Bac maths 2025 Amérique du Nord J2 : sujet et corrigé

Voici le sujet 2 du bac de spécialité mathématiques 2025 en Amérique du Nord, donné le 22 mai 2025, avec l’énoncé complet et un corrigé détaillé de chaque question. Le premier exercice suit Victor, un basketteur qui enchaîne des tirs à trois points : loi binomiale, espérance du nombre de points, puis moyenne sur plusieurs matchs et inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Le deuxième reconstitue la méthode de Henry Briggs pour approcher ln(2) avec la suite des racines carrées successives de 2, un raisonnement par récurrence, une suite géométrique et une fonction Python à compléter. Le troisième est un vrai-faux de géométrie dans l’espace (cube, base de l’espace, plans parallèles, distance à un plan, droites coplanaires). Le dernier étudie la fonction exponentielle fois sinus : convexité, point d’inflexion, double intégration par parties et calcul d’aire.

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BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2025
Mathématiques — Sujet 2
Amérique du Nord — 22 mai 2025
Durée de l’épreuve : 4 heures

Exercice 1 (5 points)

Au basket-ball, il est possible de marquer des paniers rapportant un point, deux points ou trois points.

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

L’entraineur d’une équipe de basket décide d’étudier les statistiques de réussite des lancers de ses joueurs. Il constate qu’à l’entrainement, lorsque Victor tente un panier à trois points, il le réussit avec une probabilité de \(0{,}32\).

Lors d’un entrainement, Victor effectue une série de 15 lancers à trois points. On suppose que ces lancers sont indépendants.

On note \(N\) la variable aléatoire qui donne le nombre de paniers marqués.

Les résultats des probabilités demandées seront, si nécessaire, arrondis au millième.

1. On admet que la variable aléatoire \(N\) suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.

2. Calculer la probabilité que Victor réussisse exactement 4 paniers lors de cette série.

3. Déterminer la probabilité que Victor réussisse au plus 6 paniers lors de cette série.

4. Déterminer l’espérance de la variable aléatoire \(N\).

5. On note \(T\) la variable aléatoire qui donne le nombre de points marqués après cette série de lancers.

a. Exprimer \(T\) en fonction de \(N\).

b. En déduire l’espérance de la variable aléatoire \(T\). Donner une interprétation de cette valeur dans le contexte de l’exercice.

c. Calculer \(P(12 \leq\, T \leq\, 18)\).

Partie B

On note \(X\) la variable aléatoire donnant le nombre de points marqués par Victor lors d’un match.

On admet que l’espérance \(E(X)=22\) et la variance \(V(X)=65\).

Victor joue \(n\) matchs, où \(n\) est un nombre entier strictement positif.

On note \(X_1, X_2, \ldots, X_n\) les variables aléatoires donnant le nombre de points marqués au cours des \(1^{\text{er}}, 2^{\text{e}}, \ldots, n\)-ième matchs. On admet que les variables aléatoires \(X_1, X_2, \ldots, X_n\) sont indépendantes et suivent la même loi que celle de \(X\).

On pose \(M_n=\dfrac{X_1+X_2+\ldots+X_n}{n}\).

1. Dans cette question, on prend \(n=50\).

a. Que représente la variable aléatoire \(M_{50}\) ?

b. Déterminer l’espérance et la variance de \(M_{50}\).

c. Démontrer que \(P(|M_{50}-22| \geq\, 3) \leq\, \dfrac{13}{90}\).

d. En déduire que la probabilité de l’évènement « \(19 \lt M_{50} \lt 25\) » est strictement supérieure à 0,85.

2. Indiquer, en justifiant, si l’affirmation suivante est vraie ou fausse :

« Il n’existe aucun entier naturel \(n\) tel que \(P(|M_n-22| \geq\, 3) \lt 0{,}01\) ».

Exercice 2 (5 points)

Un des objectifs de cet exercice est de déterminer une approximation du nombre réel \(\ln(2)\), en utilisant une des méthodes du mathématicien anglais Henry Briggs au XVI^e siècle.

On désigne par \((u_n)\) la suite définie par :

\[u_0=2 \quad \text{et, pour tout entier naturel } n, \quad u_{n+1}=\sqrt{u_n}\]

Partie A

1. a. Donner la valeur exacte de \(u_1\) et de \(u_2\).

b. Émettre une conjecture, à l’aide de la calculatrice, sur le sens de variation et la limite éventuelle de la suite.

