Corrigés des exercices de maths en Terminale
Le corrigé des exercices de maths en terminale sur les nombres complexes. Savoir donner l’écriture algébrique et géométrique d’un nombre complexe. Déterminer la partie réelle et imaginaire ainsi que, utiliser la formule de Moivre et d’Euler.

Exercice 1 :

1.

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

On a mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF., donc mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF..

Donc mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. peut être mis sous la forme a + bi avec a = 11 et b = -13.

2.

On a mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF..

Donc mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. peut être mis sous la forme a + bi avec a = 0 et b = -1.

3.

On a

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

Donc mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. peut être mis sous la forme mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. avec mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. et mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF..

4.

On a

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

Donc mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. peut être mis sous la forme a + bi avec a = 1 et b = 1.

5.

On a

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

Donc mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. peut être mis sous la forme a + bi avec a = 2 et b = 3.

6.

On a

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

Donc mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. peut être mis sous la forme a + bi

avec mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. et b = 0.

Exercice 2 :

1.

La partie réelle de z est x et la partie imaginaire de z est y.

Calculons Z avec chacune des expressions données :

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

La partie réelle de Z est donc

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

et sa partie imaginaire est

mimetex.cgi?Im(Z)\,=\,\frac{y-1}{x+y-1} Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

2.

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

La partie réelle de Z est

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

et sa partie imaginaire est

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF..

3.

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

La partie réelle de Z est donc

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

et sa partie imaginaire est

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

4.

Maintenant, déterminons l’ensemble des points M d’affixe z tels que Z soit réel ou imaginaire pur.

Si Z est réel pur, alors sa partie imaginaire est nulle, donc

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. et mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

La première équation donne y = 1, et la deuxième donne y = 0.

Donc si Z est réel pur, soit M a une abscisse x telle que mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF., soit M se situe sur l’axe réel.

Si Z est imaginaire pur, alors sa partie réelle est nulle, donc

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. et mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.   et mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

La première équation donne x = 0, la deuxième n’a pas de solution réelle, et la troisième n’a pas de solution réelle non plus.

Donc si Z est imaginaire pur, soit M a une ordonnée y telle que mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF., soit M se situe sur l’axe imaginaire.

Exercice 3  :

On a mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF..
Ensuite, mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF..
Enfin, mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF..

Exercice 4 :

On a  P  qui est le centre du carré de côté AB , ainsi P est situé sur la médiatrice de AB . De plus, la distance de P à AB est égale à la moitié de la longueur du côté du carré. Ainsi, on a :

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. est le vecteur directeur de AB .

Comme AB est un côté du carré, on a |z_{AB}| = |a-b| .

Il reste à exprimer mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.:

on amimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. car les vecteurs mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. et a-c sont colinéaires.

Ainsi, on a :
mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.
En utilisant la formule pour l’argument d’un quotient, on obtient finalement :
mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.
De manière similaire, on obtiendra pour les autres points :
mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.
Maintenant, on calcule \frac{s-q}{r-p} :
mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.
On voit que le numérateur et le dénominateur sont les conjuguais de l’un de l’autre, donc leur quotient est de module 1.

Ainsi, les diagonales  PR  et  QS  sont de même longueur et sont perpendiculaires.

figure-329x380 Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

Exercice 5 :

Partie A :

Démontrons l’équivalence  UVW  équilatéral de sens direct mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF..

Supposons que UVW soit équilatéral et de sens direct.

On a alors mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. et mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF..

En écrivant ces égalités en coordonnées, cela donne :
mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.  et mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF..
En soustrayant ces deux équations, on obtient :
mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.
ce qui prouve que UVW est bien équilatéral et de sens direct.

Supposons maintenant que mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. .

En écrivant l’égalité mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. en coordonnées, cela donne mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF..

En utilisant l’équation donnée dans l’énoncé et en simplifiant, on obtient alors :
mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.
ce qui montre l’équivalence.

Partie B :

Démontrons que  UVW  est équilatéral avec centre de gravité G . Pour cela, notons u , v , w les affixes respectives de  B ,  C ,  A  dans le repère mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF..

triangle Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

Alors, les affixes respectives de  P ,  Q ,  R  sont :
mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.
Pour trouver le centre de gravité G de UVW , on peut utiliser les formules classiques mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. avec  mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. sont les affixes de A , B , C respectivement.

Après calculs, on trouve :
mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.
Il suffit donc de démontrer que mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. .

