Exercice 1 :
Résoudre les équations différentielles suivantes :
1. 
or nous avons y(0) = 0.
Conclusion :
Exercice 2 :
Soit (E) l’équation différentielle et
1. Vérifier que la fonction définie par est solution de (E) .
donc est solution de (E).
2. Résoudre l’équation différentielle (Eo) .
3. Montrer que u est solution de (E) est solution de (Eo) .
à montrer……
4. En déduire les solutions de (E) .
Les solutions de (E) sont du type :
5. Déterminer la solution f de (E) qui s’annule en 1 .
donc
Exercice 3 :
Déterminer la solution de 2y ‘ + y = 1 telle que y(1) = 2 .
Divisons par 2 chaque membre de cette équation.
or nous avons
Conclusion :
Exercice 4 :
Déterminer la solution de 2y ‘ + y = 1 telle que y(1) = 2 .
Divisons par 2 chaque membre de cette équation.
or nous avons
Conclusion :
Exercice 5 :
1. Résoudre l’équation différentielle(E) : y ‘ = – 2y .
2. En déduire la solution de (E) dont la courbe représentative admet, au point d’abscisse 0,
une tangente parallèle à la droite d’équation y = – 4x + 1.
cela signifie que y'(0)= – 4
Conclusion :
Exercice 6 :
1. Résoudre l’équation différentielle (E) : y ‘ = 3y .
Il existe tel que :
2. Déterminer la solution de (E) dont la courbe représentative passe par le point de coordonnées (2; 3).
Conclusion : la solution est
Exercice 7 :
1. L’équation différentielle donnée est .
C’est une équation différentielle du premier ordre à coefficients constants, homogène. On peut donc chercher une solution de la forme , avec et à déterminer.
En substituant cette forme dans l’équation différentielle, on a
En dérivant le terme de gauche, on obtient
Comme est différent de zéro, on peut diviser des deux côtés par , ce qui donne . Ainsi, toutes les solutions de l’équation différentielle sont de la forme , où est une constante.
2. Pour déterminer la solution de l’équation différentielle (E) qui passe par le point , on utilise la condition initiale . On a donc
3 = Ce^{3\cdot 2} = 9C,
ce qui donne . Ainsi, la solution de (E) qui passe par le point est donnée par .
Exercice 8 :
1.Résoudre sur chacune des équations différentielles suivantes :
2.On considère l’équation différentielle : .
Déterminer la solution de (E) sur dont la courbe passe par le point A(0;3) dans un repère du plan.
Exercice 9 :
On considère l’équation différentielle .
1. Démontrer que la fonction u définie sur par est une solution de (E) .
2. Résoudre l’équation différentielle .
3. Démontrer qu’une fonction v définie sur est solution de (E) si et seulement si v-u est solution de .
4. En déduire toutes les solutions de l’équation (E) .
5. Déterminer la fonction, solution de (E), qui prend la valeur 1 en 0 .
6. Le plan est muni d’un repère orthonormé
Soit la fonction f définie sur par .
On note C la courbe représentative de f dans le repère
a. Etudier les variations de f puis dresser son tableau de variation .
b. Tracer C .
Exercice 10 :
On désigne par q(t) la température (exprimée en degré Celsius) d’un corps à l’instant t (exprimé en heure).
A l’instant t = 0 , ce corps dont la température est de 100 °C est placé dans une salle à 20 °C.
D’après la loi de refroidissement de Newton, la vitesse de refroidissement q ‘ (t) est
proportionnelle à la différence entre la température du corps et celle de la salle.
On suppose que le coefficient de refroidissement est – 2, 08 .
1. Justifier que q ‘ (t) = – 2 , 08q(t) + 41,6 .
q ‘ (t) est proportionnelle à la différence entre la température du corps et celle de la salle.
Il existe tel que
or le coefficient de proportionnalité k correspond au coefficient de refroidissement.
2. En déduire l’expression de q(t) .
Deux dérivées sont égales si et seulement si les fonctions sont égales à une constante près.
or q(0)=100
Conclusion :
3. Déterminer le sens de variation de la fonction q sur
q est strictement décroissante, la température va décroître.
4. Calculer la limite de q en
Interpréter ce résultat.
la température du corps va se stabiliser et prendre la température initiale de la salle.
