Corrigé des exercices de maths

Les équations différentielles : corrigé des exercices de maths en terminale en PDF.


Exercices de mathématiques en terminale  sur les équations différentielles.

Exercice 1 :

Résoudre les équations différentielles suivantes :

1. y'+5y=3\,et\,y(0)=0.

y'e^{5x}+5ye^{5x}=3e^{5x}

(ye^{5x})'=3e^{5x}

ye^{5x}=\frac{3}{5}e^{5x}+k\,(k\in \mathbb{R})

y=\frac{3}{5}e^{5x}e^{-5x}+ke^{-5x}\,(k\in \mathbb{R})

y=\frac{3}{5}e^{0} +ke^{-5x}\,(k\in \mathbb{R})

y=\frac{3}{5} +ke^{-5x}\,(k\in \mathbb{R})

or nous avons y(0) = 0.

0=\frac{3}{5} +ke^{0}\,(k\in \mathbb{R})

k=-\frac{3}{5} \,(k\in \mathbb{R})

Conclusion :  y=\frac{3}{5}-\frac{3}{5}e^{-5x}=\frac{3}{5}(1-e^{-5x})

Exercice 2 :
Soit (E) l’équation différentielle y'-2y=e^x et (E_0)\,\,y'-2y=0.

1. Vérifier que la fonction définie par u_0(x)=-e^x est solution de (E) .

(-e^x)'-2(-e^x)=-e^x+2e^x=e^x

donc  u_0 est solution de (E).

2. Résoudre l’équation différentielle (Eo) .

y'-2y=0

y'e^{-2x}-2ye^{-2x}=0

(ye^{-2x})'=0

ye^{-2x}=k\,(k\in\mathbb{R})

y=ke^{2x}\,(k\in\mathbb{R})

3. Montrer que u est solution de (E) \Leftrightarrow u-u_0 est solution de (Eo) .

à montrer……

4. En déduire les solutions de (E) .

Les solutions de (E) sont du type : y=-e^x+ke^{2x}\,(k\in\mathbb{R})

5. Déterminer la solution f de (E) qui s’annule en 1 .

y(1)=0\Leftrightarrow -e^0+ke^{0}=1

y(1)=0\Leftrightarrow -1+k=1

y(1)=0\Leftrightarrow k=2

donc

{\color{DarkRed} y=-e^x+2e^{2x} }

Exercice 3 :
Déterminer la solution de 2y ‘ + y = 1 telle que y(1) = 2 .

2y'+y=1

Divisons par 2 chaque membre de cette équation.

y'+\frac{1}{2}y=\frac{1}{2}

y'e^{\frac{1}{2}x}+\frac{1}{2}e^{\frac{1}{2}x}y=\frac{1}{2}e^{\frac{1}{2}x}

 (ye^{\frac{1}{2}x}  )'= (e^{\frac{1}{2}x}  )'

ye^{\frac{1}{2}x} =e^{\frac{1}{2}x}+k\,(k\in\mathbb{R})

y =e^{\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}x}+ke^{-\frac{1}{2}x}\,(k\in\mathbb{R})

y =e^{0}+ke^{-\frac{1}{2}x}\,(k\in\mathbb{R})

y =1+ke^{-\frac{1}{2}x}\,(k\in\mathbb{R})

or nous avons y (1)=2

2=1+ke^{-\frac{1}{2}\times   1}

ke^{-\frac{1}{2}}=1

k=1e^{\frac{1}{2}}

{\color{DarkRed} k=e^{\frac{1}{2}}}

Conclusion :

y =1+e^{\frac{1}{2}}e^{-\frac{1}{2}x}\,(k\in\mathbb{R})

y =1+e^{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}x}\,(k\in\mathbb{R})

{\color{DarkRed} y =1+e^{\frac{1}{2} (1-x  )}\,(k\in\mathbb{R}})

Exercice 4 :
Déterminer la solution de 2y ‘ + y = 1 telle que y(1) = 2 .

