Ces exercices de licence couvrent les trois années du cursus de mathématiques, chacun accompagné d’une correction détaillée en PDF. Ils sont classés par année, par semestre puis par chapitre. L’objectif est simple : vous offrir un entraînement régulier, du premier TD jusqu’aux derniers examens. Chaque feuille renvoie aussi au cours correspondant, pour revoir une définition au besoin. En pratique, ce classement évite de perdre du temps à chercher le bon niveau. Il permet aussi de revenir facilement sur une année antérieure lorsqu’un prérequis manque.
Ce que vous allez travailler de la L1 à la L3
Les énoncés suivent la progression commune des universités, faute de programme national précis. Ils reposent sur le référentiel de la mention et sur les contenus les plus partagés des maquettes. Vous retrouverez donc, sous une forme ou une autre, les questions posées dans votre propre faculté.
En première année, les feuilles entraînent les fondamentaux. Vous manipulez quantificateurs, récurrences et nombres complexes. Ensuite, vous étudiez des suites, calculez des primitives et des développements limités. L’algèbre linéaire apporte ses premiers calculs de rang et de déterminants.
En deuxième année, la nature des questions évolue. Il s’agit souvent d’établir une convergence : série numérique, intégrale généralisée, série de fonctions. D’autres exercices demandent de diagonaliser une matrice, d’orthonormaliser une base ou de chercher les extrema d’une fonction de deux variables. Les probabilités s’enrichissent avec les lois discrètes et à densité.
En troisième année, les questions deviennent de vraies démonstrations. Montrer qu’un espace est complet, appliquer la convergence dominée, calculer une intégrale par la méthode des résidus : chaque question exige un raisonnement construit. Les structures algébriques et les espaces de Hilbert complètent le panorama.
Les énoncés ont été conçus spécialement pour l’entraînement. Ils couvrent les savoir-faire que les enseignants évaluent réellement : calculer, démontrer, choisir un théorème, rédiger. Vous pouvez les aborder dans l’ordre ou piocher selon vos besoins du moment.
D’une année à l’autre, la difficulté grandit donc progressivement. Au sein d’une feuille, les premiers énoncés vérifient la compréhension du cours, les derniers s’approchent du niveau d’un partiel. Ainsi, vous savez toujours où vous en êtes, et quel palier franchir ensuite. Chaque progrès se mesure ainsi concrètement, feuille après feuille, sans mauvaise surprise le jour de l’examen.
Licence 1 (L1)
Fondements : logique, ensembles, raisonnement
-
Logique, raisonnement et ensembles
assertions et connecteurs logiques, tables de vérité, quantificateurs universel et existentiel, négation d'une phrase quantifiée, implication, contraposée, réciproque, équivalence
-
Applications et relations binaires
application, graphe, restriction et prolongement, image directe et image réciproque, composition d'applications, injection, surjection, bijection, application réciproque
-
Entiers naturels, récurrence et dénombrement
propriétés de N, bon ordre, raisonnement par récurrence simple, double et forte, symboles somme et produit, changements d'indice, sommes télescopiques, sommes usuelles, ensembles finis, cardinal
Arithmétique
-
Arithmétique des entiers
divisibilité dans Z, division euclidienne, PGCD, algorithme d'Euclide, théorème de Bézout, lemme de Gauss
Algèbre et algèbre linéaire
-
Nombres complexes et trigonométrie
forme algébrique, conjugué, module, inégalité triangulaire, formules de trigonométrie, exponentielle complexe, forme trigonométrique, argument, formules de Moivre et d'Euler
-
Polynômes et fractions rationnelles
anneau K[X], degré, coefficient dominant, division euclidienne des polynômes, racines et factorisation par X-a, multiplicité d'une racine, polynôme dérivé, théorème de d'Alembert-Gauss
-
Systèmes linéaires et calcul matriciel
systèmes d'équations linéaires, interprétation géométrique, opérations élémentaires sur les lignes, méthode du pivot de Gauss, forme échelonnée, inconnues principales et secondaires, matrices, somme, produit, transposée
-
Espaces vectoriels et sous-espaces vectoriels
structure d'espace vectoriel sur K=R ou C, exemples : K^n, polynômes, suites, fonctions, matrices, sous-espaces vectoriels, caractérisation, intersection de sous-espaces, sous-espace engendré, combinaisons linéaires
-
Familles libres, bases et dimension
