Bac maths 2025 Asie J2 : sujet et corrigé

Voici le sujet 2 du bac de spécialité mathématiques 2025 en Asie, donné le 12 juin 2025, avec l’énoncé complet et un corrigé détaillé de chaque question. Le premier exercice part de l’épidémie de chikungunya à La Réunion : arbre pondéré, formule des probabilités totales, fiabilité d’un test de dépistage selon la proportion de malades, puis taille minimale d’un échantillon avec une loi binomiale. Le deuxième étudie une suite arithmético-géométrique, puis une seconde suite qui en dépend, avec un programme Python à corriger, une récurrence et un passage à la limite par encadrement. Le troisième est un vrai-faux de géométrie dans l’espace (droite orthogonale à un plan, angle par produit scalaire, intersection de deux plans, projeté orthogonal). Le dernier modélise la température d’une réaction chimique par une fonction exponentielle, jusqu’au calcul d’une température moyenne par intégration par parties.

Ce sujet fait partie des annales que nous rassemblons pour préparer le bac de maths 2027 : tous les sujets de spécialité y sont classés par session.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2025
Mathématiques — Sujet 2
Asie — 12 juin 2025
Durée de l’épreuve : 4 heures

Exercice 1 (5 points)

Toutes les probabilités, sauf indication contraire, seront arrondies à \(10^{-3}\) dans cet exercice.

« Le virus du chikungunya, transmis à l’homme par la piqûre du moustique tigre provoque chez les patients des douleurs articulaires aiguës qui peuvent être persistantes. En 2005, une importante épidémie de chikungunya a touché les îles de l’Océan Indien et notamment l’île de La Réunion, avec plusieurs centaines de milliers de cas déclarés. En 2007, la maladie a fait son apparition en Europe, puis fin 2013, aux Antilles et a atteint le continent américain en 2014 ».

(https://www.pasteur.fr/fr/centre-medical/fiches-maladies/chikungunya)

Un test a été mis au point pour le dépistage de ce virus.

Le laboratoire fabriquant ce test fournit les caractéristiques suivantes :

la probabilité qu’un individu atteint par le virus ait un test positif est de \(0{,}999\) ;
la probabilité qu’un individu non atteint par le virus ait un test positif est de \(0{,}005\).

On procède à un test de dépistage systématique dans une population cible.

Un individu est choisi au hasard dans cette population. On appelle :

\(M\) l’évènement : « l’individu choisi est atteint du chikungunya ».
\(T\) l’évènement : « le test de l’individu choisi est positif ».

On considère que le test est fiable lorsque la probabilité qu’un individu ayant un test positif soit atteint par le virus est supérieure à \(0{,}95\).

Partie A : Étude d’un exemple

1. Donner les probabilités \(P_{M}(T)\) et \(P_{\overline{M}}(T)\).

« En mars 2005, l’épidémie s’est propagée rapidement dans l’ile de La Réunion, avec une flambée importante entre fin avril et début juin puis une persistance de la transmission virale durant l’hiver austral. Au total, 270 000 personnes ont été infectées pour une population totale de 750 000 individus ».

(https://www.pasteur.fr/fr/centre-medical/fiches-maladies/chikungunya)

Fin 2005, le laboratoire a effectué un test de dépistage massif de la population de l’île de La Réunion.

Dans cette partie, la population cible est donc la population de l’ile de La Réunion.

2. Donner la valeur exacte de \(P(M)\).

3. Recopier et compléter l’arbre pondéré donné ci-dessous.

4. Calculer la probabilité qu’un individu soit atteint par le virus et ait un test positif.

5. Calculer la probabilité qu’un individu ait un test positif.

6. Calculer la probabilité qu’un individu ayant un test positif soit atteint par le virus.

7. Peut-on estimer que ce test est fiable ? Argumenter.

Partie B : Dépistage sur une population cible

Dans cette partie, on note \(p\) la proportion de personnes atteintes par le virus du chikungunya dans une population cible.

On cherche ici à tester la fiabilité du test de ce laboratoire en fonction de \(p\).

