Corrigé des exercices de maths

Continuité d’une fonction : corrigé des exercices de maths en terminale en PDF.


Le corrigé des exercices de maths en terminale sur la continuité d’une fonction et le théorème des valeurs intermédiaires.

Exercice 1 :

soit f la fonction définie sur [0;+\infty[  par  f(x)=5-\frac{8}{x+2} .

Indication : voici la courbe de cette fonction.

1. Etudier les variations de f sur [0;+\infty[.

2. Résoudre l’équation f(x)=x sur l’intervalle [0;+\infty[.

On note \alpha cette solution .

Exercice 2 :

Montrer qu’une fonction continue sur R qui ne s’annule jamais est de signe constant.

Effectuons un raisonnement par l’absurde.

Considérons que cette fonction f continue sur R et qui ne s’annule jamais change de signe.

soit a<b  alors imaginons le cas f(a)<0 et f(b)>0.

or comme f est continue sur R et que f(a)f(b)<0 d’après le théorème des valeurs intermédiaires

alors cela signifie qu’il existe c\in]a;b[  tel que f(c)=0 cela signifierait que f s’annule or ce n’est pas le cas.

Conclusion :  une fonction continue sur R qui ne s’annule jamais est de signe constant.

Exercice 3 :

Montrer que l’équation tan x = x possède une unique solution dans ]\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}[.

Notons f(x)=tanx-x elle est définie et dérivable sur ]\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}[.

f(x)=1+tan^2x-1=tan^2x>0

donc f est strictement croissante et continue sur  ]\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}[ et change de signe sur ]\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}[

donc elle s’annule une seule fois sur ]\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}[.

Exercice 4 :

Soit f:[a,b] \to [a,b] une application continue. On va montrer par récurrence que f admet un point fixe, c’est-à-dire qu’il existe c \in [a,b] tel que f(c) = c.

Pour n=1, le théorème de la valeur intermédiaire assure que si f(a) \neq a et f(b) \neq b, alors f(a) > a et f(b) < b ou bien f(a) < a et f(b) > b (par exemple si f(a) < a et f(b) < b, alors l’image de [a,b] par f est contenue dans l’intervalle [\min\{f(a),f(b)\},\max\{f(a),f(b)\}] qui ne contient pas [a,b], ce qui contredit le fait que f([a,b]) \subseteq [a,b]). Par conséquent, il existe un c \in [a,b] tel que f(c) = c.

Supposons maintenant que le résultat est vrai pour tout entier inférieur ou égal à n, et considérons une application continue f:[a,b] \to [a,b].

Si f(a) = a ou f(b) = b, alors on a un point fixe et on a terminé.

Sinon, on peut appliquer le raisonnement précédent à la restriction de f à l’intervalle [f(a),b] ou à l’intervalle [a,f(b)]. Dans les deux cas, on obtient l’existence d’un point fixe c \in [a,b] de cette restriction. Si c \in \{a,b\}, alors on a terminé. Sinon, on a f(c) \in [f(a),b] ou f(c) \in [a,f(b)], donc on peut appliquer l’hypothèse de récurrence à la restriction de f à l’intervalle [f(a),c] ou à l’intervalle [c,f(b)]. Dans les deux cas, on obtient l’existence d’un point fixe de cette restriction, qui est aussi un point fixe de f.

Exercice 5:
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R}^+ par f(x)=x^2+\sqrt{x}-3.

Montrer que f possède une unique racine puis en donner un encadrement d’amplitude 0, 01.

La fonctionf est dérivable sur \mathbb{R}^{+*}

f'(x)=2x+\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{4x\sqrt{x}+1}{2\sqrt{x}}

donc sur \mathbb{R}^+ f' >0
donc f est strictement croissante sur \mathbb{R}^+.

\lim_{+\infty}f(x)=+\infty  et f(x)=-3
f est strictement croissante et continue et passe d’une valeur négative à une valeur positive sur [0;+\infty[
donc
f possède une unique racine sur [0;+\infty[ d’après le théorème de bijection.

Exercice 6 :
Soit P la fonction définie sur \mathbb{R} par P(x)=x^3+x^2-3x+1.

1. Dresser le tableau de variations de P.

P'(x)=3x^2+2x-3

P'(x)=3(x^2+\frac{2}{3}x-1)

P'(x)=3((x+\frac{2}{6})^2-\frac{4}{36}-1)

P'(x)=3((x+\frac{2}{6})^2-\frac{40}{36})

P'(x)=3[(x+\frac{2}{6}-\sqrt{\frac{40}{36}})(x+\frac{2}{6}+\sqrt{\frac{40}{36}})]

P'(x)=3[(x+\frac{2}{6}-\frac{\sqrt{40}}{6})(x+\frac{2}{6}+\frac{\sqrt{40}}{6})]

P'(x)=3[(x+\frac{2-2\sqrt{10}}{6})(x+\frac{2+2\sqrt{10}}{6})]

P'(x)=3(x+\frac{1-\sqrt{10}}{3})(x+\frac{1+\sqrt{10}}{3})

2. En déduire le nombre de racines de P.

P admet trois racines distinctes.

3. Retrouver directement ces racines en factorisant P(x)..

1 est une racine évidente
donc
P(x)=(x-1)(ax^2+bx+c)

P(x)=ax^3+bx^2+cx-ax^2-bx-c=ax^3+(b-a)x^2+(c-b)x-c

Par identification des coefficients :

a=1\\b-a=1\\c-b=-3\\c=-1

donc

a=1\\b=2\\c-b=-3\\c=-1

ainsi

P(x)=(x-1)(x^2+2x-1)

P(x)=(x-1)((x+1)^2-1-1)

P(x)=(x-1)((x+1)^2-2)

P(x)=(x-1)((x+1-\sqrt{2})(x+1+\sqrt{2}))

Conclusion : les trois racines distinctes sont 1;\sqrt{2}-1;-\sqrt{2}-1.

Exercice 7 :

Montrer que tout polynôme de degré impair possède au moins une racine réelle.

Soit p un polynôme de degré impair

alors \lim_{x \mapsto   +\infty }P(x)=+\infty et \lim_{x \mapsto   -\infty }P(x)=-\infty

de plus P est un polynôme donc continue sur R.

P passe donc d’une valeur négative à une valeur positive donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires,

il existe au moins une racine réelle.

{\color{DarkRed} \exists x\in\mathbb{R},P(x)=0}

Exercice 8 :

Soit f la fonction définie sur R par f(x)=x^5+x^3+x+1.

Montrer que f possède une unique racine.

f'(x)=5x^4+3x^2+1=5(x^4+\frac{3}{5}x^2+\frac{1}{5})\\=5[(x^2+\frac{3}{10})^2-\frac{9}{100}+\frac{1}{5}] \\=5[(x^2+\frac{3}{10})^2+\frac{11}{100}]>0

donc f est strictement croissante et continue sur R
de plus \lim_{x \mapsto   -\infty }f(x)=-\infty et \lim_{x \mapsto   +\infty }f(x)=+\infty
donc f passe d’une valeur égative à une valeur positive

on peut en déduire, d’après le théorème des valeurs intermédiaires, que f admet une unique racine sur R.

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