Bac de maths 2022 en Polynésie (jour 1) : sujet et corrigé

Ce sujet fait partie des annales que nous rassemblons pour préparer le bac de maths 2027 : tous les sujets de spécialité y sont classés par session.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2022
Mathématiques — Sujet 1
Polynésie — 4 mai 2022
Durée de l’épreuve : 4 heures

L’usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.
Le sujet propose 4 exercices.
Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 et ne doit traiter que ces 3 exercices.

Exercice 1 (7 points)

Thèmes : fonctions, suites

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des six questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.

Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.

Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

1. On considère la fonction \(g\) définie et dérivable sur \(]0~;~+\infty[\) par :

\[g(x) = \ln(x^2 + x + 1).\]

Pour tout nombre réel \(x\) strictement positif :

2. La fonction \(x \longmapsto \ln(x)\) admet pour primitive sur \(]0~;~+\infty[\) la fonction :

3. On considère la suite \((a_n)\) définie pour tout \(n\) dans \(\mathbb{N}\) par :

\[a_n = \dfrac{1 – 3^n}{1 + 2^n}.\]

La limite de la suite \((a_n)\) est égale à :

4. On considère une fonction \(f\) définie et dérivable sur \([-2~;~2]\). Le tableau de variations de la fonction \(f^{\prime}\) dérivée de la fonction \(f\) sur l’intervalle \([-2~;~2]\) est donné par :

La fonction \(f\) est :

5. On donne ci-dessus la courbe représentative de la dérivée \(f^{\prime}\) d’une fonction \(f\) définie sur l’intervalle \([-2~;~4]\).

Par lecture graphique de la courbe de \(f^{\prime}\), déterminer l’affirmation correcte pour \(f\) :

6. Une action est cotée à 57 €. Sa valeur augmente de 3 % tous les mois.

La fonction python seuil() qui renvoie le nombre de mois à attendre pour que sa valeur dépasse 200 € est :

Réponse a.

def seuil() :
    m=0
    v=57
    while v < 200 :
        m=m+1
        v = v*1.03
    return m

Réponse b.

def seuil() :
    m=0
    v=57
    while v > 200 :
        m=m+1
        v = v*1.03
    return m

Réponse c.

def seuil() :
    v=57
    for i in range (200) :
        v = v*1.03
    return v

Réponse d.

def seuil() :
    m=0
    v=57
    if v < 200 :
        m=m+1
    else :
        v = v*1.03
    return m

Exercice 2 (7 points)

Thèmes : probabilités

Selon les autorités sanitaires d’un pays, 7 % des habitants sont affectés par une certaine maladie.

Dans ce pays, un test est mis au point pour détecter cette maladie. Ce test a les caractéristiques suivantes :

• Pour les individus malades, le test donne un résultat négatif dans 20 % des cas ;
• Pour les individus sains, le test donne un résultat positif dans 1 % des cas.

Une personne est choisie au hasard dans la population et testée.

On considère les évènements suivants :

• \(M\) « la personne est malade » ;
• \(T\) « le test est positif ».

1. Calculer la probabilité de l’évènement \(M \cap T\). On pourra s’appuyer sur un arbre pondéré.

2. Démontrer que la probabilité que le test de la personne choisie au hasard soit positif, est de \(0{,}0653\).

3. Dans un contexte de dépistage de la maladie, est-il plus pertinent de connaître \(P_M(T)\) ou \(P_T(M)\) ?

4. On considère dans cette question que la personne choisie au hasard a eu un test positif.

Quelle est la probabilité qu’elle soit malade ? On arrondira le résultat à \(10^{-2}\) près.

5. On choisit des personnes au hasard dans la population. La taille de la population de ce pays permet d’assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise.

On note \(X\) la variable aléatoire qui donne le nombre d’individus ayant un test positif parmi les 10 personnes.

a. Préciser la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par \(X\).

b. Déterminer la probabilité pour qu’exactement deux personnes aient un test positif. On arrondira le résultat à \(10^{-2}\) près.

6. Déterminer le nombre minimum de personnes à tester dans ce pays pour que la probabilité qu’au moins l’une d’entre elle ait un test positif, soit supérieur à 99 %.

