Suivre une licence de maths sur trois ans suppose des repères clairs : cette page regroupe les 64 chapitres du cursus, de la première à la troisième année. Chaque chapitre propose une leçon en PDF, une feuille d’exercices et sa correction complète. Vous pouvez ainsi réviser une notion précise ou parcourir toute la progression. Lycéens curieux, étudiants et futurs enseignants y trouvent chacun leur point d’entrée. Les intitulés reprennent le vocabulaire des maquettes, pour que vous retrouviez facilement vos cours.
Trois années, six semestres : l’organisation du cursus
La mention Mathématiques n’a pas de programme national détaillé. Toutefois, un référentiel de compétences fixe les attendus, et les universités s’en inspirent toutes. Le plan ci-dessous reprend ce socle partagé, en ne gardant que les unités de mathématiques. Le diplôme représente 180 crédits ECTS, soit trente par semestre.
La L1 sert de fondation. Au premier semestre, elle installe la logique, les ensembles, les suites et la dérivation. Au second, elle introduit l’intégrale de Riemann, les développements limités et l’algèbre linéaire en dimension finie. Les probabilités finies y font leurs premiers pas.
La L2 approfondit ces bases. Elle traite les séries numériques, les intégrales généralisées et la réduction des endomorphismes. Puis viennent les séries entières, les séries de Fourier, les espaces euclidiens et les fonctions de plusieurs variables. Les probabilités passent du discret aux lois à densité.
La L3, enfin, change de niveau d’abstraction. La topologie des espaces métriques, l’intégrale de Lebesgue et les structures algébriques dominent le semestre 5. Le semestre 6 aborde le calcul différentiel, l’analyse complexe, les espaces de Hilbert et le théorème central limite.
Pour chaque année, les chapitres sont regroupés par semestre. Vous pouvez aussi accéder directement à la page propre à chaque niveau, avec sa présentation détaillée. Chaque leçon précise ses prérequis, ce qui aide à circuler d’une année à l’autre sans perdre le fil.
D’une année à l’autre, la logique reste la même : chaque notion nouvelle s’appuie sur la précédente. C’est pourquoi la liste suit l’ordre chronologique de la licence de maths, année par année. Vous repérez ainsi d’un coup d’œil les chapitres à revoir avant d’en attaquer un nouveau.
Licence 1 (L1)
Fondements : logique, ensembles, raisonnement
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Logique, raisonnement et ensembles
assertions et connecteurs logiques, tables de vérité, quantificateurs universel et existentiel, négation d'une phrase quantifiée, implication, contraposée, réciproque, équivalence
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Applications et relations binaires
application, graphe, restriction et prolongement, image directe et image réciproque, composition d'applications, injection, surjection, bijection, application réciproque
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Entiers naturels, récurrence et dénombrement
propriétés de N, bon ordre, raisonnement par récurrence simple, double et forte, symboles somme et produit, changements d'indice, sommes télescopiques, sommes usuelles, ensembles finis, cardinal
Arithmétique
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Arithmétique des entiers
divisibilité dans Z, division euclidienne, PGCD, algorithme d'Euclide, théorème de Bézout, lemme de Gauss
Algèbre et algèbre linéaire
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Nombres complexes et trigonométrie
forme algébrique, conjugué, module, inégalité triangulaire, formules de trigonométrie, exponentielle complexe, forme trigonométrique, argument, formules de Moivre et d'Euler
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Polynômes et fractions rationnelles
anneau K[X], degré, coefficient dominant, division euclidienne des polynômes, racines et factorisation par X-a, multiplicité d'une racine, polynôme dérivé, théorème de d'Alembert-Gauss
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Systèmes linéaires et calcul matriciel
systèmes d'équations linéaires, interprétation géométrique, opérations élémentaires sur les lignes, méthode du pivot de Gauss, forme échelonnée, inconnues principales et secondaires, matrices, somme, produit, transposée
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Espaces vectoriels et sous-espaces vectoriels
structure d'espace vectoriel sur K=R ou C, exemples : K^n, polynômes, suites, fonctions, matrices, sous-espaces vectoriels, caractérisation, intersection de sous-espaces, sous-espace engendré, combinaisons linéaires
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Familles libres, bases et dimension
familles libres, liées, génératrices, bases, coordonnées dans une base, bases canoniques, espaces de dimension finie, théorème de la base incomplète
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Applications linéaires
application linéaire, endomorphisme, isomorphisme, opérations sur les applications linéaires, L(E,F), noyau et image, caractérisation de l'injectivité par le noyau, détermination par l'image d'une base
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Matrice d'une application linéaire et changement de base
matrice d'une application linéaire dans des bases, isomorphisme entre L(E,F) et les matrices, matrice d'une composée, produit matriciel, matrice inversible et isomorphisme, matrice de passage
