Suite numériques : corrigé des exercices de maths en terminale en PDF.

Mis à jour le 29 mai 2025

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🔍Corrigés Détaillés
Terminale • Lycée
Suite numériques
🔎 Analyse : 22 min
🎯 Niveau : Lycée
📱 Format : Gratuit
📄 PDF : Disponible
Le corrigé des exercices de maths en terminale sur les suites numériques. Savoir étudier une suite (convergente ou divergente), le sens de variation et sa limite en l’infini.

Exercice 1 :
1. Soit la suite arithmétique  (U_n) de raison r=-2 et telle que  U_{10}=25 .

a. Calculer  U_{50}=U_{10}+40\times   r=25+40\times   (-2)=-55 .

b. Calculer  S_{10}=U_1+U_2+...+U_{10}=\frac{10\times  (U_1+U_{10})}{2}
Or  U_{10}=U_1+9r \Rightarrow U_1=U_{10}-9r=25-9\times   (-2)=43 .

 S_{10}=\frac{10\times  (U_1+U_{10})}{2}=\frac{10\times  (43+25)}{2} =340

2. Soit la suite géométrique  (V_n) de raison  q=\frac{1}{2} et telle que  V_8=\frac{3}{8} .

a. Calculer  V_{20}=V_8\times   q^{12}=\frac{3}{8}\times   (\frac{1}{2})^{12}=\frac{3}{32768} .

b. Calculer  S_9=V_1+V_2+...+V_9=\frac{V_{10}-V_1}{q-1}=\frac{\frac{3}{8}\times   (\frac{1}{2})^2-V_1}{\frac{1}{2}-1} .

Or V_1=\frac{V_8}{(\frac{1}{2})^7} =\frac{3\times   2^7}{8}=48

Donc S_9=\frac{\frac{3}{32}-48}{-\frac{1}{2}}=\frac{1533}{16}

Exercice 2 :
Calculer les limites des suites suivantes :

a.  \lim_{n \to +\infty} U_n=1

b.  \lim_{n \to +\infty} U_n=\lim_{n \to +\infty} \frac{3n-4}{2n+1} =\frac{3}{2}

c. \lim_{n \to +\infty}U_n=\lim_{n \to +\infty}ln(1+\frac{1}{n})=0

d.  \lim_{n \to +\infty}U_n=\lim_{n \to +\infty}cos(\frac{1}{n})=1

e.  \lim_{n \to +\infty}U_n=\lim_{n \to +\infty}sin(n\frac{\pi}{3} : sans limite

Exercice 3 :
Calculer les limites des suites suivantes :

a.  \lim_{n \to +\infty}U_n=\lim_{n \to +\infty}1+\frac{sin n}{\sqrt{n}}=1

b. \lim_{n \to +\infty}U_n=\lim_{n \to +\infty}\frac{n+cos(\sqrt{n})}{\sqrt{n}} =+\infty

Exercice 4 :
Calculer les limites des suites suivantes en utilisant le théorème des croissances comparées.

a.  \lim_{n \to +\infty}U_n=\lim_{n \to +\infty}\frac{n^2}{2^n}=+\infty

b.  \lim_{n \to +\infty}U_n=\lim_{n \to +\infty}2^n-n^3=+\infty

c.  \lim_{n \to +\infty}U_n=\lim_{n \to +\infty}\frac{n}{ln(n^2+1)}=+\infty

Exercice 5 :
Etudier le sens de variation des suites suivantes :

a. U_n=\frac{n}{n+1}
soit n \in \mathbb{N}\,,\, U_{n+1}-U_n=\frac{n+1}{n+2}-\frac{n}{n+1}=\frac{(n+1)^2-n(n+2)}{(n+1)(n+2)}=\frac{1}{(n+1)(n+2)}\ge0

donc (U_n) est strictement croissante sur \mathbb{N}

b.  U_n=n-ln(1+n)
soit n \in \mathbb{N}\,,\, U_{n+1}-U_n=n+1-ln(n+2)-n+ln(n+1)\\=1+ln(\frac{n+1}{n+2})=1+ln(1-\frac{1}{n+2})
La suite définie par  V_n=ln(1-\frac{1}{n+2}) est croissante et tend vers 0
donc il existe  n_0\in \mathbb{N}\,,\, 1+Vn\ge 0

A partir de  n_0\in \mathbb{N} , la suite étudiée est croissante.

c.  U_n=\frac{1\times   3\times   .....\times   (2n-1)}{2\times   4 \times   ...... \times   .... \times   2n}

Pour  n\in \mathbb{N^*}\,,\, U_n\ge 0

Nous pouvons donc calculer le rapport :

Pour

 n\in \mathbb{N^*}\,,\, \frac{U_{n+1}}{U_n}= \frac{\frac{1\times   3\times   .....\times   (2(n+1)-1)}{2\times   4 \times   ...... \times   .... \times   2(n+1)}}{\frac{1\times   3\times   .....\times   (2n-1)}{2\times   4 \times   ...... \times   .... \times   2n}}=\frac{2n+2-1}{2(n+1)}=\frac{2n+1}{2n+2)}\le 1

Donc la suite (U_n) est décroissante sur \mathbb{N} .

Exercice 6 :

Vérifions que la proposition est vraie au rang n=0. On a U_0\,=\,2\,<\,2, donc c’est vrai.

