Suite numériques : corrigé des exercices de maths en terminale en PDF.

Mis à jour le 29 mai 2025

🔍Corrigés Détaillés

Terminale • Lycée

Suite numériques

🔎 Analyse : 22 min

🎯 Niveau : Lycée

📱 Format : Gratuit

📄 PDF : Disponible

Le corrigé des exercices de maths en terminale sur les suites numériques. Savoir étudier une suite (convergente ou divergente), le sens de variation et sa limite en l’infini.

Exercice 1 :
1. Soit la suite arithmétique de raison r=-2 et telle que $U_{10}=25$ .

a. Calculer $U_{50}=U_{10}+40\times r=25+40\times (-2)=-55$ .

b. Calculer $S_{10}=U_1+U_2+...+U_{10}=\frac{10\times (U_1+U_{10})}{2}$
Or $U_{10}=U_1+9r \Rightarrow U_1=U_{10}-9r=25-9\times (-2)=43$ .

$S_{10}=\frac{10\times (U_1+U_{10})}{2}=\frac{10\times (43+25)}{2} =340$

2. Soit la suite géométrique de raison $q=\frac{1}{2}$ et telle que $V_8=\frac{3}{8}$ .

a. Calculer $V_{20}=V_8\times q^{12}=\frac{3}{8}\times (\frac{1}{2})^{12}=\frac{3}{32768}$ .

b. Calculer $S_9=V_1+V_2+...+V_9=\frac{V_{10}-V_1}{q-1}=\frac{\frac{3}{8}\times (\frac{1}{2})^2-V_1}{\frac{1}{2}-1}$ .

Or $V_1=\frac{V_8}{(\frac{1}{2})^7} =\frac{3\times 2^7}{8}=48$

Donc $S_9=\frac{\frac{3}{32}-48}{-\frac{1}{2}}=\frac{1533}{16}$

Exercice 2 :
Calculer les limites des suites suivantes :

a. $\lim_{n \to +\infty} U_n=1$

b. $\lim_{n \to +\infty} U_n=\lim_{n \to +\infty} \frac{3n-4}{2n+1} =\frac{3}{2}$

c. $\lim_{n \to +\infty}U_n=\lim_{n \to +\infty}ln(1+\frac{1}{n})=0$

d. $\lim_{n \to +\infty}U_n=\lim_{n \to +\infty}cos(\frac{1}{n})=1$

e. $\lim_{n \to +\infty}U_n=\lim_{n \to +\infty}sin(n\frac{\pi}{3}$ : sans limite

Exercice 3 :
Calculer les limites des suites suivantes :

a. $\lim_{n \to +\infty}U_n=\lim_{n \to +\infty}1+\frac{sin n}{\sqrt{n}}=1$

b. $\lim_{n \to +\infty}U_n=\lim_{n \to +\infty}\frac{n+cos(\sqrt{n})}{\sqrt{n}} =+\infty$

Exercice 4 :
Calculer les limites des suites suivantes en utilisant le théorème des croissances comparées.

a. $\lim_{n \to +\infty}U_n=\lim_{n \to +\infty}\frac{n^2}{2^n}=+\infty$

b. $\lim_{n \to +\infty}U_n=\lim_{n \to +\infty}2^n-n^3=+\infty$

c. $\lim_{n \to +\infty}U_n=\lim_{n \to +\infty}\frac{n}{ln(n^2+1)}=+\infty$

Exercice 5 :
Etudier le sens de variation des suites suivantes :

a. $U_n=\frac{n}{n+1}$
soit $n \in \mathbb{N}\,,\, U_{n+1}-U_n=\frac{n+1}{n+2}-\frac{n}{n+1}=\frac{(n+1)^2-n(n+2)}{(n+1)(n+2)}=\frac{1}{(n+1)(n+2)}\ge0$

donc est strictement croissante sur $\mathbb{N}$

b.
soit $n \in \mathbb{N}\,,\, U_{n+1}-U_n=n+1-ln(n+2)-n+ln(n+1)\\=1+ln(\frac{n+1}{n+2})=1+ln(1-\frac{1}{n+2})$
La suite définie par $V_n=ln(1-\frac{1}{n+2})$ est croissante et tend vers 0
donc il existe $n_0\in \mathbb{N}\,,\, 1+Vn\ge 0$

A partir de $n_0\in \mathbb{N}$ , la suite étudiée est croissante.

c. $U_n=\frac{1\times 3\times .....\times (2n-1)}{2\times 4 \times ...... \times .... \times 2n}$

Pour $n\in \mathbb{N^*}\,,\, U_n\ge 0$

Nous pouvons donc calculer le rapport :

Pour

$n\in \mathbb{N^*}\,,\, \frac{U_{n+1}}{U_n}= \frac{\frac{1\times 3\times .....\times (2(n+1)-1)}{2\times 4 \times ...... \times .... \times 2(n+1)}}{\frac{1\times 3\times .....\times (2n-1)}{2\times 4 \times ...... \times .... \times 2n}}=\frac{2n+2-1}{2(n+1)}=\frac{2n+1}{2n+2)}\le 1$

Donc la suite est décroissante sur $\mathbb{N}$ .

