Bac maths 2022 Mayotte-Liban J1 : sujet et corrigé

Voici le sujet 1 du bac de spécialité mathématiques 2022 de Mayotte, du Liban et de Madagascar (centres étrangers, groupe 1), posé le 18 mai 2022, suivi d’un corrigé détaillé de chaque question sur cette même page. On y suit d’abord les forfaits JUNIOR et SENIOR d’une station de ski et leur option coupe-file : arbre pondéré, probabilité conditionnelle, puis loi binomiale sur 30 skieurs. Un QCM mêle un récipient d’eau qui s’évapore, des propriétés du logarithme, des asymptotes, une tangente et un point d’inflexion. Le troisième exercice étudie \(1+x-\text{e}^{0{,}5x-2}\) et la suite récurrente associée, avec une fonction Python de seuil. Le dernier construit dans l’espace trois plans médiateurs pour trouver le centre et le rayon d’une sphère.

Ce sujet fait partie des annales que nous rassemblons pour préparer le bac de maths 2027 : tous les sujets de spécialité y sont classés par session.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2022
Mathématiques — Sujet 1 (jour 1)
Centres étrangers groupe 1 (Afrique du Sud, Bulgarie, Comores, Djibouti, Kenya, Liban, Lituanie, Madagascar, Mayotte, Mozambique et Ukraine) — 18 mai 2022
Durée de l’épreuve : 4 heures

Le sujet propose 4 exercices.

Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 exercices et ne doit traiter que ces 3 exercices.

Chaque exercice est noté sur 6 points (le total sera ramené sur 20 points). (Chaque exercice est noté sur 7 points au Liban.)

La clarté et la précision de l’argumentation ainsi que la qualité de la rédaction sont notées sur 2 points.

Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront prises en compte.

Exercice 1 (6 points)

Principaux domaines abordés : Probabilités

Dans une station de ski, il existe deux types de forfait selon l’âge du skieur :

un forfait JUNIOR pour les personnes de moins de 25 ans ;
un forfait SENIOR pour les autres.

Par ailleurs, un usager peut choisir, en plus du forfait correspondant à son âge l’option coupe-file qui permet d’écourter le temps d’attente aux remontées mécaniques.

On admet que :

20 % des skieurs ont un forfait JUNIOR ;
80 % des skieurs ont un forfait SENIOR ;
parmi les skieurs ayant un forfait JUNIOR, 6 % choisissent l’option coupe-file ;
parmi les skieurs ayant un forfait SENIOR, 12,5 % choisissent l’option coupe-file.

On interroge un skieur au hasard et on considère les évènements :

\(J\) : « le skieur a un forfait JUNIOR » ;
\(C\) : « le skieur choisit l’option coupe-file ».

Les deux parties peuvent être traitées de manière indépendante

Partie A

1. Traduire la situation par un arbre pondéré.

2. Calculer la probabilité \(P(J\cap C)\).

3. Démontrer que la probabilité que le skieur choisisse l’option coupe-file est égale à \(0{,}112\).

4. Le skieur a choisi l’option coupe-file. Quelle est la probabilité qu’il s’agisse d’un skieur ayant un forfait SENIOR ? Arrondir le résultat à \(10^{-3}\).

5. Est-il vrai que les personnes de moins de vingt-cinq ans représentent moins de 15 % des skieurs ayant choisi l’option coupe-file ? Expliquer.

Partie B

On rappelle que la probabilité qu’un skieur choisisse l’option coupe-file est égale à 0,112.

On considère un échantillon de 30 skieurs choisis au hasard.

Soit \(X\) la variable aléatoire qui compte le nombre des skieurs de l’échantillon ayant choisi l’option coupe-file.

1. On admet que la variable aléatoire \(X\) suit une loi binomiale.

Donner les paramètres de cette loi.

2. Calculer la probabilité qu’au moins un des 30 skieurs ait choisi l’option coupe-file. Arrondir le résultat à \(10^{-3}\).

3. Calculer la probabilité qu’au plus un des 30 skieurs ait choisi l’option coupe-file. Arrondir le résultat à \(10^{-3}\).

4. Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoire \(X\).

Exercice 2 (6 points)

Principaux domaines abordés : Suites ; Fonctions, Fonction logarithme.

