Bac de maths 2022 aux centres étrangers (jour 1) : sujet et corrigé

Ce sujet fait partie des annales que nous rassemblons pour préparer le bac de maths 2027 : tous les sujets de spécialité y sont classés par session.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — SESSION 2022
Centres étrangers (Arabie saoudite, Bahreïn, Chypre, Éthiopie, Grèce, Israël, Jordanie, Koweït, Qatar, Roumanie et Turquie) — 11 mai 2022 — Sujet 1
Épreuve d’enseignement de spécialité mathématiques — Durée : 4 heures

Le sujet propose 4 exercices.
Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 exercices et ne doit traiter que ces 3 exercices.
Chaque exercice est noté sur 7 points (le total sera ramené sur 20 points). Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront prises en compte.

Exercice 1 (7 points)

Thème : Fonction logarithme

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Les six questions sont indépendantes.

Une réponse incorrecte, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.

1. On considère la fonction \(f\) définie pour tout réel \(x\) par \(f(x) = \ln(1 + x^2)\).

Sur \(\mathbb{R}\), l’équation \(f(x) = 2022\)

2. Soit la fonction \(g\) définie pour tout réel \(x\) strictement positif par :

\[g(x) = x\ln(x) – x^2\]

On note \(\mathcal{C}_g\) sa courbe représentative dans un repère du plan.

3. On considère la fonction \(f\) définie sur \(]-1\,;\,1[\) par

\[f(x) = \dfrac{x}{1 – x^2}\]

Une primitive de la fonction \(f\) est la fonction \(g\) définie sur l’intervalle \(]-1\,;\,1[\) par :

4. La fonction \(x \longmapsto \ln(-x^2 – x + 6)\) est définie sur

5. On considère la fonction \(f\) définie sur \(]0{,}5\,;\,+\infty[\) par

\[f(x) = x^2 – 4x + 3\ln(2x – 1)\]

Une équation de la tangente à la courbe représentative de \(f\) au point d’abscisse 1 est :

6. L’ensemble \(S\) des solutions dans \(\mathbb{R}\) de l’inéquation \(\ln(x + 3) \lt 2\ln(x + 1)\) est :

Exercice 2 (7 points)

Thème : Géométrie dans l’espace

Dans l’espace, rapporté à un repère orthonormé \((\text{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k})\), on considère les points :

\[\text{A}(2\,;\,0\,;\,3),\ \text{B}(0\,;\,2\,;\,1),\ \text{C}(-1\,;\,-1\,;\,2)\ \text{et}\ \text{D}(3\,;\,-3\,;\,-1).\]

1. Calcul d’un angle

a. Calculer les coordonnées des vecteurs \(\vec{\text{AB}}\) et \(\vec{\text{AC}}\) et en déduire que les points A, B et C ne sont pas alignés.

b. Calculer les longueurs AB et AC.

c. À l’aide du produit scalaire \(\vec{\text{AB}} \cdot \vec{\text{AC}}\), déterminer la valeur du cosinus de l’angle \(\widehat{\text{BAC}}\) puis donner une valeur approchée de la mesure de l’angle \(\widehat{\text{BAC}}\) au dixième de degré.

2. Calcul d’une aire

a. Déterminer une équation du plan \(\mathcal{P}\) passant par le point C et perpendiculaire à la droite (AB).

b. Donner une représentation paramétrique de la droite (AB).

c. En déduire les coordonnées du projeté orthogonal E du point C sur la droite (AB), c’est-à-dire du point d’intersection de la droite (AB) et du plan \(\mathcal{P}\).

d. Calculer l’aire du triangle ABC.

3. Calcul d’un volume

a. Soit le point F\((1\,;\,-1\,;\,3)\). Montrer que les points A, B, C et F sont coplanaires.

b. Vérifier que la droite (FD) est orthogonale au plan (ABC).

c. Sachant que le volume d’un tétraèdre est égal au tiers de l’aire de sa base multiplié par sa hauteur, calculer le volume du tétraèdre ABCD.