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Déterminants
groupe symétrique, transpositions, signature, formes n-linéaires alternées, déterminant d'une famille de vecteurs dans une base, déterminant d'un endomorphisme et d'une matrice, déterminant d'un produit, d'une transposée
Analyse
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Nombres réels et borne supérieure
corps ordonné R, règles de calcul sur les inégalités, valeur absolue et inégalité triangulaire, intervalles de R, partie entière, majorant, minorant, borne supérieure, borne inférieure
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Suites numériques
suites majorées, minorées, monotones, définition epsilon de la limite, unicité de la limite, opérations sur les limites, limites infinies, théorèmes de comparaison et des gendarmes
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Limites et continuité des fonctions
limite d'une fonction en un point et en l'infini, limites à gauche et à droite, caractérisation séquentielle de la limite, opérations sur les limites, composition, continuité en un point, prolongement par continuité
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Dérivation et accroissements finis
nombre dérivé, taux d'accroissement, tangente, dérivabilité à gauche et à droite, opérations sur les dérivées, dérivée d'une composée, dérivée d'une fonction réciproque, extremum local et condition nécessaire
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Fonctions usuelles et fonctions réciproques
logarithme népérien et exponentielle, fonctions puissances réelles, croissances comparées, fonctions trigonométriques, fonctions arcsinus, arccosinus, arctangente
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Intégrale de Riemann et calcul de primitives
fonctions en escalier et subdivisions, intégrale de Riemann, fonctions intégrables, intégrabilité des fonctions continues et monotones, linéarité, positivité, relation de Chasles, inégalité de la moyenne, inégalité de Cauchy-Schwarz
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Équations différentielles linéaires
équation linéaire du premier ordre y'+a(x)y=b(x), structure de l'ensemble des solutions, équation homogène associée, méthode de variation de la constante, problème de Cauchy, existence et unicité au premier ordre
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Formules de Taylor et développements limités
relations de comparaison : o, O, équivalents, formule de Taylor avec reste intégral, inégalité de Taylor-Lagrange, formule de Taylor-Young, développement limité, unicité, troncature
Probabilités
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Probabilités sur un univers fini
expérience aléatoire, univers fini, événements, probabilité sur un univers fini, équiprobabilité, probabilité conditionnelle, formule des probabilités composées, formule des probabilités totales
Géométrie
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Géométrie du plan et de l'espace
repères cartésiens du plan et de l'espace, équations cartésiennes et paramétriques de droites et de plans, passage d'une représentation à l'autre, produit scalaire dans R² et R³, distance d'un point à une droite ou à un plan
Licence 2 (L2)
Arithmétique
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Arithmétique et anneau Z/nZ
relation d'équivalence et ensemble quotient, congruences modulo n, construction de Z/nZ, opérations, éléments inversibles de Z/nZ, Z/pZ est un corps si p est premier
Algèbre et algèbre linéaire
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Valeurs propres et diagonalisation
sous-espaces stables par un endomorphisme, valeurs propres, vecteurs propres, sous-espaces propres, somme directe des sous-espaces propres, spectre d'une matrice, polynôme caractéristique
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Polynômes d'endomorphismes et trigonalisation
polynômes d'endomorphismes et de matrices, polynômes annulateurs, polynôme minimal, lemme des noyaux, théorème de Cayley-Hamilton
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Groupes, sous-groupes et morphismes
loi de composition interne, groupe, sous-groupes, sous-groupe engendré, morphismes de groupes, noyau et image, ordre d'un élément, groupes monogènes et cycliques
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Produit scalaire et espaces euclidiens
formes bilinéaires symétriques, produit scalaire, norme euclidienne, inégalité de Cauchy-Schwarz, orthogonalité, théorème de Pythagore, familles et bases orthonormées, procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt
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Isométries, endomorphismes symétriques et théorème spectral
adjoint d'un endomorphisme, isométries vectorielles, groupe orthogonal, matrices orthogonales, classification des isométries du plan et de l'espace, rotations et réflexions
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Formes quadratiques, coniques et quadriques
formes bilinéaires, matrice dans une base, formes quadratiques, forme polaire, matrices congruentes, orthogonalité relative à une forme, cône isotrope, réduction de Gauss
Analyse
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Séries numériques à termes positifs
