Les équations différentielles : corrigé des exercices en terminale

Exercices de mathématiques en terminale sur les équations différentielles.

Exercice 1 :

Résoudre les équations différentielles suivantes :

1. $y'+5y=3\,et\,y(0)=0.$

$y'e^{5x}+5ye^{5x}=3e^{5x}$

$(ye^{5x})'=3e^{5x}$

$ye^{5x}=\frac{3}{5}e^{5x}+k\,(k\in \mathbb{R})$

$y=\frac{3}{5}e^{5x}e^{-5x}+ke^{-5x}\,(k\in \mathbb{R})$

$y=\frac{3}{5}e^{0} +ke^{-5x}\,(k\in \mathbb{R})$

$y=\frac{3}{5} +ke^{-5x}\,(k\in \mathbb{R})$

or nous avons y(0) = 0.

$0=\frac{3}{5} +ke^{0}\,(k\in \mathbb{R})$

$k=-\frac{3}{5} \,(k\in \mathbb{R})$

Conclusion : $y=\frac{3}{5}-\frac{3}{5}e^{-5x}=\frac{3}{5}(1-e^{-5x})$

Exercice 2 :
Soit (E) l’équation différentielle et $(E_0)\,\,y'-2y=0.$

1. Vérifier que la fonction définie par est solution de (E) .

donc est solution de (E).

2. Résoudre l’équation différentielle (Eo) .

$y'e^{-2x}-2ye^{-2x}=0$

$(ye^{-2x})'=0$

$ye^{-2x}=k\,(k\in\mathbb{R})$

$y=ke^{2x}\,(k\in\mathbb{R})$

3. Montrer que u est solution de (E) $\Leftrightarrow u-u_0$ est solution de (Eo) .

à montrer……

4. En déduire les solutions de (E) .

Les solutions de (E) sont du type : $y=-e^x+ke^{2x}\,(k\in\mathbb{R})$

5. Déterminer la solution f de (E) qui s’annule en 1 .

$y(1)=0\Leftrightarrow -e^0+ke^{0}=1$

$y(1)=0\Leftrightarrow -1+k=1$

$y(1)=0\Leftrightarrow k=2$

donc

${\color{DarkRed} y=-e^x+2e^{2x} }$

Exercice 3 :
Déterminer la solution de 2y ‘ + y = 1 telle que y(1) = 2 .

Divisons par 2 chaque membre de cette équation.

$y'+\frac{1}{2}y=\frac{1}{2}$

$y'e^{\frac{1}{2}x}+\frac{1}{2}e^{\frac{1}{2}x}y=\frac{1}{2}e^{\frac{1}{2}x}$

$(ye^{\frac{1}{2}x} )'= (e^{\frac{1}{2}x} )'$

$ye^{\frac{1}{2}x} =e^{\frac{1}{2}x}+k\,(k\in\mathbb{R})$

$y =e^{\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}x}+ke^{-\frac{1}{2}x}\,(k\in\mathbb{R})$

$y =e^{0}+ke^{-\frac{1}{2}x}\,(k\in\mathbb{R})$

$y =1+ke^{-\frac{1}{2}x}\,(k\in\mathbb{R})$

or nous avons

$2=1+ke^{-\frac{1}{2}\times 1}$

$ke^{-\frac{1}{2}}=1$

$k=1e^{\frac{1}{2}}$

${\color{DarkRed} k=e^{\frac{1}{2}}}$

Conclusion :

$y =1+e^{\frac{1}{2}}e^{-\frac{1}{2}x}\,(k\in\mathbb{R})$

$y =1+e^{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}x}\,(k\in\mathbb{R})$

${\color{DarkRed} y =1+e^{\frac{1}{2} (1-x )}\,(k\in\mathbb{R}})$

Exercice 4 :
Déterminer la solution de 2y ‘ + y = 1 telle que y(1) = 2 .

Divisons par 2 chaque membre de cette équation.

$y'+\frac{1}{2}y=\frac{1}{2}$

$y'e^{\frac{1}{2}x}+\frac{1}{2}e^{\frac{1}{2}x}y=\frac{1}{2}e^{\frac{1}{2}x}$

$(ye^{\frac{1}{2}x} )'= (e^{\frac{1}{2}x} )'$

$ye^{\frac{1}{2}x} =e^{\frac{1}{2}x}+k\,(k\in\mathbb{R})$

$y =e^{\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}x}+ke^{-\frac{1}{2}x}\,(k\in\mathbb{R})$

$y =e^{0}+ke^{-\frac{1}{2}x}\,(k\in\mathbb{R})$

$y =1+ke^{-\frac{1}{2}x}\,(k\in\mathbb{R})$

or nous avons

$2=1+ke^{-\frac{1}{2}\times 1}$

$ke^{-\frac{1}{2}}=1$

$k=1e^{\frac{1}{2}}$

${\color{DarkRed} k=e^{\frac{1}{2}}}$

Conclusion :

$y =1+e^{\frac{1}{2}}e^{-\frac{1}{2}x}\,(k\in\mathbb{R})$

$y =1+e^{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}x}\,(k\in\mathbb{R})$

${\color{DarkRed} y =1+e^{\frac{1}{2} (1-x )}\,(k\in\mathbb{R}})$

Exercice 5 :

1. Résoudre l’équation différentielle(E) : y ‘ = – 2y .

$y'e^{2x}+2e^{2x}y=0$

$(ye^{2x} )'=0$

$ye^{2x} =k\,(k\in\mathbb{R})$

$y=ke^{-2x} \,(k\in\mathbb{R})$

2. En déduire la solution de (E) dont la courbe représentative admet, au point d’abscisse 0,
une tangente parallèle à la droite d’équation y = – 4x + 1.