Exercice 3 (7 points)

Thèmes : Fonction exponentielle et suite

Partie A

Soit \(h\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par

\[h(x) = \text{e}^x – x\]

1. Déterminer les limites de \(h\) en \(-\infty\) et \(+\infty\).

2. Étudier les variations de \(h\) et dresser son tableau de variation.

3. En déduire que : si \(a\) et \(b\) sont deux réels tels que \(0 \lt a \lt b\) alors \(h(a) – h(b) \lt 0\).

Partie B

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par

\[f(x) = \text{e}^x\]

On note \(\mathcal{C}_f\) sa courbe représentative dans un repère \((\text{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath})\).

1. Déterminer une équation de la tangente \(T\) à \(\mathcal{C}_f\) au point d’abscisse 0.

Dans la suite de l’exercice on s’intéresse à l’écart entre \(T\) et \(\mathcal{C}_f\) au voisinage de 0.

Cet écart est défini comme la différence des ordonnées des points de \(T\) et \(\mathcal{C}_f\) de même abscisse.

On s’intéresse aux points d’abscisse \(\dfrac1n\), avec \(n\) entier naturel non nul.

On considère alors la suite \((u_n)\) définie pour tout entier naturel non nul \(n\) par :

\[u_n = \exp(\dfrac1n) – \dfrac1n – 1\]

2. Déterminer la limite de la suite \((u_n)\).

3. a. Démontrer que, pour tout entier naturel non nul \(n\),

\[u_{n+1} – u_n = h(\dfrac{1}{n+1}) – h(\dfrac1n)\]

où \(h\) est la fonction définie à la partie A.

b. En déduire le sens de variation de la suite \((u_n)\).

4. Le tableau ci-dessous donne des valeurs approchées à \(10^{-9}\) des premiers termes de la suite \((u_n)\).

Donner la plus petite valeur de l’entier naturel \(n\) pour laquelle l’écart entre \(T\) et \(\mathcal{C}_f\) semble être inférieur à \(10^{-2}\).

Exercice 4 (7 points)

Thème : Probabilités

Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.

Au cours de la fabrication d’une paire de lunettes, la paire de verres doit subir deux traitements notés T1 et T2.

Partie A

On prélève au hasard une paire de verres dans la production.
On désigne par \(A\) l’évènement : « la paire de verres présente un défaut pour le traitement T1 ».
On désigne par \(B\) l’évènement : « la paire de verres présente un défaut pour le traitement T2 ».
On note respectivement \(\overline{A}\) et \(\overline{B}\) les évènements contraires de \(A\) et \(B\).
Une étude a montré que :

• la probabilité qu’une paire de verres présente un défaut pour le traitement T1 notée \(P(A)\) est égale à 0,1.
• la probabilité qu’une paire de verres présente un défaut pour le traitement T2 notée \(P(B)\) est égale à 0,2.
• la probabilité qu’une paire de verres ne présente aucun des deux défauts est 0,75.

1. Recopier et compléter le tableau suivant avec les probabilités correspondantes.

2. a. Déterminer, en justifiant la réponse, la probabilité qu’une paire de verres, prélevée au hasard dans la production, présente un défaut pour au moins un des deux traitements T1 ou T2.

b. Donner la probabilité qu’une paire de verres, prélevée au hasard dans la production, présente deux défauts, un pour chaque traitement T1 et T2.

c. Les évènements \(A\) et \(B\) sont-ils indépendants ? Justifier la réponse.

3. Calculer la probabilité qu’une paire de verres, prélevée au hasard dans la production, présente un défaut pour un seul des deux traitements.

4. Calculer la probabilité qu’une paire de verres, prélevée au hasard dans la production, présente un défaut pour le traitement T2, sachant que cette paire de verres présente un défaut pour le traitement T1.