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

1. Un récipient contenant initialement 1 litre d’eau est laissé au soleil.

Toutes les heures, le volume d’eau diminue de 15 %.

Au bout de quel nombre entier d’heures le volume d’eau devient-il inférieur à un quart de litre ?

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
2 heures	8 heures	9 heures	13 heures

2. On considère la fonction \(f\) définie sur l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\) par \(f(x)=4\ln(3x)\).

Pour tout réel \(x\) de l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\), on a :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\(f(2x)=f(x)+\ln(24)\)	\(f(2x)=f(x)+\ln(16)\)	\(f(2x)=\ln(2)+f(x)\)	\(f(2x)=2f(x)\)

3. On considère la fonction \(g\) définie sur l’intervalle \(]1\,;\,+\infty[\) par :

\[g(x)=\dfrac{\ln(x)}{x-1}.\]

On note \(\mathcal{C}_g\) la courbe représentative de la fonction \(g\) dans un repère orthogonal. La courbe \(\mathcal{C}_g\) admet :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
une asymptote verticale et une asymptote horizontale.	une asymptote verticale et aucune asymptote horizontale.	aucune asymptote verticale et une asymptote horizontale.	aucune asymptote verticale et aucune asymptote horizontale.

Dans la suite de l’exercice, on considère la fonction \(h\) définie sur l’intervalle \(]0\,;\,2]\) par :

\[h(x)=x^2[1+2\ln(x)].\]

On note \(\mathcal{C}_h\) la courbe représentative de \(h\) dans un repère du plan.

On admet que \(h\) est deux fois dérivable sur l’intervalle \(]0\,;\,2]\).

On note \(h^{\prime}\) sa dérivée et \(h^{\prime\prime}\) sa dérivée seconde.

On admet que, pour tout réel \(x\) de l’intervalle \(]0\,;\,2]\), on a :

\[h^{\prime}(x)=4x(1+\ln(x)).\]

4. Sur l’intervalle \(]\dfrac{1}{\text{e}}\,;\,2]\), la fonction \(h\) s’annule :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
exactement 0 fois.	exactement 1 fois.	exactement 2 fois.	exactement 3 fois.

5. Une équation de la tangente à \(\mathcal{C}_h\) au point d’abscisse \(\sqrt{\text{e}}\) est :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\(y=(6\text{e}^{\frac{1}{2}})\cdot x\)	\(y=(6\sqrt{\text{e}})\cdot x+2\text{e}\)	\(y=6\text{e}^{\frac{x}{2}}\)	\(y=(6\text{e}^{\frac{1}{2}})\cdot x-4\text{e}\)

6. Sur l’intervalle \(]0\,;\,2]\), le nombre de points d’inflexion de la courbe \(\mathcal{C}_h\) est égal à :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
0	1	2	3

7. (Question posée uniquement au Liban.) On considère la suite \((u_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par

\[u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n+3\quad\text{et}\quad u_0=6.\]

On peut affirmer que :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
la suite \((u_n)\) est strictement croissante.	la suite \((u_n)\) est strictement décroissante.	la suite \((u_n)\) n’est pas monotone.	la suite \((u_n)\) est constante.

Exercice 3 (6 points)

Principaux domaines abordés : Suites ; Fonctions, Fonction exponentielle.

Partie A

On considère la fonction \(f\) définie pour tout réel \(x\) par :

\[f(x)=1+x-\text{e}^{0{,}5x-2}.\]

On admet que la fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\). On note \(f^{\prime}\) sa dérivée.

1. a. Déterminer la limite de la fonction \(f\) en \(-\infty\).

b. Démontrer que, pour tout réel \(x\) non nul, \(f(x)=1+0{,}5x(2-\dfrac{\text{e}^{0{,}5x}}{0{,}5x}\times \text{e}^{-2})\).

En déduire la limite de la fonction \(f\) en \(+\infty\).

2. a. Déterminer \(f^{\prime}(x)\) pour tout réel \(x\).

b. Démontrer que l’ensemble des solutions de l’inéquation \(f^{\prime}(x)\lt 0\) est l’intervalle \(]4+2\ln(2)\,;\,+\infty[\).