2. a. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), \(1 \leq\, u_{n+1} \leq\, u_n\).

b. En déduire que la suite \((u_n)\) est convergente.

c. Résoudre dans l’intervalle \([0\,;\,+\infty[\) l’équation \(\sqrt{x}=x\).

d. Déterminer, en justifiant, la limite de la suite \((u_n)\).

Partie B

On désigne par \((v_n)\) la suite définie pour tout entier naturel \(n\) par \(v_n=\ln(u_n)\).

1. a. Démontrer que la suite \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac{1}{2}\).

b. Exprimer \(v_n\) en fonction de \(n\), pour tout entier naturel \(n\).

c. En déduire que, pour tout entier naturel \(n\), \(\ln(2)=2^n\ln(u_n)\).

2. On a tracé ci-dessous dans un repère orthonormé la courbe \(\mathscr{C}\) de la fonction ln et la tangente T à la courbe \(\mathscr{C}\) au point d’abscisse 1.

Une équation de la droite T est \(y=x-1\).

Les points \(\mathrm{A}_0\), \(\mathrm{A}_1\), \(\mathrm{A}_2\) ont pour abscisses respectives \(u_0\), \(u_1\) et \(u_2\) et pour ordonnée 0.

On décide de prendre \(x-1\) comme approximation de \(\ln(x)\) lorsque \(x\) appartient à l’intervalle \(]0{,}99\,;\,1{,}01[\).

a. Déterminer à l’aide de la calculatrice le plus petit entier naturel \(k\) tel que \(u_k\) appartienne à l’intervalle \(]0{,}99\,;\,1{,}01[\) et donner une valeur approchée de \(u_k\) à \(10^{-5}\) près.

b. En déduire une approximation de \(\ln(u_k)\).

c. Déduire des questions 1. c. et 2. b. de la partie B une approximation de \(\ln(2)\).

3. On généralise la méthode précédente à tout réel \(a\) strictement supérieur à 1.

Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous afin que l’appel Briggs(a) renvoie une approximation de \(\ln(a)\).

On rappelle que l’instruction en langage Python sqrt(a) correspond à \(\sqrt{a}\).

from math import*
def Briggs(a):
  n = 0
  while a >= 1.01:
    a = sqrt(a)
    n = n+1
  L =...
return L

Exercice 3 (5 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée.

Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

Partie A

ABCDEFGH est un cube d’arête de longueur 1.

Les points I, J, K, L et M sont les milieux respectifs des arêtes [AB], [BF], [AE], [CD] et [DH].

Affirmation 1 : « \(\vec{\mathrm{JH}}=2\vec{\mathrm{BI}}+\vec{\mathrm{DM}}-\vec{\mathrm{CB}}\) »

Affirmation 2 : « Le triplet de vecteurs \((\vec{\mathrm{AB}},\ \vec{\mathrm{AH}},\ \vec{\mathrm{AG}})\) est une base de l’espace. »

Affirmation 3 : « \(\vec{\mathrm{IB}} \cdot \vec{\mathrm{LM}}=-\dfrac{1}{4}\). »

Partie B

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, on considère :

le plan \(\mathcal{P}\) d’équation cartésienne \(2x-y+3z+6=0\) ;
les points \(\mathrm{A}(2\,;\,0\,;\,-1)\) et \(\mathrm{B}(5\,;\,-3\,;\,7)\).

Affirmation 4 : « Le plan \(\mathcal{P}\) et la droite (AB) sont parallèles. »

Affirmation 5 : « Le plan \(\mathcal{P}^{\prime}\) parallèle à \(\mathcal{P}\) passant par B a pour équation cartésienne \(-2x+y-3z+34=0\) »

Affirmation 6 : « La distance du point A au plan \(\mathcal{P}\) est égale à \(\dfrac{\sqrt{14}}{2}\). »

On note \((d)\) la droite de représentation paramétrique

\[\{\begin{array}{l} x=-12+2k \\ y=6 \\ z=3-5k \end{array}. \text{ où } k \in \mathbb{R}\]

Affirmation 7 : « Les droites (AB) et \((d)\) ne sont pas coplanaires. »

Exercice 4 (5 points)

On désigne par \(f\) la fonction définie sur l’intervalle \([0\,;\,\pi]\) par

\[f(x)=\text{e}^x\sin(x).\]

On note \(\mathcal{C}_f\) la courbe représentative de \(f\) dans un repère.

Partie A

1. a. Démontrer que pour tout réel \(x\) de l’intervalle \([0\,;\,\pi]\),

\[f^{\prime}(x)=\text{e}^x[\sin(x)+\cos(x)].\]

b. Justifier que la fonction \(f\) est strictement croissante sur l’intervalle \([0\,;\,\dfrac{\pi}{2}]\).