familles libres, liées, génératrices, bases, coordonnées dans une base, bases canoniques, espaces de dimension finie, théorème de la base incomplète
-
Applications linéaires
application linéaire, endomorphisme, isomorphisme, opérations sur les applications linéaires, L(E,F), noyau et image, caractérisation de l'injectivité par le noyau, détermination par l'image d'une base
-
Matrice d'une application linéaire et changement de base
matrice d'une application linéaire dans des bases, isomorphisme entre L(E,F) et les matrices, matrice d'une composée, produit matriciel, matrice inversible et isomorphisme, matrice de passage
-
Déterminants
groupe symétrique, transpositions, signature, formes n-linéaires alternées, déterminant d'une famille de vecteurs dans une base, déterminant d'un endomorphisme et d'une matrice, déterminant d'un produit, d'une transposée
Analyse
-
Nombres réels et borne supérieure
corps ordonné R, règles de calcul sur les inégalités, valeur absolue et inégalité triangulaire, intervalles de R, partie entière, majorant, minorant, borne supérieure, borne inférieure
-
Suites numériques
suites majorées, minorées, monotones, définition epsilon de la limite, unicité de la limite, opérations sur les limites, limites infinies, théorèmes de comparaison et des gendarmes
-
Limites et continuité des fonctions
limite d'une fonction en un point et en l'infini, limites à gauche et à droite, caractérisation séquentielle de la limite, opérations sur les limites, composition, continuité en un point, prolongement par continuité
-
Dérivation et accroissements finis
nombre dérivé, taux d'accroissement, tangente, dérivabilité à gauche et à droite, opérations sur les dérivées, dérivée d'une composée, dérivée d'une fonction réciproque, extremum local et condition nécessaire
-
Fonctions usuelles et fonctions réciproques
logarithme népérien et exponentielle, fonctions puissances réelles, croissances comparées, fonctions trigonométriques, fonctions arcsinus, arccosinus, arctangente
-
Intégrale de Riemann et calcul de primitives
fonctions en escalier et subdivisions, intégrale de Riemann, fonctions intégrables, intégrabilité des fonctions continues et monotones, linéarité, positivité, relation de Chasles, inégalité de la moyenne, inégalité de Cauchy-Schwarz
-
Équations différentielles linéaires
équation linéaire du premier ordre y'+a(x)y=b(x), structure de l'ensemble des solutions, équation homogène associée, méthode de variation de la constante, problème de Cauchy, existence et unicité au premier ordre
-
Formules de Taylor et développements limités
relations de comparaison : o, O, équivalents, formule de Taylor avec reste intégral, inégalité de Taylor-Lagrange, formule de Taylor-Young, développement limité, unicité, troncature
Probabilités
-
Probabilités sur un univers fini
expérience aléatoire, univers fini, événements, probabilité sur un univers fini, équiprobabilité, probabilité conditionnelle, formule des probabilités composées, formule des probabilités totales
Géométrie
-
Géométrie du plan et de l'espace
repères cartésiens du plan et de l'espace, équations cartésiennes et paramétriques de droites et de plans, passage d'une représentation à l'autre, produit scalaire dans R² et R³, distance d'un point à une droite ou à un plan
Licence 2 (L2)
Arithmétique
-
Arithmétique et anneau Z/nZ
relation d'équivalence et ensemble quotient, congruences modulo n, construction de Z/nZ, opérations, éléments inversibles de Z/nZ, Z/pZ est un corps si p est premier
Algèbre et algèbre linéaire
-
Valeurs propres et diagonalisation
sous-espaces stables par un endomorphisme, valeurs propres, vecteurs propres, sous-espaces propres, somme directe des sous-espaces propres, spectre d'une matrice, polynôme caractéristique
-
Polynômes d'endomorphismes et trigonalisation
polynômes d'endomorphismes et de matrices, polynômes annulateurs, polynôme minimal, lemme des noyaux, théorème de Cayley-Hamilton
-
Groupes, sous-groupes et morphismes
loi de composition interne, groupe, sous-groupes, sous-groupe engendré, morphismes de groupes, noyau et image, ordre d'un élément, groupes monogènes et cycliques
-
Produit scalaire et espaces euclidiens
formes bilinéaires symétriques, produit scalaire, norme euclidienne, inégalité de Cauchy-Schwarz, orthogonalité, théorème de Pythagore, familles et bases orthonormées, procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt
-
Isométries, endomorphismes symétriques et théorème spectral
