Bac de maths 2022 en France (septembre, jour 1) : sujet et corrigé

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BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — SESSION 2022
France métropolitaine, Antilles-Guyane — 8 septembre 2022 — Jour 1
Épreuve d’enseignement de spécialité Mathématiques — Durée : 4 heures

Exercice 1 (7 points)

Thèmes : fonctions, suites

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

1. On considère la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\[g(x) = \dfrac{2\text{e}^x}{\text{e}^x + 1}.\]

La courbe représentative de la fonction \(g\) admet pour asymptote en \(+\infty\) la droite d’équation :

2. On considère une fonction \(f\) définie et deux fois dérivable sur \(\mathbb{R}\).

On appelle \(\mathcal{C}\) sa représentation graphique.

On désigne par \(f^{\prime\prime}\) la dérivée seconde de \(f\).

On a représenté sur le graphique ci-contre la courbe de \(f^{\prime\prime}\), notée \(\mathcal{C}^{\prime\prime}\).

3. On donne la suite \((u_n)\) définie par : \(u_0 = 0\) et pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n + 1\).

La suite \((v_n)\), définie pour tout entier naturel \(n\) par \(v_n = u_n – 2\), est :

4. On considère une suite \((u_n)\) telle que, pour tout entier naturel, on a :

\[1 + (\dfrac{1}{4})^n \leq\, u_n \leq\, 2 – \dfrac{n}{n+1}\]

On peut affirmer que la suite \((u_n)\) :

5. Soit \(f\) la fonction définie sur \(]0\ ;\ +\infty[\) par \(f(x) = x^2 \ln x\).

Une primitive \(F\) de \(f\) sur \(]0\ ;\ +\infty[\) est définie par :

6. Pour tout réel \(x\), l’expression \(2 + \dfrac{3\text{e}^{-x} – 5}{\text{e}^{-x} + 1}\) est égale à :

Exercice 2 (7 points)

Thème : probabilités

Un hôtel situé à proximité d’un site touristique dédié à la préhistoire propose deux visites dans les environs, celle d’un musée et celle d’une grotte.

Une étude a montré que 70 % des clients de l’hôtel visitent le musée. De plus, parmi les clients visitant le musée, 60 % visitent la grotte.

Cette étude montre aussi que 6 % des clients de l’hôtel ne font aucune visite.

On interroge au hasard un client de l’hôtel et on note :

• \(M\) l’évènement : « le client visite le musée » ;
• \(G\) l’évènement : « le client visite la grotte ».

On note \(\overline{M}\) l’évènement contraire de \(M\), \(\overline{G}\) l’évènement contraire de \(G\), et pour tout évènement \(E\), on note \(p(E)\) la probabilité de \(E\).

Ainsi, d’après l’énoncé, on a : \(p(\overline{M} \cap \overline{G}) = 0{,}06\).

1. a. Vérifier que \(p_{\overline{M}}(\overline{G}) = 0{,}2\), où \(p_{\overline{M}}(\overline{G})\) désigne la probabilité que le client interrogé ne visite pas la grotte sachant qu’il ne visite pas le musée.

b. L’arbre pondéré ci-contre modélise la situation. Recopier et compléter cet arbre en indiquant sur chaque branche la probabilité associée.

c. Quelle est la probabilité de l’évènement « le client visite la grotte et ne visite pas le musée » ?

d. Montrer que \(p(G) = 0{,}66\).

2. Le responsable de l’hôtel affirme que parmi les clients qui visitent la grotte, plus de la moitié visitent également le musée. Cette affirmation est-elle exacte ?

3. Les tarifs pour les visites sont les suivants :

• visite du musée : 12 euros ;
• visite de la grotte : 5 euros.

On considère la variable aléatoire \(T\) qui modélise la somme dépensée par un client de l’hôtel pour ces visites.

a. Donner la loi de probabilité de \(T\). On présentera les résultats sous la forme d’un tableau.

b. Calculer l’espérance mathématique de \(T\).

c. Pour des questions de rentabilité, le responsable de l’hôtel estime que le montant moyen des recettes des visites doit être supérieur à 700 euros par jour.