Partie B

On prélève, au hasard, un échantillon de 50 paires de verres dans la production. On suppose que la production est suffisamment importante pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise.

On note \(X\) la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de ce type, associe le nombre de paires de verres qui présentent le défaut pour le traitement T1.

1. Justifier que la variable aléatoire \(X\) suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi.

2. Donner l’expression permettant de calculer la probabilité d’avoir, dans un tel échantillon, exactement 10 paires de verres qui présentent ce défaut.

Effectuer ce calcul et arrondir le résultat à \(10^{-3}\).

3. En moyenne, combien de paires de verres ayant ce défaut peut-on trouver dans un échantillon de 50 paires ?

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

1. Réponse c. Pour tout réel \(x\), \(1 + x^2 \gt 0\), donc \(f\) est bien définie sur \(\mathbb{R}\). On applique l’exponentielle aux deux membres : \(\ln(1 + x^2) = 2022 \iff 1 + x^2 = \text{e}^{2022} \iff x^2 = \text{e}^{2022} – 1\). Comme \(\text{e}^{2022} \gt 1\), le nombre \(\text{e}^{2022} – 1\) est strictement positif et l’équation a exactement deux solutions opposées : \(\sqrt{\text{e}^{2022} – 1}\) et \(-\sqrt{\text{e}^{2022} – 1}\).

2. Réponse c. Sur \(]0\,;\,+\infty[\), en dérivant le produit \(x\ln(x)\) : \(g^{\prime}(x) = \ln(x) + x \times \dfrac1x – 2x = \ln(x) + 1 – 2x\), puis \(g^{\prime\prime}(x) = \dfrac1x – 2 = \dfrac{1 – 2x}{x}\). Comme \(x \gt 0\), \(g^{\prime\prime}(x)\) a le signe de \(1 – 2x\) : positif sur \(]0\,;\,\dfrac12[\), négatif sur \(]\dfrac12\,;\,+\infty[\). La dérivée seconde s’annule en changeant de signe une seule fois : \(g\) est convexe puis concave, et \(\mathcal{C}_g\) a exactement un point d’inflexion, d’abscisse \(\dfrac12\). Les propositions a et b sont donc fausses, et d aussi.

3. Réponse a. On pose \(u(x) = 1 – x^2\), strictement positive sur \(]-1\,;\,1[\), avec \(u^{\prime}(x) = -2x\). La dérivée de \(\ln(u)\) est \(\dfrac{u^{\prime}}{u}\), donc la dérivée de \(g(x) = -\dfrac12\ln(1 – x^2)\) est \(g^{\prime}(x) = -\dfrac12 \times \dfrac{-2x}{1 – x^2} = \dfrac{x}{1 – x^2} = f(x)\). La fonction de la réponse a est bien une primitive de \(f\).

4. Réponse a. La fonction est définie lorsque \(-x^2 – x + 6 \gt 0\). Le trinôme \(-x^2 – x + 6\) a pour discriminant \(\Delta = 1 + 24 = 25\), et pour racines \(\dfrac{1 – 5}{-2} = 2\) et \(\dfrac{1 + 5}{-2} = -3\). Son coefficient dominant \(-1\) est négatif, donc il est strictement positif entre ses racines : l’ensemble de définition est \(]-3\,;\,2[\).

5. Réponse a. La tangente au point d’abscisse 1 a pour équation \(y = f^{\prime}(1)(x – 1) + f(1)\). On a \(f(1) = 1 – 4 + 3\ln(1) = -3\). En dérivant, avec \((\ln(2x – 1))^{\prime} = \dfrac{2}{2x – 1}\) : \(f^{\prime}(x) = 2x – 4 + \dfrac{6}{2x – 1}\), d’où \(f^{\prime}(1) = 2 – 4 + 6 = 4\). La tangente a donc pour équation \(y = 4(x – 1) – 3\), soit \(y = 4x – 7\).

