petit entier \(n\) tel que \(u_n \leq\, 1\,020\).

Justifier la réponse par un calcul.

b. Dans le programme Python ci-dessous, la variable \(n\) désigne le nombre d’années écoulées depuis 2020, la variable \(u\) désigne l’effectif de la population.

Recopier et compléter ce programme afin qu’il retourne le nombre d’années nécessaires pour que l’effectif de la population passe en dessous du seuil \(S\).

1  def population(S) :
2      n=0
3      u=2000
4
5      while ...... :
6          u= ...
7          n = ...
8      return ...

Exercice 4 — Géométrie dans l’espace (7 points)

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé \((\text{O}~;~\vec{\imath},~\vec{\jmath},~\vec{k})\), on considère les points

\[\text{A}(0~;~8~;~6),\quad \text{B}(6~;~4~;~4)\quad \text{et}\quad \text{C}(2~;~4~;~0).\]

1. a. Justifier que les points A, B et C ne sont pas alignés.

b. Montrer que le vecteur \(\vec{n}(1~;~2~;~-1)\) est un vecteur normal au plan (ABC).

c. Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).

2. Soient D et E les points de coordonnées respectives \((0~;~0~;~6)\) et \((6~;~6~;~0)\).

a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (DE).

b. Montrer que le milieu I du segment [BC] appartient à la droite (DE).

3. On considère le triangle ABC.

a. Déterminer la nature du triangle ABC.

b. Calculer l’aire du triangle ABC en unité d’aire.

c. Calculer \(\vec{\text{AB}} \cdot \vec{\text{AC}}\).

d. En déduire une mesure de l’angle \(\widehat{\text{BAC}}\) arrondie à 0,1 degré.

4. On considère le point H de coordonnées \((\dfrac{5}{3}~;~\dfrac{10}{3}~;~-\dfrac{5}{3})\).

Montrer que H est le projeté orthogonal du point O sur le plan (ABC).

En déduire la distance du point O au plan (ABC).

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

Partie A

1. Au premier niveau, on place les trois chaînes : \(P(C_1) = 0{,}5\), \(P(C_2) = 0{,}3\) et \(P(C_3) = 1 – 0{,}5 – 0{,}3 = 0{,}2\). Au second niveau, on place les probabilités conditionnelles de défaut : \(P_{C_1}(D) = 0{,}01\), \(P_{C_2}(D) = 0{,}005\), \(P_{C_3}(D) = 0{,}04\), et leurs complémentaires à 1 pour \(\overline{D}\).

2. On cherche la probabilité de l’intersection \(C_3 \cap D\) : on multiplie les probabilités le long du chemin de l’arbre.

\[P(C_3 \cap D) = P(C_3) \times P_{C_3}(D) = 0{,}2 \times 0{,}04 = 0{,}008.\]

La probabilité que le composant vienne de la chaîne n° 3 et soit défectueux est 0,008.

3. Les évènements \(C_1\), \(C_2\), \(C_3\) forment une partition de l’univers (chaque composant vient d’une et une seule chaîne). La formule des probabilités totales donne :

\[P(D) = P(C_1 \cap D) + P(C_2 \cap D) + P(C_3 \cap D) = 0{,}5 \times 0{,}01 + 0{,}3 \times 0{,}005 + 0{,}008\]

\[P(D) = 0{,}005 + 0{,}0015 + 0{,}008 = 0{,}0145.\]

On retrouve bien \(P(D) = 0{,}0145\).

4. On cherche une probabilité conditionnelle « à rebours » : sachant que le composant est défectueux, quelle est la probabilité qu’il vienne de la chaîne n° 3 ?

\[P_D(C_3) = \dfrac{P(C_3 \cap D)}{P(D)} = \dfrac{0{,}008}{0{,}0145} \approx 0{,}551\,72.\]

Arrondie à \(10^{-4}\), cette probabilité vaut 0,5517. Plus de la moitié des pièces défectueuses viennent donc de la chaîne n° 3, alors qu’elle ne fabrique que 20 % des composants.