Exercice 6 :

Vérifions que la proposition est vraie au rang . On a $U_0\,=\,2\,<\,2$ , donc c’est vrai.

Supposons maintenant que la proposition est vraie pour un certain entier $n\geq\, 0$ , c’est-à-dire . Montrons qu’elle est vraie aussi au rang , c’est-à-dire $U_{n+1} < 2$ . On a :
$U_{n+1}\,=\,\sqrt{U_n+2}\,<\,\sqrt{2+2}\,=\,2.$
Ainsi, on a prouvé par récurrence que $\forall n\in\mathbb{N}, U_n < 2$ .

Exercice 7 :

Vérifions que la proposition est vraie au rang . On a et , donc c’est vrai.

Supposons maintenant que la proposition est vraie pour un certain entier $n\geq\, 0$ , c’est-à-dire . Montrons qu’elle est vraie aussi au rang , c’est-à-dire $U_{n+1} = 3-2^{n+1}$ . On a :
\[U_{n+1} = 2U_n – 3 = 2(3-2^n) – 3 = 6 – 2^{n+1} – 3 = 3 – 2^{n+1}.\]
Ainsi, on a prouvé par récurrence que $\forall n\in\mathbb{N}, U_n = 3-2^n$ .

Exercice 8 :

a. On a , , et .

b. On a :
$\begin{align*}\,S_{n+1}\,=\,1^2\,+\,2^2\,+\,\ldots\,+\,n^2\,+\,(n+1)^2\,\\\,=\,S_n\,+\,(n+1)^2\,\\\,=\,\frac{n(n+1)(2n-1)}{6}\,+\,(n+1)^2\,\\\,=\,\frac{(n+1)(2n^2\,+\,7n\,+\,6)}{6}\,\\\,=\,\frac{(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)-1)}{6}.\,\end{align*}$

Ainsi, on a la formule de récurrence $S_{n+1} = \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}$ .

c. On vérifie que $S_1 = \frac{1\cdot 2\cdot 3}{6} = 1$ . Supposons que $S_n = \frac{n(n+1)(2n-1)}{6}$ pour un certain entier naturel $n\geq\, 1$ . Alors :
$\begin{align*}\,S_{n+1}\,=\,\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}\,=\,\frac{(n+1)(2n^2+7n+6)}{6}\,\\\,=\,\frac{(n+1)(n+1+1)(2(n+1)-1)}{6},\,\end{align*}$
ce qui prouve que la formule est vraie au rang .

D’après le principe de récurrence, cela prouve que la formule est vraie pour tout $n\geq\, 1$ .

Exercice 9 :
$\lim_{n\to \infty }a_n=5\,;\,\lim_{n\to \infty }b_n=0\,;\,\lim_{n\to \infty }c_n=1$

Exercice 10 :

1.a. On a , donc
$V_{n+1}\,=\,U_{n+1}\,+\,6\,=\,\frac{1}{2}U_n\,-\,3\,+\,6\,=\,\frac{1}{2}(U_n+6)\,=\,\frac{1}{2}V_n.$
Ainsi, la suite est une suite géométrique de raison $\frac{1}{2}$ et de terme initial .

1.b. On a :
$\begin{align*}\,S_n\,=\,\sum_{k=0}^n\,V_k\,=\,\sum_{k=0}^n\,15\cdot(\frac{1}{2})^k\,=\,15\cdot\sum_{k=0}^n(\frac{1}{2})^k\,\\\,=\,15\cdot\frac{1-(\frac{1}{2})^{n+1}}{1-\frac{1}{2}}\,=\,30\cdot(1-(\frac{1}{2})^{n+1}).\,\end{align*}$

En utilisant que , on a
$S_n'\,=\,\sum_{k=0}^n\,U_k\,=\,\sum_{k=0}^n\,(V_k\,-\,6)\,=\,S_n\,-\,6(n+1).$

1.c. Comme $|V_n| = |\frac{1}{2}|^n|V_0|$ , on a $\lim_{n\to+\infty} V_n = 0$ . Ainsi, d’après la formule pour la somme d’une suite géométrique, on a :
$\lim_{n\to+\infty}\,S_n\,=\,\lim_{n\to+\infty}\,30\cdot(1-(\frac{1}{2})^{n+1})\,=\,30.$

De même, $\lim_{n\to+\infty}S_n' = 30-6\cdot\lim_{n\to+\infty}(n+1) = -\infty$ car $\lim_{n\to+\infty}(n+1) = +\infty$ .

2. On a $W_n = \ln V_n = \ln(U_n+6)$ . On calcule :
$\begin{align*}\,W_{n+1}\,-\,W_n\,=\,\ln\,V_{n+1}\,-\,\ln\,V_n\,=\,\ln(\frac{1}{2})\,\\\,=\,\ln(\frac{U_n+6}{2})\,=\,\ln(\frac{1}{2}(U_n+6))\,=\,\ln(\frac{1}{2}V_n).\,\end{align*}$

Ainsi, la suite est une suite arithmétique de raison $\ln(\frac{1}{2})$ .

