Produit scalaire : corrigé des exercices de maths en terminale.

Le corrigé des exercices de maths en terminale sur le produit scalaire dans l’espace. Vecteurs colinéaires et orthogonaux et savoir déterminer l’équation d’une droite et d’un plan ainsi que, appliquer la relation de Chasles sur les vecteurs.

Exercice 1 :

Calculer la distance du point M(5; 2; −3) au plan d’équation x + 4y + 8z = −2.

La distance du point M au plan est donné par :

$d=\frac{ | x_M+4y_M+8z_M+2 |}{\sqrt{1^2+4^2+8^2}}$

$d=\frac{ | 5+4\times 2+8\times (-3)+2 |}{81}$

$d=\frac{ | 5+8-24+2 |}{81}$

$d=\frac{ | -9 |}{81}$

$d=\frac{9}{81}$

${\color{DarkRed} d=\frac{1}{9}}$

Exercice 2 :

Soient A(1; −1; 1), B(0; 2; −1) et C(−1; 1; 0).

Montrer que A, B et C forment un plan puis déterminer x aﬁn que $\vec{u}$ (x; 3; 4) soit normal à (ABC).

$\vec{AB}(-1;3;-2)$ et $\vec{AC}(-2;2;-1)$

Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires donc les points A,B et C forment un plan.

Un vecteur normal est

$\vec{AC}v \vec{AC}(1;3;4)$

il faut qu’il soit colinéaire à $\vec{u}$ , pour cela il suffit de prendre x = 1 .

Exercice 3 :

Les plans $P\,:\,2x\,-\,y\,+\,z\,+\,9\,=\,0$ et $Q\,:\,x\,+\,y\,-\,z\,-\,7\,=\,0$ sont-ils orthogonaux ?

Si les plans sont orthogonaux alors les vecteurs normaux sont orthogonaux.

$\vec{u}(2;-1;1)$ est un vecteur normal à (P).

$\vec{v}(1;1;-1)$ est un vecteur normal à (Q) .

$\vec{u}.\vec{v}=2\times 1-1\times 1+1\times (-1)=2-1-1=0$

Conclusion :

Le produit scalaire est nul donc ces deux plans sont orthogonaux.

Exercice 4 :

Déterminer une équation cartésienne du plan P passant par A(−2; 1; 3) et orthogonal
à (BC) où B(1; −2; 2) et C(4; 1; −1).

$\vec{BC}(3;3;-3)$ est un vecteur normal au plan (P).

Une équation cartésienne au plan (P) est du type :

or le point A appartient au plan (P) donc :

$3\times (-2)+3\times 1-3\times 3+d=0$

Conclusion : une équation cartésienne de (P) est

Exercice 5 :

Déterminer une équation cartésienne du plan contenant A(2; −1; 1) et orthogonal au

vecteur $\vec{n}$ (3; −4; 2)

L’équation cartésienne est du type avec $\vec{n}$ un vecteur normal

donc nous avons déjà :

or A appartient à ce plan donc :

$3\times 2-4\times (-1)+2\times 1+d=0$

${\color{DarkRed} d=-12}$

Conclusion : l’équation cartésienne de ce plan est

Exercice 6 :

Le vecteur $\vec{n}$ (6; −2; 4) est-il normal au plan d’équation −3x + y − 3z = 1 ?

un vecteur normal au plan est $\vec{u}(-3;1;-3)$ or $\vec{u}$ et $\vec{n}$ ne sont pas colinéaires

donc $\vec{n}$ n’est pas un vecteur normal du plan.

Exercice 7 :

Déterminer un vecteur normal au plan d’équation 31x + 37y + 41z + 43 = 0.

D’après le cours un vecteur normal au plan est $\vec{u}(31;37;41)$ .

Exercice 8 :

On se place dans un repère orthonormal.

Soient A(−1; 1; 2), B(0; 1; 0) et C(2; 0; 3).

Calculer une mesure approchée de l’angle $\widehat{BAC}.$ .

$\vec{AB}(1;0;-2)$ et $\vec{AC}(3;-1;1)$ et $AB=\sqrt{1^2+0^2+(-2)^2}=\sqrt{5}$

et $AC=\sqrt{3^2+(-1)^2+1^2}=\sqrt{11}$

$\vec{AB}.\vec{AC}=1\times 3+0\times (-1)+(-2)\times 1=1$

$cos(\widehat{BAC})=\frac{\vec{AB}.\vec{AC}}{AB\times AC}=\frac{1}{\sqrt{5}\times \sqrt{11}}=\frac{1}{\sqrt{55}}$

${\color{DarkRed} \widehat{BAC}\simeq 82^{\circ}}$

Exercice 9 :

Soit ABCDEFGH un cube d’arête a.

Calculer :

$1.\,\vec{AE}.\vec{AF}.\\2.\,\vec{AE}.\vec{AG}.\\3.\,\vec{AF}.\vec{HC}.$

$\vec{AE}.\vec{AF}=a\times a\times cos \,\frac{ \pi } {4}=\frac{a^2\sqrt{2}}{2}$

Exercice 10 :

Soit ABCD un tétraèdre régulier d’arête a.

Calculer $\vec{AB}.\vec{AC}.$

$a^2\times cos (\frac{ \pi }{3} )$

Exercice 11 :

ABCD est un carré de coté 8 unités.

Les points I et J sont définis pas $\vec{BI}=\frac{1}{2}\vec{BC}$ et $\vec{DJ}=\frac{1}{3}\vec{DC}$ .