2y'+y=1

Divisons par 2 chaque membre de cette équation.

y'+\frac{1}{2}y=\frac{1}{2}

y'e^{\frac{1}{2}x}+\frac{1}{2}e^{\frac{1}{2}x}y=\frac{1}{2}e^{\frac{1}{2}x}

 (ye^{\frac{1}{2}x}  )'= (e^{\frac{1}{2}x}  )'

ye^{\frac{1}{2}x} =e^{\frac{1}{2}x}+k\,(k\in\mathbb{R})

y =e^{\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}x}+ke^{-\frac{1}{2}x}\,(k\in\mathbb{R})

y =e^{0}+ke^{-\frac{1}{2}x}\,(k\in\mathbb{R})

y =1+ke^{-\frac{1}{2}x}\,(k\in\mathbb{R})

or nous avons y (1)=2

2=1+ke^{-\frac{1}{2}\times   1}

ke^{-\frac{1}{2}}=1

k=1e^{\frac{1}{2}}

{\color{DarkRed} k=e^{\frac{1}{2}}}

Conclusion :

y =1+e^{\frac{1}{2}}e^{-\frac{1}{2}x}\,(k\in\mathbb{R})

y =1+e^{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}x}\,(k\in\mathbb{R})

{\color{DarkRed} y =1+e^{\frac{1}{2} (1-x  )}\,(k\in\mathbb{R}})

Exercice 5 :

1. Résoudre l’équation différentielle(E) : y ‘  = –  2y .
y'+2y=0

y'e^{2x}+2e^{2x}y=0

 (ye^{2x}  )'=0

ye^{2x} =k\,(k\in\mathbb{R})

y=ke^{-2x} \,(k\in\mathbb{R})

2. En déduire la solution de (E) dont la courbe représentative admet, au point d’abscisse 0,
une tangente parallèle à la droite d’équation y = – 4x + 1.

cela signifie que y'(0)= – 4

y'(0)=-2ke^{-2\times   0} =-4\,(k\in\mathbb{R})

-2k=-4

k=\frac{-4}{-2}=2

Conclusion : {\color{DarkBlue} y=2e^{-2x}}

Exercice 6 :

1. Résoudre l’équation différentielle (E) : y ‘ = 3y .
y'-3y=0

y'e^{-3x}-3ye^{-3x}=0

 (ye^{-3x} )'=0

Il existe k\in\mathbb{R} tel que :

ye^{-3x}=k

{\color{DarkRed} y=ke^{3x}}

2. Déterminer la solution de (E) dont la courbe représentative passe par le point de coordonnées (2; 3).

3=ke^{3\times   2}

3=ke^{6}

{\color{DarkRed} k=3e^{-6}}

Conclusion : la solution est y=3e^{-6}e^{3x}={\color{DarkRed} 3e^{3x-6}}

Exercice 7 :

1. L’équation différentielle donnée est y' = 3y.

C’est une équation différentielle du premier ordre à coefficients constants, homogène. On peut donc chercher une solution de la forme y(t) = Ce^{rt}, avec C et r à déterminer.

En substituant cette forme dans l’équation différentielle, on a
 Ce^{rt}' = 3Ce^{rt}.
En dérivant le terme de gauche, on obtient
 rCe^{rt} = 3Ce^{rt}.
Comme Ce^{rt} est différent de zéro, on peut diviser des deux côtés par Ce^{rt}, ce qui donne r = 3. Ainsi, toutes les solutions de l’équation différentielle sont de la forme y(t) = Ce^{3t}, où C est une constante.

2. Pour déterminer la solution de l’équation différentielle (E) qui passe par le point (2,3), on utilise la condition initiale y(2) = 3. On a donc

3 = Ce^{3\cdot 2} = 9C,

ce qui donne C=\frac{1}{3}. Ainsi, la solution de (E) qui passe par le point (2,3) est donnée par y(t) = \frac{1}{3}e^{3t}.

