Exercice 1 :
Exercice 2 :
Simplifier les expressions suivantes :
Exercice 3 :
Soit n un entier naturel non nul et a un nombre réel strictement positif.
Exercice 4 :
Etudier les limites suivantes :
a.
b.
c.
d.
d.
e.
f.
Exercice 5 :
Exercice 6 :
Résoudre dans chacune des équations suivantes :
a.
b.
c.
d.
e.
Posons
Exercice 7 :
Exercice 8 :
Déterminer la fonction dérivée de la fonction f sur l’ensemble
a.
b.
c.
Exercice 9 :
Si a est un zéro de P(z) alors on doit avoir :
soit
soit le système d’équations
On constate facilement que 2 vérifie simultanément les deux équations c’est la valeur cherchée.
On écrit donc, b et c étant des complexes
Et par identification
et
et
On est conduit à résoudre l’équation du second degré à coefficients complexes :
D’où les deux racines
et
et
donc
Exercice 10 :
Résoudre les inéquations suivantes :
Exercice 11 :
Résoudre les équations suivantes :
Calculons le discriminant :
, il y a deux racines réelles distinctes .
Exercice 12 :
Résoudre les équations suivantes :
Exercice 13 :
Simplifier :
Exercice 14 :
Exercice 15 :
1. ln(3-5x) = 0 équivaut à . Donc 5x = 2 et x = 2/5.
2. On peut transformer l’équation de la manière suivante :
En utilisant la propriété ln(a)-ln(b) = ln(a/b), on obtient :
Cela équivaut à , soit .
On résout cette équation du second degré en x et on vérifie que les solutions obtenues sont bien positives et différentes de 4.
3. équivaut à , donc (x+4)(x+1) = 6.
On résout cette équation du second degré en x et on vérifie que la solution obtenue est bien positive.
4. signifie que , c’est-à-dire que (x+4)(x+1) = 6 ou (x+4)(x+1) = -6. On résout ces deux équations et on vérifie que les solutions obtenues sont bien positives.
5. On peut réécrire l’équation sous la forme .
En posant y = ln x, cela équivaut à , soit .
On peut factoriser cette expression en , donc y = 2 ou y = (-1±i√3)/2. On vérifie que ces trois valeurs de y correspondent à des solutions de l’équation initiale.
6. équivaut à (car ln est une fonction strictement croissante).
On résout cette inéquation et on trouve 1/3 < x < -1/5.
7. On peut réécrire l’équation sous la forme .
On pose y = ln x et on note f(y) = y – (1/y).
L’équation devient f(y) < 3/2.
On étudie la fonction f(y) : elle est dérivable sur ]0,+∞[, sa dérivée est , donc f est strictement croissante sur ]0,+∞[.
De plus, f(1) = 0. On en déduit que l’équation est équivalente à .
On calcule en résolvant l’équation en x :
La solution positive est , donc .
On calcule et on trouve .
Finalement, les solutions de l’inéquation sont les x tels que , c’est-à-dire .
Exercice 16 :
On peut comparer ces deux nombres en regardant la fonction , pour x > 0.
On a , donc f est croissante sur ]0,e[ et décroissante sur ]e,+∞[.
En particulier, f( e^(1/e) ) ≈ 1,44 est le maximum de f sur ]0,+∞[.
On a donc :
La dernière égalité est justifiée par le fait que f(e) > f(\pi) pour 0 < x < e^(1/e) et que f(x) < f(e) pour x > e^(1/e).
Finalement, on a :
Le nombre est donc plus grand que .
Exercice 17 :
g est dérivable sur son ensemble de définition en tant que somme de
fonctions dérivables sur cet intervalle .
Conclusion : sur , f est croissant sur .
Exercice 18 :
1.Calculer la dérivée de la fonction g et étudier son signe. En déduire les variations de la fonction g .
Le signe de est celui de .
sur .
donc g est strictement décroissante sur .
2. Calculer g(1). En déduire le signe de g(x) pour x appartenant à l’intervalle ]0;+ 
[ .
g est strictement décroissante sur et .
Conclusion : g est positive ou nulle sur ]0;1] et négative sur .
Exercice 19 :
1) simplifier
2) Déterminer le plus petit entier n tel que 1,05 n
1,5
La fonction ln est strictement croissante sur ..
(ln 1,05 <0)
3) Chaque année, la population d’une ville diminue de 3%. Au bout de combien d’année, la population de cette ville aura-t-elle diminué de plus de 30%
Exercice 20 :
Partie A:
1. Limites de la fonction g en 0 et :
Pour la limite en 0, on peut utiliser le développement de Taylor de ln(x) au premier ordre, qui est près de x=0.
Ainsi, en utilisant ce développement dans la définition de g, on obtient:
Comme est une infinitésimale de plus haut ordre que x, on a , ce qui implique que .
Pour la limite en , on peut utiliser le lemme de L’Hôpital.
En effet, on a:
.