3. Déduire des questions précédentes le tableau de variation de la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\). On fera figurer la valeur exacte de l’image de \(4+2\ln(2)\) par \(f\).

4. Montrer que l’équation \(f(x)=0\) admet une unique solution sur l’intervalle \([-1\,;\,0]\).

Partie B

On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=0\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=f(u_n)\) où \(f\) est la fonction définie à la partie A.

1. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), on a :

\[u_n\leq\, u_{n+1}\leq\, 4.\]

b. En déduire que la suite \((u_n)\) converge. On notera \(\ell\) la limite.

2. a. On rappelle que \(f\) vérifie la relation \(\ell=f(\ell)\).

Démontrer que \(\ell=4\).

b. On considère la fonction valeur écrite ci-dessous dans le langage Python :

def valeur (a) :
    u = 0
    n = 0
    while u <= a:
        u=1 + u - exp(0.5*u - 2)
        n = n+1
    return n

L’instruction valeur(3.99) renvoie la valeur 12.

Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.

Exercice 4 (6 points)

Principaux domaines abordés : Géométrie dans l’espace

L’espace est muni d’un repère orthonormé \((\text{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k})\).

On considère les points A\((5\,;\,0\,;\,-1)\), B\((1\,;\,4\,;\,-1)\), C\((1\,;\,0\,;\,3)\), D\((5\,;\,4\,;\,3)\) et E\((10\,;\,9\,;\,8)\).

1. a. Soit R le milieu du segment [AB].

Calculer les coordonnées du point R ainsi que les coordonnées du vecteur \(\vec{\text{AB}}\).

b. Soit \(\mathcal{P}_1\) le plan passant par le point R et dont \(\vec{\text{AB}}\) est un vecteur normal. Démontrer qu’une équation cartésienne du plan \(\mathcal{P}_1\) est :

\[x-y-1=0.\]

c. Démontrer que le point E appartient au plan \(\mathcal{P}_1\) et que EA = EB.

2. On considère le plan \(\mathcal{P}_2\) d’équation cartésienne \(x-z-2=0\).

a. Justifier que les plans \(\mathcal{P}_1\) et \(\mathcal{P}_2\) sont sécants.

b. On note \(\Delta\) la droite d’intersection de \(\mathcal{P}_1\) et \(\mathcal{P}_2\).

Démontrer qu’une représentation paramétrique de la droite \(\Delta\) est :

\[\{\begin{array}{l}x=2+t\\y=1+t\\z=t\end{array}.\quad(t\in\mathbb{R}).\]

3. On considère le plan \(\mathcal{P}_3\) d’équation cartésienne \(y+z-3=0\).

Justifier que la droite \(\Delta\) est sécante au plan \(\mathcal{P}_3\) en un point \(\Omega\) dont on déterminera les coordonnées.

Si S et T sont deux points distincts de l’espace, on rappelle que l’ensemble des points M de l’espace tels que MS = MT est un plan, appelé plan médiateur du segment [ST]. On admet que les plans \(\mathcal{P}_1\), \(\mathcal{P}_2\) et \(\mathcal{P}_3\) sont les plans médiateurs respectifs des segments [AB], [AC] et [AD].

4. a. Justifier que \(\Omega\text{A}=\Omega\text{B}=\Omega\text{C}=\Omega\text{D}\).

b. En déduire que les points A, B, C et D appartiennent à une même sphère dont on précisera le centre et le rayon.

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

Partie A

1. Le premier niveau de l’arbre sépare \(J\) (probabilité 0,2) et \(\overline{J}\) (forfait SENIOR, probabilité 0,8). Le second niveau porte les probabilités conditionnelles de choisir le coupe-file : \(P_J(C)=0{,}06\), donc \(P_J(\overline{C})=0{,}94\) ; \(P_{\overline{J}}(C)=0{,}125\), donc \(P_{\overline{J}}(\overline{C})=0{,}875\).

2. On suit la branche \(J\) puis \(C\) et on multiplie les probabilités rencontrées :

\[P(J\cap C)=P(J)\times P_J(C)=0{,}2\times 0{,}06=0{,}012.\]

Donc \(P(J\cap C)=0{,}012\).