Supposons maintenant que la proposition est vraie pour un certain entier n\geq\, 0, c’est-à-dire U_n < 2. Montrons qu’elle est vraie aussi au rang n+1, c’est-à-dire U_{n+1} < 2. On a :
\[U_{n+1}\,=\,\sqrt{U_n+2}\,<\,\sqrt{2+2}\,=\,2.\]
Ainsi, on a prouvé par récurrence que \forall n\in\mathbb{N}, U_n < 2.

Exercice 7 :

Vérifions que la proposition est vraie au rang n=0. On a U_0=2 et 3-2^0 = 3-1 = 2, donc c’est vrai.

Supposons maintenant que la proposition est vraie pour un certain entier n\geq\, 0, c’est-à-dire U_n = 3-2^n. Montrons qu’elle est vraie aussi au rang n+1, c’est-à-dire U_{n+1} = 3-2^{n+1}. On a :
\[U_{n+1} = 2U_n – 3 = 2(3-2^n) – 3 = 6 – 2^{n+1} – 3 = 3 – 2^{n+1}.\]
Ainsi, on a prouvé par récurrence que \forall n\in\mathbb{N}, U_n = 3-2^n.

Exercice 8 :

a. On a S_1 = 1, S_2 = 1^2 + 2^2 = 5, S_3 = 1^2+2^2+3^2 = 14 et S_4 = 1^2+2^2+3^2+4^2 = 30.

b. On a :
\begin{align*}\,S_{n+1}\,=\,1^2\,+\,2^2\,+\,\ldots\,+\,n^2\,+\,(n+1)^2\,\\\,=\,S_n\,+\,(n+1)^2\,\\\,=\,\frac{n(n+1)(2n-1)}{6}\,+\,(n+1)^2\,\\\,=\,\frac{(n+1)(2n^2\,+\,7n\,+\,6)}{6}\,\\\,=\,\frac{(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)-1)}{6}.\,\end{align*}

Ainsi, on a la formule de récurrence S_{n+1} = \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}.

c. On vérifie que S_1 = \frac{1\cdot 2\cdot 3}{6} = 1. Supposons que S_n = \frac{n(n+1)(2n-1)}{6} pour un certain entier naturel n\geq\, 1. Alors :
\begin{align*}\,S_{n+1}\,=\,\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}\,=\,\frac{(n+1)(2n^2+7n+6)}{6}\,\\\,=\,\frac{(n+1)(n+1+1)(2(n+1)-1)}{6},\,\end{align*}
ce qui prouve que la formule est vraie au rang n+1.

D’après le principe de récurrence, cela prouve que la formule est vraie pour tout n\geq\, 1.

Exercice 9 :
\lim_{n\to \infty }a_n=5\,;\,\lim_{n\to \infty }b_n=0\,;\,\lim_{n\to \infty }c_n=1

Exercice 10 :

1.a. On a V_n = U_n + 6, donc
\[V_{n+1}\,=\,U_{n+1}\,+\,6\,=\,\frac{1}{2}U_n\,-\,3\,+\,6\,=\,\frac{1}{2}(U_n+6)\,=\,\frac{1}{2}V_n.\]
Ainsi, la suite (V_n) est une suite géométrique de raison \frac{1}{2} et de terme initial V_0 = U_0 + 6 = 15.

1.b. On a :
\begin{align*}\,S_n\,=\,\sum_{k=0}^n\,V_k\,=\,\sum_{k=0}^n\,15\cdot(\frac{1}{2})^k\,=\,15\cdot\sum_{k=0}^n(\frac{1}{2})^k\,\\\,=\,15\cdot\frac{1-(\frac{1}{2})^{n+1}}{1-\frac{1}{2}}\,=\,30\cdot(1-(\frac{1}{2})^{n+1}).\,\end{align*}

En utilisant que V_n = U_n + 6, on a
\[S_n'\,=\,\sum_{k=0}^n\,U_k\,=\,\sum_{k=0}^n\,(V_k\,-\,6)\,=\,S_n\,-\,6(n+1).\]

1.c. Comme |V_n| = |\frac{1}{2}|^n|V_0|, on a \lim_{n\to+\infty} V_n = 0. Ainsi, d’après la formule pour la somme d’une suite géométrique, on a :
\[\lim_{n\to+\infty}\,S_n\,=\,\lim_{n\to+\infty}\,30\cdot(1-(\frac{1}{2})^{n+1})\,=\,30.\]

De même, \lim_{n\to+\infty}S_n' = 30-6\cdot\lim_{n\to+\infty}(n+1) = -\infty car \lim_{n\to+\infty}(n+1) = +\infty.

2. On a W_n = \ln V_n = \ln(U_n+6). On calcule :
\begin{align*}\,W_{n+1}\,-\,W_n\,=\,\ln\,V_{n+1}\,-\,\ln\,V_n\,=\,\ln(\frac{1}{2})\,\\\,=\,\ln(\frac{U_n+6}{2})\,=\,\ln(\frac{1}{2}(U_n+6))\,=\,\ln(\frac{1}{2}V_n).\,\end{align*}

Ainsi, la suite (W_n) est une suite arithmétique de raison \ln(\frac{1}{2}).

On a :
\begin{align*}\,S_n''\,=\,\sum_{k=0}^n\,W_k\,=\,\sum_{k=0}^n\,(\ln(U_k+6))\,\\\,=\,\sum_{k=0}^n\,(\ln(V_k)-\ln(2))\,=\,\ln(V_0)-n\ln(2)\,+\,\sum_{k=0}^n\,\ln(V_k)\,\\\,=\,\ln(15)\,-\,n\ln(2)\,+\,\ln(V_0)\cdot\prod_{k=0}^n\,V_k.\,\end{align*}
On a \lim_{n\to+\infty} V_n = 0, donc \lim_{n\to+\infty}\prod_{k=0}^n V_k = 0.