1. Recopier, en l’adaptant, l’arbre pondéré de la question A3 en tenant compte des nouvelles données.

2. Exprimer la probabilité \(P(T)\) en fonction de \(p\).

3. Montrer que \(P_{T}(M) = \dfrac{999 p}{994 p+5}\).

4. Pour quelles valeurs de \(p\) peut-on considérer que ce test est fiable ?

Partie C : Étude sur un échantillon

Pendant l’épidémie, on admet que la probabilité d’être atteint du chikungunya sur l’ile de La Réunion est de 0,36.

On considère un échantillon de \(n\) individus choisis au hasard, en assimilant ce choix à un tirage au sort avec remise. On désigne par \(X\) la variable aléatoire dénombrant le nombre d’individus infectés dans cet échantillon parmi les \(n\) tirés au sort.

On admet que \(X\) suit une loi binomiale de paramètres \(n\) et \(p=0{,}36\).

Déterminer à partir de combien d’individus \(n\) la probabilité de l’évènement « au moins un des \(n\) habitants de cet échantillon est atteint par le virus » est supérieure à \(0{,}99\). Expliquer la démarche.

Exercice 2 (5 points)

Partie A

Soit \((u_{n})\) la suite définie par \(u_{0}=30\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=\dfrac{1}{2} u_{n}+10\).

Soit \((v_{n})\) la suite définie pour tout entier naturel \(n\) par \(v_{n}=u_{n}-20\).

1. Calculer les valeurs exactes de \(u_{1}\) et \(u_{2}\).

2. Démontrer que la suite \((v_{n})\) est géométrique de raison \(\dfrac12\).

3. Exprimer \(v_{n}\) en fonction de \(n\) pour tout \(n\) entier naturel.

4. En déduire que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n}=20+10(\dfrac{1}{2})^{n}\).

5. Déterminer la limite de la suite \((u_{n})\). Justifier la réponse.

Partie B

Soit \((w_{n})\) la suite définie pour tout entier naturel \(n\) par :

\[\begin{cases} w_{0}=45 \\ w_{n+1}=\dfrac{1}{2} w_{n}+\dfrac{1}{2} u_{n}+7 \end{cases}\]

1. Montrer que \(w_{1} = 44{,}5\).

On souhaite écrire une fonction suite, en langage Python, qui renvoie la valeur du terme \(w_{n}\) pour une valeur de \(n\) donnée. On donne ci-dessous une proposition pour cette fonction suite.

1  def suite(n):
2      U=30
3      W=45
4      for i in range (1,n+1):
5          U=U/2+10
6          W=W/2+U/2+7
7      return W

2. L’exécution de suite(1) ne renvoie pas le terme \(w_{1}\). Comment modifier la fonction suite afin que l’exécution de suite(n) renvoie la valeur du terme \(w_{n}\) ?

3. a. Montrer, par récurrence sur \(n\), que pour tout entier naturel \(n\) on a :

\[w_{n}=10 n(\dfrac{1}{2})^{n}+11(\dfrac{1}{2})^{n}+ 34\]

b. On admet que pour tout entier naturel \(n \geq\, 4\), on a : \(0 \leq\, 10 n(\dfrac{1}{2})^{n} \leq\, \dfrac{10}{n}\).

Que peut-on en déduire quant à la convergence de la suite \((w_{n})\) ?

Exercice 3 (5 points)

L’espace est rapporté à un repère orthonormé \((\text{O}~;~\vec{\imath},~\vec{\jmath},~\vec{k})\).

On considère :

les points \(\text{C}(3~;~0~;~0)\), \(\text{D}(0~;~2~;~0)\), \(\text{H}(-6~;~2~;~2)\) et \(\text{J}(\dfrac{-54}{13}~;~\dfrac{62}{13}~;~0)\) ;
le plan \(P\) d’équation cartésienne \(2 x+3 y+ 6 z-6 = 0\) ;
le plan \(P^{\prime}\) d’équation cartésienne \(x – 2 y + 3 z – 3 = 0\) ;
la droite \((d)\) dont une représentation paramétrique est : \(\begin{cases}x=- 8+\frac{1}{3} t \\ y = -1+\frac{1}{2} t \\ z=-4+t\end{cases}, \enskip t \in \mathbb{R}\)

Pour chacune des affirmations suivantes, préciser si elle est vraie ou fausse, puis justifier la réponse donnée. Une réponse non argumentée ne sera pas prise en compte.