2. a. Déterminer une équation de la tangente \(T\) à la courbe \(\mathcal{C}_f\) au point d’abscisse 0.

b. Démontrer que la fonction \(f\) est convexe sur l’intervalle \([0\,;\,\dfrac{\pi}{2}]\).

c. En déduire que pour tout réel \(x\) de l’intervalle \([0\,;\,\dfrac{\pi}{2}]\), \(\text{e}^x\sin(x) \geq\, x\).

3. Justifier que le point d’abscisse \(\dfrac{\pi}{2}\) de la courbe représentative de la fonction \(f\) est un point d’inflexion.

Partie B

On note

\[I=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \text{e}^x\sin(x)\,\text{d}x \quad \text{et} \quad J=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \text{e}^x\cos(x)\,\text{d}x.\]

1. En intégrant par parties l’intégrale \(I\) de deux manières différentes, établir les deux relations suivantes :

\[I=1+J \qquad \text{et} \qquad I=\text{e}^{\frac{\pi}{2}}-J.\]

2. En déduire que \(I=\dfrac{1+\text{e}^{\frac{\pi}{2}}}{2}\).

3. On note \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x)=x\).

Les courbes représentatives des fonctions \(f\) et \(g\) sont tracées dans le repère orthogonal ci-dessous sur l’intervalle \([0\,;\,\pi]\).

Calculer la valeur exacte de l’aire du domaine hachuré situé entre les courbes \(\mathcal{C}_f\) et \(\mathcal{C}_g\) et les droites d’équation \(x=0\) et \(x=\dfrac{\pi}{2}\).

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

Partie A

1. Chaque lancer est une épreuve de Bernoulli : soit Victor marque (succès, de probabilité 0,32), soit il rate. On répète 15 fois cette épreuve de façon identique et indépendante, et \(N\) compte les succès. \(N\) suit donc la loi binomiale de paramètres \(n=15\) et \(p=0{,}32\), notée \(\mathcal{B}(15\,;\,0{,}32)\).

2. Pour une loi binomiale, \(P(N=k)=\dbinom{15}{k}\,0{,}32^k\,0{,}68^{15-k}\). Avec \(k=4\) :

\[P(N=4)=\dbinom{15}{4}\times 0{,}32^4\times 0{,}68^{11}=1\,365\times 0{,}32^4\times 0{,}68^{11}\approx 0{,}206.\]

La probabilité que Victor réussisse exactement 4 paniers est environ 0,206.

3. « Au plus 6 paniers » correspond à l’évènement \(N \leq\, 6\). La calculatrice (fonction de répartition de la loi binomiale) donne :

\[P(N \leq\, 6)=P(N=0)+P(N=1)+\ldots+P(N=6)\approx 0{,}828.\]

La probabilité cherchée vaut environ 0,828.

4. L’espérance d’une loi binomiale est \(E(N)=np\), donc \(E(N)=15\times 0{,}32=\) 4,8. Sur un grand nombre de séries de 15 tirs, Victor marque en moyenne 4,8 paniers par série.

5. a. Chaque panier réussi lors de cette série est un panier à trois points : le nombre de points est le triple du nombre de paniers, donc \(T=3N\).

b. Par linéarité de l’espérance, \(E(T)=E(3N)=3E(N)=3\times 4{,}8=\) 14,4.

Interprétation : si Victor répète un très grand nombre de fois cette série de 15 tirs à trois points, il marque en moyenne 14,4 points par série.

c. Comme \(T=3N\), l’encadrement \(12 \leq\, 3N \leq\, 18\) équivaut, en divisant par 3, à \(4 \leq\, N \leq\, 6\). Donc :

\[P(12 \leq\, T \leq\, 18)=P(4 \leq\, N \leq\, 6)=P(N \leq\, 6)-P(N \leq\, 3).\]

La calculatrice donne \(P(N \leq\, 3)\approx 0{,}242\), d’où \(P(12 \leq\, T \leq\, 18)\approx 0{,}828-0{,}242\), soit environ 0,586. On retrouve ce résultat en additionnant \(P(N=4)+P(N=5)+P(N=6)\approx 0{,}206+0{,}213+0{,}167\).