1. Exprimer le produit scalaire $\vec{AI}.\vec{AJ}$ de deux façons différentes .

$\vec{AI}.\vec{AJ}=(\vec{AB}+\vec{BI}). ( \vec{AD} +\vec{DJ} )$

$\vec{AI}.\vec{AJ}=\vec{AB}.\vec{AD}+\vec{AB}.\vec{DJ}+\vec{BI}.\vec{AD}+\vec{BI}.\vec{DJ}$

$\vec{AI}.\vec{AJ}=0+\vec{AB}.\vec{DJ}+\vec{BI}.\vec{AD}+0$

$\vec{AI}.\vec{AJ}=AB\times DJ+BI\times AD$

$\vec{AI}.\vec{AJ}=8\times \frac{8}{3}+4\times 8$

$\vec{AI}.\vec{AJ}=\frac{64}{3}+32$

$\vec{AI}.\vec{AJ}=\frac{64+96}{3}$

$\vec{AI}.\vec{AJ}=\frac{160}{3}$

2. Déterminer $cos(\widehat{IAJ})$ , puis la mesure de cet angle en radians .

$cos(\widehat{IAJ})=\frac{\vec{AI}.\vec{AJ}}{AI.AJ}=\frac{\frac{160}{3}}{AI.AJ}$

En utilisant le théorème de Pythagore :

$AI=\sqrt{8^2+4^2}=\sqrt{80}$ et $AJ=\sqrt{8^2+{(\frac{8}{3})}^2}=\sqrt{64+\frac{64}{9}}=\sqrt{\frac{640}{9}}=\frac{8\sqrt{10}}{3}$

$cos(\widehat{IAJ})=\frac{\frac{160}{3}}{AI.AJ}=\frac{\frac{160}{3}}{\sqrt{80}\times \frac{8\sqrt{10}}{3}}$

$cos(\widehat{IAJ})=\frac{\frac{160}{3}}{AI.AJ}=\frac{160}{8\sqrt{800}}$

$cos(\widehat{IAJ})=\frac{\frac{160}{3}}{AI.AJ}=\frac{160}{80\sqrt{8}}$

$cos(\widehat{IAJ})=\frac{\frac{160}{3}}{AI.AJ}=\frac{2}{\sqrt{8}}$

$cos(\widehat{IAJ})=\frac{\frac{160}{3}}{AI.AJ}=\frac{2\sqrt{8}}{8}$

$cos(\widehat{IAJ})=\frac{2\sqrt{2}}{4}$

$cos(\widehat{IAJ})=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Conclusion :
${\color{DarkRed} \widehat{IAJ}=45^{\circ}}$

Exercice 12 :

On utilise la relation de Chasles : pour tout point , $\vec{AB} = \vec{AP} + \vec{PB}$ .

On a :
$\begin{align*}\,(\vec{MA}+2\vec{MB}+\vec{MC}).(\vec{MA}-2\vec{MB}+\vec{MC})\,=\,\vec{MA}.\vec{MA}\,-\,4\vec{MA}.\vec{MB}\,+\,\vec{MA}.\vec{MC}\,\\\,+\,2\vec{MB}.\vec{MA}\,+\,8\vec{MB}.\vec{MB}\,+\,2\vec{MB}.\vec{MC}\,\\\,+\,\vec{MC}.\vec{MA}\,+\,2\vec{MC}.\vec{MB}\,+\,\vec{MC}.\vec{MC}\,\\\,\,=\,2(\vec{MA}.\vec{MB}\,+\,\vec{MB}.\vec{MC}\,+\,\vec{MC}.\vec{MA})\,+\,12\vec{MB}.\vec{MB}\,\\\,\,=\,2(\vec{MA}.\vec{MB}\,+\,\vec{MB}.\vec{MC}\,+\,\vec{MC}.\vec{MA})\,+\,12\cdot\frac{l^2}{3}\,\\\,\,=\,2(\vec{MA}.\vec{MB}\,+\,\vec{MB}.\vec{MC}\,+\,\vec{MC}.\vec{MA}\,+\,2l^2).\,\end{align*}$

On pose $x = \vec{MA}.\vec{MB} + \vec{MB}.\vec{MC} + \vec{MC}.\vec{MA}$ . Alors l’équation devient soit : .

L’ensemble des points tels que cette équation est vérifiée est donc l’ensemble des points tels que $\vec{MA}.\vec{MB} + \vec{MB}.\vec{MC} + \vec{MC}.\vec{MA} = -l^2$ .

On note le centre du triangle équilatéral ABC . Alors pour tout point du plan, on peut écrire :

$\vec{MA}.\vec{MB}\,+\,\vec{MB}.\vec{MC}\,+\,\vec{MC}.\vec{MA}\,=\,\vec{OA}.\vec{OM}\,+\,\vec{OB}.\vec{OM}\,+\,\vec{OC}.\vec{OM}$

Si est à l’intérieur du triangle ABC , alors les produits scalaires sont positifs et on ne peut pas avoir $\vec{MA}.\vec{MB} + \vec{MB}.\vec{MC} + \vec{MC}.\vec{MA} = -l^2$ .

Si est sur le cercle circonscrit à ABC , on a $\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} = \vec{0}$ et en multipliant cette relation scalaire par $\vec{OM}$ , on obtient $\vec{OA}.\vec{OM} + \vec{OB}.\vec{OM} + \vec{OC}.\vec{OM} = 0$ ,

donc on peut avoir $\vec{MA}.\vec{MB} + \vec{MB}.\vec{MC} + \vec{MC}.\vec{MA} = -l^2$ .

Finalement, l’ensemble des points tels que $(\vec{MA}+2\vec{MB}+\vec{MC}).(\vec{MA}-2\vec{MB}+\vec{MC})=2l^2$ est précisément le cercle circonscrit à ABC ,

c’est-à-dire l’ensemble des points à distance du centre .

Voir Corrigés 11 à 12...

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