Affirmation 1 : La droite \((d)\) est orthogonale au plan \(P\) et coupe ce plan en H.

Affirmation 2 : La mesure en degré de l’angle \(\widehat{\mathrm{DCH}}\), arrondie à \(10^{-1}\), est \(17{,}3^{\circ}\).

Affirmation 3 : Les plans \(P\) et \(P^{\prime}\) sont sécants et leur intersection est la droite \(\Delta\) dont une représentation paramétrique est : \(\begin{cases}x=3-3t \\ y=0 \\ z=t\end{cases}, \enskip t \in \mathbb{R}\).

Affirmation 4 : Le point J est le projeté orthogonal du point H sur la droite (CD).

Exercice 4 (5 points)

Dans un laboratoire, on étudie une réaction chimique dans un réacteur fermé, sous certaines conditions. Le traitement numérique des données expérimentales a permis de modéliser l’évolution de la température de cette réaction chimique en fonction du temps.

L’objectif de cet exercice est d’étudier cette modélisation.

La température est exprimée en degré Celsius et le temps est exprimé en minute.

Dans tout l’exercice, on se place sur l’intervalle de temps \([0~;~10]\).

Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.

Partie A

Dans un repère orthogonal du plan, on donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction température en fonction du temps sur l’intervalle \([0~;~10]\).

1. Déterminer, par lecture graphique, au bout de combien de temps la température redescend à sa valeur initiale à l’instant \(t = 0\).

On appelle \(f\) la fonction température représentée par la courbe ci-dessus.

On précise que la fonction \(f\) est définie et dérivable sur l’intervalle \([0~;~10]\).

On admet que la fonction \(f\) peut s’écrire sous la forme \(f(t) = (at + b)\text{e}^{-0{,}5 t}\) où \(a\) et \(b\) sont deux constantes réelles.

2. On admet que la valeur exacte de \(f(0)\) est 40. En déduire la valeur de \(b\).

3. On admet que \(f\) vérifie l’équation différentielle \((\mathrm{E}) : y^{\prime}+ 0{,}5 y= 60 \text{e}^{-0{,}5 t}\). Déterminer la valeur de \(a\).

Partie B : Étude de la fonction \(f\)

On admet que la fonction \(f\) est définie pour tout réel \(t\) de l’intervalle \([0~;~10]\) par

\[f(t) = (60 t+ 40)\text{e}^{-0{,}5 t}\]

1. Montrer que pour tout réel \(t\) de l’intervalle \([0~;~10]\), on a : \(f^{\prime}(t)=(40-30 t) \text{e}^{-0{,}5 t}\).

2. a. Étudier le sens de variation de la fonction \(f\) sur l’intervalle \([0~;~10]\).

Dresser le tableau de variations de la fonction \(f\) en y faisant figurer les images des valeurs présentes dans le tableau.

b. Montrer que l’équation \(f(t) = 40\) admet une unique solution \(\alpha\) strictement positive sur l’intervalle \(]0~;~10]\).

c. Donner une valeur approchée de \(\alpha\) au dixième près et en donner une interprétation dans le contexte de l’exercice.

3. On définit la température moyenne, exprimée en degré Celsius, de cette réaction chimique entre deux temps \(t_{1}\) et \(t_{2}\), exprimés en minute, par

\[\dfrac{1}{t_{2}-t_{1}} \int_{t_{1}}^{t_{2}} f(t)\,\mathrm{d} t\]

a. À l’aide d’une intégration par parties, montrer que

\[\int_{0}^{4} f(t) \, \mathrm{d}t=320-\dfrac{800}{\text{e}^{2}}\]

b. En déduire une valeur approchée, au degré Celsius près, de la température moyenne de cette réaction chimique au cours des 4 premières minutes.

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

Partie A

1. Les deux caractéristiques fournies par le laboratoire sont des probabilités conditionnelles : la première concerne les individus malades, la seconde les individus sains. Donc \(P_{M}(T)=0{,}999\) et \(P_{\overline{M}}(T)=0{,}005\).

2. Sur l’île, 270 000 personnes sur 750 000 ont été infectées. Comme l’individu est choisi au hasard, on est en situation d’équiprobabilité : \(P(M)=\dfrac{270\,000}{750\,000}=\dfrac{27}{75}=\dfrac{9}{25}\), soit \(P(M)=0{,}36\).