Partie B

1. a. \(M_{50}\) est la somme des points marqués sur 50 matchs divisée par 50 : c’est le nombre moyen de points marqués par Victor par match sur ces 50 matchs (moyenne empirique de l’échantillon \(X_1, \ldots, X_{50}\)).

b. Les \(X_i\) ont toutes la même loi que \(X\). Par linéarité de l’espérance :

\[E(M_{50})=\dfrac{1}{50}(E(X_1)+\ldots+E(X_{50}))=\dfrac{50\times 22}{50}=22.\]

Les \(X_i\) étant indépendantes, la variance de leur somme est la somme de leurs variances, et \(V(aY)=a^2V(Y)\) :

\[V(M_{50})=\dfrac{1}{50^2}(V(X_1)+\ldots+V(X_{50}))=\dfrac{50\times 65}{2\,500}=\dfrac{65}{50}=1{,}3.\]

Ainsi \(E(M_{50})=22\) et \(V(M_{50})=1{,}3\).

c. L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev affirme que pour toute variable aléatoire \(Y\) et tout réel \(\delta \gt 0\), \(P(|Y-E(Y)| \geq\, \delta) \leq\, \dfrac{V(Y)}{\delta^2}\). On l’applique à \(Y=M_{50}\), d’espérance 22, avec \(\delta=3\) :

\[P(|M_{50}-22| \geq\, 3) \leq\, \dfrac{1{,}3}{9}=\dfrac{13}{90}.\]

C’est bien l’inégalité demandée.

d. L’encadrement \(19 \lt M_{50} \lt 25\) s’écrit \(-3 \lt M_{50}-22 \lt 3\), c’est-à-dire \(|M_{50}-22| \lt 3\) : c’est l’évènement contraire de \(|M_{50}-22| \geq\, 3\). Donc :

\[P(19 \lt M_{50} \lt 25)=1-P(|M_{50}-22| \geq\, 3) \geq\, 1-\dfrac{13}{90}=\dfrac{77}{90}.\]

Or \(\dfrac{77}{90}\approx 0{,}856\) et \(\dfrac{77}{90} \gt 0{,}85\) (car \(0{,}85\times 90=76{,}5 \lt 77\)). On conclut que \(P(19 \lt M_{50} \lt 25) \gt 0{,}85\).

2. On reprend le raisonnement pour \(n\) quelconque : \(E(M_n)=22\) et \(V(M_n)=\dfrac{65}{n}\). L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev (ou inégalité de concentration) donne :

\[P(|M_n-22| \geq\, 3) \leq\, \dfrac{65}{9n}.\]

Il suffit donc que \(\dfrac{65}{9n} \lt 0{,}01\), c’est-à-dire \(n \gt \dfrac{6\,500}{9}\approx 722{,}2\). Pour \(n=723\) par exemple, on a \(P(|M_{723}-22| \geq\, 3) \leq\, \dfrac{65}{6\,507} \lt 0{,}01\).

Il existe donc des entiers \(n\) qui conviennent (tous ceux supérieurs ou égaux à 723) : l’affirmation est fausse.

Exercice 2 :

Partie A

1. a. \(u_1=\sqrt{u_0}=\) \(\sqrt{2}\) et \(u_2=\sqrt{u_1}=\sqrt{\sqrt{2}}=\) \(2^{\frac{1}{4}}\) (la racine quatrième de 2).

b. La calculatrice donne \(u_1\approx 1{,}414\), \(u_2\approx 1{,}189\), \(u_3\approx 1{,}091\), \(u_4\approx 1{,}044\), \(u_5\approx 1{,}022\)… On peut conjecturer que la suite \((u_n)\) est décroissante et converge vers 1.

2. a. Pour tout entier naturel \(n\), on note \(\mathcal{P}(n)\) la propriété « \(1 \leq\, u_{n+1} \leq\, u_n\) ».

Initialisation. \(u_0=2\) et \(u_1=\sqrt{2}\approx 1{,}414\), donc \(1 \leq\, u_1 \leq\, u_0\) : \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.

Hérédité. Soit \(n\) un entier naturel tel que \(\mathcal{P}(n)\) soit vraie : \(1 \leq\, u_{n+1} \leq\, u_n\). Tous ces nombres sont positifs et la fonction racine carrée est croissante sur \([0\,;\,+\infty[\), donc elle conserve l’ordre :

\[\sqrt{1} \leq\, \sqrt{u_{n+1}} \leq\, \sqrt{u_n}, \quad \text{c^{\prime}est-à-dire} \quad 1 \leq\, u_{n+2} \leq\, u_{n+1}.\]

\(\mathcal{P}(n+1)\) est donc vraie.

