Limite de fonctions : corrigé des exercices de maths en terminale en PDF.

Corrigés des exercices de maths en Terminale
Le corrigé des exercices de maths en terminale sur les limites de fonctions numériques.

Exercice 1 :

1. On a
\[\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2+x-1}{x-1} = \lim_{x\to+\infty}\frac{x^2}{x} = \lim_{x\to+\infty} x = +\infty.\]

2. On a
\[\lim_{x\to+\infty}\frac{x+100}{x^2+x} = \lim_{x\to+\infty}\frac{x\left(1+\frac{100}{x}\right)}{x\left(x+\frac{1}{x}\right)} = \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x} = 0.\]

3. On a
\[\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x^3}{x^2+x+1}-x\right) = \lim_{x\to+\infty}\frac{x^3-x^3-x^2-x}{x^2+x+1} = \lim_{x\to+\infty}\frac{-x^2}{x^2\left(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right)} = -1.\]

4. On a
\[\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x^3}{2x^2-1}-\frac{x^2}{x+1}\right) = \lim_{x\to+\infty}\frac{x^3-x^3+x^2+x}{(2x^2-1)(x+1)} = 0.\]

5. On a
\begin{align*} \lim_{x\to+\infty}\left(\frac{3x^2}{2x+1}-\frac{(2x-1)(3x^2+x+2)}{4x^2}\right) &= \lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2(2x-1)-(3x^2+x+2)(2x-1)}{4x^2(2x+1)} \\ &= \lim_{x\to+\infty}\frac{(3x^2-2x-1)(2x-1)}{4x^2(2x+1)} \\ &= \frac{3}{8}. \end{align*}

6. On a
\[\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x+5}}{x-4} = \lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{\frac{x+5}{x^2}}}{1-\frac{4}{x}} = 0.\]

7. On a
\[\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+x-1}+2x\right) = \lim_{x\to+\infty}\frac{(x^2+x-1)-(2x)^2}{\sqrt{x^2+x-1}-2x} = \lim_{x\to+\infty}\frac{-3x^2-x+1}{\sqrt{x^2+x-1}-2x} = -\sqrt{13}.\]

8. On a
\[\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+x-1}+x\right) = \lim_{x\to+\infty}\frac{(x^2+x-1)-x^2}{\sqrt{x^2+x-1}-x} = \lim_{x\to+\infty}\frac{x+1}{\sqrt{x^2+x-1}+x} = 1.\]

9. On a
\[\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+2x}+\sqrt{x^2+3}\right) = \lim_{x\to+\infty}\frac{x^2+2x-x^2-3}{\sqrt{x^2+2x}-\sqrt{x^2+3}} = -1.\]

 

Exercice 2 :

Par la règle de composition des limites, on a :
\[\lim_{t\to 0} \frac{\sin(nt)}{t} = n \times \lim_{t\to 0} \frac{\sin(nt)}{nt}.\]

Or, on a \lim_{t\to 0} \frac{\sin(nt)}{nt} = \lim_{u\to 0} \frac{\sin u}{u} avec u = nt, donc cette limite est égale à 1.

Finalement, on a :
\[\lim_{t\to 0} \frac{\sin(nt)}{t} = n \cdot \lim_{t\to 0} \frac{\sin(nt)}{nt} = n \cdot 1 = n.\]

Ainsi, la limite cherchée est $n$.

 

 

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