Partie B

1. a. Ici \(X\) suit la loi binomiale \(\mathcal{B}(20~;~0{,}0145)\). Pour tout entier \(k\) entre 0 et 20, \(P(X = k) = \dbinom{20}{k} p^k (1-p)^{20-k}\). Avec \(k = 3\) :

\[P(X = 3) = \dbinom{20}{3} \times 0{,}0145^3 \times 0{,}9855^{17} = 1\,140 \times 0{,}0145^3 \times 0{,}9855^{17} \approx 0{,}0027.\]

La probabilité qu’un lot contienne exactement trois composants défectueux est environ 0,0027.

b. Aucun composant défectueux correspond à \(X = 0\) :

\[P(X = 0) = (1 – 0{,}0145)^{20} = 0{,}9855^{20} \approx 0{,}7467.\]

« Au moins un composant défectueux » est l’évènement contraire de « aucun composant défectueux », donc :

\[P(X \geq\, 1) = 1 – P(X = 0) = 1 – 0{,}9855^{20} \approx 0{,}2533.\]

La probabilité qu’un lot ne contienne aucun défaut est environ 0,7467, et celle qu’il en contienne au moins un est environ 0,2533.

2. Pour un lot de \(n\) composants, \(P(X = 0) = 0{,}9855^n\). On résout \(0{,}9855^n \gt 0{,}85\). La fonction \(\ln\) étant strictement croissante sur \(]0~;~+\infty[\), on peut l’appliquer aux deux membres :

\[0{,}9855^n \gt 0{,}85 \iff n\ln(0{,}9855) \gt \ln(0{,}85) \iff n \lt \dfrac{\ln(0{,}85)}{\ln(0{,}9855)}\]

car \(\ln(0{,}9855) \lt 0\) (puisque \(0{,}9855 \lt 1\)), ce qui change le sens de l’inégalité quand on divise. La calculatrice donne \(\dfrac{\ln(0{,}85)}{\ln(0{,}9855)} \approx 11{,}13\).

La condition est donc remplie exactement pour \(n \leq\, 11\). Vérification : \(0{,}9855^{11} \approx 0{,}8516 \gt 0{,}85\) tandis que \(0{,}9855^{12} \approx 0{,}8392 \lt 0{,}85\). Le directeur a raison : des lots de 11 composants au maximum garantissent une probabilité supérieure à 0,85 de n’avoir aucun défaut, et 12 composants ne conviendraient plus.

Partie C

Le coût d’un composant pris au hasard est une variable aléatoire qui vaut 15, 12 ou 9 euros avec les probabilités respectives 0,5, 0,3 et 0,2. Le coût moyen est son espérance :

\[E = 0{,}5 \times 15 + 0{,}3 \times 12 + 0{,}2 \times 9 = 7{,}5 + 3{,}6 + 1{,}8 = 12{,}9.\]

Le coût moyen de fabrication d’un composant est de 12,90 euros.

Exercice 2 :

Partie A

1. Comme \(\ln(1) = 0\) : \(g(1) = 2(1 – 1) – 1 \times 0 = 0\), donc \(g(1) = 0\).

Comme \(\ln(\text{e}) = 1\) : \(g(\text{e}) = 2(\text{e} – 1) – \text{e} \times 1 = 2\text{e} – 2 – \text{e}\), donc \(g(\text{e}) = \text{e} – 2 \approx 0{,}718\).

2. On utilise la limite de croissance comparée \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x\ln(x) = 0\). Par ailleurs \(\displaystyle\lim_{x \to 0} 2(x – 1) = -2\). Par somme de limites :

\[\lim_{x \to 0^+} g(x) = -2 – 0 = -2.\]

Donc \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} g(x) = -2\).

3. \(g\) est dérivable sur \(]0~;~+\infty[\) comme somme et produit de fonctions dérivables. Le terme \(x\ln(x)\) est un produit \(uv\) avec \(u(x) = x\), \(v(x) = \ln(x)\), de dérivée \(u^{\prime}v + uv^{\prime} = \ln(x) + x \times \dfrac{1}{x} = \ln(x) + 1\). Ainsi :

\[g^{\prime}(x) = 2 – (\ln(x) + 1) = 1 – \ln(x).\]