6. Réponse b. L’inéquation n’a de sens que si \(x + 3 \gt 0\) et \(x + 1 \gt 0\), c’est-à-dire \(x \gt -1\). Sur \(]-1\,;\,+\infty[\), on écrit \(2\ln(x + 1) = \ln((x + 1)^2)\) et, la fonction \(\ln\) étant strictement croissante, l’inéquation équivaut à \(x + 3 \lt (x + 1)^2\), soit \(x^2 + x – 2 \gt 0\), c’est-à-dire \((x – 1)(x + 2) \gt 0\). Ce produit est positif à l’extérieur des racines \(-2\) et 1, donc pour \(x \lt -2\) ou \(x \gt 1\). En tenant compte de la condition \(x \gt -1\), il reste \(S = ]1\,;\,+\infty[\). (La réponse a oublie la condition d’existence des logarithmes.)

Exercice 2 :

1. a. On soustrait les coordonnées de A à celles de B, puis de C :

\[\vec{\text{AB}}\begin{pmatrix}0 – 2\\2 – 0\\1 – 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\\2\\-2\end{pmatrix} \quad \text{et} \quad \vec{\text{AC}}\begin{pmatrix}-1 – 2\\-1 – 0\\2 – 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3\\-1\\-1\end{pmatrix}.\]

S’il existait un réel \(k\) tel que \(\vec{\text{AB}} = k\,\vec{\text{AC}}\), la première coordonnée donnerait \(k = \dfrac23\) et la deuxième \(k = -2\) : c’est impossible. Les vecteurs ne sont pas colinéaires.

Les points A, B et C ne sont donc pas alignés.

b. Dans un repère orthonormé :

\[\text{AB} = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt3 \quad \text{et} \quad \text{AC} = \sqrt{(-3)^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{11}.\]

\(\text{AB} = 2\sqrt3\) et \(\text{AC} = \sqrt{11}\).

c. On calcule le produit scalaire de deux façons. Avec les coordonnées :

\[\vec{\text{AB}} \cdot \vec{\text{AC}} = (-2)(-3) + 2 \times (-1) + (-2)(-1) = 6 – 2 + 2 = 6.\]

Avec les normes : \(\vec{\text{AB}} \cdot \vec{\text{AC}} = \text{AB} \times \text{AC} \times \cos\widehat{\text{BAC}}\). On en déduit :

\[\cos\widehat{\text{BAC}} = \dfrac{6}{2\sqrt3 \times \sqrt{11}} = \dfrac{3}{\sqrt{33}} \approx 0{,}522.\]

\(\cos\widehat{\text{BAC}} = \dfrac{3}{\sqrt{33}}\) et, à la calculatrice, \(\widehat{\text{BAC}} \approx 58{,}5^\circ\) au dixième de degré.

2. a. Le plan \(\mathcal{P}\) est perpendiculaire à (AB), donc \(\vec{\text{AB}}\begin{pmatrix}-2\\2\\-2\end{pmatrix}\) est un vecteur normal à \(\mathcal{P}\), tout comme \(-\dfrac12\vec{\text{AB}}\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}\). Une équation de \(\mathcal{P}\) est donc de la forme \(x – y + z + d = 0\). Comme C\((-1\,;\,-1\,;\,2)\) appartient à \(\mathcal{P}\) : \(-1 + 1 + 2 + d = 0\), soit \(d = -2\).

\(\mathcal{P} : x – y + z – 2 = 0\) (équation équivalente à \(-x + y – z + 2 = 0\)).