Ainsi, on a :
\[\lim_{n\to+\infty}\,S_n''\,=\,\ln(15)-\infty\,=\,-\infty.\]

3. On a P_n = V_0\cdot V_1\cdot\ldots\cdot V_n = 15\cdot(\frac{1}{2})^0(\frac{1}{2})^1\cdots(\frac{1}{2})^n = 15\cdot(\frac{1}{2})^{n(n+1)/2}.

En utilisant que (\frac{1}{2})^{n(n+1)/2}\leq\, (\frac{1}{2})^{n^2} pour tout n\geq\, 0, on a :
\[\lim_{n\to+\infty}\,P_n\,=\,\lim_{n\to+\infty}\,15\,\times  \,(\frac{1}{2})^{n(n+1)/2}\,=\,0.\]

Exercice 11 :

1. Soit (u_n) une suite convergente de limite L.

Par définition, cela signifie que pour tout \epsilon >0, il existe un entier naturel N tel que pour tout n \geq\, N, |u_n - L|<\epsilon.

En particulier, pour \epsilon = 1, il existe un entier naturel N tel que pour tout n \geq\, N, |u_n - L |<1. Cela signifie que L-1 < u_n < L+1 dès que n \geq\, N.

Donc la suite (u_n) est bornée.

2. Soit (u_n) une suite croissante et non majorée.

On montre que (u_n) diverge vers + \infty. En effet, pour tout M >0, comme (u_n) n’est pas majorée, il existe un indice n tel que u_n > M.

De plus, comme (u_n) est croissante, pour tout n' \geq\, n, on a u_{n'} \geq\, u_n > M.

Donc la suite (u_n) est M-supérieure à partir d’un certain rang indépendant de M, ce qui signifie que (u_n) tend vers + \infty.

3. Supposons qu’une suite (u_n) converge vers deux limites distinctes L et L'.

Alors, pour tout \epsilon>0, il existe N_1 tel que pour tout n\geq\, N_1, on ait |u_n-L|<\epsilon/2 et il existe N_2 tel que pour tout n\geq\, N_2, on ait |u_n-L'|<\epsilon/2. Soit N=\max\{N_1, N_2\}.

Alors, pour tout n\geq\, N, on a à la fois :
 |u_n - L| < \frac{\epsilon}{2}
et
 |u_n - L'| < \frac{\epsilon}{2}.
En ajoutant ces deux inégalités, on obtient :
 |L-L'| < \epsilon.
Mais ce n’est possible que si L=L', ce qui contredit notre hypothèse de départ. Ainsi, la limite d’une suite est unique.

4. La suite u_n = (-1)^n n n’a pas de limite.

En effet, si elle avait une limite L, alors pour tout \epsilon>0, il existerait un entier N tel que pour tout n \geq\, N, on aurait |u_n-L|<\epsilon.

Mais la suite (u_n) n’est pas convergente par oscillation : si n est pair, u_n=n et pour n impair, u_n=-n.

Ainsi, pour tout N, on peut trouver n_1 et n_2 pairs tels que n_1\geq\, N et u_{n_1}=n_1>0 et n_2\geq\, N et u_{n_2}=-n_2<0, et donc |u_{n_1}-u_{n_2}|=n_1+n_2\geq\, 2N>2\epsilon (\epsilon< N) ce qui contredit la convergence de (u_n).

5. Soit (u_n) une suite bornée et (v_n) une suite convergeant vers 0.

Il existe donc une constante M telle que |u_n| \leq\, M pour tout n \in \mathbb{N}. Par ailleurs, puisque (v_n) converge vers 0, pour tout \epsilon>0, il existe un entier N tel que pour tout n \geq\, N, on ait |v_n| \leq\, \epsilon/M.

En combinant ces deux inégalités, on en déduit que :
|u_n v_n| \leq\, M |v_n| \leq\, M \epsilon/M = \epsilon
pour n \geq\, N. Cela signifie que (u_n v_n) converge également vers 0.

6. Soit (u_n) une suite d’entiers relatifs convergeant vers un réel L.

Soit \epsilon>0. Puisque (u_n) converge vers L, il existe un entier N tel que pour tout n\geq\, N, on ait |u_n - L| < \epsilon/2. Mais ceci implique que pour tout n \geq\, N :
 |u_n - \lfloor L \rfloor| \leq\, |u_n-L|+|L-\lfloor L \rfloor| < \epsilon,
puisque \lfloor L \rfloor \leq\, L < \lfloor L \rfloor +1.

Donc, à partir de l’indice N, tous les termes de la suite sont à une distance strictement inférieure à \epsilon d’un entier. Puisque seuls un nombre fini d’entiers se trouvent dans un intervalle d’amplitude 1, cela signifie que la suite (u_n) est stationnaire à partir de l’indice N et donc converge vers l’entier relatif k égal à cette valeur commune.

7. Soit (u_n) une suite divergente vers +\infty.

Pour tout n, on a u_n \geq\, u_0, donc la suite est minorée par u_0. En effet, si elle ne l’était pas, il existerait un entier n_0 tel que u_{n_0} < u_0, ce qui serait en contradiction avec l’hypothèse de divergence. Ainsi, la suite (u_n) est minorée par u_0.