Déterminer le nombre moyen de clients par journée permettant d’atteindre cet objectif.

4. Pour augmenter les recettes, le responsable souhaite que l’espérance de la variable aléatoire modélisant la somme dépensée par un client de l’hôtel pour ces visites passe à 15 euros, sans modifier le prix de visite du musée qui demeure à 12 euros.

Quel prix faut-il fixer pour la visite de la grotte afin d’atteindre cet objectif ? (On admettra que l’augmentation du prix d’entrée de la grotte ne modifie pas la fréquentation des deux sites).

5. On choisit au hasard 100 clients de l’hôtel, en assimilant ce choix à un tirage avec remise.

Quelle est la probabilité qu’au moins les trois quarts de ces clients aient visité la grotte à l’occasion de leur séjour à l’hôtel ?

On donnera une valeur du résultat à \(10^{-3}\) près.

Exercice 3 (7 points)

Thèmes : fonctions logarithmes et exponentielles, suites

Partie A

On considère la fonction \(f\) définie sur l’intervalle \([1\ ;\ +\infty[\) par

\[f(x) = \dfrac{\ln x}{x},\]

où \(\ln\) désigne la fonction logarithme népérien.

1. Donner la limite de la fonction \(f\) en \(+\infty\).

2. On admet que la fonction \(f\) est dérivable sur l’intervalle \([1\ ;\ +\infty[\) et on note \(f^{\prime}\) sa fonction dérivée.

a. Montrer que, pour tout nombre réel \(x \geq\, 1\), \(f^{\prime}(x) = \dfrac{1 – \ln x}{x^2}\).

b. Justifier le tableau de signes suivant, donnant le signe de \(f^{\prime}(x)\) suivant les valeurs de \(x\).

c. Dresser le tableau de variations complet de la fonction \(f\).

3. Soit \(k\) un nombre réel positif ou nul.

a. Montrer que, si \(0 \leq\, k \leq\, \dfrac{1}{\text{e}}\), l’équation \(f(x) = k\) admet une unique solution sur l’intervalle \([1\ ;\ \text{e}]\).

b. Si \(k \gt \dfrac{1}{\text{e}}\), l’équation \(f(x) = k\) admet-elle des solutions sur l’intervalle \([1\ ;\ +\infty[\) ?

Justifier.

Partie B

Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\[g(x) = \text{e}^{\frac{x}{4}}.\]

On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = 1\) et, pour tout entier naturel \(n\) :

\(u_{n+1} = \text{e}^{\frac{u_n}{4}}\) c’est-à-dire : \(u_{n+1} = g(u_n)\).

1. Justifier que la fonction \(g\) est croissante sur \(\mathbb{R}\).

2. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), on a : \(u_n \leq\, u_{n+1} \leq\, \text{e}\).

3. En déduire que la suite \((u_n)\) est convergente.

On note \(\ell\) la limite de la suite \((u_n)\) et on admet que \(f\) est solution de l’équation :

\[\text{e}^{\frac{x}{4}} = x.\]

4. En déduire que \(\ell\) est solution de l’équation \(f(x) = \dfrac{1}{4}\), où \(f\) est la fonction étudiée dans la partie A.

5. Donner une valeur approchée à \(10^{-2}\) près de la limite \(\ell\) de la suite \((u_n)\).

Exercice 4 (7 points)

Thème : géométrie dans l’espace

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé \((\text{O}\ ;\ \vec{\imath},\ \vec{\jmath},\ \vec{k})\), on considère les points

\[\text{A}(-1\ ;\ -1\ ;\ 3), \qquad \text{B}(1\ ;\ 1\ ;\ 2), \qquad \text{C}(1\ ;\ -1\ ;\ 7)\]

On considère également la droite \(\Delta\) passant par les points \(\text{D}(-1\ ;\ 6\ ;\ 8)\) et \(\text{E}(11\ ;\ -9\ ;\ 2)\).