b. La droite (AB) passe par A\((2\,;\,0\,;\,3)\) et est dirigée par \(\vec{u} = \dfrac12\vec{\text{AB}}\begin{pmatrix}-1\\1\\-1\end{pmatrix}\). Un point M\((x\,;\,y\,;\,z)\) est sur (AB) si et seulement s’il existe un réel \(t\) tel que \(\vec{\text{AM}} = t\,\vec{u}\), d’où :

\[(\text{AB}) : \{\begin{array}{l} x = 2 – t \\ y = t \\ z = 3 – t \end{array}. \quad (t \in \mathbb{R})\]

c. Le point E est sur (AB), donc ses coordonnées s’écrivent \((2 – t\,;\,t\,;\,3 – t)\), et il est sur \(\mathcal{P}\). On remplace dans l’équation du plan :

\[(2 – t) – t + (3 – t) – 2 = 0 \iff 3 – 3t = 0 \iff t = 1.\]

E\((1\,;\,1\,;\,2)\).

d. Le point E est le projeté orthogonal de C sur (AB) : le segment [CE] est la hauteur du triangle ABC issue de C, relative à la base [AB]. On a \(\vec{\text{CE}}\begin{pmatrix}2\\2\\0\end{pmatrix}\), donc \(\text{CE} = \sqrt{4 + 4 + 0} = \sqrt8 = 2\sqrt2\). L’aire vaut alors :

\[\mathcal{A}_{\text{ABC}} = \dfrac{\text{AB} \times \text{CE}}{2} = \dfrac{2\sqrt3 \times 2\sqrt2}{2} = 2\sqrt6.\]

L’aire du triangle ABC est \(2\sqrt6\) unités d’aire, soit environ 4,90.

3. a. Les vecteurs \(\vec{\text{AB}}\) et \(\vec{\text{AC}}\) ne sont pas colinéaires (question 1.a), ils dirigent le plan (ABC). Il suffit de trouver deux réels \(\alpha\) et \(\beta\) tels que \(\vec{\text{AF}} = \alpha\,\vec{\text{AB}} + \beta\,\vec{\text{AC}}\), avec \(\vec{\text{AF}}\begin{pmatrix}-1\\-1\\0\end{pmatrix}\). Cela donne le système :

\[\{\begin{array}{l} -2\alpha – 3\beta = -1 \\ 2\alpha – \beta = -1 \\ -2\alpha – \beta = 0 \end{array}.\]

En additionnant les deux dernières lignes : \(-2\beta = -1\), donc \(\beta = \dfrac12\) ; la troisième donne alors \(\alpha = -\dfrac{\beta}{2} = -\dfrac14\). On contrôle avec la première : \(-2 \times (-\dfrac14) – 3 \times \dfrac12 = \dfrac12 – \dfrac32 = -1\). Le système est compatible.

\(\vec{\text{AF}} = -\dfrac14\vec{\text{AB}} + \dfrac12\vec{\text{AC}}\) : les points A, B, C et F sont coplanaires.

b. On a \(\vec{\text{FD}}\begin{pmatrix}3 – 1\\-3 + 1\\-1 – 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\-2\\-4\end{pmatrix}\) et :

\[\vec{\text{FD}} \cdot \vec{\text{AB}} = -4 – 4 + 8 = 0 \quad \text{et} \quad \vec{\text{FD}} \cdot \vec{\text{AC}} = -6 + 2 + 4 = 0.\]

\(\vec{\text{FD}}\) est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC) : la droite (FD) est orthogonale au plan (ABC).

c. Le point F appartient au plan (ABC) et la droite (FD) est orthogonale à ce plan : F est le projeté orthogonal de D sur (ABC). La hauteur du tétraèdre ABCD relative à la base ABC est donc \(\text{FD} = \sqrt{4 + 4 + 16} = \sqrt{24} = 2\sqrt6\).

\[V = \dfrac13 \times \mathcal{A}_{\text{ABC}} \times \text{FD} = \dfrac13 \times 2\sqrt6 \times 2\sqrt6 = \dfrac{24}{3} = 8.\]

Le volume du tétraèdre ABCD est égal à 8 unités de volume.

Exercice 3 :

Partie A

1. En \(-\infty\) : \(\lim\limits_{x \to -\infty} \text{e}^x = 0\) et \(\lim\limits_{x \to -\infty} (-x) = +\infty\), donc par somme \(\lim\limits_{x \to -\infty} h(x) = +\infty\).