3. Sur chaque nœud, la somme des probabilités des branches qui en partent vaut 1. On en déduit \(P(\overline{M})=1-0{,}36=0{,}64\), \(P_M(\overline{T})=1-0{,}999=0{,}001\) et \(P_{\overline{M}}(\overline{T})=1-0{,}005=0{,}995\). L’arbre complété est donc :

branche vers \(M\) : \(0{,}36\), puis de \(M\) vers \(T\) : \(0{,}999\) et de \(M\) vers \(\overline{T}\) : \(0{,}001\) ;
branche vers \(\overline{M}\) : \(0{,}64\), puis de \(\overline{M}\) vers \(T\) : \(0{,}005\) et de \(\overline{M}\) vers \(\overline{T}\) : \(0{,}995\).

4. On cherche \(P(M\cap T)\). On multiplie les probabilités le long du chemin \(M\) puis \(T\) :

\[P(M\cap T)=P(M)\times P_M(T)=0{,}36\times 0{,}999=0{,}359\,64\]

La probabilité qu’un individu soit atteint et ait un test positif est \(P(M\cap T)\approx 0{,}360\).

5. Les évènements \(M\) et \(\overline{M}\) forment une partition de l’univers. D’après la formule des probabilités totales :

\[P(T)=P(M\cap T)+P(\overline{M}\cap T)=0{,}359\,64+0{,}64\times 0{,}005=0{,}359\,64+0{,}003\,2=0{,}362\,84\]

Donc \(P(T)\approx 0{,}363\).

6. On cherche la probabilité conditionnelle \(P_T(M)\) :

\[P_T(M)=\dfrac{P(M\cap T)}{P(T)}=\dfrac{0{,}359\,64}{0{,}362\,84}\approx 0{,}991\]

La probabilité qu’un individu testé positif soit réellement atteint est environ 0,991.

7. Le test est fiable si \(P_T(M)\gt 0{,}95\). Ici \(P_T(M)\approx 0{,}991\gt 0{,}95\) : on peut estimer que ce test est fiable sur la population de La Réunion en 2005 (plus de 99 % des tests positifs correspondent à des personnes malades).

Partie B

1. Seule la probabilité d’être atteint change : elle vaut maintenant \(p\), donc celle de ne pas l’être vaut \(1-p\). Les probabilités conditionnelles liées au test sont inchangées :

branche vers \(M\) : \(p\), puis \(T\) : \(0{,}999\) et \(\overline{T}\) : \(0{,}001\) ;
branche vers \(\overline{M}\) : \(1-p\), puis \(T\) : \(0{,}005\) et \(\overline{T}\) : \(0{,}995\).

2. Toujours avec la formule des probabilités totales (partition \(M\), \(\overline{M}\)) :

\[P(T)=p\times 0{,}999+(1-p)\times 0{,}005=0{,}999p+0{,}005-0{,}005p\]

soit \(P(T)=0{,}994p+0{,}005\).

3. Par définition d’une probabilité conditionnelle, \(P_T(M)=\dfrac{P(M\cap T)}{P(T)}=\dfrac{0{,}999p}{0{,}994p+0{,}005}\). En multipliant numérateur et dénominateur par 1000 :

\[P_T(M)=\dfrac{999p}{994p+5}\]

ce qui est bien l’expression demandée.

4. On résout \(P_T(M)\gt 0{,}95\) pour \(p\in\,]0~;~1]\). Le dénominateur \(994p+5\) est strictement positif, on peut donc multiplier les deux membres par lui sans changer le sens de l’inégalité :

\[\dfrac{999p}{994p+5}\gt 0{,}95 \iff 999p\gt 944{,}3p+4{,}75 \iff 54{,}7p\gt 4{,}75 \iff p\gt \dfrac{4{,}75}{54{,}7}=\dfrac{95}{1094}\]

Or \(\dfrac{95}{1094}\approx 0{,}0868\). Le test est donc fiable lorsque la proportion de malades dans la population cible dépasse environ 8,7 %, c’est-à-dire pour \(p\in]\dfrac{95}{1094}~;~1]\). Pour une maladie rare, un test positif ne suffit donc pas à conclure.