Conclusion. La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire ; par récurrence, pour tout entier naturel \(n\), \(1 \leq\, u_{n+1} \leq\, u_n\).

b. D’après la question précédente, \(u_{n+1} \leq\, u_n\) pour tout \(n\) : la suite est décroissante. De plus \(u_n \geq\, 1\) pour tout \(n\) (pour \(n \geq\, 1\) par l’inégalité de gauche, et \(u_0=2\)) : la suite est minorée par 1. Une suite décroissante et minorée converge, donc \((u_n)\) est convergente, vers une limite \(\ell\) qui vérifie \(\ell \geq\, 1\) (passage à la limite dans \(u_n \geq\, 1\)).

c. Pour \(x \geq\, 0\), les deux membres de \(\sqrt{x}=x\) sont positifs, donc l’équation équivaut à \(x=x^2\) (on élève au carré), soit \(x^2-x=0\), soit \(x(x-1)=0\). Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs l’est : \(x=0\) ou \(x=1\). Les deux valeurs sont bien dans \([0\,;\,+\infty[\). L’ensemble des solutions est \(\{0\,;\,1\}\).

d. La suite converge vers \(\ell\) et vérifie \(u_{n+1}=h(u_n)\) avec \(h(x)=\sqrt{x}\), fonction continue sur \([0\,;\,+\infty[\). En passant à la limite dans cette relation, on obtient \(\ell=\sqrt{\ell}\) : \(\ell\) est une solution de l’équation de la question c., donc \(\ell=0\) ou \(\ell=1\). Comme \(\ell \geq\, 1\), on a \(\ell=1\) : \(\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=1\), ce qui confirme la conjecture.

Partie B

1. a. Les termes \(u_n\) sont strictement positifs, donc \(v_n\) est bien défini. Pour tout entier naturel \(n\), en utilisant \(\ln(\sqrt{a})=\dfrac{1}{2}\ln(a)\) pour \(a \gt 0\) :

\[v_{n+1}=\ln(u_{n+1})=\ln(\sqrt{u_n})=\dfrac{1}{2}\ln(u_n)=\dfrac{1}{2}v_n.\]

Chaque terme s’obtient en multipliant le précédent par \(\dfrac{1}{2}\) : \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac{1}{2}\), de premier terme \(v_0=\ln(u_0)=\ln(2)\).

b. Pour une suite géométrique, \(v_n=v_0\times q^n\), donc pour tout entier naturel \(n\) : \(v_n=\ln(2)\times (\dfrac{1}{2})^n=\dfrac{\ln(2)}{2^n}\).

c. Comme \(v_n=\ln(u_n)\), on a \(\ln(u_n)=\dfrac{\ln(2)}{2^n}\) ; en multipliant les deux membres par \(2^n\), on obtient \(\ln(2)=2^n\ln(u_n)\) pour tout entier naturel \(n\).

2. a. On sait que \(u_n \geq\, 1\) pour tout \(n\), donc \(u_k\) est dans \(]0{,}99\,;\,1{,}01[\) dès que \(u_k \lt 1{,}01\). La calculatrice donne \(u_6\approx 1{,}010\,89\), encore trop grand, puis \(u_7\approx 1{,}005\,43\). Comme la suite est décroissante, le plus petit entier convenable est \(k=7\), avec \(u_7\approx 1{,}005\,43\) à \(10^{-5}\) près.

b. Puisque \(u_7\) est dans \(]0{,}99\,;\,1{,}01[\), on approche \(\ln(u_7)\) par \(u_7-1\) (c’est l’ordonnée du point de la tangente T d’abscisse \(u_7\), très proche de la courbe près de 1) : \(\ln(u_7)\approx 0{,}005\,43\).

c. D’après la question 1. c. avec \(n=7\), \(\ln(2)=2^7\ln(u_7)=128\ln(u_7)\). Avec l’approximation précédente :

\[\ln(2)\approx 128\times 0{,}005\,43\approx 0{,}695.\]

On obtient \(\ln(2)\approx 0{,}695\) (la vraie valeur est \(0{,}693\,1\ldots\), l’approximation est donc correcte à 2 millièmes près).

3. La boucle prend des racines carrées successives de \(a\) tant que le résultat est supérieur ou égal à 1,01 ; en sortie, a contient \(a^{\frac{1}{2^n}}\), qui est dans \([1\,;\,1{,}01[\), et n compte le nombre de racines prises. Exactement comme en partie B, \(\ln(a)=2^n\ln(a^{\frac{1}{2^n}})\approx 2^n(a^{\frac{1}{2^n}}-1)\). Il faut donc écrire L = 2**n*(a-1) :

from math import*
def Briggs(a):
  n = 0
  while a >= 1.01:
    a = sqrt(a)
    n = n+1
  L = 2**n*(a-1)
  return L

Par exemple, Briggs(2) renvoie environ 0,695, la valeur trouvée à la question 2. c.

