Corrigés des exercices de maths en Terminale
Le corrigé des exercices de maths en terminale sur la continuité d’une fonction et le théorème des valeurs intermédiaires.

Exercice 1 :

soit f la fonction définie sur mimetex Continuité d'une fonction : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.  par  mimetex Continuité d'une fonction : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. .

Indication : voici la courbe de cette fonction.

courbe-18-1 Continuité d'une fonction : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.

1. Etudier les variations de f sur mimetex Continuité d'une fonction : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF..

2. Résoudre l’équation mimetex Continuité d'une fonction : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. sur l’intervalle mimetex Continuité d'une fonction : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF..

On note mimetex Continuité d'une fonction : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. cette solution .

Exercice 2 :

Montrer qu’une fonction continue sur R qui ne s’annule jamais est de signe constant.

Effectuons un raisonnement par l’absurde.

Considérons que cette fonction f continue sur R et qui ne s’annule jamais change de signe.

soit a<b  alors imaginons le cas f(a)<0 et f(b)>0.

or comme f est continue sur R et que f(a)f(b)<0 d’après le théorème des valeurs intermédiaires

alors cela signifie qu’il existe mimetex Continuité d'une fonction : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.  tel que mimetex Continuité d'une fonction : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. cela signifierait que f s’annule or ce n’est pas le cas.

Conclusion :  une fonction continue sur R qui ne s’annule jamais est de signe constant.

Exercice 3 :

Montrer que l’équation tan x = x possède une unique solution dans mimetex.cgi?]\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}[ Continuité d'une fonction : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.

Notons mimetex Continuité d'une fonction : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. elle est définie et dérivable sur mimetex.cgi?]\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}[ Continuité d'une fonction : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.

mimetex Continuité d'une fonction : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.

donc f est strictement croissante et continue sur  mimetex Continuité d'une fonction : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. et change de signe sur mimetex Continuité d'une fonction : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.

donc elle s’annule une seule fois sur mimetex.cgi?]\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}[ Continuité d'une fonction : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.

Exercice 4 :

Soit mimetex Continuité d'une fonction : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. une application continue. On va montrer par récurrence que mimetex Continuité d'une fonction : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. admet un point fixe, c’est-à-dire qu’il existe mimetex Continuité d'une fonction : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. tel que mimetex Continuité d'une fonction : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF..

Pour mimetex Continuité d'une fonction : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF., le théorème de la valeur intermédiaire assure que si mimetex Continuité d'une fonction : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. et mimetex Continuité d'une fonction : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF., alors mimetex Continuité d'une fonction : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. et mimetex Continuité d'une fonction : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. ou bien mimetex Continuité d'une fonction : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. et mimetex Continuité d'une fonction : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. (par exemple si mimetex Continuité d'une fonction : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. et mimetex Continuité d'une fonction : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF., alors l’image de mimetex Continuité d'une fonction : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. par mimetex Continuité d'une fonction : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. est contenue dans l’intervalle mimetex Continuité d'une fonction : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. qui ne contient pas mimetex Continuité d'une fonction : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF., ce qui contredit le fait que mimetex Continuité d'une fonction : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.). Par conséquent, il existe un mimetex Continuité d'une fonction : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. tel que mimetex Continuité d'une fonction : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF..

Supposons maintenant que le résultat est vrai pour tout entier inférieur ou égal à mimetex Continuité d'une fonction : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF., et considérons une application continue mimetex Continuité d'une fonction : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF..

Si mimetex Continuité d'une fonction : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. ou mimetex Continuité d'une fonction : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF., alors on a un point fixe et on a terminé.

Sinon, on peut appliquer le raisonnement précédent à la restriction de mimetex Continuité d'une fonction : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. à l’intervalle mimetex Continuité d'une fonction : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. ou à l’intervalle mimetex Continuité d'une fonction : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.. Dans les deux cas, on obtient l’existence d’un point fixe mimetex Continuité d'une fonction : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. de cette restriction. Si mimetex Continuité d'une fonction : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF., alors on a terminé. Sinon, on a mimetex Continuité d'une fonction : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. ou mimetex Continuité d'une fonction : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF., donc on peut appliquer l’hypothèse de récurrence à la restriction de mimetex Continuité d'une fonction : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. à l’intervalle mimetex Continuité d'une fonction : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. ou à l’intervalle mimetex Continuité d'une fonction : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.. Dans les deux cas, on obtient l’existence d’un point fixe de cette restriction, qui est aussi un point fixe de mimetex Continuité d'une fonction : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF..

Exercice 5:
Soit f la fonction définie sur mimetex Continuité d'une fonction : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. par mimetex.cgi?f(x)=x^2+\sqrt{x}-3 Continuité d'une fonction : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.

Montrer que f possède une unique racine puis en donner un encadrement d’amplitude 0, 01.

La fonctionf est dérivable sur mimetex Continuité d'une fonction : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.

mimetex Continuité d'une fonction : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.

donc sur mimetex Continuité d'une fonction : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. mimetex Continuité d'une fonction : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.
donc f est strictement croissante sur mimetex Continuité d'une fonction : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF..

mimetex Continuité d'une fonction : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.  et mimetex Continuité d'une fonction : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.
f est strictement croissante et continue et passe d’une valeur négative à une valeur positive sur mimetex Continuité d'une fonction : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.
donc
f possède une unique racine sur mimetex Continuité d'une fonction : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. d’après le théorème de bijection.

Exercice 6 :
Soit P la fonction définie sur mimetex Continuité d'une fonction : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. par mimetex.cgi?P(x)=x^3+x^2-3x+1 Continuité d'une fonction : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.

1. Dresser le tableau de variations de P.

mimetex Continuité d'une fonction : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.

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mimetex Continuité d'une fonction : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.

mimetex Continuité d'une fonction : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.

2. En déduire le nombre de racines de P.

P admet trois racines distinctes.

3. Retrouver directement ces racines en factorisant P(x)..

1 est une racine évidente
donc
mimetex Continuité d'une fonction : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.

mimetex Continuité d'une fonction : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.

Par identification des coefficients :

mimetex Continuité d'une fonction : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.

donc

mimetex Continuité d'une fonction : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.

ainsi

mimetex Continuité d'une fonction : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.

mimetex Continuité d'une fonction : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.

mimetex Continuité d'une fonction : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.

mimetex Continuité d'une fonction : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.

Conclusion : les trois racines distinctes sont mimetex Continuité d'une fonction : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF..

Exercice 7 :

Montrer que tout polynôme de degré impair possède au moins une racine réelle.

Soit p un polynôme de degré impair

alors mimetex Continuité d'une fonction : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. et mimetex Continuité d'une fonction : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.

de plus P est un polynôme donc continue sur R.

P passe donc d’une valeur négative à une valeur positive donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires,

il existe au moins une racine réelle.

mimetex Continuité d'une fonction : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.

Exercice 8 :

Soit f la fonction définie sur R par mimetex.cgi?f(x)=x^5+x^3+x+1 Continuité d'une fonction : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.

Montrer que f possède une unique racine.

mimetex Continuité d'une fonction : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.

donc f est strictement croissante et continue sur R
de plus mimetex Continuité d'une fonction : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. et mimetex Continuité d'une fonction : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.
donc f passe d’une valeur égative à une valeur positive

on peut en déduire, d’après le théorème des valeurs intermédiaires, que f admet une unique racine sur R.


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