3. Les évènements \(J\) et \(\overline{J}\) forment une partition de l’univers. D’après la formule des probabilités totales :

\[P(C)=P(J\cap C)+P(\overline{J}\cap C)=0{,}012+0{,}8\times 0{,}125=0{,}012+0{,}1=0{,}112.\]

La probabilité qu’un skieur choisisse l’option coupe-file est bien 0,112.

4. On cherche la probabilité conditionnelle \(P_C(\overline{J})\) :

\[P_C(\overline{J})=\dfrac{P(\overline{J}\cap C)}{P(C)}=\dfrac{0{,}1}{0{,}112}\approx 0{,}8929.\]

Sachant qu’il a pris le coupe-file, la probabilité que le skieur ait un forfait SENIOR est d’environ 0,893.

5. La proportion de moins de 25 ans parmi les skieurs ayant pris le coupe-file est \(P_C(J)=\dfrac{P(J\cap C)}{P(C)}=\dfrac{0{,}012}{0{,}112}\approx 0{,}107\) (c’est aussi \(1-P_C(\overline{J})\)). Cela représente environ 10,7 %, ce qui est inférieur à 15 % : l’affirmation est vraie.

Partie B

1. On répète 30 fois, de façon supposée indépendante, la même épreuve à deux issues : le skieur a pris le coupe-file (succès, de probabilité 0,112) ou non. \(X\) compte les succès : \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n=30\) et \(p=0{,}112\).

2. L’évènement « au moins un skieur a pris le coupe-file » est le contraire de « aucun ne l’a pris » :

\[P(X\geq\, 1)=1-P(X=0)=1-(1-0{,}112)^{30}=1-0{,}888^{30}\approx 1-0{,}0283\approx 0{,}972.\]

La probabilité cherchée vaut environ 0,972.

3. « Au plus un » signifie \(X=0\) ou \(X=1\) :

\[P(X\leq\, 1)=P(X=0)+P(X=1)=0{,}888^{30}+\binom\,{30}{1}\times 0{,}112\times 0{,}888^{29}\approx 0{,}0283+0{,}1072\approx 0{,}136.\]

La probabilité qu’au plus un skieur ait pris le coupe-file est d’environ 0,136.

4. Pour une loi binomiale, \(E(X)=np=30\times 0{,}112=\) 3,36. Sur un grand nombre d’échantillons de 30 skieurs, on compte en moyenne 3,36 skieurs ayant choisi l’option coupe-file.

Exercice 2 :

1. Diminuer de 15 % revient à multiplier par 0,85. Au bout de \(n\) heures, le volume vaut \(0{,}85^n\) litre. On résout \(0{,}85^n\lt 0{,}25\) en appliquant la fonction \(\ln\), strictement croissante :

\[n\ln(0{,}85)\lt\ln(0{,}25)\iff n\gt\dfrac{\ln(0{,}25)}{\ln(0{,}85)}\approx 8{,}53\]

(le sens change car \(\ln(0{,}85)\lt 0\)). Le plus petit entier qui convient est 9 ; on vérifie : \(0{,}85^8\approx 0{,}272\) et \(0{,}85^9\approx 0{,}232\). Réponse c.

2. Pour \(x\gt 0\), \(f(2x)=4\ln(6x)=4[\ln(2)+\ln(3x)]=4\ln(2)+4\ln(3x)=\ln(2^4)+f(x)=f(x)+\ln(16)\). Réponse b.

3. En 1 : on reconnaît un taux d’accroissement, car \(\ln(1)=0\) : \(g(x)=\dfrac{\ln(x)-\ln(1)}{x-1}\). Sa limite quand \(x\) tend vers 1 est le nombre dérivé de \(\ln\) en 1, soit \(\dfrac{1}{1}=1\). La limite est finie : pas d’asymptote verticale.

En \(+\infty\) : \(g(x)=\dfrac{\ln(x)}{x}\times \dfrac{x}{x-1}\). Par croissance comparée, \(\dfrac{\ln(x)}{x}\) tend vers 0, et \(\dfrac{x}{x-1}\) tend vers 1 ; donc \(g(x)\) tend vers 0 : la droite d’équation \(y=0\) est asymptote horizontale. Réponse c.