Exercice 12 :

1. Pour tout entier n\geq\, 0, on a :
\begin{align*}\,a_{n+1}\,+\,b_{n+1}\,=\,\frac{a_n\,+\,b_n}{2}\,+\,\sqrt{a_nb_n}\,\\\,=\,\frac{a_n\,+\,b_n\,+\,2\sqrt{a_nb_n}}{2}\,\\\,=\,\frac{\sqrt{a_n}\,+\,\sqrt{b_n}}{\sqrt{2}}^2.\,\end{align*}

Or, puisque a > b > 0, on a \sqrt{a_n} > \sqrt{b_n} pour tout n\geq\, 0.

Ainsi, on en déduit que (a_n + b_n)/2 < a_{n+1} + b_{n+1} < a_n + b_n pour tout n\geq\, 0.

Donc (a_n + b_n)/2 est une suite croissante majorée par a_0+b_0, et donc elle converge vers une limite \ell. Par ailleurs, la suite (a_n) est décroissante, minorée par b_0 et converge donc vers une limite \ell_a. De même, la suite (b_n) est décroissante, minorée par 0, et converge donc vers une limite \ell_b. Nous allons montrer que \ell_a=\ell_b=\ell.

Pour tout entier n\geq\, 0, on a :
 a_{n+1}b_{n+1} = \frac{(a_n-b_n)^2}{4} \leq\, \frac{(a_0-b_0)^2}{4}.
Ainsi, (a_n b_n) est une suite bornée et converge vers une limite \ell_{ab}. Mais on a aussi, pour tout n\geq\, 0,
 (\frac{a_n + b_n}{2})^2 - a_nb_n = \frac{(a_n-b_n)^2}{4}.
Donc, en passant à la limite quand n\to\infty, on a \ell^2 - \ell_{ab} = \ell^2 /4. Cela montre que \ell_{ab} = 0, donc on a \lim_{n\to\infty} a_n \lim_{n\to\infty} b_n = 0, donc \lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} b_n = \ell.

Ainsi, les deux suites convergent vers la même limite.

2. La suite (\sin n) ne converge pas car elle prend des valeurs aussi proches que l’on veut de -1 et 1 en alternance. Plus précisément, pour tout k\in\mathbb N, on a \sin(k\pi/2) = \pm 1. La suite (\cos n) ne converge pas non plus, car sinon on aurait par la formule trigonométrique \sin^2 n + \cos^2 n \to 1, ce qui est impossible sous l’hypothèse de convergence infinie de (\sin n).

Exercice 13 :

1. Nous allons procéder par récurrence sur n.

Pour n=0, on a (1+x)^0=1\geq\, 1+0x.

Supposons maintenant que l’inégalité est vraie pour un certain entier naturel n, c’est-à-dire (1+x)^n\geq\, 1+nx. En multipliant par 1+x des deux côtés de l’inégalité, on obtient (1+x)^{n+1} \geq\, (1+nx)(1+x) = 1 + (n+1)x + nx^2.

Puisque x est positif, on a nx^2\geq\, 0, donc (1+x)^{n+1} \geq\, 1 + (n+1)x, ce qui achève la démonstration par récurrence.

2. Si a>1, alors (u_n) est une suite strictement croissante de réels positifs, donc elle diverge vers +\infty. Si a=1, alors (u_n) est constante et converge vers 1. Si -1<a<1, alors 0<a<1 (puisque a> -1) et donc a^n\to 0 lorsque n\to\infty.

Enfin, si a< -1, alors (u_n) n’a pas de limite car lorsque n est pair, a^n est positif et lorsque n est impair, a^n est négatif. Donc la suite (u_n) ne peut pas converger vers une limite.

Exercice 14 :

1. Nous allons procéder par récurrence forte. Pour n=1, on a S_1=1^3=1=2\cdot1^4 - 1^2, donc la propriété est vraie pour n=1. Supposons maintenant que la propriété est vraie pour n\geq\, 1, c’est-à-dire
 S_n = 2n^4 - n^2.
Nous allons montrer que la propriété est alors vraie pour n+1. Pour cela, on a
\begin{align*}\,S_{n+1}\,=\,S_n\,+\,(2n+1)^3\,\\\,=\,2n^4\,-\,n^2\,+\,(2n+1)^3\,\\\,=\,2n^4\,+\,6n^3\,+\,7n^2\,+\,3n\,+\,1\,\\\,=\,2(n+1)^4\,-\,(n+1)^2,\,\end{align*}

ce qui montre la propriété pour n+1.

Par récurrence forte, la propriété est donc vraie pour tout n\geq\, 1.

2. On cherche donc le plus petit entier n tel que S_n=913\,276. On sait que
 S_n = 2n^4 - n^2 = n^2 (2n^2-1).
Il suffit donc de chercher le plus petit entier n tel que n^2(2n^2-1) \geq\, 913\,276. On remarque que 25^2 (2\cdot 25^2-1) = 937\,500, donc n\geq\, 25.

On calcule ensuite les valeurs de S_{25} et S_{26} :
\begin{align*}\,S_{25}\,=\,2\cdot\,25^4\,-\,25^2\,=\,937\,375\,\\\,S_{26}\,=\,2\cdot\,26^4\,-\,26^2\,=\,970\,984\,\end{align*}

On voit donc que 913\,276 est bien entre ces deux valeurs, donc la solution cherchée est n=25.

Exercice 15 :
Soient (U_n)  une suite croissante et majorée

et (V_n)   une suite décroissante et minorée.

Les suites (U_n) et (V_n) ont-elles nécessairement la même limite ?