On a :
$\begin{align*}\,S_n''\,=\,\sum_{k=0}^n\,W_k\,=\,\sum_{k=0}^n\,(\ln(U_k+6))\,\\\,=\,\sum_{k=0}^n\,(\ln(V_k)-\ln(2))\,=\,\ln(V_0)-n\ln(2)\,+\,\sum_{k=0}^n\,\ln(V_k)\,\\\,=\,\ln(15)\,-\,n\ln(2)\,+\,\ln(V_0)\cdot\prod_{k=0}^n\,V_k.\,\end{align*}$
On a $\lim_{n\to+\infty} V_n = 0$ , donc $\lim_{n\to+\infty}\prod_{k=0}^n V_k = 0$ .

Ainsi, on a :
$\lim_{n\to+\infty}\,S_n''\,=\,\ln(15)-\infty\,=\,-\infty.$

3. On a $P_n = V_0\cdot V_1\cdot\ldots\cdot V_n = 15\cdot(\frac{1}{2})^0(\frac{1}{2})^1\cdots(\frac{1}{2})^n = 15\cdot(\frac{1}{2})^{n(n+1)/2}$ .

En utilisant que $(\frac{1}{2})^{n(n+1)/2}\leq\, (\frac{1}{2})^{n^2}$ pour tout $n\geq\, 0$ , on a :
$\lim_{n\to+\infty}\,P_n\,=\,\lim_{n\to+\infty}\,15\,\times \,(\frac{1}{2})^{n(n+1)/2}\,=\,0.$

Exercice 11 :

1. Soit une suite convergente de limite .

Par définition, cela signifie que pour tout $\epsilon >0$ , il existe un entier naturel tel que pour tout $n \geq\, N$ , $|u_n - L|<\epsilon$ .

En particulier, pour $\epsilon = 1$ , il existe un entier naturel tel que pour tout $n \geq\, N$ , Cela signifie que dès que $n \geq\, N$ .

Donc la suite est bornée.

2. Soit une suite croissante et non majorée.

On montre que diverge vers $+ \infty$ . En effet, pour tout , comme n’est pas majorée, il existe un indice tel que .

De plus, comme est croissante, pour tout $n' \geq\, n$ , on a $u_{n'} \geq\, u_n > M$ .

Donc la suite est -supérieure à partir d’un certain rang indépendant de , ce qui signifie que tend vers $+ \infty$ .

3. Supposons qu’une suite converge vers deux limites distinctes et .

Alors, pour tout $\epsilon>0$ , il existe tel que pour tout $n\geq\, N_1$ , on ait $|u_n-L|<\epsilon/2$ et il existe tel que pour tout $n\geq\, N_2$ , on ait $|u_n-L'|<\epsilon/2$ . Soit $N=\max\{N_1, N_2\}$ .

Alors, pour tout $n\geq\, N$ , on a à la fois :
$|u_n - L| < \frac{\epsilon}{2}$
et
$|u_n - L'| < \frac{\epsilon}{2}.$
En ajoutant ces deux inégalités, on obtient :
$|L-L'| < \epsilon.$
Mais ce n’est possible que si , ce qui contredit notre hypothèse de départ. Ainsi, la limite d’une suite est unique.

4. La suite n’a pas de limite.

En effet, si elle avait une limite , alors pour tout $\epsilon>0$ , il existerait un entier tel que pour tout $n \geq\, N$ , on aurait $|u_n-L|<\epsilon$ .

Mais la suite n’est pas convergente par oscillation : si est pair, et pour impair, .

Ainsi, pour tout , on peut trouver et pairs tels que $n_1\geq\, N$ et $u_{n_1}=n_1>0$ et $n_2\geq\, N$ et $u_{n_2}=-n_2<0$ , et donc $|u_{n_1}-u_{n_2}|=n_1+n_2\geq\, 2N>2\epsilon$ ( $\epsilon< N$ ) ce qui contredit la convergence de .

5. Soit une suite bornée et une suite convergeant vers .

Il existe donc une constante telle que $|u_n| \leq\, M$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ . Par ailleurs, puisque converge vers , pour tout $\epsilon>0$ , il existe un entier tel que pour tout $n \geq\, N$ , on ait $|v_n| \leq\, \epsilon/M$ .

En combinant ces deux inégalités, on en déduit que :
$|u_n v_n| \leq\, M |v_n| \leq\, M \epsilon/M = \epsilon$
pour $n \geq\, N$ . Cela signifie que converge également vers .

6. Soit une suite d’entiers relatifs convergeant vers un réel .

Soit $\epsilon>0$ . Puisque converge vers , il existe un entier tel que pour tout $n\geq\, N$ , on ait $|u_n - L| < \epsilon/2$ . Mais ceci implique que pour tout $n \geq\, N$ :
$|u_n - \lfloor L \rfloor| \leq\, |u_n-L|+|L-\lfloor L \rfloor| < \epsilon,$
puisque $\lfloor L \rfloor \leq\, L < \lfloor L \rfloor +1$ .