cela signifie que y'(0)= – 4

$y'(0)=-2ke^{-2\times 0} =-4\,(k\in\mathbb{R})$

$k=\frac{-4}{-2}=2$

Conclusion : ${\color{DarkBlue} y=2e^{-2x}}$

Exercice 6 :

1. Résoudre l’équation différentielle (E) : y ‘ = 3y .

$y'e^{-3x}-3ye^{-3x}=0$

$(ye^{-3x} )'=0$

Il existe $k\in\mathbb{R}$ tel que :

$ye^{-3x}=k$

${\color{DarkRed} y=ke^{3x}}$

2. Déterminer la solution de (E) dont la courbe représentative passe par le point de coordonnées (2; 3).

$3=ke^{3\times 2}$

$3=ke^{6}$

${\color{DarkRed} k=3e^{-6}}$

Conclusion : la solution est $y=3e^{-6}e^{3x}={\color{DarkRed} 3e^{3x-6}}$

Exercice 7 :

1. L’équation différentielle donnée est .

C’est une équation différentielle du premier ordre à coefficients constants, homogène. On peut donc chercher une solution de la forme $y(t) = Ce^{rt}$ , avec et à déterminer.

En substituant cette forme dans l’équation différentielle, on a
$Ce^{rt}' = 3Ce^{rt}.$
En dérivant le terme de gauche, on obtient
$rCe^{rt} = 3Ce^{rt}.$
Comme $Ce^{rt}$ est différent de zéro, on peut diviser des deux côtés par $Ce^{rt}$ , ce qui donne . Ainsi, toutes les solutions de l’équation différentielle sont de la forme $y(t) = Ce^{3t}$ , où est une constante.

2. Pour déterminer la solution de l’équation différentielle (E) qui passe par le point , on utilise la condition initiale . On a donc

3 = Ce^{3\cdot 2} = 9C,

ce qui donne $C=\frac{1}{3}$ . Ainsi, la solution de (E) qui passe par le point est donnée par $y(t) = \frac{1}{3}e^{3t}$ .

Exercice 8 :

1.Résoudre sur $\mathbb{R}$ chacune des équations différentielles suivantes :

$y'=y\\4y'+y=0\\y'-3y=2$

2.On considère l’équation différentielle : .

Déterminer la solution de (E) sur $\mathbb{R}$ dont la courbe passe par le point A(0;3) dans un repère du plan.

Exercice 9 :

On considère l’équation différentielle $y'-2y=e^{2x} (E)$ .

1. Démontrer que la fonction u définie sur $\mathbb{R}$ par $u(x)=xe^{2x}$ est une solution de (E) .

2. Résoudre l’équation différentielle $y'-2y=0 \,\,(E_0)$ .

3. Démontrer qu’une fonction v définie sur $\mathbb{R}$ est solution de (E) si et seulement si v-u est solution de .

4. En déduire toutes les solutions de l’équation (E) .

5. Déterminer la fonction, solution de (E), qui prend la valeur 1 en 0 .

6. Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j}).$

Soit la fonction f définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(x+1)e^{2x}$ .

On note C la courbe représentative de f dans le repère $(O,\vec{i},\vec{j}).$

a. Etudier les variations de f puis dresser son tableau de variation .

b. Tracer C .

Exercice 10 :
On désigne par q(t) la température (exprimée en degré Celsius) d’un corps à l’instant t (exprimé en heure).

A l’instant t = 0 , ce corps dont la température est de 100 °C est placé dans une salle à 20 °C.

D’après la loi de refroidissement de Newton, la vitesse de refroidissement q ‘ (t) est
proportionnelle à la différence entre la température du corps et celle de la salle.

On suppose que le coefficient de refroidissement est – 2, 08 .

1. Justifier que q ‘ (t) = – 2 , 08q(t) + 41,6 .

q ‘ (t) est proportionnelle à la différence entre la température du corps et celle de la salle.

Il existe $k\in\mathbb{R}$ tel que

or le coefficient de proportionnalité k correspond au coefficient de refroidissement.

$q'(t)=-2,08\times q(t)+2,08\times 20$

${\color{DarkRed} q'(t)=-2,08\times q(t)+41,6}$

2. En déduire l’expression de q(t) .

$q'(t)e^{2,08t}+2,08\times q(t)e^{2,08t}=41,6e^{2,08t}$

$[q(t)e^{2,08t} ]'=41,6e^{2,08t}$

$[q(t)e^{2,08t} ]'= [\frac{41,6}{2,08}e^{2,08t} ]'$

Deux dérivées sont égales si et seulement si les fonctions sont égales à une constante près.

$q(t)e^{2,08t} =\frac{41,6}{2,08}e^{2,08t}+k\,(k\in\mathbb{R})$

$q(t) =\frac{41,6}{2,08}e^{2,08t}e^{-2,08t} +ke^{-2,08t} \,(k\in\mathbb{R})$

$q(t) =\frac{41,6}{2,08} +ke^{-2,08t} \,(k\in\mathbb{R})$ or q(0)=100

$q(0) =\frac{41,6}{2,08} +ke^{0}=100$
$\frac{41,6}{2,08} +k =100$

$k =100- \frac{41,6}{2,08}=80$

Conclusion : ${\color{DarkBlue} q(t) =20+80e^{-2,08t} }$

3. Déterminer le sens de variation de la fonction q sur $[0;+\infty[.$
q est strictement décroissante, la température va décroître.

4. Calculer la limite de q en $+\infty.$
Interpréter ce résultat.

$\lim_{t\mapsto +\infty}q(t)=20$ la température du corps va se stabiliser et prendre la température initiale de la salle.

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