Il y a aucune raison pour qu’elles aient la même limite.

Si elles avaient la même limite ce serait des suites adjacentes .

V_n=\frac{1}{n+1}+3  la suite est décroissante et minorée par 3 .

U_n=-\frac{1}{n}   la suite et croissante et majorée par 0 .

or \lim \, U_n=0 et \lim \, V_n=3 .

Exercice 16 :
Indication : utiliser le   théorème de comparaison.

On suppose connu le résultat suivant :

La suite (U_n) tend vers +\infty lorsque n tend vers +\infty si tout

intervalle de la forme ]A;+\infty[ contient toutes les valeurs de U_n

à partir d’un certain rang.

Soient (U_n) et (V_n) deux suites telles que :

U_n  est inférieur ou égal à V_n  à partir d’un certain rang ;

U_n  tend vers +\infty lorsque n tend vers +\infty .

Démontrer que la suite (V_n) tend vers +\infty lorsque  n tend vers +\infty .

Exercice 17 :
Soit (U_n) telle que U_0=0 et pour tout entier naturel n, U_{n+1}=\frac{-4}{4+U_n} .

Soit (V_n) telle que , pour tout entier naturel n, V_{n }=\frac{1}{2+U_n}.

1. Démontrer que la suite (V_n) est arithmétique de raison \frac{1}{2} .

Indication : calculer V_{n+1}-V_n et montrer que cette différence ne dépend pas de n.

2. Exprimer V_n en fonction de n et en déduire que pour tout entier naturel n,

U_n=\frac{2}{n+1}-2 .

3. Calculer la limite de la suite (U_n) et celle de la suite (V_n).

Exercice 18 :
Soit (U_n) la suite définie par son premier terme U_0=0

et pour tout entier naturel n, U_{n+1}=\frac{-4}{4+U_n} .

1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, -2<U_n\leq\, 0.

2. Etudier le sens de variation de la suite (U_n).

3. Etudier la convergence de la suite (U_n).

Exercice 19 :

1. On calcule les six premiers termes de la suite :
\begin{align*}\,u_0\,=\,0\,\\\,u_1\,=\,u_0\,+\,2\cdot\,0\,-\,11\,=\,-11\,\\\,u_2\,=\,u_1\,+\,2\cdot\,1\,-\,11\,=\,-8\,\\\,u_3\,=\,u_2\,+\,2\cdot\,2\,-\,11\,=\,-3\,\\\,u_4\,=\,u_3\,+\,2\cdot\,3\,-\,11\,=\,1\,\\\,u_5\,=\,u_4\,+\,2\cdot\,4\,-\,11\,=\,7\,\end{align*}

2. La courbe semble être une parabole.

On peut conjecturer que la fonction représentée par cette courbe est une fonction quadratique de la forme f(x) = ax^2 + bx +c.

Par ailleurs, on pourrait conjecturer que la suite (u_n) a pour terme général u_n = an^2 + bn +c, où a, b et c sont des constantes à déterminer.

3. Pour démontrer cette conjecture, on va utiliser la méthode des différences finies. On calcule d’abord la première différence :
\begin{align*}\,u_{n+1}\,-\,u_n\,=\,(u_n\,+\,2n\,-\,11)\,-\,u_n\,\\\,=\,2n\,-\,11\,\end{align*}

On calcule ensuite la deuxième différence :
\begin{align*}\,(u_{n+1}\,-\,u_n)\,-\,(u_n\,-\,u_{n-1})\,=\,(2n\,-\,11)\,-\,(2(n-1)\,-\,11)\,\\\,=\,2\,\end{align*}

On remarque que la deuxième différence est constante et égale à 2.

Cela nous indique que la fonction représentée par la courbe est bien une fonction quadratique. On peut donc écrire f(x) = ax^2+bx+c.

Par ailleurs, on sait que u_0 = f(0) = c, donc c = 0. On a également u_1 = f(1) = a + b, donc b = u_1 - a. Enfin, on sait que u_2 = f(2) = 4a + 2b, donc a = \frac{u_2 - 2u_1 + u_0}{4}.

On peut maintenant exprimer le terme général de la suite (u_n) :
\begin{align*}\,u_n\,=\,an^2\,+\,bn\,\\\,=\,an^2\,+\,(u_1\,-\,a)n\,\\\,=\,\frac{u_2\,-\,2u_1\,+\,u_0}{4}\,n^2\,+\,(u_1\,-\,\frac{u_2\,-\,2u_1\,+\,u_0}{4})n\,\\\,=\,\frac{1}{4}(u_2\,-\,2u_1)n^2\,+\,\frac{1}{2}(u_1\,-\,u_0)\,n\,\\\,=\,\frac{1}{4}(u_2\,-\,2u_1)n^2\,+\,\frac{1}{2}(-11)\,n\,\\\,=\,\frac{1}{4}(u_2\,-\,2u_1)n^2\,-\,\frac{11}{2}\,n\,\end{align*}

On a donc bien vérifié la conjecture annoncée à la question précédente.

Exercice 20 :

1. On calcule les six premiers termes de la suite :
\begin{align*}\,u_0\,=\,0\,\\\,u_1\,=\,u_0\,+\,2\cdot\,0\,-\,11\,=\,-11\,\\\,u_2\,=\,u_1\,+\,2\cdot\,1\,-\,11\,=\,-8\,\\\,u_3\,=\,u_2\,+\,2\cdot\,2\,-\,11\,=\,-3\,\\\,u_4\,=\,u_3\,+\,2\cdot\,3\,-\,11\,=\,1\,\\\,u_5\,=\,u_4\,+\,2\cdot\,4\,-\,11\,=\,7\,\end{align*}

2. La courbe semble être une parabole. On peut conjecturer que la fonction représentée par cette courbe est une fonction quadratique de la forme f(x) = ax^2 + bx +c.