4. Sur \(]\dfrac{1}{\text{e}}\,;\,2]\), on a \(x\gt\text{e}^{-1}\), donc \(\ln(x)\gt -1\), \(1+\ln(x)\gt 0\) et \(h^{\prime}(x)=4x(1+\ln(x))\gt 0\) : \(h\) est strictement croissante et continue sur cet intervalle. Or \(h(\dfrac{1}{\text{e}})=\text{e}^{-2}(1-2)=-\text{e}^{-2}\lt 0\) et \(h(2)=4(1+2\ln(2))\gt 0\). D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, \(h\) s’annule une seule fois sur l’intervalle (en \(x=\text{e}^{-\frac{1}{2}}\approx 0{,}607\), solution de \(1+2\ln(x)=0\)). Réponse b.

5. On a \(h(\sqrt{\text{e}})=\text{e}(1+2\times \dfrac{1}{2})=2\text{e}\) et \(h^{\prime}(\sqrt{\text{e}})=4\sqrt{\text{e}}(1+\dfrac{1}{2})=6\sqrt{\text{e}}\). La tangente a pour équation :

\[y=6\sqrt{\text{e}}(x-\sqrt{\text{e}})+2\text{e}=6\sqrt{\text{e}}\,x-6\text{e}+2\text{e}=6\text{e}^{\frac{1}{2}}x-4\text{e}.\]

Réponse d.

6. On dérive \(h^{\prime}(x)=4x+4x\ln(x)\) : \(h^{\prime\prime}(x)=4+4\ln(x)+4x\times \dfrac{1}{x}=8+4\ln(x)=4(2+\ln(x))\). Cette expression est négative pour \(x\lt\text{e}^{-2}\), nulle en \(\text{e}^{-2}\approx 0{,}135\) et positive ensuite. \(h^{\prime\prime}\) s’annule en changeant de signe une seule fois sur \(]0\,;\,2]\) : la courbe a un seul point d’inflexion. Réponse b.

7. On calcule \(u_1=\dfrac{1}{2}\times 6+3=6=u_0\). Par une récurrence immédiate, si \(u_n=6\) alors \(u_{n+1}=3+3=6\) : tous les termes valent 6 (6 est le point fixe de \(x\mapsto \dfrac{1}{2}x+3\)). Réponse d.

Question	1	2	3	4	5	6	7
Réponse	c	b	c	b	d	b	d

Exercice 3 :

Partie A

1. a. Quand \(x\) tend vers \(-\infty\), \(0{,}5x-2\) tend vers \(-\infty\), donc \(\text{e}^{0{,}5x-2}\) tend vers 0 (limite de l’exponentielle en \(-\infty\)). Comme \(1+x\) tend vers \(-\infty\), par somme \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\).

b. Pour \(x\neq 0\), on développe le membre de droite :

\[1+0{,}5x\times 2-0{,}5x\times \dfrac{\text{e}^{0{,}5x}}{0{,}5x}\times \text{e}^{-2}=1+x-\text{e}^{0{,}5x}\times \text{e}^{-2}=1+x-\text{e}^{0{,}5x-2}=f(x).\]

On pose \(X=0{,}5x\) : quand \(x\) tend vers \(+\infty\), \(X\) aussi, et par croissance comparée \(\dfrac{\text{e}^{X}}{X}\) tend vers \(+\infty\). Donc \(2-\dfrac{\text{e}^{0{,}5x}}{0{,}5x}\times \text{e}^{-2}\) tend vers \(-\infty\) (car \(\text{e}^{-2}\gt 0\)). Comme \(0{,}5x\) tend vers \(+\infty\), par produit la parenthèse multipliée par \(0{,}5x\) tend vers \(-\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty\).

2. a. La dérivée de \(x\mapsto \text{e}^{0{,}5x-2}\) est \(x\mapsto 0{,}5\,\text{e}^{0{,}5x-2}\) (forme \(u^{\prime}\text{e}^u\)). Donc, pour tout réel \(x\), \(f^{\prime}(x)=1-0{,}5\,\text{e}^{0{,}5x-2}\).

b. On résout, en utilisant la stricte croissance de la fonction \(\ln\) :

\[f^{\prime}(x)\lt 0\iff 0{,}5\,\text{e}^{0{,}5x-2}\gt 1\iff\text{e}^{0{,}5x-2}\gt 2\iff 0{,}5x-2\gt\ln(2)\iff x\gt 4+2\ln(2).\]

L’ensemble des solutions est bien \(]4+2\ln(2)\,;\,+\infty[\). De même, \(f^{\prime}(x)\gt 0\) pour \(x\lt 4+2\ln(2)\) et \(f^{\prime}\) s’annule en \(4+2\ln(2)\).