adjoint d'un endomorphisme, isométries vectorielles, groupe orthogonal, matrices orthogonales, classification des isométries du plan et de l'espace, rotations et réflexions
-
Formes quadratiques, coniques et quadriques
formes bilinéaires, matrice dans une base, formes quadratiques, forme polaire, matrices congruentes, orthogonalité relative à une forme, cône isotrope, réduction de Gauss
Analyse
-
Séries numériques à termes positifs
série numérique, sommes partielles, somme, reste, condition nécessaire de convergence, divergence grossière, série géométrique, séries télescopiques, séries à termes positifs et sommes partielles majorées, théorèmes de comparaison et d'équivalence
-
Séries à termes quelconques
suites de Cauchy et complétude de R, critère de Cauchy pour les séries, convergence absolue, séries semi-convergentes, critère spécial des séries alternées, majoration du reste
-
Intégrales généralisées
intégrale sur un intervalle non borné ou d'une fonction non bornée, convergence d'une intégrale généralisée, critère de Cauchy, fonctions positives : comparaison et équivalence, intégrales de Riemann
-
Suites et séries de fonctions
convergence simple d'une suite de fonctions, convergence uniforme, norme infinie, critère de Cauchy uniforme, continuité de la limite uniforme, intégration et dérivation terme à terme
-
Séries entières
lemme d'Abel, rayon de convergence, disque de convergence, règle de d'Alembert pour le rayon, opérations sur les séries entières, convergence normale sur tout compact du disque
-
Intégrales dépendant d'un paramètre
continuité d'une intégrale à paramètre sur un segment, dérivation sous le signe intégrale sur un segment, hypothèse de domination, continuité sur un intervalle quelconque, dérivation sous le signe intégrale généralisée
-
Séries de Fourier
fonctions périodiques continues par morceaux, polynômes trigonométriques, coefficients de Fourier exponentiels et trigonométriques, produit scalaire et orthogonalité des exponentielles, inégalité de Bessel
-
Intégrales multiples et intégrales curvilignes
intégrale double sur un rectangle, sommes de Riemann, théorème de Fubini, intégrale double sur un domaine élémentaire, changement de variables, jacobien, coordonnées polaires, cylindriques et sphériques
Topologie
-
Normes et topologie de R^n
normes sur R^n, normes 1, 2 et infini, distance associée, boules et sphères, parties bornées, suites de R^n, convergence, équivalence des normes en dimension finie
Calcul différentiel
-
Plusieurs variables : limites et dérivées partielles
fonctions de R^n dans R^p, lignes de niveau, limite et continuité en plusieurs variables, fonctions lipschitziennes, image continue d'un compact, bornes atteintes, dérivées directionnelles
-
Différentiabilité, formule de Taylor et extrema
différentiabilité, différentielle, matrice jacobienne, C^1 implique différentiable, inégalité des accroissements finis, dérivées partielles d'ordre 2, théorème de Schwarz
Probabilités
-
Espaces probabilisés et conditionnement
univers, événements, tribu (approche élémentaire), probabilité, propriétés, univers dénombrable, continuité croissante et décroissante, probabilité conditionnelle, formule des probabilités totales
-
Variables aléatoires discrètes
variable aléatoire discrète, loi, fonction de répartition, lois uniforme, de Bernoulli, binomiale, hypergéométrique, lois géométrique et de Poisson, espérance, théorème de transfert, linéarité, variance, écart type, covariance
-
Variables aléatoires à densité
fonction de répartition d'une variable réelle, variable à densité, densité de probabilité, lois uniforme, exponentielle, normale, espérance et variance d'une variable à densité, théorème de transfert
Géométrie
-
Géométrie affine
espaces affines, direction, sous-espaces affines, parallélisme, intersection, repères cartésiens, équations d'hyperplans affines, barycentres, coordonnées barycentriques, applications affines, partie linéaire
Licence 3 (L3)
Algèbre et algèbre linéaire
-
Groupes : quotients et actions de groupes
sous-groupes distingués, groupe quotient, théorèmes d'isomorphisme, groupes cycliques et Z/nZ, action d'un groupe sur un ensemble
-
Anneaux, idéaux et arithmétique
anneaux commutatifs, morphismes d'anneaux, idéaux, anneau quotient, idéaux premiers et maximaux, anneaux intègres, corps des fractions, anneaux euclidiens et principaux
-
Corps, extensions et corps finis