Exercice 3 (7 points)

Thèmes : suites

Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_0 = 1\) et pour tout entier naturel \(n\)

\[u_{n+1} = \dfrac{u_n}{1 + u_n}\]

1. a. Calculer les termes \(u_1\), \(u_2\) et \(u_3\). On donnera les résultats sous forme de fractions irréductibles.

b. Recopier le script python ci-dessous et compléter les lignes 3 et 6 pour que liste(\(k\)) prenne en paramètre un entier naturel \(k\) et renvoie la liste des premières valeurs de la suite \((u_n)\) de \(u_0\) à \(u_k\).

1.  def liste(k) :
2.      L = []
3.      u = ...
4.      for i in range(0, k+1) :
5.          L.append(u)
6.          u = ...
7.      return(L)

2. On admet que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n\) est strictement positif.

Déterminer le sens de variation de la suite \((u_n)\).

3. En déduire que la suite \((u_n)\) converge.

4. Déterminer la valeur de sa limite.

5. a. Conjecturer une expression de \(u_n\) en fonction de \(n\).

b. Démontrer par récurrence la conjecture précédente.

Exercice 4 (7 points)

Thèmes : géométrie dans le plan et dans l’espace

L’espace est rapporté un repère orthonormal où l’on considère :

• les points \(\text{A}(2~;~-1~;~0)\), \(\text{B}(1~;~0~;~-3)\), \(\text{C}(6~;~6~;~1)\) et \(\text{E}(1~;~2~;~4)\) ;
• Le plan \(\mathcal{P}\) d’équation cartésienne \(2x – y – z + 4 = 0\).

1. a. Démontrer que le triangle ABC est rectangle en A.

b. Calculer le produit scalaire \(\vec{\text{BA}} \cdot \vec{\text{BC}}\) puis les longueurs BA et BC.

c. En déduire la mesure en degrés de l’angle \(\widehat{\text{ABC}}\) arrondie au degré.

2. a. Démontrer que le plan \(\mathcal{P}\) est parallèle au plan ABC.

b. En déduire une équation cartésienne du plan ABC.

c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite \(\mathcal{D}\) orthogonale au plan ABC et passant par le point E.

d. Démontrer que le projeté orthogonal H du point E sur le plan ABC a pour coordonnées \((4~;~\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{5}{2})\).

3. On rappelle que le volume d’une pyramide est donné par \(\mathcal{V} = \dfrac{1}{3}\mathcal{B}h\) où \(\mathcal{B}\) désigne l’aire d’une base et \(h\) la hauteur de la pyramide associée à cette base.

Calculer l’aire du triangle ABC puis démontrer que le volume de la pyramide ABCE est égal à \(16{,}5\) unités de volume.

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

1. Réponse d. La fonction \(g\) est de la forme \(\ln(u)\) avec \(u(x) = x^2 + x + 1\), strictement positive sur \(]0~;~+\infty[\). On applique la formule \((\ln u)^{\prime} = \dfrac{u^{\prime}}{u}\) avec \(u^{\prime}(x) = 2x + 1\), ce qui donne \(g^{\prime}(x) = \dfrac{2x + 1}{x^2 + x + 1}\). La réponse b oublie le facteur \(u^{\prime}(x)\), et les réponses a et c ne correspondent à aucune règle de dérivation.

2. Réponse c. Pour vérifier qu’une fonction est une primitive de \(\ln\), on la dérive. Avec \(G(x) = x\ln(x) – x\), la dérivée du produit \(x\ln(x)\) vaut \(1 \times \ln(x) + x \times \dfrac{1}{x} = \ln(x) + 1\), donc \(G^{\prime}(x) = \ln(x) + 1 – 1 = \ln(x)\). Les autres propositions ne conviennent pas : la dérivée de \(\ln\) est \(\dfrac{1}{x}\), celle de \(\dfrac{1}{x}\) est \(-\dfrac{1}{x^2}\), et celle de \(\dfrac{\ln(x)}{x}\) est \(\dfrac{1 – \ln(x)}{x^2}\).

3. Réponse a. Le numérateur et le dénominateur tendent tous deux vers l’infini : on factorise par les termes dominants. Pour tout \(n\) :

\[a_n = \dfrac{3^n(\dfrac{1}{3^n} – 1)}{2^n(\dfrac{1}{2^n} + 1)} = (\dfrac{3}{2})^n \times \dfrac{\dfrac{1}{3^n} – 1}{\dfrac{1}{2^n} + 1}.\]

Comme \(\dfrac{1}{3^n}\) et \(\dfrac{1}{2^n}\) tendent vers 0, la fraction de droite tend vers \(\dfrac{-1}{1} = -1\). Comme \(\dfrac{3}{2} \gt 1\), \((\dfrac{3}{2})^n\) tend vers \(+\infty\). Par produit, \(\lim\limits_{n \to +\infty} a_n = -\infty\).