Par ailleurs, on pourrait conjecturer que la suite (u_n) a pour terme général u_n = an^2 + bn +c, où a, b et c sont des constantes à déterminer.

3. Pour démontrer cette conjecture, on va utiliser la méthode des différences finies. On calcule d’abord la première différence :
\begin{align*}\,u_{n+1}\,-\,u_n\,=\,(u_n\,+\,2n\,-\,11)\,-\,u_n\,\\\,=\,2n\,-\,11\,\end{align*}

On calcule ensuite la deuxième différence :
\begin{align*}\,(u_{n+1}\,-\,u_n)\,-\,(u_n\,-\,u_{n-1})\,=\,(2n\,-\,11)\,-\,(2(n-1)\,-\,11)\,\\\,=\,2\,\end{align*}
On remarque que la deuxième différence est constante et égale à 2.

Cela nous indique que la fonction représentée par la courbe est bien une fonction quadratique. On peut donc écrire f(x) = ax^2+bx+c.

Par ailleurs, on sait que u_0 = f(0) = c, donc c = 0. On a également u_1 = f(1) = a + b, donc b = u_1 - a. Enfin, on sait que u_2 = f(2) = 4a + 2b, donc a = \frac{u_2 - 2u_1 + u_0}{4}.

On peut maintenant exprimer le terme général de la suite (u_n) :
\begin{align*}\,u_n\,=\,an^2\,+\,bn\,\\\,=\,an^2\,+\,(u_1\,-\,a)n\,\\\,=\,\frac{u_2\,-\,2u_1\,+\,u_0}{4}\,n^2\,+\,(u_1\,-\,\frac{u_2\,-\,2u_1\,+\,u_0}{4})n\,\\\,=\,\frac{1}{4}(u_2\,-\,2u_1)n^2\,+\,\frac{1}{2}(u_1\,-\,u_0)\,n\,\\\,=\,\frac{1}{4}(u_2\,-\,2u_1)n^2\,+\,\frac{1}{2}(-11)\,n\,\\\,=\,\frac{1}{4}(u_2\,-\,2u_1)n^2\,-\,\frac{11}{2}\,n\,\end{align*}

On a donc bien vérifié la conjecture annoncée à la question précédente.

Exercice 21 :

Nous allons prouver par récurrence que u_n = 2^n pour tout entier n\geq\, 0.

Pour n=0 et n=1, on a respectivement u_0 = 1 = 2^0 et u_1\,=\,2\,=\,2^1, donc la propriété est vraie pour n=0 et n=1.

Supposons maintenant que la propriété est vraie pour n et n+1, c’est-à-dire que u_n = 2^n et u_{n+1} = 2^{n+1}.

On va montrer que la propriété est alors vraie pour n+2, c’est-à-dire que u_{n+2} = 2^{n+2}.

En utilisant la relation de récurrence, on a
 u_{n+2} = 5u_{n+1} - 6u_n = 5\cdot 2^{n+1} - 6\cdot 2^n = 2^{n+2},
ce qui montre la propriété pour n+2.

Par récurrence, la propriété est donc vraie pour tout entier n\geq\, 0, c’est-à-dire que pour tout entier n\geq\, 0, on a u_n = 2^n.

Exercice 22 :

1. On calcule les quatre premiers termes de la suite :

 S_1 = \frac{(-1)^0}{1} = 1,\quad S_2 = \frac{(-1)^0}{1} + \frac{(-1)^1}{2} = \frac{1}{2},\quad S_3 = \frac{(-1)^0}{1} + \frac{(-1)^1}{2}+\frac{(-1)^2}{3} = \frac{5}{6},
\begin{align*}\,S_4\,=\,\frac{(-1)^0}{1}\,+\,\frac{(-1)^1}{2}+\frac{(-1)^2}{3}+\frac{(-1)^3}{4}\,\\\,=\,\frac{1}{2}\,-\,\frac{1}{4}\,\\\,=\,\frac{1}{4}.\,\end{align*}

2. D’après leur définition, on a u_n = S_{2n} et v_n = S_{2n+1}.

On veut montrer que (u_n) est croissante, (v_n) est décroissante et que v_n - u_n tend vers 0 quand n tend vers l’infini.

Pour montrer que (u_n) est croissante, on considère n\geq\, 1, on a
\begin{align*}\,u_{n+1}\,-\,u_n\,=\,S_{2n+2}\,-\,S_{2n}\,\\\,=\,\frac{(-1)^0}{1}\,+\,\frac{(-1)^1}{2}+\cdots\,+\,\frac{(-1)^{2n-1}}{n}\,+\,\frac{(-1)^{2n}}{n+1}\,-\,(\frac{(-1)^0}{1}\,+\,\frac{(-1)^1}{2}+\cdots\,+\,\frac{(-1)^{2n-1}}{n})\,\\\,=\,\frac{(-1)^{2n}}{n+1}\,\\\,=\,\frac{1}{n+1}.\,\end{align*}

Ainsi, (u_n) est une suite croissante.