caractéristique d'un corps, sous-corps premier, extensions de corps, degré, théorème de la base télescopique, éléments algébriques et transcendants, polynôme minimal, corps de rupture et corps de décomposition
-
Réduction de Jordan et décomposition de Dunford
rappels : polynôme minimal, lemme des noyaux, sous-espaces caractéristiques, décomposition de Dunford, endomorphismes nilpotents, indice de nilpotence, tableaux de Young, noyaux itérés
Analyse
-
Tribus, mesures et fonctions mesurables
ensembles dénombrables, algèbres et tribus, tribu engendrée, tribu borélienne, mesures positives, propriétés de continuité, mesure de comptage, mesure de Dirac
-
Intégrale de Lebesgue et théorèmes de convergence
intégrale des fonctions étagées positives, intégrale des fonctions mesurables positives, théorème de convergence monotone de Beppo Levi, lemme de Fatou, fonctions intégrables, espace L^1
-
Mesure produit, Fubini et changement de variables
tribu produit, mesure produit, théorème de Fubini-Tonelli, théorème de Fubini pour les fonctions intégrables, mesure de Lebesgue sur R^n
-
Espaces L^p
inégalité de Jensen, inégalités de Hölder et de Minkowski, espaces L^p, classes de fonctions presque partout égales, espace L^infini, théorème de Riesz-Fischer (complétude)
-
Équations différentielles et théorème de Cauchy-Lipschitz
équations différentielles y'=f(t,y), problème de Cauchy, solutions maximales et globales, théorème de Cauchy-Lipschitz, lemme de Gronwall, théorème des bouts (sortie de tout compact)
-
Fonctions holomorphes et formule de Cauchy
fonctions C-dérivables, équations de Cauchy-Riemann, séries entières et fonctions analytiques, exponentielle et logarithme complexes, déterminations, intégrales le long d'un chemin, théorème de Cauchy pour un ouvert étoilé
-
Singularités et théorème des résidus
séries de Laurent, singularités isolées : effaçables, pôles, essentielles, fonctions méromorphes, indice d'un lacet, résidus, calcul des résidus en un pôle
-
Espaces de Hilbert et analyse de Fourier
espaces préhilbertiens et espaces de Hilbert, théorème de projection sur un convexe fermé, supplémentaire orthogonal d'un sous-espace fermé, théorème de représentation de Riesz, bases hilbertiennes, inégalité de Bessel, égalité de Parseval
Topologie
-
Espaces métriques : ouverts, fermés, continuité
distance, espace métrique, exemples, boules ouvertes et fermées, ouverts, fermés, voisinages, intérieur, adhérence, frontière, densité, suites convergentes, caractérisation séquentielle
-
Espaces normés et applications linéaires continues
normes, espaces vectoriels normés, normes équivalentes, espaces de suites et de fonctions : l^1, l^infini, C([a,b]), applications linéaires continues, caractérisation, norme subordonnée (norme d'opérateur)
-
Compacité et connexité
propriété de Borel-Lebesgue, compacité séquentielle, Bolzano-Weierstrass, équivalence des définitions en espace métrique, parties compactes des espaces de dimension finie, image continue d'un compact, bornes atteintes
-
Complétude, espaces de Banach et point fixe
suites de Cauchy dans un espace métrique, espaces complets, fermés d'un complet, espaces de Banach, complétude de R^n et des espaces de dimension finie, complétude de C([a,b]) pour la norme infinie
Calcul différentiel
-
Calcul différentiel dans les espaces normés
différentielle de Fréchet, dérivées directionnelles et partielles, différentielle d'une composée, fonctions de classe C^1, matrice jacobienne, inégalité des accroissements finis
-
Inversion locale, fonctions implicites et extrema liés
difféomorphismes, théorème d'inversion locale, théorème d'inversion globale, théorème des fonctions implicites, sous-variétés de R^n (approche élémentaire), espace tangent
Probabilités
-
Espaces probabilisés, variables aléatoires et espérance
espace probabilisé comme espace mesuré, variable aléatoire comme fonction mesurable, loi, espérance comme intégrale, méthode de la fonction muette, lois usuelles discrètes et à densité
-
Convergences, grands nombres et central limite
convergence presque sûre, convergence en probabilité, convergence L^p, convergence en loi, liens entre les modes de convergence
Chercher avant de lire la correction
Un énoncé corrigé n’est utile que si vous l’avez vraiment cherché. Accordez-vous un temps fixe, par exemple trente minutes, avant toute consultation. Écrivez vos pistes, même incomplètes. En effet, c’est en identifiant où vous bloquez que vous progressez. Un brouillon rempli de tentatives vaut mieux qu’une page blanche.