Partie C

L’évènement « au moins un des \(n\) habitants est atteint » s’écrit \(X\geq\, 1\). Son contraire est \(X=0\) (aucun habitant atteint), et comme \(X\) suit la loi binomiale \(\mathcal{B}(n~;~0{,}36)\) :

\[P(X\geq\, 1)=1-P(X=0)=1-(1-0{,}36)^n=1-0{,}64^n\]

On cherche donc le plus petit entier \(n\) tel que \(1-0{,}64^n\gt 0{,}99\), c’est-à-dire \(0{,}64^n\lt 0{,}01\). La fonction \(\ln\) étant strictement croissante sur \(]0~;~+\infty[\) :

\[0{,}64^n\lt 0{,}01 \iff n\ln(0{,}64)\lt \ln(0{,}01) \iff n\gt \dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}64)}\]

car \(\ln(0{,}64)\lt 0\) (on change le sens de l’inégalité en divisant). Or \(\dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}64)}\approx 10{,}32\). Vérification : \(1-0{,}64^{10}\approx 0{,}988\) et \(1-0{,}64^{11}\approx 0{,}993\). Il faut donc au moins 11 individus dans l’échantillon.

Exercice 2 :

Partie A

1. On applique la relation de récurrence : \(u_1=\dfrac{1}{2}\times 30+10=25\) puis \(u_2=\dfrac{1}{2}\times 25+10=12{,}5+10\). Donc \(u_1=25\) et \(u_2=22{,}5\).

2. Pour tout entier naturel \(n\), on exprime \(v_{n+1}\) en fonction de \(v_n\) :

\[v_{n+1}=u_{n+1}-20=\dfrac{1}{2}u_n+10-20=\dfrac{1}{2}u_n-10=\dfrac{1}{2}(u_n-20)=\dfrac{1}{2}v_n\]

La suite \((v_n)\) est donc géométrique de raison \(\dfrac12\), de premier terme \(v_0=u_0-20=10\).

3. Le terme général d’une suite géométrique est \(v_n=v_0\times q^n\), d’où \(v_n=10(\dfrac{1}{2})^n\) pour tout entier naturel \(n\).

4. Comme \(v_n=u_n-20\), on a \(u_n=v_n+20\), donc \(u_n=20+10(\dfrac{1}{2})^n\) pour tout entier naturel \(n\).

5. Puisque \(-1\lt \dfrac{1}{2}\lt 1\), on a \(\lim\limits_{n\to+\infty}(\dfrac{1}{2})^n=0\). Par produit par 10 puis somme avec 20, \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=20\) : la suite \((u_n)\) converge vers 20.

Partie B

1. On prend \(n=0\) dans la définition : \(w_1=\dfrac{1}{2}w_0+\dfrac{1}{2}u_0+7=\dfrac{45}{2}+\dfrac{30}{2}+7=22{,}5+15+7\), donc \(w_1=44{,}5\).

2. Déroulons suite(1) : la boucle ne tourne qu’une fois. La ligne 5 remplace d’abord U par \(u_1=25\), puis la ligne 6 calcule W avec cette nouvelle valeur : \(\dfrac{45}{2}+\dfrac{25}{2}+7=42\). Or \(w_1\) doit être calculé avec \(u_0=30\), pas avec \(u_1\). Le problème vient de l’ordre des instructions : il faut calculer W avant de mettre U à jour, c’est-à-dire échanger les lignes 5 et 6 :

def suite(n):
    U=30
    W=45
    for i in range (1,n+1):
        W=W/2+U/2+7
        U=U/2+10
    return W

Avec cette version, à chaque tour, W passe de \(w_{i-1}\) à \(w_i\) en utilisant \(u_{i-1}\), puis U passe de \(u_{i-1}\) à \(u_i\) : suite(1) renvoie bien 44,5.

3. a. Pour tout entier naturel \(n\), notons \(\mathcal{P}(n)\) la propriété : « \(w_{n}=10 n(\dfrac{1}{2})^{n}+11(\dfrac{1}{2})^{n}+ 34\) ».

Initialisation. Pour \(n=0\) : \(10\times 0\times 1+11\times 1+34=45=w_0\). La propriété \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.