1. a. Vérifier que la droite \(\Delta\) admet pour représentation paramétrique :

\[\{\begin{array}{l} x = -1 + 4t \\ y = 6 – 5t \\ z = 8 – 2t \end{array}. \quad \text{avec } t \in \mathbb{R}\]

b. Préciser une représentation paramétrique de la droite \(\Delta^{\prime}\) parallèle à \(\Delta\) et passant par l’origine O du repère.

c. Le point \(\text{F}(1{,}36\ ;\ -1{,}7\ ;\ -0{,}7)\) appartient-il à la droite \(\Delta^{\prime}\) ?

2. a. Montrer que les points A, B et C définissent un plan.

b. Montrer que la droite \(\Delta\) est perpendiculaire au plan (ABC).

c. Montrer qu’une équation cartésienne du plan (ABC) est : \(4x – 5y – 2z + 5 = 0\).

3. a. Montrer que le point \(\text{G}(7\ ;\ -4\ ;\ 4)\) appartient à la droite \(\Delta\).

b. Déterminer les coordonnées du point H, projeté orthogonal du point G sur le plan (ABC).

c. En déduire que la distance du point G au plan (ABC) est égale à \(3\sqrt{5}\).

4. a. Montrer que le triangle ABC est rectangle en A.

b. Calculer le volume \(V\) du tétraèdre ABCG.

On rappelle que le volume \(V\) d’un tétraèdre est donné par la formule \(V = \dfrac{1}{3} \times B \times h\) où \(B\) est l’aire d’une base et \(h\) la hauteur correspondant à cette base.

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

1. Réponse b. Pour étudier la limite en \(+\infty\), on divise numérateur et dénominateur par \(\text{e}^x\), qui n’est jamais nul : \(g(x) = \dfrac{2}{1 + \text{e}^{-x}}\). Comme \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \text{e}^{-x} = 0\), le dénominateur tend vers 1 et \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} g(x) = 2\). La courbe admet donc en \(+\infty\) l’asymptote horizontale d’équation \(y = 2\). Les réponses a et d sont des droites verticales, qui ne peuvent pas être asymptotes « en \(+\infty\) ».

2. Réponse c. Une fonction deux fois dérivable est convexe là où sa dérivée seconde est positive. Le graphique montre que \(f^{\prime\prime}(x) \geq\, 0\) sur \(]-\infty\ ;\ -1]\) et sur \([2\ ;\ +\infty[\), et \(f^{\prime\prime}(x) \leq\, 0\) sur \([-1\ ;\ 2]\). Donc \(f\) est convexe sur \(]-\infty\ ;\ -1]\) et sur \([2\ ;\ +\infty[\). Elle est concave sur \([-1\ ;\ 2]\) (b et d fausses) et \(f^{\prime\prime}\) change de signe deux fois, en \(-1\) et en 2 : la courbe \(\mathcal{C}\) a deux points d’inflexion (a fausse).

3. Réponse d. Pour tout entier naturel \(n\) :

\[v_{n+1} = u_{n+1} – 2 = \dfrac{1}{2}u_n + 1 – 2 = \dfrac{1}{2}u_n – 1 = \dfrac{1}{2}(u_n – 2) = \dfrac{1}{2}v_n.\]

La suite \((v_n)\) est donc géométrique de raison \(\dfrac{1}{2}\) (de premier terme \(v_0 = -2\)).

4. Réponse b. On cherche les limites des deux suites qui encadrent \((u_n)\). Comme \(0 \lt \dfrac{1}{4} \lt 1\), \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} (\dfrac{1}{4})^n = 0\), donc la suite minorante tend vers 1. D’autre part \(\dfrac{n}{n+1} = \dfrac{1}{1 + \frac{1}{n}}\) pour \(n \geq\, 1\) tend vers 1, donc la suite majorante \(2 – \dfrac{n}{n+1}\) tend aussi vers \(2 – 1 = 1\). D’après le théorème des gendarmes, la suite \((u_n)\) converge vers 1.

