Bac maths 2024 Polynésie J2 : sujet et corrigé

Cette page reprend le sujet 2 du bac de spécialité mathématiques 2024 en Polynésie, posé le 20 juin 2024, suivi d’un corrigé détaillé et commenté. Le premier exercice part d’un sondage sur les jeux Olympiques et Paralympiques de Paris 2024 : arbre pondéré, probabilités conditionnelles, puis loi binomiale pour savoir si un budget de places de judo suffira. Le deuxième est un QCM de cinq questions sur une équation différentielle, l’encadrement graphique d’une intégrale et le dénombrement de groupes d’élèves. Le troisième étudie la suite \(u_{n+1} = u_n – \ln(\dfrac{u_n}{4})\) avec un programme Python, une récurrence et la recherche de sa limite. Le dernier place des drones lumineux dans un plan de l’espace : équation de plan, intersection avec une droite et distance d’un point au plan.

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BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2024
Mathématiques — Sujet 2
Polynésie — 20 juin 2024
Durée de l’épreuve : 4 heures

Exercice 1 (4 points)

Un sondage réalisé en France fournit les informations suivantes :

60 % des plus de 15 ans ont l’intention de regarder les jeux Olympiques et Paralympiques (JOP) de Paris 2024 à la télévision ;
parmi ceux qui ont l’intention de regarder les JOP, 8 personnes sur 9 déclarent pratiquer une activité sportive régulière.

On choisit au hasard une personne de plus de 15 ans. On considère les évènements suivants :

\(J\) : « la personne a l’intention de regarder les JOP Paris 2024 à la télévision » ;
\(S\) : « la personne choisie déclare pratiquer une activité sportive régulière ».

On note \(\overline{J}\) et \(\overline{S}\) leurs évènements contraires.

Dans les questions 1. et 2., les probabilités seront données sous la forme d’une fraction irréductible.

1. Démontrer que la probabilité que la personne choisie ait l’intention de regarder les JOP de Paris 2024 à la télévision et déclare pratiquer une activité sportive régulière est de \(\dfrac{8}{15}\).

On pourra s’appuyer sur un arbre pondéré.

Selon ce sondage, deux personnes sur trois parmi les plus de 15 ans déclarent pratiquer une activité sportive régulière.

2. a. Calculer la probabilité que la personne choisie n’ait pas l’intention de regarder les JOP de Paris 2024 à la télévision et déclare pratiquer une activité sportive régulière.

b. En déduire la probabilité de \(S\) sachant \(\overline{J}\) notée \(P_{\overline{J}}(S)\).

Dans la suite de l’exercice, les résultats seront arrondis au millième.

3. Dans le cadre d’une opération de promotion, 30 personnes de plus de 15 ans sont choisies au hasard.

On assimile ce choix à un tirage avec remise.

On note \(X\) la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes déclarant pratiquer une activité sportive régulière parmi les 30 personnes.

a. Déterminer la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par \(X\).

b. Calculer la probabilité qu’exactement 16 personnes déclarent pratiquer une activité sportive régulière parmi les 30 personnes.

c. La fédération française de judo souhaite offrir une place pour la finale de l’épreuve par équipe mixte de judo à l’Arena Champ-de-Mars pour chaque personne déclarant pratiquer une activité sportive régulière parmi ces 30 personnes.

Le prix d’une place s’élève à 380 € et on dispose d’un budget de 10 000 euros pour cette opération.

Quelle est la probabilité que ce budget soit insuffisant ?

Exercice 2 (5 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM) qui comprend cinq questions. Les cinq questions sont indépendantes.
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question suivi de la lettre correspondant à la réponse exacte.
Aucune justification n’est demandée.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou une absence de réponse ne rapporte, ni n’enlève aucun point.

