Corrigés des exercices de maths en Terminale
Le corrigé des exercices de maths en terminale sur les suites numériques. Savoir étudier une suite (convergente ou divergente), le sens de variation et sa limite en l’infini.

Exercice 1 :
1. Soit la suite arithmétique mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. de raison r=-2 et telle que mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. .

a. Calculer mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. .

b. Calculer mimetex.cgi? S_{10}=U_1+U_2+.. Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.
Or mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. .

mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.

2. Soit la suite géométrique mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. de raison mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. et telle que mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF..

a. Calculer mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. .

b. Calculer mimetex.cgi? S_9=V_1+V_2+.. Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. .

Or mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.

Donc mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.

Exercice 2 :
Calculer les limites des suites suivantes :

a. mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.

b. mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.

c. mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.

d. mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.

e. mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.: sans limite

Exercice 3 :
Calculer les limites des suites suivantes :

a. mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.

b. mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.

Exercice 4 :
Calculer les limites des suites suivantes en utilisant le théorème des croissances comparées.

a. mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.

b. mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.

c. mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.

Exercice 5 :
Etudier le sens de variation des suites suivantes :

a. mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.
soit mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.

donc mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. est strictement croissante sur mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.

b. mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.
soit mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.
La suite définie par mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. est croissante et tend vers 0
donc il existe mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.

A partir de mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF., la suite étudiée est croissante.

c. mimetex.cgi? U_n=\frac{1\times   3\times   .....\times   (2n-1)}{2\times   4 \times   ...... \times   ... Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.

Pour mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.

Nous pouvons donc calculer le rapport :

Pour

mimetex.cgi? n\in \mathbb{N^*}\,,\, \frac{U_{n+1}}{U_n}= \frac{\frac{1\times   3\times   .....\times   (2(n+1)-1)}{2\times   4 \times   ...... \times   .... \times   2(n+1)}}{\frac{1\times   3\times   .....\times   (2n-1)}{2\times   4 \times   ...... \times   ... Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.

Donc la suite mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. est décroissante sur mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. .

Exercice 6 :

Vérifions que la proposition est vraie au rang mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.. On a mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF., donc c’est vrai.

Supposons maintenant que la proposition est vraie pour un certain entier mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF., c’est-à-dire mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.. Montrons qu’elle est vraie aussi au rang mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF., c’est-à-dire mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.. On a :
mimetex.cgi?\[U_{n+1}\,=\,\sqrt{U_n+2}\,<\,\sqrt{2+2}\,=\,2 Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.
Ainsi, on a prouvé par récurrence que mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF..

Exercice 7 :

Vérifions que la proposition est vraie au rang mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.. On a mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. et mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF., donc c’est vrai.

Supposons maintenant que la proposition est vraie pour un certain entier mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF., c’est-à-dire mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.. Montrons qu’elle est vraie aussi au rang mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF., c’est-à-dire mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.. On a :
\[U_{n+1} = 2U_n – 3 = 2(3-2^n) – 3 = 6 – 2^{n+1} – 3 = 3 – 2^{n+1}.\]
Ainsi, on a prouvé par récurrence que mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF..

Exercice 8 :

a. On a mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF., mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF., mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. et mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF..

b. On a :
mimetex.cgi?\begin{align*}\,S_{n+1}\,=\,1^2\,+\,2^2\,+\,\ldots\,+\,n^2\,+\,(n+1)^2\,\\\,=\,S_n\,+\,(n+1)^2\,\\\,=\,\frac{n(n+1)(2n-1)}{6}\,+\,(n+1)^2\,\\\,=\,\frac{(n+1)(2n^2\,+\,7n\,+\,6)}{6}\,\\\,=\,\frac{(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)-1)}{6} Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.

Ainsi, on a la formule de récurrence mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF..

c. On vérifie que mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.. Supposons que mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. pour un certain entier naturel mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.. Alors :
mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.
ce qui prouve que la formule est vraie au rang mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF..

D’après le principe de récurrence, cela prouve que la formule est vraie pour tout mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF..

Exercice 9 :
mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.