En \(+\infty\), on a une forme indéterminée « \(\infty – \infty\) ». Pour \(x \gt 0\), on factorise : \(h(x) = x(\dfrac{\text{e}^x}{x} – 1)\). Par croissance comparée, \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\text{e}^x}{x} = +\infty\), donc la parenthèse tend vers \(+\infty\), et par produit avec \(x\) qui tend vers \(+\infty\) :

\(\lim\limits_{x \to -\infty} h(x) = +\infty\) et \(\lim\limits_{x \to +\infty} h(x) = +\infty\).

2. La fonction \(h\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(h^{\prime}(x) = \text{e}^x – 1\). Par stricte croissance de l’exponentielle, \(\text{e}^x \gt 1 = \text{e}^0 \iff x \gt 0\) : donc \(h^{\prime}(x) \lt 0\) sur \(]-\infty\,;\,0[\), \(h^{\prime}(0) = 0\) et \(h^{\prime}(x) \gt 0\) sur \(]0\,;\,+\infty[\). Le minimum vaut \(h(0) = \text{e}^0 – 0 = 1\).

\(h\) est strictement décroissante sur \(]-\infty\,;\,0]\) et strictement croissante sur \([0\,;\,+\infty[\).

3. Les réels \(a\) et \(b\) appartiennent tous deux à \(]0\,;\,+\infty[\), intervalle sur lequel \(h\) est strictement croissante. Une fonction strictement croissante conserve l’ordre, donc \(a \lt b\) entraîne \(h(a) \lt h(b)\).

Si \(0 \lt a \lt b\), alors \(h(a) – h(b) \lt 0\).

Partie B

1. On a \(f^{\prime}(x) = \text{e}^x\), donc \(f(0) = f^{\prime}(0) = \text{e}^0 = 1\). L’équation de la tangente en 0 est \(y = f^{\prime}(0)(x – 0) + f(0)\).

\(T : y = x + 1\).

Remarque : au point d’abscisse \(\dfrac1n\), l’ordonnée sur \(\mathcal{C}_f\) est \(\text{e}^{\frac1n}\) et celle sur \(T\) est \(\dfrac1n + 1\) ; leur différence est exactement \(u_n\).

2. On a \(\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac1n = 0\). La fonction exponentielle étant continue en 0, \(\lim\limits_{n \to +\infty} \text{e}^{\frac1n} = \text{e}^0 = 1\). Par somme :

\(\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 1 – 0 – 1 = 0\).

3. a. Pour tout entier \(n \geq\, 1\), les termes « \(-1\) » se compensent :

\[u_{n+1} – u_n = \text{e}^{\frac{1}{n+1}} – \dfrac{1}{n+1} – 1 – \text{e}^{\frac1n} + \dfrac1n + 1 = (\text{e}^{\frac{1}{n+1}} – \dfrac{1}{n+1}) – (\text{e}^{\frac1n} – \dfrac1n).\]

Chaque parenthèse est de la forme \(\text{e}^x – x = h(x)\), respectivement pour \(x = \dfrac{1}{n+1}\) et \(x = \dfrac1n\).

Pour tout entier naturel non nul \(n\), \(u_{n+1} – u_n = h(\dfrac{1}{n+1}) – h(\dfrac1n)\).

b. Pour \(n \geq\, 1\), on a \(0 \lt n \lt n + 1\), donc, la fonction inverse étant décroissante sur \(]0\,;\,+\infty[\), \(0 \lt \dfrac{1}{n+1} \lt \dfrac1n\). On applique la partie A, question 3, avec \(a = \dfrac{1}{n+1}\) et \(b = \dfrac1n\) : \(h(\dfrac{1}{n+1}) – h(\dfrac1n) \lt 0\), c’est-à-dire \(u_{n+1} – u_n \lt 0\).

La suite \((u_n)\) est strictement décroissante.