Signe de \(g^{\prime}(x)\) : comme \(\ln\) est strictement croissante, \(1 – \ln(x) \gt 0 \iff \ln(x) \lt 1 \iff x \lt \text{e}\), et \(g^{\prime}(x) = 0 \iff x = \text{e}\). Donc \(g\) est strictement croissante sur \(]0~;~\text{e}]\) et strictement décroissante sur \([\text{e}~;~+\infty[\), avec un maximum \(g(\text{e}) = \text{e} – 2\). En utilisant les limites obtenues et admises :

4. On découpe l’intervalle en deux morceaux où \(g\) est strictement monotone.

Sur \(]0~;~\text{e}]\) : \(g\) est continue (car dérivable) et strictement croissante, de \(-2\) (limite en 0) à \(\text{e} – 2 \gt 0\). Comme 0 est compris entre ces deux valeurs, le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires assure que \(g(x) = 0\) a une unique solution sur cet intervalle. Or \(g(1) = 0\) d’après la question 1 : cette solution est 1.

Sur \([\text{e}~;~+\infty[\) : \(g\) est continue et strictement décroissante, de \(\text{e} – 2 \gt 0\) à \(-\infty\). Pour la même raison, l’équation \(g(x) = 0\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \([\text{e}~;~+\infty[\) (et \(\alpha \neq \text{e}\) puisque \(g(\text{e}) \neq 0\)).

Au total, l’équation \(g(x) = 0\) a exactement deux solutions : 1 et \(\alpha\).

Encadrement : à la calculatrice, \(g(4{,}92) \approx 0{,}0009 \gt 0\) et \(g(4{,}93) \approx -0{,}0050 \lt 0\). Comme \(g\) change de signe entre ces deux valeurs, \(4{,}92 \lt \alpha \lt 4{,}93\).

5. D’après les variations : sur \(]0~;~1[\), \(g\) croît de \(-2\) jusqu’à \(g(1) = 0\), donc \(g(x) \lt 0\) ; sur \(]1~;~\alpha[\), \(g\) croît jusqu’en \(\text{e}\) puis décroît jusqu’à \(g(\alpha) = 0\) sans s’annuler, donc \(g(x) \gt 0\) ; sur \(]\alpha~;~+\infty[\), \(g\) décroît à partir de 0, donc \(g(x) \lt 0\).

Partie B

1. En \(+\infty\), \(3x\) tend vers \(+\infty\) et \(-x\ln(x)\) vers \(-\infty\) : c’est une forme indéterminée. On factorise par \(x\) :

\[f(x) = x(3 – \ln(x) – 2\,\dfrac{\ln(x)}{x}).\]

Par croissance comparée, \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x} = 0\) ; de plus \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty\). La parenthèse tend donc vers \(-\infty\) par somme. Comme \(x\) tend vers \(+\infty\), par produit : \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty\).

2. a. \(f\) est dérivable sur \(]0~;~+\infty[\). On a vu que la dérivée de \(x\ln(x)\) est \(\ln(x) + 1\), et celle de \(2\ln(x)\) est \(\dfrac{2}{x}\). Donc :

\[f^{\prime}(x) = 3 – (\ln(x) + 1) – \dfrac{2}{x} = 2 – \ln(x) – \dfrac{2}{x}.\]

On réduit au même dénominateur \(x\) :

\[f^{\prime}(x) = \dfrac{2x – x\ln(x) – 2}{x} = \dfrac{2(x – 1) – x\ln(x)}{x} = \dfrac{g(x)}{x}.\]

b. Pour \(x \gt 0\), le dénominateur est positif : \(f^{\prime}(x)\) a le signe de \(g(x)\), donné par la question 5 de la partie A. Donc \(f\) est décroissante sur \(]0~;~1]\), croissante sur \([1~;~\alpha]\) et décroissante sur \([\alpha~;~+\infty[\). On calcule \(f(1) = 3 – 0 – 0 = 3\) et \(f(\alpha) \approx 3{,}73\).

Ce tableau est cohérent avec la courbe : minimum local 3 en \(x = 1\), maximum local proche de 3,7 vers \(x \approx 4{,}9\).