série numérique, sommes partielles, somme, reste, condition nécessaire de convergence, divergence grossière, série géométrique, séries télescopiques, séries à termes positifs et sommes partielles majorées, théorèmes de comparaison et d'équivalence
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Séries à termes quelconques
suites de Cauchy et complétude de R, critère de Cauchy pour les séries, convergence absolue, séries semi-convergentes, critère spécial des séries alternées, majoration du reste
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Intégrales généralisées
intégrale sur un intervalle non borné ou d'une fonction non bornée, convergence d'une intégrale généralisée, critère de Cauchy, fonctions positives : comparaison et équivalence, intégrales de Riemann
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Suites et séries de fonctions
convergence simple d'une suite de fonctions, convergence uniforme, norme infinie, critère de Cauchy uniforme, continuité de la limite uniforme, intégration et dérivation terme à terme
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Séries entières
lemme d'Abel, rayon de convergence, disque de convergence, règle de d'Alembert pour le rayon, opérations sur les séries entières, convergence normale sur tout compact du disque
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Intégrales dépendant d'un paramètre
continuité d'une intégrale à paramètre sur un segment, dérivation sous le signe intégrale sur un segment, hypothèse de domination, continuité sur un intervalle quelconque, dérivation sous le signe intégrale généralisée
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Séries de Fourier
fonctions périodiques continues par morceaux, polynômes trigonométriques, coefficients de Fourier exponentiels et trigonométriques, produit scalaire et orthogonalité des exponentielles, inégalité de Bessel
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Intégrales multiples et intégrales curvilignes
intégrale double sur un rectangle, sommes de Riemann, théorème de Fubini, intégrale double sur un domaine élémentaire, changement de variables, jacobien, coordonnées polaires, cylindriques et sphériques
Topologie
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Normes et topologie de R^n
normes sur R^n, normes 1, 2 et infini, distance associée, boules et sphères, parties bornées, suites de R^n, convergence, équivalence des normes en dimension finie
Calcul différentiel
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Plusieurs variables : limites et dérivées partielles
fonctions de R^n dans R^p, lignes de niveau, limite et continuité en plusieurs variables, fonctions lipschitziennes, image continue d'un compact, bornes atteintes, dérivées directionnelles
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Différentiabilité, formule de Taylor et extrema
différentiabilité, différentielle, matrice jacobienne, C^1 implique différentiable, inégalité des accroissements finis, dérivées partielles d'ordre 2, théorème de Schwarz
Probabilités
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Espaces probabilisés et conditionnement
univers, événements, tribu (approche élémentaire), probabilité, propriétés, univers dénombrable, continuité croissante et décroissante, probabilité conditionnelle, formule des probabilités totales
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Variables aléatoires discrètes
variable aléatoire discrète, loi, fonction de répartition, lois uniforme, de Bernoulli, binomiale, hypergéométrique, lois géométrique et de Poisson, espérance, théorème de transfert, linéarité, variance, écart type, covariance
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Variables aléatoires à densité
fonction de répartition d'une variable réelle, variable à densité, densité de probabilité, lois uniforme, exponentielle, normale, espérance et variance d'une variable à densité, théorème de transfert
Géométrie
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Géométrie affine
espaces affines, direction, sous-espaces affines, parallélisme, intersection, repères cartésiens, équations d'hyperplans affines, barycentres, coordonnées barycentriques, applications affines, partie linéaire
Licence 3 (L3)
Algèbre et algèbre linéaire
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Groupes : quotients et actions de groupes
sous-groupes distingués, groupe quotient, théorèmes d'isomorphisme, groupes cycliques et Z/nZ, action d'un groupe sur un ensemble
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Anneaux, idéaux et arithmétique
anneaux commutatifs, morphismes d'anneaux, idéaux, anneau quotient, idéaux premiers et maximaux, anneaux intègres, corps des fractions, anneaux euclidiens et principaux
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Corps, extensions et corps finis
caractéristique d'un corps, sous-corps premier, extensions de corps, degré, théorème de la base télescopique, éléments algébriques et transcendants, polynôme minimal, corps de rupture et corps de décomposition
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Réduction de Jordan et décomposition de Dunford
rappels : polynôme minimal, lemme des noyaux, sous-espaces caractéristiques, décomposition de Dunford, endomorphismes nilpotents, indice de nilpotence, tableaux de Young, noyaux itérés