Exercice 8 :

1.Résoudre sur \mathbb{R} chacune des équations différentielles suivantes :

y'=y\\4y'+y=0\\y'-3y=2

2.On considère l’équation différentielle : (E):y'=2y+1).

Déterminer la solution de (E) sur \mathbb{R} dont la courbe passe par le point A(0;3)  dans un repère du plan.

Exercice 9 :

On considère l’équation différentielle  y'-2y=e^{2x} (E) .

1. Démontrer que la fonction u définie sur \mathbb{R} par u(x)=xe^{2x} est une solution de (E) .

2. Résoudre l’équation différentielle  y'-2y=0 \,\,(E_0) .

3. Démontrer qu’une fonction v définie sur  \mathbb{R} est solution de (E) si et seulement si v-u est solution de  (E_0) .

4. En déduire toutes les solutions de l’équation (E) .

5. Déterminer la fonction, solution de (E), qui prend la valeur 1 en 0 .

6. Le plan est muni d’un repère orthonormé  (O,\vec{i},\vec{j}).

Soit la fonction f définie sur  \mathbb{R} par  f(x)=(x+1)e^{2x}.

On note C la courbe représentative de f dans le repère  (O,\vec{i},\vec{j}).

a. Etudier les variations de f puis dresser son tableau de variation .

b. Tracer C .

Exercice 10 :
On désigne par q(t) la température (exprimée en degré Celsius) d’un corps à l’instant t (exprimé en heure).

A l’instant t = 0 ,  ce corps dont la température est de 100 °C est placé dans une salle à 20 °C.

D’après la loi de refroidissement de Newton, la vitesse de refroidissement q ‘ (t) est
proportionnelle à la différence entre la température du corps et celle de la salle.

On suppose que le coefficient de refroidissement est – 2, 08 .

1. Justifier que q ‘ (t) = – 2 , 08q(t) + 41,6 .

q ‘ (t) est proportionnelle à la différence entre la température du corps et celle de la salle.

Il existe k\in\mathbb{R} tel que q'(t)=k(q(t)-20)

or le coefficient de proportionnalité k correspond au coefficient de refroidissement.

q'(t)=-2,08(q(t)-20)

q'(t)=-2,08\times   q(t)+2,08\times   20

{\color{DarkRed} q'(t)=-2,08\times   q(t)+41,6}

2. En déduire l’expression de q(t) .

q'(t)e^{2,08t}+2,08\times   q(t)e^{2,08t}=41,6e^{2,08t}

 [q(t)e^{2,08t}  ]'=41,6e^{2,08t}

 [q(t)e^{2,08t}  ]'= [\frac{41,6}{2,08}e^{2,08t}  ]'

Deux dérivées sont égales si et seulement si les fonctions sont égales à une constante près.

q(t)e^{2,08t} =\frac{41,6}{2,08}e^{2,08t}+k\,(k\in\mathbb{R})

q(t) =\frac{41,6}{2,08}e^{2,08t}e^{-2,08t} +ke^{-2,08t} \,(k\in\mathbb{R})

q(t) =\frac{41,6}{2,08} +ke^{-2,08t} \,(k\in\mathbb{R}) or q(0)=100

q(0) =\frac{41,6}{2,08} +ke^{0}=100
\frac{41,6}{2,08} +k =100

k =100- \frac{41,6}{2,08}=80

Conclusion :  {\color{DarkBlue} q(t) =20+80e^{-2,08t} }

3. Déterminer le sens de variation de la fonction q sur [0;+\infty[.
q est strictement décroissante, la température va décroître.

4. Calculer la limite de q en +\infty.
Interpréter ce résultat.

\lim_{t\mapsto   +\infty}q(t)=20  la température du corps va se stabiliser et prendre la température initiale de la salle.

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