Exercice 10 :

1.a. On a mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF., donc
mimetex.cgi?\[V_{n+1}\,=\,U_{n+1}\,+\,6\,=\,\frac{1}{2}U_n\,-\,3\,+\,6\,=\,\frac{1}{2}(U_n+6)\,=\,\frac{1}{2}V_n Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.
Ainsi, la suite mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. est une suite géométrique de raison mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. et de terme initial mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF..

1.b. On a :
mimetex.cgi?\begin{align*}\,S_n\,=\,\sum_{k=0}^n\,V_k\,=\,\sum_{k=0}^n\,15\cdot(\frac{1}{2})^k\,=\,15\cdot\sum_{k=0}^n(\frac{1}{2})^k\,\\\,=\,15\cdot\frac{1-(\frac{1}{2})^{n+1}}{1-\frac{1}{2}}\,=\,30\cdot(1-(\frac{1}{2})^{n+1}) Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.

En utilisant que mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF., on a
mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.

1.c. Comme mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF., on a mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.. Ainsi, d’après la formule pour la somme d’une suite géométrique, on a :
mimetex.cgi?\[\lim_{n\to+\infty}\,S_n\,=\,\lim_{n\to+\infty}\,30\cdot(1-(\frac{1}{2})^{n+1})\,=\,30 Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.

De même, mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. car mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF..

2. On a mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.. On calcule :
mimetex.cgi?\begin{align*}\,W_{n+1}\,-\,W_n\,=\,\ln\,V_{n+1}\,-\,\ln\,V_n\,=\,\ln(\frac{1}{2})\,\\\,=\,\ln(\frac{U_n+6}{2})\,=\,\ln(\frac{1}{2}(U_n+6))\,=\,\ln(\frac{1}{2}V_n) Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.

Ainsi, la suite mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. est une suite arithmétique de raison mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF..

On a :
mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.
On a mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF., donc mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF..

Ainsi, on a :
mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.

3. On a 2} Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF..

En utilisant que 2}\leq\, (\frac{1}{2})^{n^2} Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. pour tout mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF., on a :
2}\,=\,0 Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.

Exercice 11 :

1. Soit mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. une suite convergente de limite mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF..

Par définition, cela signifie que pour tout mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF., il existe un entier naturel mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. tel que pour tout mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF., mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF..

En particulier, pour mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF., il existe un entier naturel mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. tel que pour tout mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF., mimetex.cgi?|u_n - L |<1 Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. Cela signifie que mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. dès que mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF..

Donc la suite mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. est bornée.

2. Soit mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. une suite croissante et non majorée.

On montre que mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. diverge vers mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.. En effet, pour tout mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF., comme mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. n’est pas majorée, il existe un indice mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. tel que mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF..

De plus, comme mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. est croissante, pour tout mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF., on a mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF..

Donc la suite mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. est mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.-supérieure à partir d’un certain rang indépendant de mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF., ce qui signifie que mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. tend vers mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF..

3. Supposons qu’une suite mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. converge vers deux limites distinctes mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. et mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF..

Alors, pour tout mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF., il existe mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. tel que pour tout mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF., on ait 2 Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. et il existe mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. tel que pour tout mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF., on ait mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.. Soit mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF..

Alors, pour tout mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF., on a à la fois :
mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.
et
mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.
En ajoutant ces deux inégalités, on obtient :
mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.
Mais ce n’est possible que si mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF., ce qui contredit notre hypothèse de départ. Ainsi, la limite d’une suite est unique.

4. La suite mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. n’a pas de limite.

En effet, si elle avait une limite mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF., alors pour tout mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF., il existerait un entier mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. tel que pour tout mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF., on aurait mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF..

Mais la suite mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. n’est pas convergente par oscillation : si mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. est pair, mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. et pour mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. impair, mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF..

Ainsi, pour tout mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF., on peut trouver mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. et mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. pairs tels que mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. et mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. et mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. et mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF., et donc mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. (mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.) ce qui contredit la convergence de mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF..

5. Soit mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. une suite bornée et mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. une suite convergeant vers mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF..

Il existe donc une constante mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. telle que mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. pour tout mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.. Par ailleurs, puisque mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. converge vers mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF., pour tout mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF., il existe un entier mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. tel que pour tout mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF., on ait M Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF..