De même, pour montrer que (v_n) est décroissante, on considère n\geq\, 1, on a
\begin{align*}\,v_{n+1}\,-\,v_n\,=\,S_{2n+3}\,-\,S_{2n+1}\,\\\,=\,\frac{(-1)^0}{1}\,+\,\frac{(-1)^1}{2}+\cdots\,+\,\frac{(-1)^{2n}}{n+1}\,+\,\frac{(-1)^{2n+1}}{n+2}\,-\,(\frac{(-1)^0}{1}\,+\,\frac{(-1)^1}{2}+\cdots\,+\,\frac{(-1)^{2n-1}}{n})\,\\\,=\,\frac{(-1)^{2n+1}}{n+2}\,\\\,=\,-\frac{1}{n+2}.\,\end{align*}

Ainsi, (v_n) est une suite décroissante.

Enfin, pour montrer que v_n - u_n tend vers 0 quand n tend vers l’infini, on a
 v_n - u_n = S_{2n+1} - S_{2n} = \frac{(-1)^{2n}}{2n+1},
et donc
 |v_n - u_n| = \frac{1}{2n+1}.
La suite (|v_n - u_n|) tend donc vers 0 quand n tend vers l’infini, ce qui montre que (u_n) et (v_n) sont adjacentes.

En conclusion, les suites (u_n) et (v_n) sont adjacentes et convergent vers une même limite, qui est ln2.

Exercice 23 :

En observant les premières valeurs de u_n et u_n^2, on peut conjecturer que u_n=\sqrt{4^n-1} pour tout n\in\mathbb{N}.

On peut le démontrer par récurrence.
Initialisation :

Pour n=0, on a u_0=0=\sqrt{4^0-1}. L’hypothèse est vérifiée au rang 0.
Hérédité :

Supposons que u_n=\sqrt{4^n-1}  vraie pour un certain entier n.

Alors,
u_{n+1}=\sqrt{u_n^2+1}=\sqrt{(4^n-1)+1}=\sqrt{4^{n+1}-1}.
Ainsi, l’hypothèse est vérifiée au rang n+1.
Conclusion :

On en déduit que u_n=\sqrt{4^n-1} pour tout n\in\mathbb{N}.

Exercice 24 :

Initialisation :

Pour n=0, on a V_0=0=0(0+1). L’hypothèse est vérifiée au rang 0.

Hérédité :

Supposons que V_n=n(n+1) soit vraie pour un certain entier n.

Alors,
V_{n+1}=V_n+2n+2=(n+1)(n+2)= (n+1)((n+1)+1).
Ainsi, l’hypothèse est vérifiée au rang n+1.

Conclusion :

On en déduit que pour tout n\in\mathbb{N}, V_n=n(n+1).

Exercice 25 :

Initialisation :

Pour n=0, on a 2^0=1\geq\, 1+1.

L’hypothèse est vérifiée au rang 0.
Hérédité :

Supposons 2^n\geq\, n+1 pour un certain entier n.

On a alors :
2^{n+1}=2\times   2^n\geq\, 2(n+1)\geq\, n+2+1.
Ainsi, l’hypothèse est vérifiée au rang n+1.
Conclusion :

On en déduit que 2^n\geq\, n+1 pour tout entier naturel n.

Exercice 26 :

Escargot de Pythagore

Initialisation :

Pour n=0, on a OA_0=1=\sqrt{4\times   0+1}.

L’hypothèse est vérifiée au rang 0.
Hérédité :

Supposons que OA_n=\sqrt{4n+1} pour un certain entier n.

On a alors :
OA_{n+1}=\sqrt{OA_n^2+A_nA_{n+1}^2}=\sqrt{(4n+1)+4}=\sqrt{4(n+1)+1}.
Ainsi, l’hypothèse est vérifiée au rang n+1.
Conclusion :

On en déduit que OA_n=\sqrt{4n+1} pour tout n\in\mathbb{N}.

Exercice 27 :

1) a) On a \lim_{n\to \infty}0,9^n=0 et donc \lim _{n\to \infty}u_n=3(2-0)=6.
b) On a \lim _{n\to \infty}1,01^n=+\infty et donc \lim _{n\to \infty}v_n=+\infty.
c) On a \lim _{n\to \infty}0,9^n=0 et \lim _{n\to \infty}3+0,2^n=3, donc \lim _{n\to \infty}w_n=\frac{3}{0-5}=-\frac{3}{5}.
d) On peut réécrire t_n sous la forme \frac{4^n}{3^n}+\frac{5}{3^n}. On a \lim _{n\to \infty}\frac{4^n}{3^n}=+\infty et \lim _{n\to \infty}\frac{5}{3^n}=0, donc \lim _{n\to \infty}t_n=+\infty.

2) a) Le premier terme de la suite est -3.

On peut écrire S_n=\frac{-3(1-0,8^n)}{1-0,8}.

En effet,

S_n=u_1(1+0,8+0,8^2+...+0,8^{n-1})=-3(1+0,8+0,8^2+...+0,8^{n-1})=-3\frac{1-0,8^n}{1-0,8}.
b) La suite (S_n) est convergente car |0,8|<1, et sa limite est \frac{-3}{1-0,8}=15.

Exercice 28 :

On a u_n=(-3)\times   0,8^{n-1}.

Ainsi, S_n=-3\frac{1-0,8^n}{1-0,8}=3(0,8^n-1).

On en déduit que la limite de la suite (S_n)est 3\times   (-1)=-3.

Exercice 29 :

1) a) La fonction f est dérivable sur ]0;+\infty[ et on a f'(x)=\frac{3}{(1+2x)^2}>0 pour tout x>0.