Exercice 3 :

Partie A

On travaille dans le repère orthonormé \((\mathrm{A}\,;\,\vec{\mathrm{AB}},\,\vec{\mathrm{AD}},\,\vec{\mathrm{AE}})\), légitime car le cube est d’arête 1. On y lit : \(\mathrm{B}(1\,;\,0\,;\,0)\), \(\mathrm{C}(1\,;\,1\,;\,0)\), \(\mathrm{D}(0\,;\,1\,;\,0)\), \(\mathrm{G}(1\,;\,1\,;\,1)\), \(\mathrm{H}(0\,;\,1\,;\,1)\), puis les milieux \(\mathrm{I}(\dfrac{1}{2}\,;\,0\,;\,0)\), \(\mathrm{J}(1\,;\,0\,;\,\dfrac{1}{2})\), \(\mathrm{L}(\dfrac{1}{2}\,;\,1\,;\,0)\), \(\mathrm{M}(0\,;\,1\,;\,\dfrac{1}{2})\).

Affirmation 1 : vraie. D’une part \(\vec{\mathrm{JH}}\) a pour coordonnées \((0-1\,;\,1-0\,;\,1-\dfrac{1}{2})=(-1\,;\,1\,;\,\dfrac{1}{2})\).

D’autre part \(2\vec{\mathrm{BI}}=2(-\dfrac{1}{2}\,;\,0\,;\,0)=(-1\,;\,0\,;\,0)\), \(\vec{\mathrm{DM}}=(0\,;\,0\,;\,\dfrac{1}{2})\) et \(-\vec{\mathrm{CB}}=\vec{\mathrm{BC}}=(0\,;\,1\,;\,0)\). Leur somme vaut \((-1\,;\,1\,;\,\dfrac{1}{2})\) : les deux vecteurs sont égaux.

Autre lecture sans coordonnées : \(2\vec{\mathrm{BI}}=\vec{\mathrm{BA}}\), \(\vec{\mathrm{DM}}=\vec{\mathrm{JF}}\), \(-\vec{\mathrm{CB}}=\vec{\mathrm{BC}}=\vec{\mathrm{EH}}\) et \(\vec{\mathrm{BA}}=\vec{\mathrm{FE}}\) ; la somme devient \(\vec{\mathrm{JF}}+\vec{\mathrm{FE}}+\vec{\mathrm{EH}}=\vec{\mathrm{JH}}\) par la relation de Chasles.

Affirmation 2 : fausse. \(\vec{\mathrm{AB}}(1\,;\,0\,;\,0)\), \(\vec{\mathrm{AH}}(0\,;\,1\,;\,1)\) et \(\vec{\mathrm{AG}}(1\,;\,1\,;\,1)\), donc \(\vec{\mathrm{AG}}=\vec{\mathrm{AB}}+\vec{\mathrm{AH}}\) (géométriquement, \(\vec{\mathrm{AH}}=\vec{\mathrm{BG}}\) car ABGH est un rectangle).

Le troisième vecteur est une combinaison linéaire des deux autres : les trois vecteurs sont coplanaires (ils sont tous dans le plan (ABG)), ils ne forment donc pas une base de l’espace.

Affirmation 3 : vraie. \(\vec{\mathrm{IB}}(\dfrac{1}{2}\,;\,0\,;\,0)\) et \(\vec{\mathrm{LM}}(-\dfrac{1}{2}\,;\,0\,;\,\dfrac{1}{2})\). Dans un repère orthonormé :

\[\vec{\mathrm{IB}} \cdot \vec{\mathrm{LM}}=\dfrac{1}{2}\times (-\dfrac{1}{2})+0\times 0+0\times \dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{4}.\]

Partie B

Affirmation 4 : fausse. Un vecteur directeur de (AB) est \(\vec{\mathrm{AB}}(3\,;\,-3\,;\,8)\) et, d’après l’équation de \(\mathcal{P}\), un vecteur normal à \(\mathcal{P}\) est \(\vec{n}(2\,;\,-1\,;\,3)\). La droite est parallèle au plan si et seulement si son vecteur directeur est orthogonal à \(\vec{n}\). Or :

\[\vec{\mathrm{AB}} \cdot \vec{n}=3\times 2+(-3)\times (-1)+8\times 3=6+3+24=33 \neq 0.\]

La droite (AB) n’est donc pas parallèle à \(\mathcal{P}\) : elle le coupe en un point.