1. La solution \(f\) de l’équation différentielle \(y^{\prime} = -3y + 7\) telle que \(f(0) = 1\) est la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :

Réponse A	Réponse B	Réponse C	Réponse D
\(f(x) = \text{e}^{-3x}\)	\(f(x) = -\dfrac{4}{3}\text{e}^{-3x} + \dfrac{7}{3}\)	\(f(x) = \text{e}^{-3x} + \dfrac{7}{3}\)	\(f(x) = -\dfrac{10}{3}\text{e}^{-3x} – \dfrac{7}{3}\)

2. La courbe d’une fonction \(f\) définie sur \([0~;~+\infty[\) est donnée ci-dessous.

Un encadrement de l’intégrale \(I = \displaystyle\int_1^5 f(x)\,\text{d}x\) est :

Réponse A	Réponse B	Réponse C	Réponse D
\(0 \leq\, I \leq\, 4\)	\(1 \leq\, I \leq\, 5\)	\(5 \leq\, I \leq\, 10\)	\(10 \leq\, I \leq\, 15\)

3. On considère la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x) = x^2\ln(x^2 + 4)\).

Alors \(\displaystyle\int_0^2 g^{\prime}(x)\,\text{d}x\) vaut, à \(10^{-1}\) près :

Réponse A	Réponse B	Réponse C	Réponse D
\(4{,}9\)	\(8{,}3\)	\(1{,}7\)	\(7{,}5\)

4. Une professeure enseigne la spécialité mathématiques dans une classe de 31 élèves de terminale.

Elle veut former un groupe de 5 élèves. De combien de façons différentes peut-elle former un tel groupe de 5 élèves ?

Réponse A	Réponse B	Réponse C	Réponse D
\(31^5\)	\(31 \times 30 \times 29 \times 28 \times 27\)	\(31 + 30 + 29 + 28 + 27\)	\(\dbinom{31}{5}\)

5. La professeure s’intéresse maintenant à l’autre spécialité des 31 élèves de son groupe :

10 élèves ont choisi la spécialité physique-chimie ;
20 élèves ont choisi la spécialité SES ;
1 élève a choisi la spécialité LLCE espagnol.

Elle veut former un groupe de 5 élèves comportant exactement 3 élèves ayant choisi la spécialité SES. De combien de façons différentes peut-elle former un tel groupe ?

Réponse A	Réponse B	Réponse C	Réponse D
\(\dbinom{20}{3} \times \dbinom{11}{2}\)	\(\dbinom{20}{3} + \dbinom{11}{2}\)	\(\dbinom{20}{3}\)	\(20^3 \times 11^2\)

Exercice 3 (6 points)

On considère la suite \((u_n)\) définie par :

\(u_0 = 8\) et pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1} = u_n – \ln(\dfrac{u_n}{4})\).

1. a. Donner les valeurs arrondies au centième de \(u_1\) et \(u_2\).

b. On considère la fonction mystere définie ci-dessous en Python. On admet que, pour tout réel strictement positif a, log(a) renvoie la valeur du logarithme népérien de a.

def mystere(k) :
    u = 8
    S = 0
    for i in range(k) :
        S = S + u
        u = u - log( u / 4 )
    return S

L’exécution de mystere(10) renvoie 58.44045206721732. Que représente ce résultat ?

c. Modifier la fonction précédente afin qu’elle renvoie la moyenne des \(k\) premiers termes de la suite \((u_n)\).

2. On considère la fonction \(f\) définie et dérivable sur \(]0~;~+\infty[\) par :

\[f(x) = x – \ln(\dfrac{x}{4}).\]

On donne ci-dessous une représentation graphique \(\mathcal{C}_f\) de la fonction \(f\) pour les valeurs de \(x\) comprises entre 0 et 6.

Étudier les variations de \(f\) sur \(]0~;~+\infty[\) et dresser son tableau de variations.

On précisera la valeur exacte du minimum de \(f\) sur \(]0~;~+\infty[\). Les limites ne sont pas demandées.

Dans la suite de l’exercice, on remarquera que pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1} = f(u_n)\).

3. a. Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel \(n\), on a :

\[1 \leq\, u_{n+1} \leq\, u_n.\]

b. En déduire que la suite \((u_n)\) converge vers une limite réelle.
On note \(\ell\) la valeur de cette limite

c. Résoudre l’équation \(f(x) = x\).

d. En déduire la valeur de \(\ell\).

Exercice 4 (5 points)

Une commune décide de remplacer le traditionnel feu d’artifice du 14 juillet par un spectacle de drones lumineux.

Pour le pilotage des drones, l’espace est muni d’un repère orthonormé \((\text{O}~;~\vec{\imath},~\vec{\jmath},~\vec{k})\) dont l’unité est la centaine de mètres.

La position de chaque drone est modélisée par un point et chaque drone est envoyé d’un point de départ D de coordonnées \((2~;~5~;~1)\).

On souhaite former avec des drones des figures en les positionnant dans un même plan \(\mathcal{P}\).