Hérédité. Soit \(n\) un entier naturel tel que \(\mathcal{P}(n)\) est vraie. En utilisant cette hypothèse et l’expression de \(u_n\) obtenue en partie A :

\[w_{n+1}=\dfrac{1}{2}[10n(\dfrac{1}{2})^n+11(\dfrac{1}{2})^n+34]+\dfrac{1}{2}[20+10(\dfrac{1}{2})^n]+7\]

\[w_{n+1}=10n(\dfrac{1}{2})^{n+1}+11(\dfrac{1}{2})^{n+1}+17+10+10(\dfrac{1}{2})^{n+1}+7\]

On regroupe les termes en \(10(\dfrac{1}{2})^{n+1}\) :

\[w_{n+1}=10(n+1)(\dfrac{1}{2})^{n+1}+11(\dfrac{1}{2})^{n+1}+34\]

La propriété \(\mathcal{P}(n+1)\) est donc vraie.

Conclusion. La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire : d’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel \(n\), \(w_{n}=10 n(\dfrac{1}{2})^{n}+11(\dfrac{1}{2})^{n}+ 34\).

b. Pour \(n\geq\, 4\), on a \(0 \leq\, 10 n(\dfrac{1}{2})^{n} \leq\, \dfrac{10}{n}\) et \(\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{10}{n}=0\). D’après le théorème des gendarmes, \(\lim\limits_{n\to+\infty}10n(\dfrac{1}{2})^n=0\). Par ailleurs \(\lim\limits_{n\to+\infty}11(\dfrac{1}{2})^n=0\) car \(0\lt\dfrac12\lt 1\). Par somme, la suite \((w_n)\) converge et \(\lim\limits_{n\to+\infty}w_n=34\).

Exercice 3 :

Affirmation 1 : vraie.

Un vecteur directeur de \((d)\) se lit sur les coefficients de \(t\) : \(\vec{u}(\dfrac13~;~\dfrac12~;~1)\). Un vecteur normal au plan \(P\) se lit sur son équation : \(\vec{n}(2~;~3~;~6)\). On remarque que \(\vec{n}=6\,\vec{u}\) : ces vecteurs sont colinéaires, donc \((d)\) est orthogonale à \(P\).

H appartient à \(P\) : \(2\times (-6)+3\times 2+6\times 2-6=-12+6+12-6=0\).

H appartient à \((d)\) : l’équation \(-4+t=2\) donne \(t=6\), et avec \(t=6\) on obtient \(x=-8+2=-6\) et \(y=-1+3=2\), qui sont bien les coordonnées de H.

La droite \((d)\) est donc orthogonale à \(P\) et le coupe en H (une droite orthogonale à un plan le coupe en un seul point, qui est ici H).

Affirmation 2 : fausse.

L’angle \(\widehat{\mathrm{DCH}}\) est l’angle au sommet C, entre les vecteurs \(\vec{\mathrm{CD}}(-3~;~2~;~0)\) et \(\vec{\mathrm{CH}}(-9~;~2~;~2)\). Leur produit scalaire vaut :

\[\vec{\mathrm{CD}}\cdot\vec{\mathrm{CH}}=(-3)\times (-9)+2\times 2+0\times 2=31\]

Les normes sont \(\mathrm{CD}=\sqrt{9+4+0}=\sqrt{13}\) et \(\mathrm{CH}=\sqrt{81+4+4}=\sqrt{89}\). Comme \(\vec{\mathrm{CD}}\cdot\vec{\mathrm{CH}}=\mathrm{CD}\times \mathrm{CH}\times \cos\widehat{\mathrm{DCH}}\) :

\[\cos\widehat{\mathrm{DCH}}=\dfrac{31}{\sqrt{13}\times \sqrt{89}}=\dfrac{31}{\sqrt{1157}}\approx 0{,}9114\]

À la calculatrice, \(\widehat{\mathrm{DCH}}\approx 24{,}3^{\circ}\), et non \(17{,}3^{\circ}\).

Affirmation 3 : vraie.

Les vecteurs normaux \(\vec{n}(2~;~3~;~6)\) de \(P\) et \(\vec{n^{\prime}}(1~;~-2~;~3)\) de \(P^{\prime}\) ne sont pas colinéaires (le rapport des premières coordonnées est 2, celui des deuxièmes est \(-\dfrac32\)). Les plans \(P\) et \(P^{\prime}\) ne sont donc pas parallèles : ils sont sécants selon une droite.