Or, on sait que mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF., et de manière similaire pour q et r . Ainsi, on a :
mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.
ce qui prouve que mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. est équilatéral avec centre de gravité G .

Finalement, il reste à montrer que G est le centre de gravité de ABC.

En utilisant les affixes de U, V, W, on peut exprimer le centre de gravité G’ de ABC :
mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.
Or, on a montré que mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF., et on sait que j est une racine cubique de l’unité. Ainsi, en multipliant G par les racines cubiques de l’unité, on obtient G’.

Par conséquent, G est bien le centre de gravité de ABC.

triangle-1-359x380 Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

triangle-2-358x380 Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

Exercice 6 :

On utilise la notation mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. où x et y sont les parties réelle et imaginaire de z , respectivement.

(1) Démontrons l’équivalence mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. .

Si mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. , alors Z = x et mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. , donc Z = mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. .

Réciproquement, si mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. , alors mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. , donc y=0 et mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. .

(2) Démontrons l’équivalence mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF..

Si mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. , alors mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. si et seulement si mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. .

Donc si mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. et mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. , alors Z = x et mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF..

Réciproquement, si mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. avec r > 0 et \pi\mathbb{Z} Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF., alors Z n’est pas réel (sa partie imaginaire est non nulle).

Si Z = 0 , alors Z mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. .

Sinon, si mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF., alors Z mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. .

(3) Démontrons l’équivalence Z imaginaire pur mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. .

Si Z est imaginaire pur, alors Z = iy pour un certain y mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. , donc mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF..

Réciproquement, si mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF., alors mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. est purement imaginaire.

Donc Z est imaginaire pur.

Exercice 7 :

1. Tout nombre complexe z vérifiant mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. est de la forme mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.  où mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. vérifie mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. pour un certain entier k.

Ainsi, on a n)} Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. pour un certain entier k.

En faisant varier k de 0 à n-1, on obtient toutes les racines nièmes de l’unité possibles, d’où n)},\,k\in\{0,1,\ldots,n-1\}\} Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF..

2. Soient mimetex.cgi?z_1,\,z_2,\,.. Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. les racines nièmes de l’unité. On peut écrire :
mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.
mimetex.cgi?\theta_1,\,\theta_2,\,.. Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. sont des réels tels que mimetex.cgi?e^{i\theta_1}=z_1,\,e^{i\theta_2}=z_2,\,.. Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF..

On multiplie cette somme par mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. :
mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.
Or, chaque terme de cette somme est de la forme mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. où k varie de 2 à n.

Mais comme il y a n racines nièmes de l’unité distinctes, on en déduit que les différences mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. sont distinctes modulo mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF..

Ainsi, ces termes s’annulent deux à deux, ce qui donne :
mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

Or, le nombre mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. est non nul car mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. est une racine n-ième de l’unité et donc mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF..

On en déduit que mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF..

3. Chaque nombre mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. est de la forme n)} Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF., qui correspond à un angle central de mesure 2\pi/n dans le cercle trigonométrique.

Les points mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. associés à ces nombres sont donc situés à égale distance de l’origine O, et forment un polygone régulier.

En effet, si on note mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. l’affixe de mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF., alors on a :
mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.
mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.
pour tout k, où les indices sont pris modulo n.

Ainsi, les points A_k forment un polygone régulier de n côtés.

Exercice 8 :

1. On cherche les points M tels que Z soit réel.

On a Z = (z+1)/(z-1), donc Z est réel si et seulement si z+1 et z-1 sont conjugués.

Autrement dit, s’il existe un réel t tel que z+1=t(z-1).

Cela équivaut à mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. étant réel, c’est-à-dire imaginaire pur.

En posant mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. avec a, b réels, on obtient le système :
mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. (t est de module 1)
mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF..

Cela se réécrit sous la forme :
mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

Soit mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. où a+1 = x et b = y.

Finalement, l’ensemble E des points M tels que Z soit réel est formé par les points M d’affixes z vérifiant :
mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.
Cela équivaut à avoir y = 0 ou x = 0 (les deux cas étant exclusifs car z est différent de 1).

2. On cherche les points M tels que |Z|=1, c’est-à-dire |z+1| = |z-1|. On peut élever au carré cette égalité et obtenir :
mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.
mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.
mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.
mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.
Ce qui signifie que z est imaginaire pur.

