Produit scalaire : corrigé des exercices de maths en terminale en PDF.

Exercice 1 :

Calculer la distance du point M(5; 2; −3) au plan d’équation x + 4y + 8z = −2.

La distance du point M au plan est donné par :

 

 

 

Exercice 2 :

Soient A(1; −1; 1), B(0; 2; −1) et C(−1; 1; 0).

Montrer que A, B et C forment un plan puis déterminer x afin que (x; 3; 4) soit normal à (ABC).

 et 

Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires donc les points A,B et C forment un plan.

Un vecteur normal est

il faut qu’il soit colinéaire à , pour cela il suffit de prendre x = 1 .

Exercice 3 :

Les plans et sont-ils orthogonaux ?

Si les plans sont orthogonaux alors les vecteurs normaux sont orthogonaux.

  est un vecteur normal à (P).

  est un vecteur normal à (Q) .

Conclusion :

Le produit scalaire est nul donc ces deux plans sont orthogonaux.

Exercice 4 :

Déterminer une équation cartésienne du plan P passant par A(−2; 1; 3) et orthogonal
à (BC) où B(1; −2; 2) et C(4; 1; −1).

 est un vecteur normal au plan (P).

Une équation cartésienne au plan (P) est du type :

or le point A appartient au plan (P) donc :

Conclusion :     une équation cartésienne de (P) est 

Exercice 5 :

Déterminer une équation cartésienne du plan contenant A(2; −1; 1) et orthogonal au

vecteur (3; −4; 2)

L’équation cartésienne est du type  avec  un vecteur normal

donc nous avons déjà :

or A appartient à ce plan donc :

Conclusion : l’équation cartésienne de ce plan est 

Exercice 6 :

Le vecteur (6; −2; 4) est-il normal au plan d’équation −3x + y − 3z = 1 ?

un vecteur normal au plan est  or  et  ne sont pas colinéaires

donc  n’est pas un vecteur normal du plan.

Exercice 7 :

Déterminer un vecteur normal au plan d’équation 31x + 37y + 41z + 43 = 0.

D’après le cours un vecteur normal au plan est .

Exercice 8 :

On se place dans un repère orthonormal.

Soient A(−1; 1; 2), B(0; 1; 0) et C(2; 0; 3).

Calculer une mesure approchée de l’angle .

 et  et 

et 

Exercice 9 :

Soit ABCDEFGH un cube d’arête a.

Calculer :

Exercice 10 :

Soit ABCD un tétraèdre régulier d’arête a.

Calculer 

 

Exercice 11 :

ABCD est un carré de coté 8 unités.

Les points I et J sont définis pas  et  .

1. Exprimer le produit scalaire  de deux façons différentes .

 

2. Déterminer  , puis la mesure de cet angle en radians .

En utilisant le théorème de Pythagore :

 et 

Conclusion :

Exercice 12 :

On utilise la relation de Chasles : pour tout point , .

On a :

On pose . Alors l’équation devient soit : .

L’ensemble des points tels que cette équation est vérifiée est donc l’ensemble des points tels que .

On note le centre du triangle équilatéral . Alors pour tout point du plan, on peut écrire :

Si est à l’intérieur du triangle , alors les produits scalaires sont positifs et on ne peut pas avoir .

Si est sur le cercle circonscrit à , on a et en multipliant cette relation scalaire par , on obtient ,

donc on peut avoir .

Finalement, l’ensemble des points tels que est précisément le cercle circonscrit à ,

c’est-à-dire l’ensemble des points à distance du centre .