3. Pour \(x \gt 0\), \(x^2 \gt 0\), donc \(f^{\prime\prime}(x)\) a le signe de \(2 – x\) :

• si \(0 \lt x \lt 2\), \(f^{\prime\prime}(x) \gt 0\) : \(f\) est convexe sur \(]0~;~2]\) ;
• si \(x \gt 2\), \(f^{\prime\prime}(x) \lt 0\) : \(f\) est concave sur \([2~;~+\infty[\).

La dérivée seconde s’annule et change de signe en \(x = 2\) : la courbe admet un point d’inflexion d’abscisse 2. Son ordonnée est \(f(2) = 6 – 2\ln(2) – 2\ln(2) = 6 – 4\ln(2)\). Le point d’inflexion a pour coordonnées \((2~;~6 – 4\ln(2))\), soit environ \((2~;~3{,}23)\).

Exercice 3 :

1. Une baisse de 10 % revient à multiplier l’effectif par \(1 – \dfrac{10}{100} = 0{,}9\). Au cours de l’année \(2020 + n\), l’effectif \(u_n\) devient donc \(0{,}9u_n\), puis on ajoute les 100 individus réintroduits en fin d’année. L’effectif au début de l’année suivante est donc :

\[u_{n+1} = 0{,}9u_n + 100.\]

2. \(u_1 = 0{,}9 \times 2\,000 + 100 = 1\,800 + 100\), donc \(u_1 = 1\,900\).

\(u_2 = 0{,}9 \times 1\,900 + 100 = 1\,710 + 100\), donc \(u_2 = 1\,810\).

3. Notons \(\mathcal{P}(n)\) la propriété : « \(1\,000 \lt u_{n+1} \leq\, u_n\) ».

Initialisation. Pour \(n = 0\) : \(u_1 = 1\,900\) et \(u_0 = 2\,000\), et on a bien \(1\,000 \lt 1\,900 \leq\, 2\,000\). \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.

Hérédité. Soit \(n\) un entier naturel tel que \(\mathcal{P}(n)\) est vraie : \(1\,000 \lt u_{n+1} \leq\, u_n\). On multiplie les trois membres par \(0{,}9\), qui est positif, donc l’ordre est conservé :

\[900 \lt 0{,}9u_{n+1} \leq\, 0{,}9u_n.\]

On ajoute 100 aux trois membres :

\[1\,000 \lt 0{,}9u_{n+1} + 100 \leq\, 0{,}9u_n + 100, \quad \text{c^{\prime}est-à-dire} \quad 1\,000 \lt u_{n+2} \leq\, u_{n+1}.\]

\(\mathcal{P}(n+1)\) est donc vraie.

Conclusion. La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire : par récurrence, pour tout entier naturel \(n\), \(1\,000 \lt u_{n+1} \leq\, u_n\).

4. D’après la question 3, pour tout \(n\), \(u_{n+1} \leq\, u_n\) : la suite est décroissante. Elle est aussi minorée par 1 000 (on a \(u_n \gt 1\,000\) pour \(n \geq\, 1\), et \(u_0 = 2\,000\)). Une suite décroissante et minorée converge (théorème de convergence monotone) : la suite \((u_n)\) est convergente.

5. a. Pour tout entier naturel \(n\) :

\[v_{n+1} = u_{n+1} – 1\,000 = 0{,}9u_n + 100 – 1\,000 = 0{,}9u_n – 900 = 0{,}9(u_n – 1\,000) = 0{,}9v_n.\]

Chaque terme s’obtient en multipliant le précédent par 0,9 : \((v_n)\) est géométrique de raison 0,9, de premier terme \(v_0 = u_0 – 1\,000 = 1\,000\).

b. D’après le cours sur les suites géométriques, \(v_n = v_0 \times 0{,}9^n = 1\,000 \times 0{,}9^n\). Comme \(u_n = v_n + 1\,000\) :

\[u_n = 1\,000 \times 0{,}9^n + 1\,000 = 1\,000(1 + 0{,}9^n).\]

c. Puisque \(-1 \lt 0{,}9 \lt 1\), \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} 0{,}9^n = 0\). Donc \(1 + 0{,}9^n\) tend vers 1 et \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = 1\,000\).

Interprétation : malgré les réintroductions, la population continue de diminuer, mais elle se stabilise à long terme autour de 1 000 individus, sans jamais descendre en dessous.