Analyse
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Tribus, mesures et fonctions mesurables
ensembles dénombrables, algèbres et tribus, tribu engendrée, tribu borélienne, mesures positives, propriétés de continuité, mesure de comptage, mesure de Dirac
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Intégrale de Lebesgue et théorèmes de convergence
intégrale des fonctions étagées positives, intégrale des fonctions mesurables positives, théorème de convergence monotone de Beppo Levi, lemme de Fatou, fonctions intégrables, espace L^1
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Mesure produit, Fubini et changement de variables
tribu produit, mesure produit, théorème de Fubini-Tonelli, théorème de Fubini pour les fonctions intégrables, mesure de Lebesgue sur R^n
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Espaces L^p
inégalité de Jensen, inégalités de Hölder et de Minkowski, espaces L^p, classes de fonctions presque partout égales, espace L^infini, théorème de Riesz-Fischer (complétude)
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Équations différentielles et théorème de Cauchy-Lipschitz
équations différentielles y'=f(t,y), problème de Cauchy, solutions maximales et globales, théorème de Cauchy-Lipschitz, lemme de Gronwall, théorème des bouts (sortie de tout compact)
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Fonctions holomorphes et formule de Cauchy
fonctions C-dérivables, équations de Cauchy-Riemann, séries entières et fonctions analytiques, exponentielle et logarithme complexes, déterminations, intégrales le long d'un chemin, théorème de Cauchy pour un ouvert étoilé
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Singularités et théorème des résidus
séries de Laurent, singularités isolées : effaçables, pôles, essentielles, fonctions méromorphes, indice d'un lacet, résidus, calcul des résidus en un pôle
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Espaces de Hilbert et analyse de Fourier
espaces préhilbertiens et espaces de Hilbert, théorème de projection sur un convexe fermé, supplémentaire orthogonal d'un sous-espace fermé, théorème de représentation de Riesz, bases hilbertiennes, inégalité de Bessel, égalité de Parseval
Topologie
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Espaces métriques : ouverts, fermés, continuité
distance, espace métrique, exemples, boules ouvertes et fermées, ouverts, fermés, voisinages, intérieur, adhérence, frontière, densité, suites convergentes, caractérisation séquentielle
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Espaces normés et applications linéaires continues
normes, espaces vectoriels normés, normes équivalentes, espaces de suites et de fonctions : l^1, l^infini, C([a,b]), applications linéaires continues, caractérisation, norme subordonnée (norme d'opérateur)
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Compacité et connexité
propriété de Borel-Lebesgue, compacité séquentielle, Bolzano-Weierstrass, équivalence des définitions en espace métrique, parties compactes des espaces de dimension finie, image continue d'un compact, bornes atteintes
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Complétude, espaces de Banach et point fixe
suites de Cauchy dans un espace métrique, espaces complets, fermés d'un complet, espaces de Banach, complétude de R^n et des espaces de dimension finie, complétude de C([a,b]) pour la norme infinie
Calcul différentiel
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Calcul différentiel dans les espaces normés
différentielle de Fréchet, dérivées directionnelles et partielles, différentielle d'une composée, fonctions de classe C^1, matrice jacobienne, inégalité des accroissements finis
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Inversion locale, fonctions implicites et extrema liés
difféomorphismes, théorème d'inversion locale, théorème d'inversion globale, théorème des fonctions implicites, sous-variétés de R^n (approche élémentaire), espace tangent
Probabilités
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Espaces probabilisés, variables aléatoires et espérance
espace probabilisé comme espace mesuré, variable aléatoire comme fonction mesurable, loi, espérance comme intégrale, méthode de la fonction muette, lois usuelles discrètes et à densité
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Convergences, grands nombres et central limite
convergence presque sûre, convergence en probabilité, convergence L^p, convergence en loi, liens entre les modes de convergence
Bien utiliser les ressources année par année
Repérez d’abord votre semestre dans la liste. Ouvrez ensuite le cours du chapitre traité en amphi cette semaine. Lisez-le avant le TD, pas après : vous comprendrez mieux les explications de l’enseignant. Puis entraînez-vous sur les exercices, et gardez la correction pour la fin. Cette discipline simple fait souvent la différence entre une année subie et une année maîtrisée.
En cas de difficulté sur un chapitre avancé, remontez à ses prérequis. Une lacune sur les suites bloque les séries. De même, une faiblesse en algèbre linéaire freine la réduction. Autrement dit, les chapitres des années précédentes restent votre meilleure ressource de rattrapage. Ils vous évitent de chercher ailleurs une explication qui existe déjà.