5. Réponse a. Il suffit de dériver chaque proposition et de retrouver \(f\). Pour \(F(x) = \dfrac{1}{3}x^3(\ln x – \dfrac{1}{3})\), on dérive un produit :

\[F^{\prime}(x) = x^2(\ln x – \dfrac{1}{3}) + \dfrac{1}{3}x^3 \times \dfrac{1}{x} = x^2 \ln x – \dfrac{1}{3}x^2 + \dfrac{1}{3}x^2 = x^2 \ln x = f(x).\]

C’est donc bien une primitive de \(f\). Avec b, on obtiendrait \(x^2 \ln x – x^2 + \dfrac{1}{3}x^2 = x^2\ln x – \dfrac{2}{3}x^2\), et c ne contient même pas de logarithme.

6. Réponse a. On réduit au même dénominateur :

\[2 + \dfrac{3\text{e}^{-x} – 5}{\text{e}^{-x} + 1} = \dfrac{2\text{e}^{-x} + 2 + 3\text{e}^{-x} – 5}{\text{e}^{-x} + 1} = \dfrac{5\text{e}^{-x} – 3}{\text{e}^{-x} + 1}.\]

On multiplie ensuite numérateur et dénominateur par \(\text{e}^x\), en utilisant \(\text{e}^x \times \text{e}^{-x} = 1\) : l’expression vaut \(\dfrac{5 – 3\text{e}^x}{1 + \text{e}^x}\).

Exercice 2 :

1. a. D’après l’énoncé, \(p(M) = 0{,}7\), donc \(p(\overline{M}) = 1 – 0{,}7 = 0{,}3\). Par définition d’une probabilité conditionnelle :

\[p_{\overline{M}}(\overline{G}) = \dfrac{p(\overline{M} \cap \overline{G})}{p(\overline{M})} = \dfrac{0{,}06}{0{,}3} = 0{,}2.\]

On a bien \(p_{\overline{M}}(\overline{G}) = 0{,}2\).

b. Sur les branches du premier niveau : \(p(M) = 0{,}7\) et \(p(\overline{M}) = 0{,}3\). Après \(M\) : \(p_M(G) = 0{,}6\) (60 % des visiteurs du musée vont à la grotte) et \(p_M(\overline{G}) = 0{,}4\). Après \(\overline{M}\) : \(p_{\overline{M}}(\overline{G}) = 0{,}2\) (question a) et donc \(p_{\overline{M}}(G) = 0{,}8\). Les probabilités portées par les branches issues d’un même nœud ont bien pour somme 1.

c. L’évènement cherché est \(G \cap \overline{M}\). On suit le chemin \(\overline{M}\) puis \(G\) :

\[p(\overline{M} \cap G) = p(\overline{M}) \times p_{\overline{M}}(G) = 0{,}3 \times 0{,}8 = 0{,}24.\]

La probabilité que le client visite la grotte sans visiter le musée est \(0{,}24\).

d. Les évènements \(M\) et \(\overline{M}\) forment une partition de l’univers ; d’après la formule des probabilités totales :

\[p(G) = p(M \cap G) + p(\overline{M} \cap G) = 0{,}7 \times 0{,}6 + 0{,}24 = 0{,}42 + 0{,}24 = 0{,}66.\]

On obtient bien \(p(G) = 0{,}66\).

2. Il s’agit de calculer la proportion de visiteurs du musée parmi les visiteurs de la grotte, c’est-à-dire \(p_G(M)\) :

\[p_G(M) = \dfrac{p(M \cap G)}{p(G)} = \dfrac{0{,}42}{0{,}66} = \dfrac{7}{11} \approx 0{,}636.\]

Comme \(0{,}636 \gt 0{,}5\), environ 64 % des clients qui visitent la grotte visitent aussi le musée : l’affirmation du responsable est exacte.

3. a. Un client peut ne rien visiter (0 €), visiter seulement la grotte (5 €), seulement le musée (12 €) ou les deux (12 + 5 = 17 €). Les probabilités correspondantes se lisent sur l’arbre :

• \(p(T = 0) = p(\overline{M} \cap \overline{G}) = 0{,}06\) ;
• \(p(T = 5) = p(\overline{M} \cap G) = 0{,}24\) ;
• \(p(T = 12) = p(M \cap \overline{G}) = 0{,}7 \times 0{,}4 = 0{,}28\) ;
• \(p(T = 17) = p(M \cap G) = 0{,}42\).