4. Réponse d. Une fonction est concave sur un intervalle où sa dérivée est décroissante, convexe là où sa dérivée est croissante. D’après le tableau, \(f^{\prime}\) est décroissante sur \([-2~;~0]\) (de 1 à \(-2\)) puis croissante sur \([0~;~2]\) (de \(-2\) à \(-1\)). Donc \(f\) est concave sur \([-2~;~0]\) et convexe sur \([0~;~2]\). La proposition a est fausse (\(f\) est concave sur \([-2~;~-1]\)), b aussi (\(f\) est convexe sur \([0~;~1]\)), et c aussi puisque \(f^{\prime}\) n’est pas croissante sur \([-1~;~2]\).

5. Réponse c. Les variations de \(f\) se lisent sur le signe de \(f^{\prime}\), c’est-à-dire la position de la courbe par rapport à l’axe des abscisses. On lit : \(f^{\prime}(x) \geq\, 0\) sur \([-1~;~1]\), \(f^{\prime}(x) \leq\, 0\) sur \([1~;~3]\) et \(f^{\prime}(x) \geq\, 0\) sur \([3~;~4]\). Sur \([0~;~2]\), \(f\) est donc croissante sur \([0~;~1]\) puis décroissante sur \([1~;~2]\) : elle admet un maximum en 1. La proposition a est fausse (\(f\) croît sur \([0~;~1]\)), b aussi (\(f^{\prime}\) est positive sur \([-1~;~0]\)), et en 3 la dérivée passe du négatif au positif : \(f\) y admet un minimum et non un maximum, ce qui élimine d.

6. Réponse a. Il faut répéter la hausse de 3 % (multiplication par 1,03) et compter les mois tant que la valeur n’a pas atteint 200 € : c’est exactement la boucle while v < 200 de la réponse a, qui renvoie le compteur m. Avec la réponse b, la condition \(57 \gt 200\) est fausse dès le départ : la boucle ne s’exécute jamais et la fonction renvoie 0. La réponse c renvoie une valeur (le cours après 200 mois) et non un nombre de mois. La réponse d ne contient aucune boucle : elle renvoie 1. Pour information, la fonction a renvoie 43 : la valeur de l’action dépasse 200 € au bout de 43 mois.

Exercice 2 :

1. Traduisons l’énoncé en probabilités : \(P(M) = 0{,}07\), donc \(P(\overline{M}) = 0{,}93\). Chez les malades, le test est négatif dans 20 % des cas, donc positif dans 80 % des cas : \(P_M(T) = 0{,}8\) et \(P_M(\overline{T}) = 0{,}2\). Chez les personnes saines : \(P_{\overline{M}}(T) = 0{,}01\) et \(P_{\overline{M}}(\overline{T}) = 0{,}99\).

La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités portées par ses branches :

\[P(M \cap T) = P(M) \times P_M(T) = 0{,}07 \times 0{,}8 = 0{,}056.\]

Donc \(P(M \cap T) = 0{,}056\).

2. Les évènements \(M\) et \(\overline{M}\) forment une partition de l’univers. D’après la formule des probabilités totales :

\[P(T) = P(M \cap T) + P(\overline{M} \cap T) = 0{,}056 + 0{,}93 \times 0{,}01 = 0{,}056 + 0{,}0093 = 0{,}0653.\]

On retrouve bien \(P(T) = 0{,}0653\).

3. \(P_M(T)\) mesure la capacité du test à repérer les malades : c’est une caractéristique du test, déjà connue (0,8). Mais dans un dépistage, on connaît le résultat du test et pas l’état de santé : la question qui se pose à une personne testée positive est « quelle est la probabilité que je sois réellement malade ? ». C’est donc \(P_T(M)\) qu’il est plus pertinent de connaître.

4. On calcule la probabilité conditionnelle :

\[P_T(M) = \dfrac{P(M \cap T)}{P(T)} = \dfrac{0{,}056}{0{,}0653} \approx 0{,}8576.\]

Une personne dont le test est positif est malade avec une probabilité d’environ 0,86. Autrement dit, environ 14 % des tests positifs concernent des personnes saines.