Affirmation 5 : vraie. Le plan d’équation \(-2x+y-3z+34=0\) admet pour vecteur normal \(\vec{n^{\prime}}(-2\,;\,1\,;\,-3)=-\vec{n}\), colinéaire à \(\vec{n}\) : il est parallèle à \(\mathcal{P}\). Il contient B car \(-2\times 5+(-3)-3\times 7+34=-10-3-21+34=0\).

Comme il n’existe qu’un seul plan parallèle à \(\mathcal{P}\) passant par B, c’est bien \(\mathcal{P}^{\prime}\).

Affirmation 6 : vraie. La distance de A au plan est la longueur AH, où H est le projeté orthogonal de A sur \(\mathcal{P}\). La droite passant par A et dirigée par \(\vec{n}\) a pour représentation paramétrique \(x=2+2t\), \(y=-t\), \(z=-1+3t\) (\(t \in \mathbb{R}\)). On cherche son point d’intersection avec \(\mathcal{P}\) :

\[2(2+2t)-(-t)+3(-1+3t)+6=0 \iff 7+14t=0 \iff t=-\dfrac{1}{2}.\]

Donc \(\mathrm{H}(1\,;\,\dfrac{1}{2}\,;\,-\dfrac{5}{2})\) et \(\vec{\mathrm{AH}}=-\dfrac{1}{2}\vec{n}\), d’où :

\[\mathrm{AH}=\dfrac{1}{2}\|\vec{n}\|=\dfrac{1}{2}\sqrt{2^2+(-1)^2+3^2}=\dfrac{\sqrt{14}}{2}.\]

La distance de A à \(\mathcal{P}\) est bien \(\dfrac{\sqrt{14}}{2}\).

Affirmation 7 : fausse. Une représentation paramétrique de (AB), passant par A et dirigée par \(\vec{\mathrm{AB}}\), est \(x=2+3t\), \(y=-3t\), \(z=-1+8t\) (\(t \in \mathbb{R}\)). Les vecteurs directeurs \((3\,;\,-3\,;\,8)\) et \((2\,;\,0\,;\,-5)\) ne sont pas colinéaires (deuxièmes coordonnées \(-3\) et 0), donc les droites ne sont pas parallèles. Cherchons si elles sont sécantes :

\[\{\begin{array}{l} 2+3t=-12+2k \\ -3t=6 \\ -1+8t=3-5k \end{array}.\]

La deuxième équation donne \(t=-2\). La première devient \(-4=-12+2k\), donc \(k=4\). On vérifie la troisième : \(-1+8\times (-2)=-17\) et \(3-5\times 4=-17\). Le système a une solution : les droites (AB) et \((d)\) se coupent au point de coordonnées \((-4\,;\,6\,;\,-17)\).

Deux droites sécantes sont contenues dans un même plan : (AB) et \((d)\) sont coplanaires, l’affirmation est fausse.

Exercice 4 :

Partie A

1. a. \(f\) est le produit de \(u(x)=\text{e}^x\) et \(v(x)=\sin(x)\), dérivables sur \([0\,;\,\pi]\) avec \(u^{\prime}(x)=\text{e}^x\) et \(v^{\prime}(x)=\cos(x)\). D’après \((uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}\) :

\[f^{\prime}(x)=\text{e}^x\sin(x)+\text{e}^x\cos(x)=\text{e}^x[\sin(x)+\cos(x)].\]

b. Sur \([0\,;\,\dfrac{\pi}{2}]\), on a \(\sin(x) \geq\, 0\) et \(\cos(x) \geq\, 0\), et ces deux nombres ne sont jamais nuls en même temps (\(\sin^2(x)+\cos^2(x)=1\)). Donc \(\sin(x)+\cos(x) \gt 0\) ; comme \(\text{e}^x \gt 0\), on obtient \(f^{\prime}(x) \gt 0\) sur cet intervalle. \(f\) est strictement croissante sur \([0\,;\,\dfrac{\pi}{2}]\).