Trois drones sont positionnés aux points \(\text{A}(-1~;~-1~;~17)\), \(\text{B}(4~;~-2~;~4)\) et \(\text{C}(1~;~-3~;~7)\).

1. Justifier que les points A, B et C ne sont pas alignés.

Dans la suite, on note \(\mathcal{P}\) le plan (ABC) et on considère le vecteur \(\vec{n}\begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix}\).

2. a. Justifier que \(\vec{n}\) est normal au plan (ABC).

b. Démontrer qu’une équation cartésienne du plan \(\mathcal{P}\) est \(2x – 3y + z – 18 = 0\).

3. Le pilote des drones décide d’envoyer un quatrième drone en prenant comme trajectoire la droite \(d\) dont une représentation paramétrique est donnée par

\[d~:~\{\begin{array}{l}x = 3t + 2\\ y = t + 5\\ z = 4t + 1\end{array}., \text{ avec } t \in \mathbb{R}.\]

a. Déterminer un vecteur directeur de la droite \(d\).

b. Afin que ce nouveau drone soit également placé dans le plan \(\mathcal{P}\), déterminer par le calcul les coordonnées du point E, intersection de la droite \(d\) avec le plan \(\mathcal{P}\).

4. Le pilote des drones décide d’envoyer un cinquième drone le long de la droite \(\Delta\) qui passe par le point \(D\) et qui est perpendiculaire au plan \(\mathcal{P}\). Ce cinquième drone est placé lui aussi dans le plan \(\mathcal{P}\), soit à l’intersection entre la droite \(\Delta\) et le plan \(\mathcal{P}\). On admet que le point \(\text{F}(6~;~-1~;~3)\) correspond à cet emplacement.

Démontrer que la distance entre le point de départ D et le plan \(\mathcal{P}\) vaut \(2\sqrt{14}\) centaines de mètres.

5. L’organisatrice du spectacle demande au pilote d’envoyer un nouveau drone dans le plan (peu importe sa position dans le plan), toujours à partir du point D.

Sachant qu’il reste 40 secondes avant le début du spectacle et que le drone vole en trajectoire rectiligne à \(18{,}6\ \text{m.s}^{-1}\), le nouveau drone peut-il arriver à temps ?

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

1. L’énoncé donne \(P(J) = 0{,}6 = \dfrac{3}{5}\) et, parmi les personnes qui comptent regarder les JOP, la proportion de sportifs réguliers : \(P_J(S) = \dfrac{8}{9}\). Dans l’arbre pondéré, la première branche mène à \(J\) (probabilité \(\dfrac{3}{5}\)) ou à \(\overline{J}\) (probabilité \(\dfrac{2}{5}\)), puis de \(J\) partent \(S\) (\(\dfrac{8}{9}\)) et \(\overline{S}\) (\(\dfrac{1}{9}\)).

La probabilité d’une intersection est le produit des probabilités le long du chemin :

\[P(J \cap S) = P(J) \times P_J(S) = \dfrac{3}{5} \times \dfrac{8}{9} = \dfrac{24}{45} = \dfrac{8}{15}.\]

On a bien \(P(J \cap S) = \dfrac{8}{15}\).

2. a. On sait maintenant que \(P(S) = \dfrac{2}{3}\). Les évènements \(J\) et \(\overline{J}\) forment une partition de l’univers, donc d’après la formule des probabilités totales \(P(S) = P(J \cap S) + P(\overline{J} \cap S)\). On en tire :

\[P(\overline{J} \cap S) = P(S) – P(J \cap S) = \dfrac{2}{3} – \dfrac{8}{15} = \dfrac{10}{15} – \dfrac{8}{15} = \dfrac{2}{15}.\]

La probabilité cherchée est \(\dfrac{2}{15}\).

b. Comme \(P(\overline{J}) = 1 – \dfrac{3}{5} = \dfrac{2}{5}\) :

\[P_{\overline{J}}(S) = \dfrac{P(\overline{J} \cap S)}{P(\overline{J})} = \dfrac{2}{15} \times \dfrac{5}{2} = \dfrac{1}{3}.\]

\(P_{\overline{J}}(S) = \dfrac{1}{3}\) : un tiers seulement des personnes qui ne comptent pas regarder les JOP font du sport régulièrement.