Donc, f est strictement croissante sur [0;+\infty[.
b) Si x\in[0;1], alors f'(x)=\frac{3}{(1+2x)^2}\leq\, \frac{3}{(1+2\times   1)^2}=1.

2) Initialisation :

Pour n=0, on a u_0=0,7\geq\, 0 et u_0\leq\, 1.

L’hypothèse est vérifiée au rang 0.

Hérédité :

Supposons que 0\leq\, u_n\leq\, 1 pour un certain entier n soit vraie.

Alors, 0\leq\, 3u_n\leq\, 3 et 0\leq\, 2u_n<2, donc
0\leq\, u_{n+1}=\frac{3u_n}{1+2u_n}<\frac{3}{1}=3

et
0\leq\, u_{n+1}=\frac{3u_n}{1+2u_n}\geq\, 0.
Ainsi, l’hypothèse est vérifiée au rangn+1.

Conclusion :

On en déduit que pour tout n\in\mathbb{N}, 0\leq\, u_n\leq\, 1.

3) La suite (u_n) est décroissante et minorée par 0, donc elle converge.

Soit l sa limite.

En passant à la limite dans la relation de récurrence, on a l=\frac{3l}{1+2l}.

Cette équation admet l=0 comme solution, qui est la seule solution possible car f est strictement croissante sur [0;1].

Ainsi, la suite (u_n) converge vers 0.

Exercice 30 :

1) Les dix premiers termes de la suite (u_n) sont :
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100.

2) a) On peut conjecturer que u_n=n^2.

b) Initialisation :

Pour n=1, on a u_1=1=1(1+1). L’hypothèse est vérifiée au rang 1.
Hérédité :

Supposons que u_n=n^2 pour un certain entier n.

Alors,
u_{n+1}=u_n+2n+1=n^2+2n+1=(n+1)^2.
Ainsi, l’hypothèse est vérifiée au rang n+1.
Conclusion :

On en déduit que pour tout n\in\mathbb{N}, u_n=n^2.

Exercice 31 :

Initialisation :

Pour n=1, on a 1^2=\frac{1\times   2\times   3}{6}.

L’hypothèse est vérifiée au rang 1.
Hérédité :

Supposons \sum\limits_{q=1}^{n}q^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.

Alors,
\sum\limits_{q=1}^{n+1}q^2 \\\\=\sum\limits_{q=1}^{n}q^2+(n+1)^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2 \\\\(n+1)\,\frac{2n^2+7n+6}{6} \\\\(n+1)\,\frac{(n+1)(2n+3)}{6} \\\\=\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}.

Ainsi, l’hypothèse est vérifiée au rang n+1.
Conclusion :

On en déduit que pour tout entier naturel n non nul,

\sum_{q=1}^{n}q^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.

Exercice 32 :

1) a) On a \lim\limits_{n\to \infty}u_n=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{4^n+5}{2\times   3^n}=0 car \frac{4^n+5}{2\times   3^n}\leq\, \frac{4^n+5^n}{2\times   3^n}= (\frac{4}{5})^n+\frac{5}{2}\times   (\frac{2}{3})^n qui tend vers 0 quand n tend vers l’infini.

b) On a \lim\limits_{n\to \infty}v_n=\lim\limits_{n\to \infty}(1+\frac{2n-5}{3+2n})=1.
c) On a   l=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{4n-1+\frac{5}{\sqrt{n}}}{n}=4+\lim\limits_{n\to \infty}\frac{5}{n^{\frac{3}{2}}}=4.

d) On a \lim\limits_{n\to \infty}t_n=+\infty.

2) a) La suite (u_n) est géométrique de raison 0,8 et de premier terme -3.

Ainsi, u_n=(-3)\times   0,8^{n-1}.

b) On a \lim\limits_{n\to \infty}u_n=\lim\limits_{n\to \infty}(-3)\times   0,8^{n-1}=0.

3) Les trois dernières suites tendent toutes vers 0, donc elles sont bornées.

Exercice 33 :

1) On a v_n=4u_n-3=4(-\frac{1}{3}u_{n-1}+1)-3=-\frac{4}{3}v_{n-1}.
Ainsi, la suite (v_n) est géométrique de raison -\frac{1}{3}, et son premier terme est v_0=4u_0-3=1.

2) On peut écrire v_n=4u_n-3=4(-\frac{1}{3})^n+4-3=-\frac{17}{4}\times   (\frac{-1}{3})^n+\frac{1}{4}.
Ainsi, u_n=\frac{17}{4}\times   (\frac{-1}{3})^n+\frac{3}{4}.

3) La suite (u_n) tend vers \frac{3}{4}.

Exercice 34 :

1) On a u_n=(\frac{1}{3})^n-8.

Comme \frac{1}{3}<1, on a (\frac{1}{3})^n\to 0 lorsque n\to+\infty.

Donc u_n\to -8 lorsque n\to+\infty.

Par conséquent, la suite (u_n) est bornée.

2) On a -1\leq\, \sin(5n+1)\leq\, 1 pour tout entier naturel $n$.

Donc -8\leq\, 5\sin(5n+1)-3\leq\, 2.

Ainsi, (u_n) est bornée.

3) La fonction x\mapsto   \cos(x)-x est continue et décroissante sur \mathbb{R}.

On a \cos(n^2)\in [-1,1] pour tout entier naturel n, donc u_n\in [-n-1,n+1] pour tout entier naturel $n$.

Ainsi, (u_n) est bornée.

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