6. a. On résout l’inéquation :

\[u_n \leq\, 1\,020 \iff 1\,000(1 + 0{,}9^n) \leq\, 1\,020 \iff 1 + 0{,}9^n \leq\, 1{,}02 \iff 0{,}9^n \leq\, 0{,}02.\]

La fonction \(\ln\) est strictement croissante, donc \(0{,}9^n \leq\, 0{,}02 \iff n\ln(0{,}9) \leq\, \ln(0{,}02)\). Comme \(\ln(0{,}9) \lt 0\), en divisant on change le sens :

\[n \geq\, \dfrac{\ln(0{,}02)}{\ln(0{,}9)} \approx 37{,}13.\]

Le plus petit entier qui convient est \(n = 38\). Contrôle : \(u_{37} \approx 1\,020{,}28 \gt 1\,020\) et \(u_{38} \approx 1\,018{,}25 \leq\, 1\,020\). L’effectif passe sous 1 020 individus au début de l’année 2058.

b. On part de \(n = 0\) et \(u = 2\,000\). Tant que l’effectif n’est pas passé sous le seuil (c’est-à-dire tant que \(u \geq\, S\)), on calcule l’effectif de l’année suivante avec la relation de récurrence et on compte une année de plus. Quand la boucle s’arrête, \(n\) est le nombre d’années cherché.

def population(S) :
    n=0
    u=2000

    while u >= S :
        u = 0.9*u+100
        n = n+1
    return n

Comme \(S \gt 1\,000\) et que \((u_n)\) tend vers 1 000 en décroissant, la boucle s’arrête toujours. Par exemple, population(1020) renvoie 38, en accord avec la question a.

Exercice 4 :

1. a. On calcule \(\vec{\text{AB}}(6~;~-4~;~-2)\) et \(\vec{\text{AC}}(2~;~-4~;~-6)\). S’ils étaient colinéaires, il existerait un réel \(k\) tel que \(\vec{\text{AC}} = k\vec{\text{AB}}\). La deuxième coordonnée impose \(k = 1\), mais la première donnerait \(2 = 6\) : impossible. Les vecteurs ne sont pas colinéaires, donc A, B et C ne sont pas alignés et définissent un plan.

b. On calcule les produits scalaires de \(\vec{n}(1~;~2~;~-1)\) avec deux vecteurs non colinéaires du plan :

\[\vec{n} \cdot \vec{\text{AB}} = 1 \times 6 + 2 \times (-4) + (-1) \times (-2) = 6 – 8 + 2 = 0\]

\[\vec{n} \cdot \vec{\text{AC}} = 1 \times 2 + 2 \times (-4) + (-1) \times (-6) = 2 – 8 + 6 = 0\]

\(\vec{n}\) est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC) : c’est un vecteur normal au plan (ABC).

c. Un plan de vecteur normal \(\vec{n}(1~;~2~;~-1)\) a une équation de la forme \(x + 2y – z + d = 0\). Le point \(\text{A}(0~;~8~;~6)\) appartient au plan : \(0 + 16 – 6 + d = 0\), donc \(d = -10\).

Une équation cartésienne du plan (ABC) est \(x + 2y – z – 10 = 0\). Contrôle avec B : \(6 + 8 – 4 – 10 = 0\) ; avec C : \(2 + 8 – 0 – 10 = 0\).

2. a. La droite (DE) passe par \(\text{D}(0~;~0~;~6)\) et a pour vecteur directeur \(\vec{\text{DE}}(6~;~6~;~-6)\), ou plus simplement \(\vec{u} = \dfrac{1}{6}\vec{\text{DE}}\), de coordonnées \((1~;~1~;~-1)\). Un point \(M(x~;~y~;~z)\) appartient à (DE) si et seulement s’il existe un réel \(t\) tel que \(\vec{\text{D}M} = t\,\vec{u}\), ce qui donne la représentation paramétrique :

\[\{\begin{array}{l} x = t \\ y = t \\ z = 6 – t \end{array}. \quad t \in \mathbb{R}.\]

b. Le milieu I de [BC] a pour coordonnées \((\dfrac{6 + 2}{2}~;~\dfrac{4 + 4}{2}~;~\dfrac{4 + 0}{2})\), soit \(\text{I}(4~;~4~;~2)\). Avec \(t = 4\), la représentation donne \(x = 4\), \(y = 4\), \(z = 6 – 4 = 2\) : ce sont les coordonnées de I. Donc I appartient à la droite (DE).