3. a. Le choix des 30 personnes est assimilé à un tirage avec remise : on répète 30 fois, de manière identique et indépendante, une épreuve de Bernoulli dont le succès « la personne déclare pratiquer une activité sportive régulière » a pour probabilité \(P(S) = \dfrac{2}{3}\). \(X\) compte les succès : \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n = 30\) et \(p = \dfrac{2}{3}\).

b. \[P(X = 16) = \dbinom{30}{16}(\dfrac{2}{3})^{16}(\dfrac{1}{3})^{14} \approx 0{,}046.\]

La probabilité qu’exactement 16 personnes soient sportives est environ 0,046.

c. Offrir \(X\) places coûte \(380X\) euros. Le budget est insuffisant lorsque \(380X \gt 10\,000\), c’est-à-dire \(X \gt \dfrac{10\,000}{380} \approx 26{,}3\). Comme \(X\) est un entier, cela revient à \(X \geq\, 27\) (26 places coûtent 9 880 €, 27 places coûtent 10 260 €).

\[P(X \geq\, 27) = 1 – P(X \leq\, 26) \approx 1 – 0{,}9967 \approx 0{,}003.\]

La probabilité que le budget soit insuffisant est environ 0,003 : c’est très peu probable.

Exercice 2 :

1. Réponse B. L’équation \(y^{\prime} = -3y + 7\) est de la forme \(y^{\prime} = ay + b\) avec \(a = -3\) et \(b = 7\). Ses solutions sont les fonctions \(x \mapsto K\text{e}^{-3x} – \dfrac{b}{a} = K\text{e}^{-3x} + \dfrac{7}{3}\), \(K \in \mathbb{R}\). La condition \(f(0) = 1\) donne \(K + \dfrac{7}{3} = 1\), donc \(K = -\dfrac{4}{3}\) et \(f(x) = -\dfrac{4}{3}\text{e}^{-3x} + \dfrac{7}{3}\).

2. Réponse C. La fonction \(f\) est positive sur \([1~;~5]\), donc \(I\) est l’aire (en unités d’aire, un carreau valant 1) du domaine compris entre la courbe, l’axe des abscisses et les droites \(x = 1\) et \(x = 5\). D’après le graphique, sur \([1~;~2]\) on a \(3 \leq\, f(x) \leq\, 4\), sur \([2~;~3]\) \(2 \leq\, f(x) \leq\, 3\), sur \([3~;~4]\) \(1 \leq\, f(x) \leq\, 2\) et sur \([4~;~5]\) \(0 \leq\, f(x) \leq\, 1\). En additionnant ces encadrements sur des intervalles de longueur 1 : \(3 + 2 + 1 + 0 \leq\, I \leq\, 4 + 3 + 2 + 1\), soit \(6 \leq\, I \leq\, 10\), ce qui donne bien \(5 \leq\, I \leq\, 10\).

3. Réponse B. La fonction \(g\) est une primitive de \(g^{\prime}\), donc \(\displaystyle\int_0^2 g^{\prime}(x)\,\text{d}x = g(2) – g(0) = 4\ln(8) – 0 = 4\ln 8 = 12\ln 2 \approx 8{,}3\). Inutile de calculer \(g^{\prime}\).

4. Réponse D. Un groupe est un ensemble de 5 élèves, sans ordre ni répétition, choisis parmi 31 : c’est une combinaison, et il y en a \(\dbinom{31}{5}\) (soit 169 911). La réponse B compterait les listes ordonnées, donc chaque groupe \(5! = 120\) fois.

5. Réponse A. On choisit d’abord les 3 élèves de SES parmi 20 : \(\dbinom{20}{3}\) possibilités ; puis, pour chacun de ces choix, les 2 autres élèves parmi les \(31 – 20 = 11\) élèves qui n’ont pas pris SES (sinon le groupe en compterait plus de 3) : \(\dbinom{11}{2}\) possibilités. Par le principe multiplicatif, il y a \(\dbinom{20}{3} \times \dbinom{11}{2}\) groupes (soit 1 140 × 55 = 62 700).

Exercice 3 :

1. a. \(u_1 = u_0 – \ln(\dfrac{u_0}{4}) = 8 – \ln 2\), donc \(u_1 \approx 7{,}31\).