Ainsi, les points M du plan complexes tels que |Z|=1 sont les points M d’affixe z vérifiant z = iy pour un certain réel y.

3. On cherche les points M tels que arg(Z) = π/2 [2π], c’est-à-dire les points M tels que Re(Z) = 0 et Im(Z) > 0.

On a mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF., donc :
mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.
et
mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.
Le point M d’affixe mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. satisfait arg(Z) = π/2 [2π] si et seulement si :
mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.
et
mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.
La première équation est équivalente à x = 0, et la seconde équation est équivalente à y > 0 (car x-1 < 0 pour x < 0). Ainsi, l’ensemble G des points M tels que arg(Z) = π/2 [2π] est la demi-droite (OM) où O est l’origine du plan complexe et M est un point du cercle trigonométrique situé au-dessus de l’axe des abscisses.

Exercice 9 :

On développe les deux côtés de l’égalité à démontrer en utilisant la formule de distributivité pour les modules :
mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

Or, on sait que mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. et mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF..

En utilisant ces formules, on obtient :
mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF., ce qui prouve l’égalité à démontrer.

Géométriquement, cette égalité correspond à la loi des parallélogrammes dans un repère orthonormé : si Z est un vecteur, alors Z+Z’ est le vecteur somme, Z-Z’ est le vecteur différence, et les quatre termes mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. et mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. représentent respectivement le carré de la norme de Z, le carré de la norme de Z’, le carré de la norme de la somme mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. et le carré de la norme de la différence Z-Z’.

Cette égalité montre que la somme des carrés des quatre côtés d’un parallélogramme est égale à la somme des carrés de ses deux diagonales.

Exercice 10 :

On écrit tout d’abord a et b sous forme de sommes de carrés :
mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.
mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

On a donc mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.  et mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF., où x, y, z et t sont des entiers relatifs.

Par la formule de distributivité pour les modules, on a aussi :
mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

On peut donc considérer le nombre complexe mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF., et montrer que ab est la somme de deux carrés en montrant que mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. s’écrit sous cette forme.

On développe w :
mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

On obtient donc :
mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

En utilisant la formule de distributivité du carré, on peut développer cette expression :
mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

On a donc :
mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

En remplaçant mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. par son expression, on obtient :
mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

Cela montre que ab est bien la somme de deux carrés, à savoir mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. et mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF..

Exercice 11 :

1.
a) Lorsque a = 2, la transformation f est une homothétie de rapport 2 de centre O(0,3) suivie d’une translation de vecteur 3i.

Le point O est donc l’unique point invariant de f, et la transformation conserve les droites passant par O.

Les vecteurs non nuls sont donc transformés en des vecteurs colinéaires.

b) Lorsque a = -i, la transformation f est une rotation de centre 0 et d’angle pi/2 suivie d’une translation de vecteur 3i.

Le point 0 est donc l’unique point invariant de f, et la transformation conserve les distances.

Les droites et les cercles sont donc transformés en des droites et des cercles.

2. On calcule les vecteurs mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. et mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF., en utilisant les coordonnées des points donnés :

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

On a bien AB = A’B’.

Pour démontrer qu’il existe une unique rotation r telle que r(A) = A’ et r(B) = B’, on peut considérer la somme complexe mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF., qui doit être nulle si les deux distances sont égales et les angles orientés sont égaux modulo pi. On a :

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

Comme la somme est non nulle, il n’existe pas de rotation qui puisse ramener les deux vecteurs l’un sur l’autre. Par contre, on peut effectuer une composition de homothéties et de rotations qui résolve le problème.

On peut d’abord faire une homothétie de rapport -1 qui inverse le plan :

elle transforme A en -A et B en -B.

On peut alors considérer une rotation qui envoie -A sur A’ :

elle existe et est unique car les distances AB et A’B’ sont égales.

Cette rotation envoie -B sur B’ car elle envoie la droite (AB) sur la droite (A’B’).

Enfin, on peut faire une homothétie de rapport -1 qui inverse à nouveau le plan et ramène A et A’ (ainsi que B et B’) l’un sur l’autre.

La transformation globale est donc composée de deux homothéties et une rotation, et elle envoie A sur A’ et B sur B’.

On peut calculer les coordonnées du centre et de l’angle de la rotation.

Le centre de la rotation est le milieu de AB et A’B’, soit (3/2,1/2).

On calcule le vecteur u = A’B’ / AB, qui a valeur (1-i) / (1+i) = -i.

