Continuité d'une fonction : corrigé des exercices en terminale.

Le corrigé des exercices de maths en terminale sur la continuité d’une fonction et le théorème des valeurs intermédiaires.

Exercice 1 :

soit f la fonction définie sur $[0;+\infty[$

par $f(x)=5-\frac{8}{x+2}$ .

Indication : voici la courbe de cette fonction.

1. Etudier les variations de f sur $[0;+\infty[$ .

2. Résoudre l’équation sur l’intervalle $[0;+\infty[$ .

On note $\alpha$ cette solution .

Exercice 2 :

Montrer qu’une fonction continue sur R qui ne s’annule jamais est de signe constant.

Effectuons un raisonnement par l’absurde.

Considérons que cette fonction f continue sur R et qui ne s’annule jamais change de signe.

soit a<b alors imaginons le cas f(a)<0 et f(b)>0.

or comme f est continue sur R et que f(a)f(b)<0 d’après le théorème des valeurs intermédiaires

alors cela signifie qu’il existe $c\in]a;b[$ tel que cela signifierait que f s’annule or ce n’est pas le cas.

Conclusion : une fonction continue sur R qui ne s’annule jamais est de signe constant.

Exercice 3 :

Montrer que l’équation tan x = x possède une unique solution dans $]\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}[.$

Notons elle est définie et dérivable sur $]\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}[.$

donc f est strictement croissante et continue sur $]\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}[$ et change de signe sur $]\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}[$

donc elle s’annule une seule fois sur $]\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}[.$

Exercice 4 :

Soit $f:[a,b] \to [a,b]$ une application continue. On va montrer par récurrence que admet un point fixe, c’est-à-dire qu’il existe $c \in [a,b]$ tel que .

Pour , le théorème de la valeur intermédiaire assure que si $f(a) \neq a$ et $f(b) \neq b$ , alors et ou bien et (par exemple si et , alors l’image de par est contenue dans l’intervalle $[\min\{f(a),f(b)\},\max\{f(a),f(b)\}]$ qui ne contient pas , ce qui contredit le fait que $f([a,b]) \subseteq [a,b]$ ). Par conséquent, il existe un $c \in [a,b]$ tel que .

Supposons maintenant que le résultat est vrai pour tout entier inférieur ou égal à , et considérons une application continue $f:[a,b] \to [a,b]$ .

Si ou , alors on a un point fixe et on a terminé.

Sinon, on peut appliquer le raisonnement précédent à la restriction de à l’intervalle ou à l’intervalle . Dans les deux cas, on obtient l’existence d’un point fixe $c \in [a,b]$ de cette restriction. Si $c \in \{a,b\}$ , alors on a terminé. Sinon, on a $f(c) \in [f(a),b]$ ou $f(c) \in [a,f(b)]$ , donc on peut appliquer l’hypothèse de récurrence à la restriction de à l’intervalle ou à l’intervalle . Dans les deux cas, on obtient l’existence d’un point fixe de cette restriction, qui est aussi un point fixe de .

Exercice 5:
Soit f la fonction définie sur $\mathbb{R}^+$ par $f(x)=x^2+\sqrt{x}-3.$

Montrer que f possède une unique racine puis en donner un encadrement d’amplitude 0, 01.

La fonctionf est dérivable sur $\mathbb{R}^{+*}$

$f'(x)=2x+\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{4x\sqrt{x}+1}{2\sqrt{x}}$

donc sur $\mathbb{R}^+$
donc f est strictement croissante sur $\mathbb{R}^+$ .

$\lim_{+\infty}f(x)=+\infty$ et
f est strictement croissante et continue et passe d’une valeur négative à une valeur positive sur $[0;+\infty[$
donc
f possède une unique racine sur $[0;+\infty[$ d’après le théorème de bijection.

Exercice 6 :
Soit P la fonction déﬁnie sur $\mathbb{R}$ par

1. Dresser le tableau de variations de P.

$P'(x)=3(x^2+\frac{2}{3}x-1)$

$P'(x)=3((x+\frac{2}{6})^2-\frac{4}{36}-1)$

$P'(x)=3((x+\frac{2}{6})^2-\frac{40}{36})$

$P'(x)=3[(x+\frac{2}{6}-\sqrt{\frac{40}{36}})(x+\frac{2}{6}+\sqrt{\frac{40}{36}})]$

$P'(x)=3[(x+\frac{2}{6}-\frac{\sqrt{40}}{6})(x+\frac{2}{6}+\frac{\sqrt{40}}{6})]$

$P'(x)=3[(x+\frac{2-2\sqrt{10}}{6})(x+\frac{2+2\sqrt{10}}{6})]$

$P'(x)=3(x+\frac{1-\sqrt{10}}{3})(x+\frac{1+\sqrt{10}}{3})$

2. En déduire le nombre de racines de P.

P admet trois racines distinctes.

3. Retrouver directement ces racines en factorisant P(x)..

1 est une racine évidente
donc

Par identification des coefficients :

$a=1\\b-a=1\\c-b=-3\\c=-1$

donc

$a=1\\b=2\\c-b=-3\\c=-1$

ainsi

$P(x)=(x-1)((x+1-\sqrt{2})(x+1+\sqrt{2}))$

Conclusion : les trois racines distinctes sont $1;\sqrt{2}-1;-\sqrt{2}-1$ .

Exercice 7 :

Montrer que tout polynôme de degré impair possède au moins une racine réelle.

Soit p un polynôme de degré impair

alors $\lim_{x \mapsto +\infty }P(x)=+\infty$ et $\lim_{x \mapsto -\infty }P(x)=-\infty$

de plus P est un polynôme donc continue sur R.

P passe donc d’une valeur négative à une valeur positive donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires,

il existe au moins une racine réelle.

${\color{DarkRed} \exists x\in\mathbb{R},P(x)=0}$

Exercice 8 :

Soit f la fonction déﬁnie sur R par

Montrer que f possède une unique racine.

$f'(x)=5x^4+3x^2+1=5(x^4+\frac{3}{5}x^2+\frac{1}{5})\\=5[(x^2+\frac{3}{10})^2-\frac{9}{100}+\frac{1}{5}] \\=5[(x^2+\frac{3}{10})^2+\frac{11}{100}]>0$

donc f est strictement croissante et continue sur R
de plus $\lim_{x \mapsto -\infty }f(x)=-\infty$ et $\lim_{x \mapsto +\infty }f(x)=+\infty$
donc f passe d’une valeur égative à une valeur positive

on peut en déduire, d’après le théorème des valeurs intermédiaires, que f admet une unique racine sur R.