Donc, à partir de l’indice , tous les termes de la suite sont à une distance strictement inférieure à $\epsilon$ d’un entier. Puisque seuls un nombre fini d’entiers se trouvent dans un intervalle d’amplitude , cela signifie que la suite est stationnaire à partir de l’indice et donc converge vers l’entier relatif égal à cette valeur commune.

7. Soit une suite divergente vers $+\infty$ .

Pour tout , on a $u_n \geq\, u_0$ , donc la suite est minorée par . En effet, si elle ne l’était pas, il existerait un entier tel que $u_{n_0} < u_0$ , ce qui serait en contradiction avec l’hypothèse de divergence. Ainsi, la suite est minorée par .

Exercice 12 :

1. Pour tout entier $n\geq\, 0$ , on a :
$\begin{align*}\,a_{n+1}\,+\,b_{n+1}\,=\,\frac{a_n\,+\,b_n}{2}\,+\,\sqrt{a_nb_n}\,\\\,=\,\frac{a_n\,+\,b_n\,+\,2\sqrt{a_nb_n}}{2}\,\\\,=\,\frac{\sqrt{a_n}\,+\,\sqrt{b_n}}{\sqrt{2}}^2.\,\end{align*}$

Or, puisque , on a $\sqrt{a_n} > \sqrt{b_n}$ pour tout $n\geq\, 0$ .

Ainsi, on en déduit que $(a_n + b_n)/2 < a_{n+1} + b_{n+1} < a_n + b_n$ pour tout $n\geq\, 0$ .

Donc est une suite croissante majorée par , et donc elle converge vers une limite $\ell$ . Par ailleurs, la suite est décroissante, minorée par et converge donc vers une limite $\ell_a$ . De même, la suite est décroissante, minorée par , et converge donc vers une limite $\ell_b$ . Nous allons montrer que $\ell_a=\ell_b=\ell$ .

Pour tout entier $n\geq\, 0$ , on a :
$a_{n+1}b_{n+1} = \frac{(a_n-b_n)^2}{4} \leq\, \frac{(a_0-b_0)^2}{4}.$
Ainsi, est une suite bornée et converge vers une limite $\ell_{ab}$ . Mais on a aussi, pour tout $n\geq\, 0$ ,
$(\frac{a_n + b_n}{2})^2 - a_nb_n = \frac{(a_n-b_n)^2}{4}.$
Donc, en passant à la limite quand $n\to\infty$ , on a $\ell^2 - \ell_{ab} = \ell^2 /4$ . Cela montre que $\ell_{ab} = 0$ , donc on a $\lim_{n\to\infty} a_n \lim_{n\to\infty} b_n = 0$ , donc $\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} b_n = \ell$ .

Ainsi, les deux suites convergent vers la même limite.

2. La suite $(\sin n)$ ne converge pas car elle prend des valeurs aussi proches que l’on veut de et en alternance. Plus précisément, pour tout $k\in\mathbb N$ , on a $\sin(k\pi/2) = \pm 1$ . La suite $(\cos n)$ ne converge pas non plus, car sinon on aurait par la formule trigonométrique $\sin^2 n + \cos^2 n \to 1$ , ce qui est impossible sous l’hypothèse de convergence infinie de $(\sin n)$ .

Exercice 13 :

1. Nous allons procéder par récurrence sur .

Pour , on a $(1+x)^0=1\geq\, 1+0x$ .

Supposons maintenant que l’inégalité est vraie pour un certain entier naturel , c’est-à-dire $(1+x)^n\geq\, 1+nx$ . En multipliant par des deux côtés de l’inégalité, on obtient $(1+x)^{n+1} \geq\, (1+nx)(1+x) = 1 + (n+1)x + nx^2$ .

Puisque est positif, on a $nx^2\geq\, 0$ , donc $(1+x)^{n+1} \geq\, 1 + (n+1)x$ , ce qui achève la démonstration par récurrence.

2. Si , alors est une suite strictement croissante de réels positifs, donc elle diverge vers $+\infty$ . Si , alors est constante et converge vers 1. Si , alors (puisque ) et donc $a^n\to 0$ lorsque $n\to\infty$ .

Enfin, si , alors n’a pas de limite car lorsque est pair, est positif et lorsque est impair, est négatif. Donc la suite ne peut pas converger vers une limite.

Exercice 14 :

1. Nous allons procéder par récurrence forte. Pour , on a $S_1=1^3=1=2\cdot1^4 - 1^2$ , donc la propriété est vraie pour . Supposons maintenant que la propriété est vraie pour $n\geq\, 1$ , c’est-à-dire

Nous allons montrer que la propriété est alors vraie pour . Pour cela, on a
$\begin{align*}\,S_{n+1}\,=\,S_n\,+\,(2n+1)^3\,\\\,=\,2n^4\,-\,n^2\,+\,(2n+1)^3\,\\\,=\,2n^4\,+\,6n^3\,+\,7n^2\,+\,3n\,+\,1\,\\\,=\,2(n+1)^4\,-\,(n+1)^2,\,\end{align*}$

ce qui montre la propriété pour .