L’angle de la rotation est arg(-i) = -pi/2.

La rotation est donc une rotation de centre (3/2,1/2) et d’angle pi/2.

Exercice 12 :

1. On cherche deux nombres complexes u et v qui vérifient le système :

u + v = -1/2

uv = -1/4

On va utiliser les relations de Viète pour déterminer les solutions.

Soient x et y les solutions de l’équation polynomiale mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF..

Alors, d’après les relations de Viète, on a :

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. et mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

Ainsi, les solutions du système initial sont les couples (u,v) qui vérifient ces équations, c’est-à-dire qui sont de la forme (x,y) ou (y,x), où x et y sont les solutions de l’équation ci-dessus.

On peut résoudre l’équation polynomiale en utilisant la formule quadratique :

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

Donc les solutions sont x = (-1 + i)/2 et y = (-1 – i)/2.

Les solutions du système initial sont donc :

(u,v) = ((-1 + i)/2,(-1 – i)/2) ou ((-1 – i)/2,(-1 + i)/2)

2. On considère le polynôme mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF..

Les racines de ce polynôme sont les puissances cinquièmes des racines de l’unité, à savoir mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. et mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF..

On a donc :

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

En évaluant P(z) pour z=1, on obtient :

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

Car au moins un des facteurs mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. et mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. est non nul.

On a donc :

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

On peut aussi utiliser les formules d’Euler pour écrire :

w = cos(2π/5) + i sin(2π/5)

Donc les autres racines de l’unité d’argument 2π/5 sont :

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

On a donc :

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

En utilisant la relation cos(-θ) = cos(θ) et les formules de trigonométrie, on peut simplifier cette expression :

5)\,=\,-1 Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

Et donc :

2 Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

Exercice 13 :

1.
a) On a 4) Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF., en utilisant les formules d’Euler.

b) On a 4) Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF..

c) On a 4)\,=\,cos(-\pi)\,=\,-1 Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF..

En utilisant les formules de trigonométrie pour le cosinus et le sinus de la somme, on peut en déduire :

\,\sqrt{2} Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

sin(-π/4) = (sin(-π/6)cos(-π/12) + cos(-π/6)sin(-π/12)) / √2

En utilisant que cos(-π/6) = √3/2 et sin(-π/6) = -1/2, on peut simplifier ces expressions :

cos(-π/12) = (1/2) (√6 + √2)

sin(-π/12) = (1/2) (√6 – √2)

2. On a :

(√6 + √2) cos(x) + (√6 – √2) sin(x) = 2

On peut écrire cette équation sous la forme :

cos(π/4) (√6 cos(x) + √2 sin(x)) + sin(π/4) (√6 sin(x) – √2 cos(x)) = 2/√2

On reconnaît les coefficients de cos(π/4 + x) et sin(π/4 – x) dans cette expression :

cos(π/4 + x) + sin(π/4 – x) = 2/√2

On peut simplifier cette expression en utilisant que cos(π/4) = sin(π/4) = 1/√2 :

cos(π/4) cos(x) – sin(π/4) sin(x) + sin(π/4) cos(x) – cos(π/4) sin(x) = √2

Et donc :

cos(x – π/4) = √2

Les solutions dans l’intervalle [0,2π[ sont donc :

x = π/4 ou x = 7π/4

Les points images de ces solutions sur le cercle trigonométrique sont les points d’intersection entre ce cercle et la droite d’équation y = cos(x – π/4). On a :

cos(π/4) = sin(π/4) = 1/√2

Et donc la droite d’équation y = cos(x – π/4) passe par le point (1,0) sur le cercle. Les points images des solutions sont donc :

(1/√2,1/√2) et (-1/√2,-1/√2)

Exercice 14:
On considère un nombre complexe z de module 1   (|z|=1)

Montrer que :

|1 + z|² + |1 – z|² = 4

mimetex.cgi?\forall z\in\mathbb{C}\; |z| = \sqrt{z.\,\overline{z}}\;\Leftrightarrow \;|z|^2 = z.\,\overline{z}\\ puisque \; |z| = 1 \;alors \;|z|^2 =1\; et\; donc\; z.\,\overline{z}=1\\ ainsi\\ |1+z|^2= (1+z)(\,\overline{1+z})= (1+z)(1+\,\overline{z})= 1+z+\,\overline{z}+z.\,\overline{z}\\ |1-z|^2 = (1-z)(\,\overline{1-z})=(1-z)(1-\,\overline{z})= 1-z-\,\overline{z}+z.\,\overline{z} \\donc\\ |1+z|^2 +|1-z|^2 = 1+z+\,\overline{z} +z.\,\overline{z}+1-z -\,\overline{z} +z.\,\overline{z}=2 +2z Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

Exercice 15 :
I.1) mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. = i ( 1 + i) =i + i² = i-1

ou mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.=-1+i

I.2)mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

II.1)Z = z²-9i² = (z+3i)(z-3i)

II.2)Z = (z-imimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.)(z+imimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.)