Enfin, fixez-vous des objectifs réalistes. Un chapitre par semaine, bien compris, suffit largement à suivre le rythme d’un semestre. Mieux vaut avancer régulièrement que tout reprendre dans l’urgence avant les examens.
Réussir ses partiels à l’université
Le contrôle continu et les examens terminaux se combinent selon les facultés. Renseignez-vous tôt sur les modalités de contrôle des connaissances. Ensuite, planifiez vos révisions sur plusieurs semaines. Alternez relecture active du cours, exercices chronométrés et reprise des erreurs. Par ailleurs, travailler à plusieurs aide beaucoup : expliquer une preuve à un camarade révèle vite ce qu’on n’a pas compris.
Le jour de l’épreuve, lisez tout le sujet avant de commencer. Traitez d’abord les questions sûres, puis revenez aux plus délicates. Une copie claire, bien justifiée, rapporte toujours davantage qu’une suite de calculs sans phrases.
Après une note décevante, ne vous découragez pas. Consultez votre copie, identifiez le type d’erreur, puis reprenez les exercices corrigés du chapitre concerné. La session de rattrapage donne une seconde chance, à condition de la préparer sérieusement. Enfin, gardez en réserve quelques sujets d’annales pour la dernière semaine, afin de vous tester dans les conditions exactes de l’épreuve.
Passerelles avec la prépa et débouchés
La licence de maths et la classe préparatoire communiquent dans les deux sens. Un étudiant de MPSI peut rejoindre la L2, et un étudiant de MP la L3. À l’inverse, d’excellents résultats en première année ouvrent parfois une prépa ou un parcours renforcé. Les pages consacrées à la sup et à la spé complètent donc utilement ce programme.
Diplôme en poche, la plupart des étudiants poursuivent en master. Les débouchés couvrent l’enseignement, la recherche, l’actuariat, la science des données, la cryptographie ou l’ingénierie. En effet, une solide formation mathématique reste très recherchée par les employeurs. Certains rejoignent aussi une école d’ingénieurs par admission parallèle. D’autres, enfin, préparent directement le concours de professeur des écoles ou le CAPES. Dans chaque cas, la rigueur acquise pendant la licence de maths constitue un atout durable. Elle vous suivra tout au long de votre carrière, quel que soit le secteur choisi.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre une licence de mathématiques et une prépa ?
La prépa prépare aux concours des grandes écoles, avec un encadrement serré et un rythme intense. La licence mène à un diplôme universitaire, avec plus d’autonomie. Les contenus des deux premières années restent toutefois très proches.
Faut-il avoir suivi maths expertes au lycée pour s'inscrire ?
Ce n’est pas obligatoire, mais c’est un vrai plus. Les universités regardent surtout les résultats en spécialité mathématiques. Sans maths expertes, un travail sur les complexes et l’arithmétique sera nécessaire en début d’année.
Combien de temps dure une licence de mathématiques ?
Elle dure trois ans, répartis en six semestres. Chaque semestre validé rapporte trente crédits ECTS, soit cent quatre-vingts au total. Le redoublement d’un semestre reste possible en cas d’échec.
Peut-on travailler directement après la licence ?
C’est possible, notamment dans la gestion de données ou l’assistance technique. Cependant, la plupart des métiers de mathématiciens demandent un master. La licence est surtout pensée comme une étape vers une poursuite d’études.
Les cours sont-ils les mêmes dans toutes les universités ?
Pas exactement, car chaque faculté construit sa maquette. Néanmoins, le socle commun est très stable d’un établissement à l’autre. Les chapitres proposés ici couvrent ce tronc partagé.
Quels métiers après des études de mathématiques ?
Les débouchés sont variés : enseignant, chercheur, actuaire, analyste de données, ingénieur en calcul ou en cryptographie. La banque, l’assurance et l’industrie recrutent beaucoup de profils mathématiques. Le niveau master reste le plus demandé.
Les autres niveaux du supérieur
- Maths sup (MPSI) : cours, exercices et corrigés
- Maths spé (MP) : cours, exercices et corrigés
- Licence 1 (L1) : cours, exercices et corrigés
- Licence 2 (L2) : cours, exercices et corrigés
- Licence 3 (L3) : cours, exercices et corrigés
- QCM de maths Licence 1 (L1) par chapitre
- QCM de maths Licence 2 (L2) par chapitre
- QCM de maths Licence 3 (L3) par chapitre
- Revoir le programme de Terminale