En combinant ces deux inégalités, on en déduit que :
M = \epsilon Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.
pour mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.. Cela signifie que mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. converge également vers mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF..

6. Soit mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. une suite d’entiers relatifs convergeant vers un réel mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF..

Soit mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.. Puisque mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. converge vers mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF., il existe un entier mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. tel que pour tout mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF., on ait 2 Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.. Mais ceci implique que pour tout mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. :
mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.
puisque mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF..

Donc, à partir de l’indice mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF., tous les termes de la suite sont à une distance strictement inférieure à mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. d’un entier. Puisque seuls un nombre fini d’entiers se trouvent dans un intervalle d’amplitude mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF., cela signifie que la suite mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. est stationnaire à partir de l’indice mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. et donc converge vers l’entier relatif mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. égal à cette valeur commune.

7. Soit mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. une suite divergente vers mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF..

Pour tout mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF., on a mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF., donc la suite est minorée par mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.. En effet, si elle ne l’était pas, il existerait un entier mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. tel que mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF., ce qui serait en contradiction avec l’hypothèse de divergence. Ainsi, la suite mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. est minorée par mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF..

suite-numerique Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.

Exercice 12 :

1. Pour tout entier mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF., on a :
mimetex.cgi?\begin{align*}\,a_{n+1}\,+\,b_{n+1}\,=\,\frac{a_n\,+\,b_n}{2}\,+\,\sqrt{a_nb_n}\,\\\,=\,\frac{a_n\,+\,b_n\,+\,2\sqrt{a_nb_n}}{2}\,\\\,=\,\frac{\sqrt{a_n}\,+\,\sqrt{b_n}}{\sqrt{2}}^2 Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.

Or, puisque mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF., on a mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. pour tout mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF..

Ainsi, on en déduit que 2 < a_{n+1} + b_{n+1} < a_n + b_n Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. pour tout mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF..

Donc 2 Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. est une suite croissante majorée par mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF., et donc elle converge vers une limite mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.. Par ailleurs, la suite mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. est décroissante, minorée par mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. et converge donc vers une limite mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.. De même, la suite mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. est décroissante, minorée par mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF., et converge donc vers une limite mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.. Nous allons montrer que mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF..

Pour tout entier mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF., on a :
mimetex.cgi? a_{n+1}b_{n+1} = \frac{(a_n-b_n)^2}{4} \leq\, \frac{(a_0-b_0)^2}{4} Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.
Ainsi, mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. est une suite bornée et converge vers une limite mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.. Mais on a aussi, pour tout mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.,
mimetex.cgi? (\frac{a_n + b_n}{2})^2 - a_nb_n = \frac{(a_n-b_n)^2}{4} Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.
Donc, en passant à la limite quand mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF., on a 4 Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.. Cela montre que mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF., donc on a mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF., donc mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF..

Ainsi, les deux suites convergent vers la même limite.

2. La suite mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. ne converge pas car elle prend des valeurs aussi proches que l’on veut de mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. et mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. en alternance. Plus précisément, pour tout mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF., on a 2) = \pm 1 Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.. La suite mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. ne converge pas non plus, car sinon on aurait par la formule trigonométrique mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF., ce qui est impossible sous l’hypothèse de convergence infinie de mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF..

Exercice 13 :

1. Nous allons procéder par récurrence sur mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF..

Pour mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF., on a mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF..

Supposons maintenant que l’inégalité est vraie pour un certain entier naturel mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF., c’est-à-dire mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.. En multipliant par mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. des deux côtés de l’inégalité, on obtient mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF..

Puisque mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. est positif, on a mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF., donc mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF., ce qui achève la démonstration par récurrence.

2. Si mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF., alors mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. est une suite strictement croissante de réels positifs, donc elle diverge vers mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.. Si mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF., alors mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. est constante et converge vers 1. Si mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF., alors mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. (puisque mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.) et donc mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. lorsque mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF..

Enfin, si mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF., alors mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. n’a pas de limite car lorsque mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. est pair, mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. est positif et lorsque mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. est impair, mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. est négatif. Donc la suite mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. ne peut pas converger vers une limite.