II.3) Remarquer que -1 =i² alors mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

III.1) C’est une translation de vecteur mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.d’affixe a.

Pour III.2 et III.3, de manière générale la transformation associée à la fontion z –> az (a appartenant à C) est la rotation de centre O et d’angle arg(a).

III.2) Ici arg(-1) = mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF., donc la transformation considérée est la rotation de centre O et d’angle pi. C’est donc une symétrie de centre O.

III.3) Ici arg (i) = pi/2 donc la transformation considérée est la rotation de centre O et d’angle mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

Exercice 16 :

1) La rotation de centre O et d’angle 2π/3 envoie le point A sur le point B si on tourne dans le sens direct. L’affixe  mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. de B est donc obtenue en multipliant mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. par mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. :

3} Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

La rotation de centre O et d’angle 2π/3 envoie le point B sur le point C si on tourne dans le sens direct. L’affixe mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. de C est donc obtenue en multipliant mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. par mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. :

3}\,=\,\overline{z_A} Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

2.

a) Les points A, B et C sont situés sur le cercle (C ) de centre O et de rayon 1. De plus, d’après les calculs précédents, on a mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. et mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. qui sont trois racines cubiques de l’unité distinctes.

Donc le triangle ABC est équilatéral et (C ) est son cercle circonscrit.

Pour construire A, B et C, on peut tracer le cercle (C ) de centre O et de rayon 1, puis repérer le point A d’affixe mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. en tournant dans le sens trigonométrique d’un angle de π/3.

On peut ensuite construire le point B en tournant dans le sens trigonométrique d’un angle de 2π/3 à partir du point A, et le point C en tournant dans le même sens d’un angle supplémentaire de 2π/3 à partir du point B.

b) Le triangle ABC est équilatéral car ses trois côtés ont la même longueur 1.

En effet, les distances entre les points A, B et C sur la circonférence du cercle (C ) sont égales à un tiers de la longueur du cercle (C ), qui est 2π, donc égale à (2π)/3.

3.

a) L’homothétie de centre O et de rapport −2 envoie le point A sur le point P tel que OP = 2OA, donc l’affixe mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. de P est donnée par 3} Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF..

De même, elle envoie le point B sur le point Q tel que OQ = 2OB, donc l’affixe mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. de Q est donnée par 3} Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. et elle envoie le point C sur le point R tel que OR = 2OC, donc l’affixe mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. de R est donnée par 3} Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF..

b) Le triangle PQR est équilatéral car ses trois côtés ont même longueur mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF..

4.

a) L’homothétie de centre O et de rapport −2 est représentée par la fonction f : z ↦ -2z. Son écriture complexe est donc f(z) = -2z.

b) On a 3}}\,=\,\frac{3}{2}\,+\,\frac{\sqrt{3}}{2}i Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF..

Soit M le milieu du segment [QR]. On a :

3)}{2}\,=\,-\frac{1}{2} Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

Donc le point M a pour affixe -1/2.

On a montré que A a pour affixe mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF..

Comme mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF., on en déduit que le segment [AM] est un diamètre du cercle (C ).

Donc la droite (QR), qui est la droite passant par les milieux des côtés du triangle équilatéral ABC, est perpendiculaire au diamètre [AM] et donc tangente au cercle (C ).

triangle-repere Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

Exercice 17 :

Partie A.

1) Le module de z’ est donné par :

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

La relation entre les arguments de z et z’ est donnée par :

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

2) Les points O, M et M’ sont alignés si et seulement si l’argument de la différence M’ – O est égal à l’argument de la différence M – O. Or on a :

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

Donc l’argument de M’ – O est l’opposé de l’argument de z. Donc les points O, M et M’ sont alignés.

3) On a :

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

Partie B.

1) L’ensemble C est le cercle de centre 1 et de rayon 1.