On vérifie que \(0{,}06 + 0{,}24 + 0{,}28 + 0{,}42 = 1\).

b. L’espérance est la somme des valeurs pondérées par leurs probabilités :

\[E(T) = 0 \times 0{,}06 + 5 \times 0{,}24 + 12 \times 0{,}28 + 17 \times 0{,}42 = 0 + 1{,}2 + 3{,}36 + 7{,}14 = 11{,}7.\]

Un client dépense en moyenne 11,70 euros pour les visites.

c. Si l’hôtel accueille en moyenne \(n\) clients par jour, la recette moyenne des visites est \(11{,}7\,n\) euros. On veut \(11{,}7\,n \gt 700\), soit \(n \gt \dfrac{700}{11{,}7} \approx 59{,}83\). Le nombre de clients étant entier, il faut au moins 60 clients par jour en moyenne (avec 59 clients, la recette moyenne ne serait que de \(690{,}30\) euros).

4. Notons \(x\) le nouveau prix de la visite de la grotte, en euros. Chaque client paie 12 € s’il visite le musée et \(x\) € s’il visite la grotte ; la fréquentation étant inchangée, l’espérance de la somme dépensée devient, par linéarité :

\[12 \times p(M) + x \times p(G) = 12 \times 0{,}7 + 0{,}66\,x = 8{,}4 + 0{,}66\,x.\]

(On retrouve d’ailleurs \(8{,}4 + 0{,}66 \times 5 = 11{,}7\) avec l’ancien tarif.) On résout \(8{,}4 + 0{,}66\,x = 15 \iff 0{,}66\,x = 6{,}6 \iff x = 10\). Il faut fixer le prix de la visite de la grotte à 10 euros.

5. Pour chacun des 100 clients, on considère l’épreuve de Bernoulli dont le succès est « le client a visité la grotte », de probabilité \(p(G) = 0{,}66\). Le choix étant assimilé à un tirage avec remise, les 100 épreuves sont identiques et indépendantes. La variable aléatoire \(Y\) qui compte les clients ayant visité la grotte suit donc la loi binomiale de paramètres \(n = 100\) et \(p = 0{,}66\).

Les trois quarts de 100 font 75 : on cherche \(p(Y \geq\, 75)\). À la calculatrice :

\[p(Y \geq\, 75) = 1 – p(Y \leq\, 74) \approx 1 – 0{,}9660 \approx 0{,}034.\]

La probabilité qu’au moins les trois quarts de ces clients aient visité la grotte est environ \(0{,}034\) à \(10^{-3}\) près.

Exercice 3 :

Partie A

1. D’après le résultat de croissances comparées, \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0\). Donc \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0\) : l’axe des abscisses est asymptote à la courbe en \(+\infty\).

2. a. On dérive le quotient \(\dfrac{u}{v}\) avec \(u(x) = \ln x\), \(u^{\prime}(x) = \dfrac{1}{x}\), \(v(x) = x\), \(v^{\prime}(x) = 1\) :

\[f^{\prime}(x) = \dfrac{\dfrac{1}{x} \times x – \ln x \times 1}{x^2} = \dfrac{1 – \ln x}{x^2}.\]

b. Pour \(x \geq\, 1\), \(x^2 \gt 0\), donc \(f^{\prime}(x)\) a le signe de \(1 – \ln x\). La fonction \(\ln\) étant strictement croissante, \(1 – \ln x \gt 0 \iff \ln x \lt 1 \iff x \lt \text{e}\), et \(1 – \ln x = 0 \iff x = \text{e}\). Ainsi \(f^{\prime}(x) \gt 0\) sur \([1\ ;\ \text{e}[\), \(f^{\prime}(\text{e}) = 0\) et \(f^{\prime}(x) \lt 0\) sur \(]\text{e}\ ;\ +\infty[\), ce qui justifie le tableau donné.

c. On calcule les valeurs utiles : \(f(1) = \dfrac{\ln 1}{1} = 0\) et \(f(\text{e}) = \dfrac{\ln \text{e}}{\text{e}} = \dfrac{1}{\text{e}}\) ; la limite en \(+\infty\) vaut 0 (question 1).

