Exercice 1 :
Calculer la distance du point M(5; 2; −3) au plan d’équation x + 4y + 8z = −2.
La distance du point M au plan est donné par :
Exercice 2 :
Soient A(1; −1; 1), B(0; 2; −1) et C(−1; 1; 0).
Montrer que A, B et C forment un plan puis déterminer x afin que (x; 3; 4) soit normal à (ABC).
et
Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires donc les points A,B et C forment un plan.
Un vecteur normal est
il faut qu’il soit colinéaire à , pour cela il suffit de prendre x = 1 .
Exercice 3 :
Les plans et sont-ils orthogonaux ?
Si les plans sont orthogonaux alors les vecteurs normaux sont orthogonaux.
est un vecteur normal à (P).
est un vecteur normal à (Q) .
Conclusion :
Le produit scalaire est nul donc ces deux plans sont orthogonaux.
Exercice 4 :
Déterminer une équation cartésienne du plan P passant par A(−2; 1; 3) et orthogonal
à (BC) où B(1; −2; 2) et C(4; 1; −1).
est un vecteur normal au plan (P).
Une équation cartésienne au plan (P) est du type :
or le point A appartient au plan (P) donc :
Conclusion : une équation cartésienne de (P) est
Exercice 5 :
Déterminer une équation cartésienne du plan contenant A(2; −1; 1) et orthogonal au
vecteur (3; −4; 2)
L’équation cartésienne est du type avec un vecteur normal
donc nous avons déjà :
or A appartient à ce plan donc :
Conclusion : l’équation cartésienne de ce plan est
Exercice 6 :
Le vecteur (6; −2; 4) est-il normal au plan d’équation −3x + y − 3z = 1 ?
un vecteur normal au plan est or et ne sont pas colinéaires
donc n’est pas un vecteur normal du plan.
Exercice 7 :
Déterminer un vecteur normal au plan d’équation 31x + 37y + 41z + 43 = 0.
D’après le cours un vecteur normal au plan est .
Exercice 8 :
On se place dans un repère orthonormal.
Soient A(−1; 1; 2), B(0; 1; 0) et C(2; 0; 3).
Calculer une mesure approchée de l’angle .
et et
et
Exercice 9 :
Soit ABCDEFGH un cube d’arête a.
Calculer :
Exercice 10 :
Soit ABCD un tétraèdre régulier d’arête a.
Calculer
Exercice 11 :
ABCD est un carré de coté 8 unités.
Les points I et J sont définis pas et .
1. Exprimer le produit scalaire de deux façons différentes .
2. Déterminer , puis la mesure de cet angle en radians .
En utilisant le théorème de Pythagore :
et
Conclusion :
Exercice 12 :
On utilise la relation de Chasles : pour tout point , .
On a :
On pose . Alors l’équation devient soit : .
L’ensemble des points tels que cette équation est vérifiée est donc l’ensemble des points tels que .
On note le centre du triangle équilatéral . Alors pour tout point du plan, on peut écrire :
Si est à l’intérieur du triangle , alors les produits scalaires sont positifs et on ne peut pas avoir .
Si est sur le cercle circonscrit à , on a et en multipliant cette relation scalaire par , on obtient ,
donc on peut avoir .
Finalement, l’ensemble des points tels que est précisément le cercle circonscrit à ,
c’est-à-dire l’ensemble des points à distance du centre .
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