Prenons un point quelconque \(\mathrm{M}(3-3t~;~0~;~t)\) de \(\Delta\) :

dans \(P\) : \(2(3-3t)+3\times 0+6t-6=6-6t+6t-6=0\) ;
dans \(P^{\prime}\) : \((3-3t)-2\times 0+3t-3=0\).

Tous les points de \(\Delta\) appartiennent aux deux plans, donc \(\Delta\) est contenue dans leur intersection, qui est une droite : les deux droites sont confondues. L’intersection de \(P\) et \(P^{\prime}\) est bien \(\Delta\).

Affirmation 4 : vraie.

Il faut vérifier deux choses : J est sur (CD), et \(\vec{\mathrm{HJ}}\) est orthogonal à \(\vec{\mathrm{CD}}\).

Une représentation paramétrique de (CD), passant par C et dirigée par \(\vec{\mathrm{CD}}(-3~;~2~;~0)\), est \(x=3-3s\), \(y=2s\), \(z=0\), \(s\in\mathbb{R}\). Pour \(s=\dfrac{31}{13}\) : \(y=\dfrac{62}{13}\), \(x=3-\dfrac{93}{13}=\dfrac{39-93}{13}=-\dfrac{54}{13}\) et \(z=0\). Ce sont les coordonnées de J, donc \(\text{J}\in(\mathrm{CD})\).

Ensuite \(\vec{\mathrm{HJ}}(-\dfrac{54}{13}+6~;~\dfrac{62}{13}-2~;~0-2)\), soit \(\vec{\mathrm{HJ}}(\dfrac{24}{13}~;~\dfrac{36}{13}~;~-2)\), et :

\[\vec{\mathrm{HJ}}\cdot\vec{\mathrm{CD}}=\dfrac{24}{13}\times (-3)+\dfrac{36}{13}\times 2+(-2)\times 0=\dfrac{-72+72}{13}=0\]

J est le point de (CD) tel que \((\mathrm{HJ})\perp(\mathrm{CD})\) : J est le projeté orthogonal de H sur (CD).

Exercice 4 :

Partie A

1. La courbe part de 40 °C à \(t=0\). Elle monte, puis redescend et recoupe la droite horizontale d’ordonnée 40 un peu avant l’abscisse 4. Par lecture graphique, la température revient à sa valeur initiale au bout d’environ 3,8 minutes.

2. \(f(0)=(a\times 0+b)\text{e}^{0}=b\). Comme \(f(0)=40\), on obtient \(b=40\).

3. \(f\) est le produit de \(t\mapsto at+40\) (dérivée \(a\)) et de \(t\mapsto \text{e}^{-0{,}5t}\) (dérivée \(-0{,}5\text{e}^{-0{,}5t}\)). Donc :

\[f^{\prime}(t)=a\,\text{e}^{-0{,}5t}-0{,}5(at+40)\text{e}^{-0{,}5t}\]

En ajoutant \(0{,}5f(t)=0{,}5(at+40)\text{e}^{-0{,}5t}\), les deux derniers termes s’annulent : \(f^{\prime}(t)+0{,}5f(t)=a\,\text{e}^{-0{,}5t}\).

Comme \(f\) vérifie (E), on a pour tout \(t\) de \([0~;~10]\) : \(a\,\text{e}^{-0{,}5t}=60\,\text{e}^{-0{,}5t}\), et puisque \(\text{e}^{-0{,}5t}\neq 0\), \(a=60\).

Partie B

1. Avec la formule \((uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}\), où \(u(t)=60t+40\) et \(v(t)=\text{e}^{-0{,}5t}\) :

\[f^{\prime}(t)=60\,\text{e}^{-0{,}5t}+(60t+40)\times (-0{,}5\,\text{e}^{-0{,}5t})=(60-30t-20)\text{e}^{-0{,}5t}\]

donc \(f^{\prime}(t)=(40-30t)\text{e}^{-0{,}5t}\) pour tout \(t\) de \([0~;~10]\).