En appliquant le lemme de L’Hôpital, on obtient:
Donc, la limite de g en est 0.
2. Calcul de la dérivée de g(x) et justification de la dérivabilité de g sur l’intervalle :
On peut calculer la dérivée de g(x) en utilisant la formule de dérivation de la différence. On a:
Ainsi, g'(x) = -ln(x).
Pour montrer que g est dérivable sur l’intervalle , il suffit de montrer que la limite du taux d’accroissement de g(x) quand x tend vers a pour tout a>0 existe et est finie. On a:
Donc, la fonction g est dérivable sur l’intervalle .
3. Tableau de variations de la fonction g:
Pour dresser le tableau de variations de g(x), on peut utiliser sa dérivée g'(x). On a:
– g'(x) est définie et strictement négative sur ].
– g'(x) est décroissante sur .
– Le signe de g'(x) change en x=1, donc g(x) atteint son minimum en x=1.
On obtient alors le tableau de variations suivant pour g(x):
x | 0 | 1 | +\infty
——-|——-|———|——–
g'(x) | – | 0/- | 0
g(x) | 0 | -1/e + 1 | 0
Partie B:
1. Conjecture de sens de variation et de limite de la suite :
a. Pour conjecturer le sens de variation de la suite , on peut calculer les premiers termes de la suite et observer s’ils augmentent ou diminuent. On a:
On peut remarquer que la suite diminue et atteint des valeurs de plus en plus petites.
b. Pour conjecturer la limite de la suite , on peut observer que les termes de la suite décroissent vers 0 à mesure que n augmente.
On peut également utiliser la règle de Stolz-Cesàro pour montrer que la limite de est 0. En effet, on a:
Donc, la limite de est 0.
2. Calcul de la suite et détermination de son sens de variation:
a. On peut calculer en utilisant la formule de .
On a:
.
b. Pour déterminer le sens de variation de la suite , on peut étudier le signe de sa dérivée .
On observe que la dérivée est positive pour n=1 et décroissante sur , donc la suite est décroissante sur .
3. Montrer que la suite est bornée:
On peut montrer que la suite est bornée en utilisant l’inégalité de Bernoulli pour tout x>-1 et tout entier naturel n. On a:
Ainsi, la suite est majorée par e et donc bornée.
4. Montrer que la suite est convergente et déterminer sa limite:
On peut utiliser le théorème de Bolzano-Weierstrass pour montrer que la suite admet une limite. En effet, comme on a montré que la suite est bornée, elle admet une sous-suite convergente.
On peut également utiliser la propriété des suites adjacentes pour déterminer la limite de .
Pour cela, on construit deux suites et telles que et .
On peut prendre par exemple:
– pour tout n, et pour tout n (on a montré que u_n ≤ e pour tout n).
– On a
Donc, la suite converge vers la limite commune des deux suites adjacentes et , qui est 0.
Exercice 21 :
1. Démonstration de :
On a f(x) = ln(2^x) – ln(x^2) = xln2 – 2lnx par les propriétés des logarithmes.
2. Calcul de f(2) et f(4):
On a .
De même, on a .
3. Calcul de la dérivée f ‘ de f:
On peut calculer la dérivée de f(x) en utilisant la formule de dérivation de la différence et les propriétés des logarithmes. On a:
.
4. Signe de f(x):
Pour déterminer le signe de f(x), on peut étudier le signe de sa dérivée f ‘(x):
– f ‘(x) est définie et strictement négative sur .
– f ‘(x) est décroissante sur .
On en déduit que la fonction f est décroissante sur .
En particulier, pour tout x>2, on a .
5. Ensemble des entiers n pour lesquels :
On peut réécrire cette inégalité sous la forme d’une exponentielle: .
On remarque que les deux membres de l’inégalité sont des fonctions croissantes de n pour n > 0, donc l’inégalité est vraie pour un nombre fini d’entiers.
On peut ensuite vérifier pour chacun des entiers n si l’inégalité est vraie.
Par exemple, pour n=1, on a , donc l’inégalité est vraie pour n=1.
De même, pour n=2, on a , donc l’inégalité est vraie pour n=2.
Pour n=3, on a , donc l’inégalité est vraie pour n=1, 2 et 3.
On peut poursuivre le raisonnement pour les valeurs suivantes de n, jusqu’à trouver le plus grand entier satisfaisant l’inégalité:
– Pour n=4, on a , donc l’inégalité est vraie pour n=1, 2, 3 et 4.
– Pour n=5, on a , donc l’inégalité est vraie pour n=1, 2, 3, 4 et 5.
– Pour n=6, on a , donc l’inégalité est vraie pour n=1, 2, 3, 4, 5 et 6.
– Pour n=7, on a , donc l’inégalité est vraie pour n=1, 2, 3, 4, 5, 6 et 7.
On peut ensuite remarquer que pour tout entier n ≥ 8, on a , donc l’inégalité n’est plus vraie. Ainsi, l’ensemble des entiers n pour lesquels on a est {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
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