En effet, l’équation |z – 1| = 1 signifie que le point M est à distance 1 du point 1, donc il est sur le cercle de centre 1 et de rayon 1.

2) a) On a :

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

D’autre part, on a :

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

Donc mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

Géométriquement, cela signifie que les points M’, O et le conjugué de M’ par rapport à O sont alignés.

b) Non, cela n’est pas vrai. Par exemple, si z = -i, alors z’ = i, et |z’ + 1| = 2 ≠ 1 = |z – 1|.

3) L’ensemble C est le cercle de centre 1 et de rayon 1. On peut le tracer en utilisant le cercle trigonométrique de centre O et de rayon 1, et en repérant le point 1 sur le cercle.

Si M est un point de C d’affixe z, alors le point M’ est le point d’intersection entre la droite (OM) et le cercle trigonométrique de centre O et de rayon 1.

On peut donc le construire en traçant la droite (OM) et en cherchant son point d’intersection avec le cercle trigonométrique, ou en utilisant la propriété géométrique énoncée dans la question 2a).

BacS_Juin2008_Obligatoire_Asie_Exo3-page-003 Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

cercle Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

cercle-1 Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

Exercice 18 :

Partie A

La démonstration demandée est la suivante : soit M un point de coordonnées (x,y) dans le repère mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.. On note M’ le point image de M par la rotation r d’angle α et de centre Ω d’affixe ω. On a :

– Le vecteur mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. et son image mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. ont la même direction car r est une rotation.
– La longueur de mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.  est la même que celle de mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. car r est une rotation.
– L’angle (mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.,mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.) est égal à α car r est une rotation d’angle α.
mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. est obtenu à partir de mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. en multipliant cette dernière par e^{i\alpha}.
– Soit z l’affixe de M et z’ l’affixe de M’ dans le repère mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF..

On a mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. en identifiant les vecteurs mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. et mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF..

Ce qui donne l’écriture complexe recherchée : mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF..

Partie B

3.

1. a. Les modules et arguments sont :

3 Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

b. Pour construire A, on part du point O, on avance de mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. unités dans la direction de -i, puis on avance d’une unité dans la direction de -1.

Pour construire B, on part du point O, on avance d’une unité dans la direction de -1, puis on avance de √3 unités dans la direction de -i.

Pour construire C, on part du point O, on avance de mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. unités dans la direction de -i, puis on avance d’une unité dans la direction de 1.

Enfin, pour construire D, on part du point O, on avance d’une unité dans la direction de 1, puis on avance de mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. unités dans la direction de -i.

c. Le quadrilatère ABCD est un losange car ses diagonales AC et BD ont même longueur (4) et elles sont perpendiculaires (produit scalaire nul de leurs vecteurs directeurs).

2.

a. Pour construire E, il suffit d’appliquer la rotation r d’angle -π/3 et de centre B au point A, c’est-à-dire de construire le point M d’affixe mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF., puis de construire l’image de M par la rotation r.

On peut faire de même pour construire F à partir de C.

b. L’écriture complexe de r est 3}(z\,-\,z_B)\,+\,z_B Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF., car elle envoie B sur elle-même et A sur le point d’affixe mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF..

c. Pour déterminer l’affixe du point E, on calcule mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. :

3}(-\sqrt{3}-2i)\,+\,(1-i\sqrt{3})\,=\,-\frac{3\sqrt{3}+i}{2} Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

Donc l’affixe du point E est mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF..

Exercice 19 :

1. On résout l’équation mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. par le discriminant :

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

Comme le discriminant est négatif, l’équation admet deux solutions complexes conjuguées :

\,2\,=\,-2\,-\,2i Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.
\,2\,=\,-2\,+\,2i Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

Sous forme trigonométrique, on a :

4} Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.
4} Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

2.

a. La rotation de centre O et d’angle π/2 envoie les vecteurs sur des vecteurs orthogonaux.

Donc l’image de B est le vecteur orthogonal à OB, c’est-à-dire OA.

Donc l’affixe de C est mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF..

b. La rotation de centre A et d’angle π/2 envoie les vecteurs sur des vecteurs orthogonaux.

Donc l’image de C est le vecteur orthogonal à AC, c’est-à-dire AD (qui est parallèle à OB).

On a mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF., donc l’affixe de D est mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.i.

c. On peut placer les points C et D sur le graphique en utilisant les informations précédentes. Le quadrilatère ABCD est un rectangle, car AB et CD ont même longueur (4) et sont perpendiculaires (produit scalaire nul).