3. a. Sur l’intervalle \([1\ ;\ \text{e}]\), la fonction \(f\) est continue (car dérivable) et strictement croissante, de \(f(1) = 0\) à \(f(\text{e}) = \dfrac{1}{\text{e}}\). Si \(0 \leq\, k \leq\, \dfrac{1}{\text{e}}\), le nombre \(k\) appartient à l’intervalle image \([0\ ;\ \dfrac{1}{\text{e}}]\). D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (théorème de la bijection), l’équation \(f(x) = k\) admet une unique solution sur \([1\ ;\ \text{e}]\).

b. D’après le tableau de variations, \(f\) admet sur \([1\ ;\ +\infty[\) un maximum égal à \(\dfrac{1}{\text{e}}\), atteint en \(\text{e}\). Pour tout \(x \geq\, 1\), on a donc \(f(x) \leq\, \dfrac{1}{\text{e}} \lt k\), et l’égalité \(f(x) = k\) est impossible. Si \(k \gt \dfrac{1}{\text{e}}\), l’équation \(f(x) = k\) n’a aucune solution sur \([1\ ;\ +\infty[\).

Partie B

1. La fonction \(g\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et, avec la dérivée de \(\text{e}^{u}\) où \(u(x) = \dfrac{x}{4}\) : \(g^{\prime}(x) = \dfrac{1}{4}\text{e}^{\frac{x}{4}}\). Une exponentielle étant strictement positive, \(g^{\prime}(x) \gt 0\) pour tout réel \(x\) : \(g\) est (strictement) croissante sur \(\mathbb{R}\).

2. Pour tout entier naturel \(n\), notons \(\mathcal{P}(n)\) la propriété : « \(u_n \leq\, u_{n+1} \leq\, \text{e}\) ».

Initialisation. On a \(u_0 = 1\) et \(u_1 = \text{e}^{\frac{1}{4}} \approx 1{,}284\). Donc \(u_0 \leq\, u_1 \leq\, \text{e}\) : \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.

Hérédité. Supposons \(\mathcal{P}(n)\) vraie pour un entier \(n\) donné, c’est-à-dire \(u_n \leq\, u_{n+1} \leq\, \text{e}\). La fonction \(g\) étant croissante sur \(\mathbb{R}\), elle conserve l’ordre : \(g(u_n) \leq\, g(u_{n+1}) \leq\, g(\text{e})\), soit \(u_{n+1} \leq\, u_{n+2} \leq\, \text{e}^{\frac{\text{e}}{4}}\). Or \(\dfrac{\text{e}}{4} \lt 1\), donc \(\text{e}^{\frac{\text{e}}{4}} \lt \text{e}^1 = \text{e}\) (on a \(\text{e}^{\frac{\text{e}}{4}} \approx 1{,}97\)). Ainsi \(u_{n+1} \leq\, u_{n+2} \leq\, \text{e}\) : \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie.

Conclusion. La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire : pour tout entier naturel \(n\), \(u_n \leq\, u_{n+1} \leq\, \text{e}\).

3. D’après la question 2, la suite \((u_n)\) est croissante (\(u_n \leq\, u_{n+1}\)) et majorée par \(\text{e}\). D’après le théorème de convergence monotone, la suite \((u_n)\) est convergente.

4. Remarque : dans la phrase qui précède la question 4, l’énoncé écrit « on admet que \(f\) est solution » ; il faut lire « on admet que \(\ell\) est solution » de l’équation \(\text{e}^{\frac{x}{4}} = x\). C’est en effet ce que donne le passage à la limite dans \(u_{n+1} = g(u_n)\), la fonction \(g\) étant continue.