3. \(f\) est donc croissante sur \(]-\infty\,;\,4+2\ln(2)]\) et décroissante sur \([4+2\ln(2)\,;\,+\infty[\). Son maximum vaut, puisque \(0{,}5(4+2\ln(2))-2=\ln(2)\) :

\[f(4+2\ln(2))=1+4+2\ln(2)-\text{e}^{\ln(2)}=5+2\ln(2)-2=3+2\ln(2)\approx 4{,}39.\]

\(x\)	\(-\infty\)		\(4+2\ln(2)\)		\(+\infty\)
signe de \(f^{\prime}(x)\)		\(+\)	\(0\)	\(-\)
variations de \(f\)	\(-\infty\)	\(\nearrow\)	\(3+2\ln(2)\)	\(\searrow\)	\(-\infty\)

4. L’intervalle \([-1\,;\,0]\) est contenu dans \(]-\infty\,;\,4+2\ln(2)]\), où \(f\) est strictement croissante ; \(f\) y est aussi continue (car dérivable). On calcule :

\[f(-1)=1-1-\text{e}^{-0{,}5-2}=-\text{e}^{-2{,}5}\lt 0\qquad\text{et}\qquad f(0)=1-\text{e}^{-2}\approx 0{,}865\gt 0.\]

0 est compris entre \(f(-1)\) et \(f(0)\). D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (fonction continue et strictement monotone), l’équation \(f(x)=0\) admet une unique solution sur \([-1\,;\,0]\).

Partie B

1. a. Notons \(P(n)\) la propriété « \(u_n\leq\, u_{n+1}\leq\, 4\) ».

Initialisation. \(u_0=0\) et \(u_1=f(0)=1-\text{e}^{-2}\approx 0{,}865\). On a bien \(0\leq\, 0{,}865\leq\, 4\) : \(P(0)\) est vraie.

Hérédité. Supposons \(u_n\leq\, u_{n+1}\leq\, 4\) pour un entier \(n\). Les trois nombres \(u_n\), \(u_{n+1}\) et 4 sont dans \(]-\infty\,;\,4+2\ln(2)]\), intervalle sur lequel \(f\) est croissante : elle conserve donc l’ordre, et \(f(u_n)\leq\, f(u_{n+1})\leq\, f(4)\). Or \(f(4)=1+4-\text{e}^{0}=4\). On obtient \(u_{n+1}\leq\, u_{n+2}\leq\, 4\) : \(P(n+1)\) est vraie.

Conclusion. Par récurrence, \(u_n\leq\, u_{n+1}\leq\, 4\) pour tout entier naturel \(n\).

b. La suite \((u_n)\) est croissante (\(u_n\leq\, u_{n+1}\)) et majorée par 4. D’après le théorème de convergence monotone, elle converge vers un réel \(\ell\leq\, 4\).

2. a. On résout l’équation \(\ell=f(\ell)\) :

\[\ell=1+\ell-\text{e}^{0{,}5\ell-2}\iff\text{e}^{0{,}5\ell-2}=1\iff 0{,}5\ell-2=0\iff\ell=4.\]

L’équation n’a qu’une solution, donc \(\ell=4\).

b. La fonction part de \(u=u_0=0\) et \(n=0\), puis calcule les termes successifs \(u_1,u_2,\dots\) tant que le terme obtenu est inférieur ou égal à \(a\), en comptant les étapes dans \(n\). Elle renvoie donc le premier indice \(n\) pour lequel \(u_n\gt a\). Le résultat 12 signifie que \(u_{11}\leq\, 3{,}99\) et \(u_{12}\gt 3{,}99\) (numériquement \(u_{11}\approx 3{,}9855\) et \(u_{12}\approx 3{,}9927\)). Comme la suite est croissante, à partir du rang 12 tous les termes sont dans \(]3{,}99\,;\,4]\) : ils approchent la limite 4 à moins de 0,01 près.