3.

a. Soit G le barycentre de (A,1), (B,-1) et mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.. On a :

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

En utilisant mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. et en développant, on obtient :

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

b. G_\alpha est à l’intérieur du segment [AB] si et seulement si son coefficient de barycentre est positif, c’est-à-dire si et seulement si :

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.
mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

Donc l’ensemble des points mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. est l’ensemble des points intérieurs au segment [AB] et tels que 2 < α < -1/2.

Cet ensemble est le segment de droite [FG] où F est le point d’intersection de la droite (AB) avec l’axe des ordonnées (car α = -1/2 correspond justement à l’abscisse de F).

c. On a mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. si et seulement si mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. est à égale distance de A, B et C, c’est-à-dire si et seulement si c’est le centre du cercle circonscrit à ABC. Or les points A, B et C ne sont pas alignés car AB = 4 et mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF..

Donc il n’y a pas de tel valeur de α.

4.

On a :

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. sont les coordonnées de M.

On cherche donc les points M tels que cette expression soit égale à mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF..

On peut exprimer x et y en fonction de mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF., puis utiliser la condition mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. où t’ et t » sont les longueurs des deux autres racines carrées.

On trouve une famille de droites et quelques points d’intersection avec le domaine de définition de M, qui est l’intérieur du carré d’extrémités (2,-2) et (-2,2).

cercle-2 Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

Exercice 20 :

Voir la figure annexe pour les constructions.

1)
a) Le point K a pour affixe 1+i, on le place donc dans le plan complexe.
b) On calcule :

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

Donc l’affixe de K’ est i(1+i).
c) On place le point K’ dans le plan complexe.

2)
a) On calcule :

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

Donc l’affixe de L’ est -i/3. On remarque que L’ est sur la droite d’équation mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF., perpendiculaire à la droite (OM).
b) Pour qu’un point soit invariant par f, il faut que z’ = z, c’est-à-dire :

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

Les solutions sont z=0 et z=1-i, donc les points d’affixes 0 et 1-i sont invariants par f.

3)
a) On sait que G est l’isobarycentre de A, M et M’, donc :

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

On vérifie que cette égalité est bien vérifiée pour G.
b) Si M est sur le cercle de centre A et de rayon r, alors l’affixe z vérifie |z-i|=r. On peut exprimer cela sous la forme :

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

On a donc une équation de cercle de centre (1,r) et de rayon mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF..

On calcule :

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

Donc G est sur le cercle de centre O et de rayon 1/3r.
c) On a :

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

Or, on sait que les droites (AM) et (OM) font un angle θ tel que :

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

Donc :

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

Et on a :

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

d) On utilise les résultats des questions précédentes :

– G est sur le cercle de centre O et de rayon mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF..
– L’affixe de D est mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF., donc D est sur le cercle de centre A et de rayon 1/2

On construit le cercle de centre O et de rayon mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. et le cercle de centre A et de rayon 1/2, qui se coupent en deux points E et F.

On trace la droite (EF) et on la prolonge jusqu’à couper le cercle de centre O et de rayon mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. en G’.

On a alors mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF., et on peut en déduire l’affixe de D’ :

– L’affixe de G’ est mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.
– L’affixe de D’ est mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

On trouve ainsi que l’affixe de D’ est mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF..

La figure annexe montre la construction des points K, K’, L’, des points invariants, du cercle de G, et du point D’.

deux-cercles Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

repere Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

Exercice 21 :
Soient A le point d’affixe a=1-i et B le point d’affixe b=2i-3.
A tout point M d’affixe z, avec z différent de b, on associe le point M’ d’affixe:
mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

a) L’ensemble des points M d’affixe z tels que Z soit réel est le segment [AB].

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

Z est réel ssi  mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

Cela est donc faux, c’est la droite (AB) privée de A et B .

b)Pour tout z différent de -3+2i et de -3-2i, on obtient la forme algébrique de Z par le calcul:

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

Ceci est faux, car elle dépend de la forme algébrique de z .

c)L’ensemble des point M d’affixe z tels que M’ soit un point de l’axe des ordonnées et le cercle d’équation 2)^2=\frac{25}{4} Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. , sauf le point B.