3. a. On calcule les longueurs des côtés :

\[\text{AB}^2 = 6^2 + (-4)^2 + (-2)^2 = 36 + 16 + 4 = 56, \qquad \text{AC}^2 = 2^2 + (-4)^2 + (-6)^2 = 4 + 16 + 36 = 56,\]

\[\vec{\text{BC}}(-4~;~0~;~-4), \qquad \text{BC}^2 = 16 + 0 + 16 = 32.\]

On a \(\text{AB} = \text{AC} = \sqrt{56}\) et \(\text{BC} = \sqrt{32}\), différent. De plus \(\text{BC}^2 \neq \text{AB}^2 + \text{AC}^2\) et \(\text{AB}^2 \neq \text{AC}^2 + \text{BC}^2\), donc le triangle n’est pas rectangle. Le triangle ABC est isocèle en A.

b. Dans un triangle isocèle en A, la médiane issue de A est aussi la hauteur : (AI) est perpendiculaire à (BC). Avec \(\vec{\text{AI}}(4~;~-4~;~-4)\) :

\[\text{AI} = \sqrt{16 + 16 + 16} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}, \qquad \text{BC} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}.\]

\[\mathcal{A}(\text{ABC}) = \dfrac{\text{BC} \times \text{AI}}{2} = \dfrac{4\sqrt{2} \times 4\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{6}.\]

L’aire du triangle ABC est \(8\sqrt{6}\) unités d’aire, soit environ 19,6 u.a.

c. Dans un repère orthonormé, on utilise l’expression analytique du produit scalaire :

\[\vec{\text{AB}} \cdot \vec{\text{AC}} = 6 \times 2 + (-4) \times (-4) + (-2) \times (-6) = 12 + 16 + 12 = 40.\]

Donc \(\vec{\text{AB}} \cdot \vec{\text{AC}} = 40\).

d. On a aussi \(\vec{\text{AB}} \cdot \vec{\text{AC}} = \text{AB} \times \text{AC} \times \cos\widehat{\text{BAC}} = \sqrt{56} \times \sqrt{56} \times \cos\widehat{\text{BAC}} = 56\cos\widehat{\text{BAC}}\). En égalant avec la question c :

\[\cos\widehat{\text{BAC}} = \dfrac{40}{56} = \dfrac{5}{7}.\]

La calculatrice (touche \(\arccos\) en mode degrés) donne \(\widehat{\text{BAC}} \approx 44{,}4^\circ\) (valeur plus précise : 44,415°).

4. H est le projeté orthogonal de O sur (ABC) si et seulement si H appartient au plan (ABC) et \(\vec{\text{OH}}\) est orthogonal au plan, c’est-à-dire colinéaire à \(\vec{n}\).

H appartient au plan : \(\dfrac{5}{3} + 2 \times \dfrac{10}{3} – (-\dfrac{5}{3}) – 10 = \dfrac{5 + 20 + 5}{3} – 10 = 10 – 10 = 0\).

\(\vec{\text{OH}}\) est colinéaire à \(\vec{n}\) : \(\vec{\text{OH}}(\dfrac{5}{3}~;~\dfrac{10}{3}~;~-\dfrac{5}{3}) = \dfrac{5}{3}(1~;~2~;~-1)\), donc \(\vec{\text{OH}} = \dfrac{5}{3}\vec{n}\).

Les deux conditions sont remplies : H est le projeté orthogonal de O sur le plan (ABC).

La distance de O au plan est alors la longueur OH :

\[\text{OH} = \dfrac{5}{3}\|\vec{n}\| = \dfrac{5}{3}\sqrt{1^2 + 2^2 + (-1)^2} = \dfrac{5\sqrt{6}}{3}.\]

La distance du point O au plan (ABC) est \(\dfrac{5\sqrt{6}}{3}\), soit environ 4,08 unités de longueur.

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