Par récurrence forte, la propriété est donc vraie pour tout $n\geq\, 1$ .

2. On cherche donc le plus petit entier tel que $S_n=913\,276$ . On sait que

Il suffit donc de chercher le plus petit entier tel que $n^2(2n^2-1) \geq\, 913\,276$ . On remarque que $25^2 (2\cdot 25^2-1) = 937\,500$ , donc $n\geq\, 25$ .

On calcule ensuite les valeurs de $S_{25}$ et $S_{26}$ :
$\begin{align*}\,S_{25}\,=\,2\cdot\,25^4\,-\,25^2\,=\,937\,375\,\\\,S_{26}\,=\,2\cdot\,26^4\,-\,26^2\,=\,970\,984\,\end{align*}$

On voit donc que $913\,276$ est bien entre ces deux valeurs, donc la solution cherchée est .

Exercice 15 :
Soient une suite croissante et majorée

et une suite décroissante et minorée.

Les suites et ont-elles nécessairement la même limite ?

Il y a aucune raison pour qu’elles aient la même limite.

Si elles avaient la même limite ce serait des suites adjacentes .

$V_n=\frac{1}{n+1}+3$ la suite est décroissante et minorée par 3 .

$U_n=-\frac{1}{n}$ la suite et croissante et majorée par 0 .

or $\lim \, U_n=0$ et $\lim \, V_n=3$ .

Exercice 16 :
Indication : utiliser le théorème de comparaison.

On suppose connu le résultat suivant :

La suite tend vers $+\infty$ lorsque n tend vers $+\infty$ si tout

intervalle de la forme $]A;+\infty[$ contient toutes les valeurs de

à partir d’un certain rang.

Soient et deux suites telles que :

* est inférieur ou égal à à partir d’un certain rang ;

* tend vers $+\infty$ lorsque n tend vers $+\infty$ .

Démontrer que la suite tend vers $+\infty$ lorsque n tend vers $+\infty$ .

Exercice 17 :
Soit telle que et pour tout entier naturel n, $U_{n+1}=\frac{-4}{4+U_n}$ .

Soit telle que , pour tout entier naturel n, $V_{n }=\frac{1}{2+U_n}$ .

1. Démontrer que la suite est arithmétique de raison $\frac{1}{2}$ .

Indication : calculer $V_{n+1}-V_n$ et montrer que cette différence ne dépend pas de n.

2. Exprimer en fonction de n et en déduire que pour tout entier naturel n,

$U_n=\frac{2}{n+1}-2$ .

3. Calculer la limite de la suite et celle de la suite .

Exercice 18 :
Soit la suite définie par son premier terme

et pour tout entier naturel n, $U_{n+1}=\frac{-4}{4+U_n}$ .

1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, $-2<U_n\leq\, 0.$

2. Etudier le sens de variation de la suite

3. Etudier la convergence de la suite

Exercice 19 :

1. On calcule les six premiers termes de la suite :
$\begin{align*}\,u_0\,=\,0\,\\\,u_1\,=\,u_0\,+\,2\cdot\,0\,-\,11\,=\,-11\,\\\,u_2\,=\,u_1\,+\,2\cdot\,1\,-\,11\,=\,-8\,\\\,u_3\,=\,u_2\,+\,2\cdot\,2\,-\,11\,=\,-3\,\\\,u_4\,=\,u_3\,+\,2\cdot\,3\,-\,11\,=\,1\,\\\,u_5\,=\,u_4\,+\,2\cdot\,4\,-\,11\,=\,7\,\end{align*}$

2. La courbe semble être une parabole.

On peut conjecturer que la fonction représentée par cette courbe est une fonction quadratique de la forme .

Par ailleurs, on pourrait conjecturer que la suite a pour terme général , où , et sont des constantes à déterminer.

3. Pour démontrer cette conjecture, on va utiliser la méthode des différences finies. On calcule d’abord la première différence :
$\begin{align*}\,u_{n+1}\,-\,u_n\,=\,(u_n\,+\,2n\,-\,11)\,-\,u_n\,\\\,=\,2n\,-\,11\,\end{align*}$

On calcule ensuite la deuxième différence :
$\begin{align*}\,(u_{n+1}\,-\,u_n)\,-\,(u_n\,-\,u_{n-1})\,=\,(2n\,-\,11)\,-\,(2(n-1)\,-\,11)\,\\\,=\,2\,\end{align*}$

On remarque que la deuxième différence est constante et égale à .

Cela nous indique que la fonction représentée par la courbe est bien une fonction quadratique. On peut donc écrire .

Par ailleurs, on sait que , donc . On a également , donc . Enfin, on sait que , donc $a = \frac{u_2 - 2u_1 + u_0}{4}$ .