2. a. La tangente au point d’abscisse 0 a pour équation \(y=f^{\prime}(0)(x-0)+f(0)\). Or \(f(0)=\text{e}^0\sin(0)=0\) et \(f^{\prime}(0)=\text{e}^0(0+1)=1\). Donc \(T : y=x\).

b. On dérive \(f^{\prime}(x)=\text{e}^x[\sin(x)+\cos(x)]\) comme un produit :

\[f^{\prime\prime}(x)=\text{e}^x[\sin(x)+\cos(x)]+\text{e}^x[\cos(x)-\sin(x)]=2\text{e}^x\cos(x).\]

Sur \([0\,;\,\dfrac{\pi}{2}]\), \(\cos(x) \geq\, 0\) et \(\text{e}^x \gt 0\), donc \(f^{\prime\prime}(x) \geq\, 0\) : \(f\) est convexe sur \([0\,;\,\dfrac{\pi}{2}]\).

c. Une fonction convexe sur un intervalle a sa courbe au-dessus de chacune de ses tangentes sur cet intervalle. La tangente \(T\) au point d’abscisse 0 (qui appartient à l’intervalle) a pour équation \(y=x\), donc pour tout \(x\) de \([0\,;\,\dfrac{\pi}{2}]\), \(\text{e}^x\sin(x) \geq\, x\).

3. Le signe de \(f^{\prime\prime}(x)=2\text{e}^x\cos(x)\) est celui de \(\cos(x)\) : positif sur \([0\,;\,\dfrac{\pi}{2}]\), négatif sur \([\dfrac{\pi}{2}\,;\,\pi]\), nul en \(\dfrac{\pi}{2}\). La dérivée seconde s’annule en changeant de signe en \(\dfrac{\pi}{2}\) : \(f\) passe de convexe à concave. Le point d’abscisse \(\dfrac{\pi}{2}\), c’est-à-dire \((\dfrac{\pi}{2}\,;\,\text{e}^{\frac{\pi}{2}})\), est un point d’inflexion de la courbe.

Partie B

1. Première intégration par parties : on dérive \(\sin\) et on intègre l’exponentielle. On pose \(u(x)=\sin(x)\), \(v^{\prime}(x)=\text{e}^x\), d’où \(u^{\prime}(x)=\cos(x)\), \(v(x)=\text{e}^x\) (fonctions dérivables à dérivées continues) :

\[I=[\text{e}^x\sin(x)]_0^{\frac{\pi}{2}}-\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \text{e}^x\cos(x)\,\text{d}x=(\text{e}^{\frac{\pi}{2}}\times 1-1\times 0)-J=\text{e}^{\frac{\pi}{2}}-J.\]

Seconde intégration par parties : on dérive cette fois l’exponentielle. On pose \(u(x)=\text{e}^x\), \(v^{\prime}(x)=\sin(x)\), d’où \(u^{\prime}(x)=\text{e}^x\), \(v(x)=-\cos(x)\) :

\[I=[-\text{e}^x\cos(x)]_0^{\frac{\pi}{2}}+\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \text{e}^x\cos(x)\,\text{d}x=(-\text{e}^{\frac{\pi}{2}}\times 0+\text{e}^0\times 1)+J=1+J.\]

On a donc bien \(I=1+J\) et \(I=\text{e}^{\frac{\pi}{2}}-J\).

2. En additionnant membre à membre les deux relations, \(J\) disparaît : \(2I=1+\text{e}^{\frac{\pi}{2}}\), donc \(I=\dfrac{1+\text{e}^{\frac{\pi}{2}}}{2}\) (et au passage \(J=I-1=\dfrac{\text{e}^{\frac{\pi}{2}}-1}{2}\)).

3. D’après la question A. 2. c., \(f(x) \geq\, g(x)\) sur \([0\,;\,\dfrac{\pi}{2}]\) : la courbe \(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de \(\mathcal{C}_g\). L’aire du domaine hachuré, en unités d’aire, est donc l’intégrale de la différence :

\[\mathcal{A}=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} (f(x)-g(x))\text{d}x=I-\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} x\,\text{d}x\]

par linéarité. Or \(\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} x\,\text{d}x=[\dfrac{x^2}{2}]_0^{\frac{\pi}{2}}=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{\pi^2}{4}=\dfrac{\pi^2}{8}\). Finalement :

\[\mathcal{A}=\dfrac{1+\text{e}^{\frac{\pi}{2}}}{2}-\dfrac{\pi^2}{8}\ \text{u.a.}\approx 1{,}67\ \text{u.a.}\]

L’aire du domaine hachuré vaut \(\dfrac{1+\text{e}^{\frac{\pi}{2}}}{2}-\dfrac{\pi^2}{8}\) unités d’aire, soit environ 1,67 u.a.

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