Exercice 14 :

1. Nous allons procéder par récurrence forte. Pour mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF., on a mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF., donc la propriété est vraie pour mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.. Supposons maintenant que la propriété est vraie pour mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF., c’est-à-dire
mimetex.cgi? S_n = 2n^4 - n^2 Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.
Nous allons montrer que la propriété est alors vraie pour mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.. Pour cela, on a
mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.

ce qui montre la propriété pour mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF..

Par récurrence forte, la propriété est donc vraie pour tout mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF..

2. On cherche donc le plus petit entier mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. tel que mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.. On sait que
mimetex.cgi? S_n = 2n^4 - n^2 = n^2 (2n^2-1) Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.
Il suffit donc de chercher le plus petit entier mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. tel que mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.. On remarque que mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF., donc mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF..

On calcule ensuite les valeurs de mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. et mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. :
mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.

On voit donc que mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. est bien entre ces deux valeurs, donc la solution cherchée est mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF..

Exercice 15 :
Soient mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.  une suite croissante et majorée

et mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.   une suite décroissante et minorée.

Les suites mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. et mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. ont-elles nécessairement la même limite ?

Il y a aucune raison pour qu’elles aient la même limite.

Si elles avaient la même limite ce serait des suites adjacentes .

mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.  la suite est décroissante et minorée par 3 .

mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.   la suite et croissante et majorée par 0 .

or mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. et mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. .

Exercice 16 :
Indication : utiliser le   théorème de comparaison.

On suppose connu le résultat suivant :

La suite mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. tend vers mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. lorsque n tend vers mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. si tout

intervalle de la forme mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. contient toutes les valeurs de mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.

à partir d’un certain rang.

Soient mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. et mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. deux suites telles que :

mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.  est inférieur ou égal à mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.  à partir d’un certain rang ;

mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.  tend vers mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. lorsque n tend vers mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. .

Démontrer que la suite mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. tend vers mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. lorsque  n tend vers mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. .

Exercice 17 :
Soit mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. telle que mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. et pour tout entier naturel n, mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. .

Soit mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. telle que , pour tout entier naturel n, mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF..

1. Démontrer que la suite mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. est arithmétique de raison mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. .

Indication : calculer mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. et montrer que cette différence ne dépend pas de n.

2. Exprimer mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. en fonction de n et en déduire que pour tout entier naturel n,

mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. .

3. Calculer la limite de la suite mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. et celle de la suite mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF..

Exercice 18 :
Soit mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. la suite définie par son premier terme mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.

et pour tout entier naturel n, mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. .

1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, mimetex.cgi?-2<U_n\leq\, 0 Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.

2. Etudier le sens de variation de la suite mimetex.cgi?(U_n) Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.

3. Etudier la convergence de la suite mimetex.cgi?(U_n) Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.

Exercice 19 :

1. On calcule les six premiers termes de la suite :
mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.

2. La courbe semble être une parabole.

On peut conjecturer que la fonction représentée par cette courbe est une fonction quadratique de la forme mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF..

Par ailleurs, on pourrait conjecturer que la suite mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. a pour terme général mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF., où mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF., mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. et mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. sont des constantes à déterminer.

3. Pour démontrer cette conjecture, on va utiliser la méthode des différences finies. On calcule d’abord la première différence :
mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.

On calcule ensuite la deuxième différence :
mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.

On remarque que la deuxième différence est constante et égale à mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF..

Cela nous indique que la fonction représentée par la courbe est bien une fonction quadratique. On peut donc écrire mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF..

Par ailleurs, on sait que mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF., donc mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.. On a également mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF., donc mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.. Enfin, on sait que mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF., donc mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF..

On peut maintenant exprimer le terme général de la suite mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. :
mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.

On a donc bien vérifié la conjecture annoncée à la question précédente.

Exercice 20 :

1. On calcule les six premiers termes de la suite :
mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.

2. La courbe semble être une parabole. On peut conjecturer que la fonction représentée par cette courbe est une fonction quadratique de la forme mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF..