4. L’écart entre \(T\) et \(\mathcal{C}_f\) au point d’abscisse \(\dfrac1n\) est \(u_n\). D’après le tableau, \(u_7 \approx 0{,}0107 \gt 0{,}01\) et \(u_8 \approx 0{,}0081 \lt 0{,}01\) ; comme la suite est décroissante, tous les termes suivants restent inférieurs à \(10^{-2}\).

La plus petite valeur cherchée est \(n = 8\) : au point d’abscisse \(\dfrac18\), l’écart est inférieur à un centième.

Exercice 4 :

Partie A

1. On place d’abord les données : \(P(A) = 0{,}1\), \(P(B) = 0{,}2\) et \(P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 0{,}75\). On en déduit les totaux \(P(\overline{A}) = 0{,}9\) et \(P(\overline{B}) = 0{,}8\), puis chaque case par différence dans sa ligne ou sa colonne : \(P(A \cap \overline{B}) = 0{,}8 – 0{,}75 = 0{,}05\), \(P(\overline{A} \cap B) = 0{,}9 – 0{,}75 = 0{,}15\) et \(P(A \cap B) = 0{,}1 – 0{,}05 = 0{,}05\) (contrôle : \(0{,}05 + 0{,}15 = 0{,}2 = P(B)\)).

2. a. « Présenter au moins un défaut » est l’évènement \(A \cup B\), contraire de « ne présenter aucun des deux défauts », c’est-à-dire de \(\overline{A} \cap \overline{B}\). Donc \(P(A \cup B) = 1 – P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 1 – 0{,}75\).

La probabilité qu’une paire présente au moins un défaut est \(0{,}25\).

b. Il s’agit de \(P(A \cap B)\), lue dans le tableau. On peut aussi l’obtenir par la formule \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)\) : \(0{,}25 = 0{,}1 + 0{,}2 – P(A \cap B)\).

\(P(A \cap B) = 0{,}05\).

c. On compare \(P(A) \times P(B) = 0{,}1 \times 0{,}2 = 0{,}02\) à \(P(A \cap B) = 0{,}05\) : ces nombres sont différents.

Les évènements \(A\) et \(B\) ne sont pas indépendants.

3. « Un défaut pour un seul des deux traitements » est la réunion des évènements incompatibles \(A \cap \overline{B}\) et \(\overline{A} \cap B\) :

\[P(A \cap \overline{B}) + P(\overline{A} \cap B) = 0{,}05 + 0{,}15 = 0{,}2.\]

La probabilité cherchée est \(0{,}2\).

4. On cherche la probabilité conditionnelle de \(B\) sachant \(A\) :

\[P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} = \dfrac{0{,}05}{0{,}1} = 0{,}5.\]

Sachant que la paire a un défaut pour T1, la probabilité qu’elle en ait aussi un pour T2 est \(0{,}5\).

Partie B

1. Pour chaque paire prélevée, on observe une épreuve à deux issues : succès « la paire présente le défaut T1 », de probabilité \(p = P(A) = 0{,}1\), ou échec. Le prélèvement étant assimilé à un tirage avec remise, les 50 épreuves sont identiques et indépendantes, et \(X\) compte le nombre de succès.

\(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n = 50\) et \(p = 0{,}1\).

2. Pour une loi binomiale, \(P(X = k) = \dbinom{n}{k}p^k(1 – p)^{n – k}\). Avec \(k = 10\) :

\[P(X = 10) = \dbinom{50}{10} \times 0{,}1^{10} \times 0{,}9^{40} \approx 0{,}015.\]

La probabilité d’avoir exactement 10 paires présentant ce défaut est environ \(0{,}015\).

3. Le nombre moyen est l’espérance de \(X\) : \(E(X) = np = 50 \times 0{,}1 = 5\).

En moyenne, on trouve 5 paires de verres ayant le défaut T1 dans un échantillon de 50 paires.

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