Puis \(u_2 = u_1 – \ln(\dfrac{u_1}{4}) = 8 – \ln 2 – \ln(\dfrac{8 – \ln 2}{4})\), donc \(u_2 \approx 6{,}70\).

b. La variable u part de \(u_0 = 8\). À chaque passage dans la boucle, on ajoute d’abord la valeur courante de u à S, puis on calcule le terme suivant. Après \(k\) passages, S contient donc \(u_0 + u_1 + \cdots + u_{k-1}\).

Le nombre 58.44045206721732 est une valeur approchée de la somme des 10 premiers termes \(u_0 + u_1 + \cdots + u_9\).

c. Il suffit de diviser la somme par le nombre de termes \(k\) :

def mystere(k) :
    u = 8
    S = 0
    for i in range(k) :
        S = S + u
        u = u - log( u / 4 )
    return S / k

2. Pour \(x \gt 0\), \(\ln(\dfrac{x}{4}) = \ln x – \ln 4\), donc \(f(x) = x – \ln x + \ln 4\) et :

\[f^{\prime}(x) = 1 – \dfrac{1}{x} = \dfrac{x – 1}{x}.\]

Sur \(]0~;~+\infty[\), le dénominateur \(x\) est strictement positif, donc \(f^{\prime}(x)\) a le signe de \(x – 1\) : \(f^{\prime}(x) \lt 0\) sur \(]0~;~1[\), \(f^{\prime}(1) = 0\) et \(f^{\prime}(x) \gt 0\) sur \(]1~;~+\infty[\). La fonction \(f\) est strictement décroissante sur \(]0~;~1]\) et strictement croissante sur \([1~;~+\infty[\).

Elle admet donc un minimum en \(x = 1\), égal à \(f(1) = 1 – \ln(\dfrac{1}{4}) = 1 + \ln 4\) (environ 2,39, ce que confirme la courbe).

\(x\)	0		1		\(+\infty\)
signe de \(f^{\prime}(x)\)	\|\|	\(-\)	0	\(+\)
variations de \(f\)	\|\|	\(\searrow\)	\(1 + \ln 4\)	\(\nearrow\)

Le minimum de \(f\) sur \(]0~;~+\infty[\) vaut \(1 + \ln 4\), atteint en \(x = 1\).

3. a. Pour tout entier naturel \(n\), notons \(\mathcal{P}_n\) la propriété : « \(1 \leq\, u_{n+1} \leq\, u_n\) ».

Initialisation. \(u_0 = 8\) et \(u_1 = 8 – \ln 2 \approx 7{,}31\), donc \(1 \leq\, u_1 \leq\, u_0\) : \(\mathcal{P}_0\) est vraie.

Hérédité. Soit \(n\) un entier naturel tel que \(1 \leq\, u_{n+1} \leq\, u_n\). Les trois nombres 1, \(u_{n+1}\), \(u_n\) sont dans \([1~;~+\infty[\), intervalle sur lequel \(f\) est croissante (question 2) ; appliquer \(f\) conserve donc l’ordre :

\[f(1) \leq\, f(u_{n+1}) \leq\, f(u_n), \quad \text{c^{\prime}est-à-dire} \quad 1 + \ln 4 \leq\, u_{n+2} \leq\, u_{n+1}.\]

Comme \(\ln 4 \gt 0\), \(1 \leq\, 1 + \ln 4\), d’où \(1 \leq\, u_{n+2} \leq\, u_{n+1}\) : \(\mathcal{P}_{n+1}\) est vraie.

Conclusion. \(\mathcal{P}_0\) est vraie et la propriété est héréditaire ; d’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel \(n\), \(1 \leq\, u_{n+1} \leq\, u_n\).

b. La question précédente montre que la suite \((u_n)\) est décroissante (\(u_{n+1} \leq\, u_n\)) et minorée par 1 (\(u_n \geq\, 1\) pour tout \(n \geq\, 1\), et \(u_0 = 8 \geq\, 1\)). D’après le théorème de convergence monotone, la suite \((u_n)\) converge vers une limite réelle \(\ell\), avec \(\ell \geq\, 1\).

c. Pour \(x \gt 0\) :

\[f(x) = x \iff x – \ln(\dfrac{x}{4}) = x \iff \ln(\dfrac{x}{4}) = 0 \iff \dfrac{x}{4} = 1 \iff x = 4.\]

L’équation \(f(x) = x\) a une unique solution : \(x = 4\).

d. On a \(u_{n+1} = f(u_n)\), la suite converge vers \(\ell \geq\, 1\), donc \(\ell\) appartient à \(]0~;~+\infty[\) où \(f\) est continue (car dérivable). Par passage à la limite dans l’égalité \(u_{n+1} = f(u_n)\), on obtient \(\ell = f(\ell)\). D’après la question c, \(\ell = 4\) : la suite décroît de 8 vers 4.