On a donc \(\text{e}^{\frac{\ell}{4}} = \ell\). De plus, pour tout \(n\), \(1 = u_0 \leq\, u_n \leq\, \text{e}\), donc par passage à la limite \(1 \leq\, \ell \leq\, \text{e}\) : en particulier \(\ell \gt 0\) et \(\ell\) appartient à l’intervalle \([1\ ;\ +\infty[\) où \(f\) est définie. En appliquant la fonction \(\ln\) aux deux membres (strictement positifs) :

\[\text{e}^{\frac{\ell}{4}} = \ell \iff \dfrac{\ell}{4} = \ln \ell \iff \dfrac{\ln \ell}{\ell} = \dfrac{1}{4} \quad (\text{car } \ell \neq 0).\]

Ainsi \(f(\ell) = \dfrac{1}{4}\) : \(\ell\) est solution de l’équation \(f(x) = \dfrac{1}{4}\).

5. Comme \(\dfrac{1}{\text{e}} \approx 0{,}368\), on a \(0 \leq\, \dfrac{1}{4} \leq\, \dfrac{1}{\text{e}}\) : d’après la partie A (question 3.a), l’équation \(f(x) = \dfrac{1}{4}\) a une unique solution dans \([1\ ;\ \text{e}]\), et c’est \(\ell\) puisque \(1 \leq\, \ell \leq\, \text{e}\). On la localise par balayage à la calculatrice :

\[f(1{,}42) \approx 0{,}2469 \lt 0{,}25 \quad \text{et} \quad f(1{,}43) \approx 0{,}2501 \gt 0{,}25.\]

Donc \(1{,}42 \lt \ell \lt 1{,}43\), et un encadrement plus fin (\(\ell \approx 1{,}4296\), qu’on obtient aussi en calculant les termes de la suite) donne \(\ell \approx 1{,}43\) à \(10^{-2}\) près.

Exercice 4 :

1. a. Le vecteur \(\vec{\text{DE}}\) a pour coordonnées \((11 – (-1)\ ;\ -9 – 6\ ;\ 2 – 8) = (12\ ;\ -15\ ;\ -6)\), soit \(\vec{\text{DE}} = 3\vec{u}\) avec \(\vec{u}(4\ ;\ -5\ ;\ -2)\). La représentation proposée est celle de la droite passant par le point de paramètre \(t = 0\), qui est \((-1\ ;\ 6\ ;\ 8)\), c’est-à-dire D, et dirigée par \(\vec{u}\), colinéaire à \(\vec{\text{DE}}\). C’est donc bien une représentation paramétrique de la droite \(\Delta = (\text{DE})\). (Avec \(t = 3\) on retrouve d’ailleurs \((11\ ;\ -9\ ;\ 2)\), c’est-à-dire E.)

b. La droite \(\Delta^{\prime}\) est parallèle à \(\Delta\) : elle a le même vecteur directeur \(\vec{u}(4\ ;\ -5\ ;\ -2)\). Elle passe par O(0 ; 0 ; 0). Une représentation paramétrique est donc :

\[\Delta^{\prime} : \{\begin{array}{l} x = 4k \\ y = -5k \\ z = -2k \end{array}. \quad k \in \mathbb{R}.\]

c. On cherche s’il existe un réel \(k\) tel que \(4k = 1{,}36\), \(-5k = -1{,}7\) et \(-2k = -0{,}7\). La première équation donne \(k = 0{,}34\), la deuxième aussi (\(-5 \times 0{,}34 = -1{,}7\)), mais la troisième donnerait \(-2 \times 0{,}34 = -0{,}68 \neq -0{,}7\). Aucun paramètre ne convient : le point F n’appartient pas à la droite \(\Delta^{\prime}\).