Si vous êtes coincé, relisez d’abord le cours du chapitre. Souvent, la clé est une définition oubliée ou une hypothèse mal lue. Ensuite seulement, ouvrez la solution, mais lisez-en une ligne à la fois. Dès que l’idée apparaît, refermez-la et terminez seul.
Variez aussi les supports de travail. Certains exercices se prêtent à une résolution orale, à deux ou devant un tableau. Expliquer une solution à voix haute révèle les passages flous bien mieux qu’une relecture silencieuse. C’est aussi une excellente préparation aux oraux de rattrapage.
Gardez une trace de vos progrès. Pour chaque feuille, notez les énoncés réussis du premier coup et ceux qui ont demandé de l’aide. Au fil des semaines, ce tableau de bord montre clairement les chapitres à retravailler.
Tirer profit des corrigés pour les partiels
Les solutions sont rédigées comme sur une copie d’examen : hypothèses vérifiées, théorèmes nommés, étapes de calcul visibles. Prenez-les comme modèle de rédaction. Comparez votre copie à la leur et soulignez chaque justification manquante. De plus, notez dans un carnet les techniques récurrentes : changement de variable, comparaison série-intégrale, polynôme annulateur.
À l’approche des partiels, sélectionnez deux ou trois énoncés par chapitre. Traitez-les en temps limité, sans document. Puis corrigez-vous sévèrement, comme le ferait un enseignant. Enfin, refaites une semaine plus tard ceux que vous aviez manqués : la répétition espacée fixe durablement les méthodes. Pour la session de rattrapage, la même démarche s’applique, en ciblant les chapitres ratés.
Le jour du partiel, reprenez les mêmes réflexes. Lisez tout le sujet, repérez les questions proches de celles déjà traitées, et commencez par elles. La confiance acquise pendant l’entraînement devient alors un vrai avantage.
Pour qui ces feuilles d’entraînement ?
Elles s’adressent d’abord aux étudiants de licence, mais pas seulement. Les élèves de classe préparatoire y trouveront des questions proches de leurs colles. Les chapitres de première année conviennent à la sup, ceux de deuxième année à la spé. Les étudiants en réorientation peuvent aussi vérifier leur niveau avant d’intégrer une nouvelle année. De même, les candidats aux concours de l’enseignement s’en servent pour reprendre les bases.
Par la suite, cette pratique régulière reste un atout en master, en école d’ingénieurs comme dans les métiers de la modélisation. Savoir chercher, rédiger et vérifier un raisonnement ne se perd pas. Travailler des exercices de licence avec méthode, c’est finalement apprendre à résoudre n’importe quel problème nouveau. Ces exercices de licence vous accompagnent donc bien au-delà du diplôme.
Questions fréquentes
Combien d'exercices faire par semaine en licence de mathématiques ?
Visez au minimum les exercices de la feuille de TD, plus deux ou trois de révision. La qualité compte davantage que la quantité. Un exercice refait seul après correction vaut plus que cinq lus en diagonale.
Les corrigés sont-ils rédigés comme en examen ?
Oui, chaque solution suit la rédaction attendue d’une copie. Les hypothèses sont vérifiées et les théorèmes cités par leur nom. Vous pouvez donc les utiliser comme modèles de présentation.
Ces exercices conviennent-ils aux élèves de prépa ?
Oui, la plupart des énoncés correspondent aux notions de MPSI et de MP. Ils sont d’ailleurs proches des exercices de colle. Seuls quelques chapitres de troisième année, comme la mesure, sortent du programme de prépa.
Que faire quand on ne comprend pas une correction ?
Relisez d’abord la partie du cours concernée, puis reprenez la solution ligne par ligne. Identifiez l’étape précise qui vous échappe. Posez ensuite la question en TD ou à un camarade, avec votre brouillon sous les yeux.
Les énoncés sont-ils adaptés à toutes les universités ?
Oui, ils suivent le socle commun de la mention Mathématiques. L’ordre des chapitres peut varier selon votre faculté. Il suffit alors de choisir la feuille qui correspond au cours en cours.
Les autres niveaux du supérieur
- Maths sup (MPSI) : cours, exercices et corrigés
- Maths spé (MP) : cours, exercices et corrigés
- Licence 1 (L1) : cours, exercices et corrigés
- Licence 2 (L2) : cours, exercices et corrigés
- Licence 3 (L3) : cours, exercices et corrigés
- La licence de mathématiques de L1 à L3
- QCM de maths Licence 1 (L1) par chapitre
- QCM de maths Licence 2 (L2) par chapitre
- QCM de maths Licence 3 (L3) par chapitre
- Revoir le programme de Terminale