Exercice 4 :

1. On calcule \(\vec{\text{AB}}\begin{pmatrix}5\\-1\\-13\end{pmatrix}\) et \(\vec{\text{AC}}\begin{pmatrix}2\\-2\\-10\end{pmatrix}\). S’ils étaient colinéaires, il existerait un réel \(k\) tel que \(\vec{\text{AB}} = k\vec{\text{AC}}\) ; la deuxième coordonnée impose \(k = \dfrac{1}{2}\), mais la première donnerait \(5 = 1\), ce qui est faux.

Les vecteurs ne sont pas colinéaires, donc les points A, B et C ne sont pas alignés.

2. a. \(\vec{n} \cdot \vec{\text{AB}} = 2 \times 5 + (-3) \times (-1) + 1 \times (-13) = 10 + 3 – 13 = 0\) et \(\vec{n} \cdot \vec{\text{AC}} = 2 \times 2 + (-3) \times (-2) + 1 \times (-10) = 4 + 6 – 10 = 0\).

\(\vec{n}\) est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC) : il est normal à ce plan.

b. Puisque \(\vec{n}\begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix}\) est normal à \(\mathcal{P}\), ce plan a une équation de la forme \(2x – 3y + z + d = 0\). Le point A appartient au plan : \(2 \times (-1) – 3 \times (-1) + 17 + d = 0\), soit \(18 + d = 0\) et \(d = -18\).

Une équation cartésienne de \(\mathcal{P}\) est \(2x – 3y + z – 18 = 0\). (Contrôle avec B : \(8 + 6 + 4 – 18 = 0\) ; avec C : \(2 + 9 + 7 – 18 = 0\).)

3. a. Les coefficients de \(t\) dans la représentation paramétrique donnent un vecteur directeur : \(\vec{w}\begin{pmatrix}3\\1\\4\end{pmatrix}\).

b. Le point de \(d\) de paramètre \(t\) est dans \(\mathcal{P}\) si et seulement si ses coordonnées vérifient l’équation du plan :

\[2(3t + 2) – 3(t + 5) + (4t + 1) – 18 = 0 \iff 6t + 4 – 3t – 15 + 4t + 1 – 18 = 0 \iff 7t – 28 = 0 \iff t = 4.\]

Avec \(t = 4\) : \(x = 14\), \(y = 9\), \(z = 17\). Le point E a pour coordonnées \((14~;~9~;~17)\). (Contrôle : \(28 – 27 + 17 – 18 = 0\).)

4. Vérifions d’abord que F est bien le projeté orthogonal de D sur \(\mathcal{P}\). F est dans \(\mathcal{P}\) : \(2 \times 6 – 3 \times (-1) + 3 – 18 = 12 + 3 + 3 – 18 = 0\). De plus \(\vec{\text{DF}}\begin{pmatrix}4\\-6\\2\end{pmatrix} = 2\vec{n}\), donc la droite (DF) est perpendiculaire à \(\mathcal{P}\) : c’est la droite \(\Delta\).

La distance du point D au plan \(\mathcal{P}\) est la longueur DF, distance de D à son projeté orthogonal (c’est la plus courte distance de D à un point du plan) :

\[\text{DF} = \sqrt{4^2 + (-6)^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 36 + 4} = \sqrt{56} = \sqrt{4 \times 14} = 2\sqrt{14}.\]

La distance de D au plan \(\mathcal{P}\) vaut \(2\sqrt{14}\) centaines de mètres, soit environ 748 m.

5. Quel que soit le point visé dans le plan, le drone parcourt en ligne droite au moins la distance de D au plan, soit \(200\sqrt{14} \approx 748{,}3\) m.

En 40 secondes, à \(18{,}6\ \text{m.s}^{-1}\), le drone parcourt \(40 \times 18{,}6 = 744\) m, ce qui est inférieur à 748,3 m. Autrement dit, même par le chemin le plus court, il lui faudrait \(\dfrac{200\sqrt{14}}{18{,}6} \approx 40{,}2\) secondes.

Le nouveau drone ne peut pas arriver à temps, il lui manque environ 4 mètres.

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