M’ est sur l’axe des ordonnées ssi   mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

cela signifie que  mimetex.cgi?\vec {BM} Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

Notons x la partie réelle de z et y sa partie imaginaire :

mimetex.cgi? ( x-(-3)\\y-2  ) Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

mimetex.cgi? ( x+3\\y-2  ) Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

donc c’est vrai .

d) Soit z0 une solution de l’équation mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. (on admet l’existence d’une telle solution).
Le point M0 d’affixe z0 est un point de la médiatrice de [AB]

Z= i

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

donc M est un point de la médiatrice de [AB]  et l’affirmation est vraie .

Exercice 22 :
1. Déterminer les points invariants de f.

z’=z

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

z= i ou z= – i

2. a) montrer que, pour tout nombre complexe z différent de -1, (z’-1)(z+1)= – 2

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

b) En déduire une relation entre mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. et mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF., puis entre mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. et mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF., pour tout nombre complexe z diffèrent de -1.

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

de même   mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. .

3. Montrer que si M appartient  au cercle (C) de centre B et de rayon 2, alors M’ appartient au cercle (C’) de centre A et de rayon 1.
M appartient  au cercle (C) de centre B et de rayon 2 ssi BM = 2

ssi  mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

or  mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

donc M’ appartient au cercle de centre A et de rayon 1 .

Exercice 23 :

1.

a) Voir la figure ci-dessous :

b) On calcule l’affixe de C’ :

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

Donc l’affixe de C’ est 1-i. Le quadrilatère ACBC’ est un parallélogramme car AC est parallèle à BC’ (même argument que pour la question 3.c).

c) On cherche à résoudre l’équation z’ = i, c’est-à-dire :

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

Donc l’antécédent de C par f est le point d’affixe -1-i. Le triangle BCC » est isocèle en C » car C » est le milieu de [BC] (propriété de l’homothétie).

2. Le module de z’ correspond au rapport entre les distances OM’ et OM, pour tout point M différent de A. En effet, on a :

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

De plus, l’argument de z’ correspond à l’angle entre les vecteurs OM et OM’, mesuré dans le sens direct (sens trigonométrique), pour tout point M différent de A. En effet, on a :

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

3.

a) On cherche les points M tels que z’ < 0. On a :

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

La première inéquation est vérifiée pour z ∈ (-1, 2i), la seconde pour z ∈ (-∞,-1)∪(2i,+∞). Donc l’ensemble E_0 est la réunion de deux demi-droites :

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

b) On cherche les points M tels que z’ soit un imaginaire pur non nul. On a :

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

Donc z’ est un imaginaire pur non nul si et seulement si mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. est un imaginaire pur non nul, c’est-à-dire s’il n’a pas de partie réelle. On a :

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

Donc l’équation mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. est équivalente à l’équation mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF..

Le discriminant est mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF., qui doit être négatif pour que l’équation ait une solution. Or, pour tout z non nul, on a :

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

Donc l’équation n’a pas de solution et mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. est l’ensemble vide.

c) On cherche les points M tels que z’ appartienne au cercle de centre O et de rayon 1. On a :

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

Cela correspond géométriquement à la propriété suivante :

si M est un point du plan pour lequel la distance à -1 est égale à la distance à 2i, alors l’image M’ par f est sur le cercle de centre O et de rayon 1.

On peut remarquer que cette propriété est aussi vérifiée pour l’application g qui, à tout point M, associe le point M » d’affixe mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF..

En effet, on a :

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

Donc l’ensemble mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. correspond aux points situés sur l’axe passant par -1 et 2i.

cercle-3 Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

Exercice 24 :

On cherche à résoudre le système suivant :

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

On peut exprimer z_1 en fonction de z_2 grâce à la deuxième équation :

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En remplaçant dans la première équation, on trouve :

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

On résout cette équation du second degré en mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. :

2}}{-4} Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

Pour chacune de ces valeurs de mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF., on peut calculer mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. grâce à mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF..

On trouve donc deux solutions :

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Pour donner les formes trigonométriques de ces nombres, on calcule leur module et leur argument :

– Pour z_1 = x_1+iy_1, on a mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. et mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. si mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.,

ou bien mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. si mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. et mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.,

ou bien mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. si mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. et mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF..
– Pour mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF., on a mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. et mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF. de la même manière.

On a :

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

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et

mimetex Nombres complexes  : corrigés des exercices de maths en  terminale en PDF.

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Donc on a :

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Finalement, les deux couples (z_1,z_2) qui satisfont les conditions du problème sont :

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