On peut maintenant exprimer le terme général de la suite :
$\begin{align*}\,u_n\,=\,an^2\,+\,bn\,\\\,=\,an^2\,+\,(u_1\,-\,a)n\,\\\,=\,\frac{u_2\,-\,2u_1\,+\,u_0}{4}\,n^2\,+\,(u_1\,-\,\frac{u_2\,-\,2u_1\,+\,u_0}{4})n\,\\\,=\,\frac{1}{4}(u_2\,-\,2u_1)n^2\,+\,\frac{1}{2}(u_1\,-\,u_0)\,n\,\\\,=\,\frac{1}{4}(u_2\,-\,2u_1)n^2\,+\,\frac{1}{2}(-11)\,n\,\\\,=\,\frac{1}{4}(u_2\,-\,2u_1)n^2\,-\,\frac{11}{2}\,n\,\end{align*}$

On a donc bien vérifié la conjecture annoncée à la question précédente.

Exercice 20 :

2. La courbe semble être une parabole. On peut conjecturer que la fonction représentée par cette courbe est une fonction quadratique de la forme .

Par ailleurs, on pourrait conjecturer que la suite a pour terme général , où , et sont des constantes à déterminer.

On calcule ensuite la deuxième différence :
$\begin{align*}\,(u_{n+1}\,-\,u_n)\,-\,(u_n\,-\,u_{n-1})\,=\,(2n\,-\,11)\,-\,(2(n-1)\,-\,11)\,\\\,=\,2\,\end{align*}$
On remarque que la deuxième différence est constante et égale à .

Cela nous indique que la fonction représentée par la courbe est bien une fonction quadratique. On peut donc écrire .

Par ailleurs, on sait que , donc . On a également , donc . Enfin, on sait que , donc $a = \frac{u_2 - 2u_1 + u_0}{4}$ .

On a donc bien vérifié la conjecture annoncée à la question précédente.

Exercice 21 :

Nous allons prouver par récurrence que pour tout entier $n\geq\, 0$ .

Pour et , on a respectivement et $u_1\,=\,2\,=\,2^1$ , donc la propriété est vraie pour et .

Supposons maintenant que la propriété est vraie pour et , c’est-à-dire que et $u_{n+1} = 2^{n+1}$ .

On va montrer que la propriété est alors vraie pour , c’est-à-dire que $u_{n+2} = 2^{n+2}$ .

En utilisant la relation de récurrence, on a
$u_{n+2} = 5u_{n+1} - 6u_n = 5\cdot 2^{n+1} - 6\cdot 2^n = 2^{n+2},$
ce qui montre la propriété pour .

Par récurrence, la propriété est donc vraie pour tout entier $n\geq\, 0$ , c’est-à-dire que pour tout entier $n\geq\, 0$ , on a .

Exercice 22 :

1. On calcule les quatre premiers termes de la suite :

$S_1 = \frac{(-1)^0}{1} = 1,\quad S_2 = \frac{(-1)^0}{1} + \frac{(-1)^1}{2} = \frac{1}{2},\quad S_3 = \frac{(-1)^0}{1} + \frac{(-1)^1}{2}+\frac{(-1)^2}{3} = \frac{5}{6},$
$\begin{align*}\,S_4\,=\,\frac{(-1)^0}{1}\,+\,\frac{(-1)^1}{2}+\frac{(-1)^2}{3}+\frac{(-1)^3}{4}\,\\\,=\,\frac{1}{2}\,-\,\frac{1}{4}\,\\\,=\,\frac{1}{4}.\,\end{align*}$

2. D’après leur définition, on a $u_n = S_{2n}$ et $v_n = S_{2n+1}$ .

On veut montrer que est croissante, est décroissante et que tend vers quand tend vers l’infini.

Pour montrer que est croissante, on considère $n\geq\, 1$ , on a
$\begin{align*}\,u_{n+1}\,-\,u_n\,=\,S_{2n+2}\,-\,S_{2n}\,\\\,=\,\frac{(-1)^0}{1}\,+\,\frac{(-1)^1}{2}+\cdots\,+\,\frac{(-1)^{2n-1}}{n}\,+\,\frac{(-1)^{2n}}{n+1}\,-\,(\frac{(-1)^0}{1}\,+\,\frac{(-1)^1}{2}+\cdots\,+\,\frac{(-1)^{2n-1}}{n})\,\\\,=\,\frac{(-1)^{2n}}{n+1}\,\\\,=\,\frac{1}{n+1}.\,\end{align*}$

Ainsi, est une suite croissante.

De même, pour montrer que est décroissante, on considère $n\geq\, 1$ , on a
$\begin{align*}\,v_{n+1}\,-\,v_n\,=\,S_{2n+3}\,-\,S_{2n+1}\,\\\,=\,\frac{(-1)^0}{1}\,+\,\frac{(-1)^1}{2}+\cdots\,+\,\frac{(-1)^{2n}}{n+1}\,+\,\frac{(-1)^{2n+1}}{n+2}\,-\,(\frac{(-1)^0}{1}\,+\,\frac{(-1)^1}{2}+\cdots\,+\,\frac{(-1)^{2n-1}}{n})\,\\\,=\,\frac{(-1)^{2n+1}}{n+2}\,\\\,=\,-\frac{1}{n+2}.\,\end{align*}$

Ainsi, est une suite décroissante.