Exercice 4 :

1. a. Le milieu R a pour coordonnées les moyennes des coordonnées de A et B : \((\dfrac{5+1}{2}\,;\,\dfrac{0+4}{2}\,;\,\dfrac{-1-1}{2})\), soit R\((3\,;\,2\,;\,-1)\). Et \(\vec{\text{AB}}\begin{pmatrix}1-5\\4-0\\-1-(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\4\\0\end{pmatrix}\).

b. Un plan de vecteur normal \(\vec{\text{AB}}\) a une équation de la forme \(-4x+4y+0z+d=0\). Il passe par R, donc \(-4\times 3+4\times 2+d=0\), soit \(d=4\). Une équation de \(\mathcal{P}_1\) est \(-4x+4y+4=0\) ; en divisant par \(-4\), on obtient \(x-y-1=0\).

c. Pour E : \(10-9-1=0\), donc E appartient à \(\mathcal{P}_1\). Ensuite \(\vec{\text{EA}}\begin{pmatrix}-5\\-9\\-9\end{pmatrix}\) et \(\vec{\text{EB}}\begin{pmatrix}-9\\-5\\-9\end{pmatrix}\), donc \(\text{EA}^2=25+81+81=187\) et \(\text{EB}^2=81+25+81=187\). Les distances étant positives, EA = EB \(=\sqrt{187}\).

2. a. Un vecteur normal à \(\mathcal{P}_1\) est \(\vec{n_1}\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}\) et un vecteur normal à \(\mathcal{P}_2\) est \(\vec{n_2}\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\). Ces vecteurs ne sont pas colinéaires (la troisième coordonnée de \(\vec{n_1}\) est nulle, pas celle de \(\vec{n_2}\)). Les plans ne sont donc pas parallèles : ils sont sécants selon une droite.

b. Soit M\((2+t\,;\,1+t\,;\,t)\) un point de la droite proposée. Il vérifie l’équation de \(\mathcal{P}_1\) : \((2+t)-(1+t)-1=0\), et celle de \(\mathcal{P}_2\) : \((2+t)-t-2=0\). La droite proposée est donc contenue dans les deux plans, c’est-à-dire dans leur intersection \(\Delta\). Comme \(\Delta\) est une droite, les deux droites sont confondues : le système donné est une représentation paramétrique de \(\Delta\).

3. Un vecteur directeur de \(\Delta\) est \(\vec{v}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\) et un vecteur normal à \(\mathcal{P}_3\) est \(\vec{n_3}\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\). Comme \(\vec{v}\cdot\vec{n_3}=0+1+1=2\neq 0\), la droite n’est pas parallèle au plan : elle le coupe en un point. On remplace dans l’équation de \(\mathcal{P}_3\) :

\[(1+t)+t-3=0\iff 2t=2\iff t=1.\]

Le point d’intersection est \(\Omega(3\,;\,2\,;\,1)\).

4. a. \(\Omega\) appartient à \(\Delta\), donc à \(\mathcal{P}_1\) et \(\mathcal{P}_2\), et il appartient à \(\mathcal{P}_3\). Comme \(\mathcal{P}_1\) est le plan médiateur de [AB], \(\Omega\text{A}=\Omega\text{B}\) ; comme \(\mathcal{P}_2\) est celui de [AC], \(\Omega\text{A}=\Omega\text{C}\) ; comme \(\mathcal{P}_3\) est celui de [AD], \(\Omega\text{A}=\Omega\text{D}\). Donc \(\Omega\text{A}=\Omega\text{B}=\Omega\text{C}=\Omega\text{D}\).

b. Les quatre points sont à la même distance \(\Omega\text{A}\) de \(\Omega\). Avec \(\vec{\Omega\text{A}}\begin{pmatrix}2\\-2\\-2\end{pmatrix}\), on trouve \(\Omega\text{A}=\sqrt{4+4+4}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\). On peut contrôler avec \(\vec{\Omega\text{D}}\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}\) : même longueur. Ainsi A, B, C et D appartiennent à la sphère de centre \(\Omega(3\,;\,2\,;\,1)\) et de rayon \(2\sqrt{3}\).

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