2. a. On calcule \(\vec{\text{AB}}(2\ ;\ 2\ ;\ -1)\) et \(\vec{\text{AC}}(2\ ;\ 0\ ;\ 4)\). La deuxième coordonnée de \(\vec{\text{AC}}\) est nulle alors que celle de \(\vec{\text{AB}}\) ne l’est pas : ces vecteurs ne sont pas colinéaires. Les points A, B, C ne sont donc pas alignés et définissent un plan.

b. Le vecteur directeur \(\vec{u}(4\ ;\ -5\ ;\ -2)\) de \(\Delta\) vérifie :

\[\vec{u} \cdot \vec{\text{AB}} = 4 \times 2 + (-5) \times 2 + (-2) \times (-1) = 8 – 10 + 2 = 0,\]

\[\vec{u} \cdot \vec{\text{AC}} = 4 \times 2 + (-5) \times 0 + (-2) \times 4 = 8 – 8 = 0.\]

Il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC) : c’est un vecteur normal à ce plan, et la droite \(\Delta\) est perpendiculaire au plan (ABC).

c. Puisque \(\vec{u}(4\ ;\ -5\ ;\ -2)\) est normal au plan (ABC), celui-ci a une équation de la forme \(4x – 5y – 2z + d = 0\). Le point A(−1 ; −1 ; 3) est dans le plan : \(-4 + 5 – 6 + d = 0\), d’où \(d = 5\). Une équation cartésienne du plan (ABC) est donc \(4x – 5y – 2z + 5 = 0\). (Contrôle avec B : \(4 – 5 – 4 + 5 = 0\) ; avec C : \(4 + 5 – 14 + 5 = 0\).)

3. a. On cherche \(t\) tel que \(-1 + 4t = 7\) : on trouve \(t = 2\). Pour \(t = 2\), \(y = 6 – 10 = -4\) et \(z = 8 – 4 = 4\). Les trois coordonnées coïncident, donc G appartient à la droite \(\Delta\) (paramètre \(t = 2\)).

b. La droite \(\Delta\) passe par G et est perpendiculaire au plan (ABC) : le projeté orthogonal H de G sur ce plan est le point d’intersection de \(\Delta\) et de (ABC). On injecte la représentation paramétrique de \(\Delta\) dans l’équation du plan :

\[4(-1 + 4t) – 5(6 – 5t) – 2(8 – 2t) + 5 = 0 \iff -4 + 16t – 30 + 25t – 16 + 4t + 5 = 0 \iff 45t – 45 = 0 \iff t = 1.\]

Pour \(t = 1\) : \(x = 3\), \(y = 1\), \(z = 6\). Donc \(\text{H}(3\ ;\ 1\ ;\ 6)\).

c. La distance du point G au plan (ABC) est la longueur GH. On a \(\vec{\text{GH}}(3 – 7\ ;\ 1 + 4\ ;\ 6 – 4) = (-4\ ;\ 5\ ;\ 2)\), et le repère est orthonormé :

\[\text{GH} = \sqrt{(-4)^2 + 5^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 25 + 4} = \sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt{5}.\]

La distance de G au plan (ABC) est bien \(3\sqrt{5}\).

4. a. \(\vec{\text{AB}} \cdot \vec{\text{AC}} = 2 \times 2 + 2 \times 0 + (-1) \times 4 = 4 – 4 = 0\). Les vecteurs \(\vec{\text{AB}}\) et \(\vec{\text{AC}}\) sont orthogonaux, donc le triangle ABC est rectangle en A.

b. Calculons les longueurs des côtés de l’angle droit :

\[\text{AB} = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{9} = 3 \quad \text{et} \quad \text{AC} = \sqrt{2^2 + 0^2 + 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}.\]

L’aire du triangle ABC, rectangle en A, est \(B = \dfrac{\text{AB} \times \text{AC}}{2} = \dfrac{3 \times 2\sqrt{5}}{2} = 3\sqrt{5}\). En prenant ABC pour base, la hauteur associée est la distance de G au plan (ABC), soit \(h = \text{GH} = 3\sqrt{5}\). Donc :

\[V = \dfrac{1}{3} \times 3\sqrt{5} \times 3\sqrt{5} = \dfrac{1}{3} \times 9 \times 5 = 15.\]

Le volume du tétraèdre ABCG est \(V = 15\) unités de volume.

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