Enfin, pour montrer que tend vers quand tend vers l’infini, on a
$v_n - u_n = S_{2n+1} - S_{2n} = \frac{(-1)^{2n}}{2n+1},$
et donc
$|v_n - u_n| = \frac{1}{2n+1}.$
La suite tend donc vers quand tend vers l’infini, ce qui montre que et sont adjacentes.

En conclusion, les suites et sont adjacentes et convergent vers une même limite, qui est .

Exercice 23 :

En observant les premières valeurs de et , on peut conjecturer que $u_n=\sqrt{4^n-1}$ pour tout $n\in\mathbb{N}$ .

On peut le démontrer par récurrence.
Initialisation :

Pour n=0, on a $u_0=0=\sqrt{4^0-1}$ . L’hypothèse est vérifiée au rang 0.
Hérédité :

Supposons que $u_n=\sqrt{4^n-1}$ vraie pour un certain entier n.

Alors,
$u_{n+1}=\sqrt{u_n^2+1}=\sqrt{(4^n-1)+1}=\sqrt{4^{n+1}-1}$ .
Ainsi, l’hypothèse est vérifiée au rang .
Conclusion :

On en déduit que $u_n=\sqrt{4^n-1}$ pour tout $n\in\mathbb{N}$ .

Exercice 24 :

Initialisation :

Pour n=0, on a . L’hypothèse est vérifiée au rang 0.

Hérédité :

Supposons que soit vraie pour un certain entier n.

Alors,
$V_{n+1}=V_n+2n+2=(n+1)(n+2)= (n+1)((n+1)+1)$ .
Ainsi, l’hypothèse est vérifiée au rang .

Conclusion :

On en déduit que pour tout $n\in\mathbb{N}, V_n=n(n+1)$ .

Exercice 25 :

Initialisation :

Pour n=0, on a $2^0=1\geq\, 1+1$ .

L’hypothèse est vérifiée au rang 0.
Hérédité :

Supposons $2^n\geq\, n+1$ pour un certain entier n.

On a alors :
$2^{n+1}=2\times 2^n\geq\, 2(n+1)\geq\, n+2+1$ .
Ainsi, l’hypothèse est vérifiée au rang .
Conclusion :

On en déduit que $2^n\geq\, n+1$ pour tout entier naturel n.

Exercice 26 :

Initialisation :

Pour n=0, on a $OA_0=1=\sqrt{4\times 0+1}$ .

L’hypothèse est vérifiée au rang 0.
Hérédité :

Supposons que $OA_n=\sqrt{4n+1}$ pour un certain entier n.

On a alors :
$OA_{n+1}=\sqrt{OA_n^2+A_nA_{n+1}^2}=\sqrt{(4n+1)+4}=\sqrt{4(n+1)+1}$ .
Ainsi, l’hypothèse est vérifiée au rang .
Conclusion :

On en déduit que $OA_n=\sqrt{4n+1}$ pour tout $n\in\mathbb{N}$ .

Exercice 27 :

1) a) On a $\lim_{n\to \infty}0,9^n=0$ et donc $\lim _{n\to \infty}u_n=3(2-0)=6$ .
b) On a $\lim _{n\to \infty}1,01^n=+\infty$ et donc $\lim _{n\to \infty}v_n=+\infty$ .
c) On a $\lim _{n\to \infty}0,9^n=0$ et $\lim _{n\to \infty}3+0,2^n=3$ , donc $\lim _{n\to \infty}w_n=\frac{3}{0-5}=-\frac{3}{5}$ .
d) On peut réécrire sous la forme \frac{4^n}{3^n}+\frac{5}{3^n}. On a $\lim _{n\to \infty}\frac{4^n}{3^n}=+\infty$ et $\lim _{n\to \infty}\frac{5}{3^n}=0$ , donc $\lim _{n\to \infty}t_n=+\infty$ .

2) a) Le premier terme de la suite est -3.

On peut écrire $S_n=\frac{-3(1-0,8^n)}{1-0,8}$ .

En effet,

$S_n=u_1(1+0,8+0,8^2+...+0,8^{n-1})=-3(1+0,8+0,8^2+...+0,8^{n-1})=-3\frac{1-0,8^n}{1-0,8}$ .
b) La suite est convergente car , et sa limite est $\frac{-3}{1-0,8}=15$ .

Exercice 28 :

On a $u_n=(-3)\times 0,8^{n-1}$ .

Ainsi, $S_n=-3\frac{1-0,8^n}{1-0,8}=3(0,8^n-1)$ .

On en déduit que la limite de la suite est $3\times (-1)=-3$ .

Exercice 29 :

1) a) La fonction f est dérivable sur $]0;+\infty[$ et on a $f'(x)=\frac{3}{(1+2x)^2}>0$ pour tout .

Donc, f est strictement croissante sur $[0;+\infty[$ .
b) Si $x\in[0;1]$ , alors $f'(x)=\frac{3}{(1+2x)^2}\leq\, \frac{3}{(1+2\times 1)^2}=1$ .

2) Initialisation :

Pour n=0, on a $u_0=0,7\geq\, 0 et u_0\leq\, 1$ .

L’hypothèse est vérifiée au rang 0.