2. a. Une exponentielle est toujours strictement positive, donc \(f^{\prime}(t)\) a le signe de \(40-30t\). Or \(40-30t\geq\, 0\iff t\leq\,\dfrac{4}{3}\). Ainsi \(f^{\prime}\) est positive sur \([0~;~\dfrac43]\) (nulle seulement en \(\dfrac43\)) et négative sur \([\dfrac43~;~10]\) : \(f\) est croissante sur \([0~;~\dfrac43]\) et décroissante sur \([\dfrac43~;~10]\).

Valeurs utiles : \(f(0)=40\), \(f(\dfrac43)=(80+40)\text{e}^{-\frac{2}{3}}=120\,\text{e}^{-\frac23}\approx 61{,}6\) et \(f(10)=640\,\text{e}^{-5}\approx 4{,}31\).

\(t\)	0		\(\dfrac43\)		10
signe de \(f^{\prime}(t)\)		\(+\)	0	\(-\)
variations de \(f\)	40	\(\nearrow\)	\(120\,\text{e}^{-\frac23}\)	\(\searrow\)	\(640\,\text{e}^{-5}\)

b. Sur \(]0~;~\dfrac43]\) : \(f\) est strictement croissante et \(f(0)=40\), donc \(f(t)\gt 40\) pour tout \(t\) de cet intervalle ; l’équation \(f(t)=40\) n’y a aucune solution.

Sur \([\dfrac43~;~10]\) : \(f\) est continue (car dérivable) et strictement décroissante, avec \(f(\dfrac43)\approx 61{,}6\gt 40\) et \(f(10)\approx 4{,}31\lt 40\). D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation \(f(t)=40\) admet une unique solution \(\alpha\) sur cet intervalle.

En réunissant les deux intervalles, l’équation \(f(t)=40\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \(]0~;~10]\).

c. À la calculatrice (tableau de valeurs avec un pas de 0,1) : \(f(3{,}8)\approx 40{,}08\gt 40\) et \(f(3{,}9)\approx 38{,}98\lt 40\), donc \(3{,}8\lt\alpha\lt 3{,}9\) ; plus finement \(\alpha\approx 3{,}808\), d’où \(\alpha\approx 3{,}8\). Interprétation : après avoir chauffé, la réaction revient à sa température initiale de 40 °C au bout d’environ 3,8 minutes, ce qui confirme la lecture graphique de la partie A.

3. a. On pose \(u(t)=60t+40\) et \(v^{\prime}(t)=\text{e}^{-0{,}5t}\), donc \(u^{\prime}(t)=60\) et \(v(t)=-2\,\text{e}^{-0{,}5t}\). Les fonctions \(u\) et \(v\) sont dérivables à dérivées continues sur \([0~;~4]\), et la formule d’intégration par parties donne :

\[\int_0^4 f(t)\,\mathrm{d}t=\Big[-2(60t+40)\text{e}^{-0{,}5t}\Big]_0^4-\int_0^4 60\times (-2\,\text{e}^{-0{,}5t})\mathrm{d}t=\Big[-2(60t+40)\text{e}^{-0{,}5t}\Big]_0^4+120\int_0^4\text{e}^{-0{,}5t}\,\mathrm{d}t\]

Le crochet vaut \(-2\times 280\,\text{e}^{-2}-(-2\times 40)=-560\,\text{e}^{-2}+80\).

L’intégrale restante vaut \(\Big[-2\,\text{e}^{-0{,}5t}\Big]_0^4=-2\,\text{e}^{-2}+2\), donc \(120\) fois cette intégrale vaut \(-240\,\text{e}^{-2}+240\).

Au total :

\[\int_0^4 f(t)\,\mathrm{d}t=-560\,\text{e}^{-2}+80-240\,\text{e}^{-2}+240=320-800\,\text{e}^{-2}=320-\dfrac{800}{\text{e}^{2}}\]

b. Avec \(t_1=0\) et \(t_2=4\), la température moyenne vaut :

\[\dfrac{1}{4-0}\int_0^4 f(t)\,\mathrm{d}t=\dfrac{1}{4}(320-\dfrac{800}{\text{e}^{2}})=80-\dfrac{200}{\text{e}^{2}}\approx 52{,}9\]

La température moyenne de la réaction au cours des 4 premières minutes est d’environ 53 °C.

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