Par ailleurs, on pourrait conjecturer que la suite mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. a pour terme général mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF., où mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF., mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. et mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. sont des constantes à déterminer.

3. Pour démontrer cette conjecture, on va utiliser la méthode des différences finies. On calcule d’abord la première différence :
mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.

On calcule ensuite la deuxième différence :
mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.
On remarque que la deuxième différence est constante et égale à mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF..

Cela nous indique que la fonction représentée par la courbe est bien une fonction quadratique. On peut donc écrire mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF..

Par ailleurs, on sait que mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF., donc mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.. On a également mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF., donc mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.. Enfin, on sait que mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF., donc mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF..

On peut maintenant exprimer le terme général de la suite mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. :
mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.

On a donc bien vérifié la conjecture annoncée à la question précédente.

Exercice 21 :

Nous allons prouver par récurrence que mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. pour tout entier mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF..

Pour mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. et mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF., on a respectivement mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. et mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF., donc la propriété est vraie pour mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. et mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF..

Supposons maintenant que la propriété est vraie pour mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. et mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF., c’est-à-dire que mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. et mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF..

On va montrer que la propriété est alors vraie pour mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF., c’est-à-dire que mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF..

En utilisant la relation de récurrence, on a
mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.
ce qui montre la propriété pour mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF..

Par récurrence, la propriété est donc vraie pour tout entier mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF., c’est-à-dire que pour tout entier mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF., on a mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF..

Exercice 22 :

1. On calcule les quatre premiers termes de la suite :

mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.
mimetex.cgi?\begin{align*}\,S_4\,=\,\frac{(-1)^0}{1}\,+\,\frac{(-1)^1}{2}+\frac{(-1)^2}{3}+\frac{(-1)^3}{4}\,\\\,=\,\frac{1}{2}\,-\,\frac{1}{4}\,\\\,=\,\frac{1}{4} Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.

2. D’après leur définition, on a mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. et mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF..

On veut montrer que mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. est croissante, mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. est décroissante et que mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. tend vers mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. quand mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. tend vers l’infini.

Pour montrer que mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. est croissante, on considère mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF., on a
mimetex.cgi?\begin{align*}\,u_{n+1}\,-\,u_n\,=\,S_{2n+2}\,-\,S_{2n}\,\\\,=\,\frac{(-1)^0}{1}\,+\,\frac{(-1)^1}{2}+\cdots\,+\,\frac{(-1)^{2n-1}}{n}\,+\,\frac{(-1)^{2n}}{n+1}\,-\,(\frac{(-1)^0}{1}\,+\,\frac{(-1)^1}{2}+\cdots\,+\,\frac{(-1)^{2n-1}}{n})\,\\\,=\,\frac{(-1)^{2n}}{n+1}\,\\\,=\,\frac{1}{n+1} Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.

Ainsi, mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. est une suite croissante.

De même, pour montrer que mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. est décroissante, on considère mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF., on a
mimetex.cgi?\begin{align*}\,v_{n+1}\,-\,v_n\,=\,S_{2n+3}\,-\,S_{2n+1}\,\\\,=\,\frac{(-1)^0}{1}\,+\,\frac{(-1)^1}{2}+\cdots\,+\,\frac{(-1)^{2n}}{n+1}\,+\,\frac{(-1)^{2n+1}}{n+2}\,-\,(\frac{(-1)^0}{1}\,+\,\frac{(-1)^1}{2}+\cdots\,+\,\frac{(-1)^{2n-1}}{n})\,\\\,=\,\frac{(-1)^{2n+1}}{n+2}\,\\\,=\,-\frac{1}{n+2} Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.

Ainsi, mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. est une suite décroissante.

Enfin, pour montrer que mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. tend vers mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. quand mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. tend vers l’infini, on a
mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.
et donc
mimetex.cgi? |v_n - u_n| = \frac{1}{2n+1} Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF.
La suite mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. tend donc vers mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. quand mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. tend vers l’infini, ce qui montre que mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. et mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. sont adjacentes.

En conclusion, les suites mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. et mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF. sont adjacentes et convergent vers une même limite, qui est mimetex Suite numériques : corrigé des exercices de maths en  terminale en PDF..


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