Hérédité :

Supposons que $0\leq\, u_n\leq\, 1$ pour un certain entier n soit vraie.

Alors, $0\leq\, 3u_n\leq\, 3$ et $0\leq\, 2u_n<2$ , donc
$0\leq\, u_{n+1}=\frac{3u_n}{1+2u_n}<\frac{3}{1}=3$

et
$0\leq\, u_{n+1}=\frac{3u_n}{1+2u_n}\geq\, 0$ .
Ainsi, l’hypothèse est vérifiée au rang.

Conclusion :

On en déduit que pour tout $n\in\mathbb{N}, 0\leq\, u_n\leq\, 1$ .

3) La suite est décroissante et minorée par 0, donc elle converge.

Soit l sa limite.

En passant à la limite dans la relation de récurrence, on a $l=\frac{3l}{1+2l}$ .

Cette équation admet comme solution, qui est la seule solution possible car f est strictement croissante sur [0;1].

Ainsi, la suite converge vers 0.

Exercice 30 :

1) Les dix premiers termes de la suite sont :
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100.

2) a) On peut conjecturer que u_n=n^2.

b) Initialisation :

Pour n=1, on a . L’hypothèse est vérifiée au rang 1.
Hérédité :

Supposons que pour un certain entier n.

Alors,
$u_{n+1}=u_n+2n+1=n^2+2n+1=(n+1)^2$ .
Ainsi, l’hypothèse est vérifiée au rang n+1.
Conclusion :

On en déduit que pour tout $n\in\mathbb{N}, u_n=n^2$ .

Exercice 31 :

Initialisation :

Pour n=1, on a $1^2=\frac{1\times 2\times 3}{6}$ .

L’hypothèse est vérifiée au rang 1.
Hérédité :

Supposons $\sum\limits_{q=1}^{n}q^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ .

Alors,
$\sum\limits_{q=1}^{n+1}q^2 \\\\=\sum\limits_{q=1}^{n}q^2+(n+1)^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2 \\\\(n+1)\,\frac{2n^2+7n+6}{6} \\\\(n+1)\,\frac{(n+1)(2n+3)}{6} \\\\=\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}$ .

Ainsi, l’hypothèse est vérifiée au rang n+1.
Conclusion :

On en déduit que pour tout entier naturel n non nul,

$\sum_{q=1}^{n}q^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ .

Exercice 32 :

1) a) On a $\lim\limits_{n\to \infty}u_n=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{4^n+5}{2\times 3^n}=0$ car $\frac{4^n+5}{2\times 3^n}\leq\, \frac{4^n+5^n}{2\times 3^n}= (\frac{4}{5})^n+\frac{5}{2}\times (\frac{2}{3})^n$ qui tend vers 0 quand n tend vers l’infini.

b) On a $\lim\limits_{n\to \infty}v_n=\lim\limits_{n\to \infty}(1+\frac{2n-5}{3+2n})=1$ .
c) On a $l=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{4n-1+\frac{5}{\sqrt{n}}}{n}=4+\lim\limits_{n\to \infty}\frac{5}{n^{\frac{3}{2}}}=4$ .

d) On a $\lim\limits_{n\to \infty}t_n=+\infty$ .

2) a) La suite est géométrique de raison 0,8 et de premier terme -3.

Ainsi, $u_n=(-3)\times 0,8^{n-1}$ .

b) On a $\lim\limits_{n\to \infty}u_n=\lim\limits_{n\to \infty}(-3)\times 0,8^{n-1}=0$ .

3) Les trois dernières suites tendent toutes vers 0, donc elles sont bornées.

Exercice 33 :

1) On a $v_n=4u_n-3=4(-\frac{1}{3}u_{n-1}+1)-3=-\frac{4}{3}v_{n-1}$ .
Ainsi, la suite est géométrique de raison $-\frac{1}{3}$ , et son premier terme est .

2) On peut écrire $v_n=4u_n-3=4(-\frac{1}{3})^n+4-3=-\frac{17}{4}\times (\frac{-1}{3})^n+\frac{1}{4}$ .
Ainsi, $u_n=\frac{17}{4}\times (\frac{-1}{3})^n+\frac{3}{4}$ .

3) La suite tend vers $\frac{3}{4}$ .

Exercice 34 :

1) On a $u_n=(\frac{1}{3})^n-8$ .

Comme $\frac{1}{3}<1$ , on a $(\frac{1}{3})^n\to 0$ lorsque $n\to+\infty$ .

Donc $u_n\to -8$ lorsque $n\to+\infty$ .

Par conséquent, la suite est bornée.

2) On a $-1\leq\, \sin(5n+1)\leq\, 1$ pour tout entier naturel $n$.

Donc $-8\leq\, 5\sin(5n+1)-3\leq\, 2$ .

Ainsi, est bornée.

3) La fonction $x\mapsto \cos(x)-x$ est continue et décroissante sur $\mathbb{R}$ .

On a $\cos(n^2)\in [-1,1]$ pour tout entier naturel , donc $u_n\in [-n-1,n+1]$ pour tout entier naturel $n$.

Ainsi, est bornée.

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