5. a. Pour chacune des 10 personnes, on observe une épreuve de Bernoulli dont le succès est « le test est positif », de probabilité \(p = P(T) = 0{,}0653\). Le prélèvement étant assimilé à un tirage avec remise, les 10 épreuves sont identiques et indépendantes. \(X\) compte le nombre de succès : \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n = 10\) et \(p = 0{,}0653\).

b. D’après la formule de la loi binomiale :

\[P(X = 2) = \binom\,{10}{2} \times 0{,}0653^2 \times (1 – 0{,}0653)^8 = 45 \times 0{,}0653^2 \times 0{,}9347^8 \approx 0{,}1118.\]

La probabilité qu’exactement deux personnes aient un test positif est d’environ 0,11.

6. Pour \(n\) personnes testées, le nombre de tests positifs suit la loi binomiale de paramètres \(n\) et \(0{,}0653\). L’évènement « au moins un test positif » est le contraire de « aucun test positif », dont la probabilité est \(0{,}9347^n\). On cherche donc le plus petit entier \(n\) tel que :

\[1 – 0{,}9347^n \gt 0{,}99 \iff 0{,}9347^n \lt 0{,}01.\]

La fonction \(\ln\) étant strictement croissante sur \(]0~;~+\infty[\), cette inégalité équivaut à \(n\ln(0{,}9347) \lt \ln(0{,}01)\). Comme \(\ln(0{,}9347) \lt 0\), diviser par ce nombre change le sens de l’inégalité :

\[n \gt \dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}9347)} \approx 68{,}19.\]

Contrôle : \(1 – 0{,}9347^{68} \approx 0{,}9899\), inférieur à 0,99, et \(1 – 0{,}9347^{69} \approx 0{,}9905\), supérieur à 0,99. Il faut donc tester au minimum 69 personnes.

Exercice 3 :

1. a. On applique la relation de récurrence de proche en proche :

\[u_1 = \dfrac{1}{1 + 1} = \dfrac{1}{2}, \qquad u_2 = \dfrac{\dfrac{1}{2}}{1 + \dfrac{1}{2}} = \dfrac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{3}{2}} = \dfrac{1}{3}, \qquad u_3 = \dfrac{\dfrac{1}{3}}{1 + \dfrac{1}{3}} = \dfrac{\dfrac{1}{3}}{\dfrac{4}{3}} = \dfrac{1}{4}.\]

Donc \(u_1 = \dfrac{1}{2}\), \(u_2 = \dfrac{1}{3}\) et \(u_3 = \dfrac{1}{4}\).

b. La variable u doit d’abord recevoir le premier terme \(u_0 = 1\) (ligne 3). Dans la boucle, après avoir ajouté la valeur courante à la liste, on la remplace par le terme suivant, calculé avec la relation de récurrence (ligne 6). La boucle tourne \(k + 1\) fois, ce qui range bien \(u_0, u_1, \ldots, u_k\) dans la liste. Le script complété est :

1.  def liste(k) :
2.      L = []
3.      u = 1
4.      for i in range(0, k+1) :
5.          L.append(u)
6.          u = u/(1+u)
7.      return(L)

2. Étudions le signe de la différence de deux termes consécutifs. Pour tout entier naturel \(n\) :

\[u_{n+1} – u_n = \dfrac{u_n}{1 + u_n} – u_n = \dfrac{u_n – u_n(1 + u_n)}{1 + u_n} = \dfrac{-u_n^2}{1 + u_n}.\]

Comme \(u_n \gt 0\), le numérateur \(-u_n^2\) est strictement négatif et le dénominateur \(1 + u_n\) strictement positif. Donc \(u_{n+1} – u_n \lt 0\) pour tout \(n\) : la suite \((u_n)\) est strictement décroissante.

3. La suite \((u_n)\) est décroissante (question 2) et minorée par 0 puisque tous ses termes sont strictement positifs. D’après le théorème de convergence monotone, la suite \((u_n)\) converge.

4. Notons \(\ell\) la limite. Comme \(u_n \gt 0\) pour tout \(n\), on a \(\ell \geq\, 0\). La fonction \(h : x \longmapsto \dfrac{x}{1 + x}\) est continue sur \([0~;~+\infty[\) et \(u_{n+1} = h(u_n)\) ; en passant à la limite, on obtient \(\ell = h(\ell)\), c’est-à-dire :

\[\ell = \dfrac{\ell}{1 + \ell} \iff \ell(1 + \ell) = \ell \iff \ell^2 = 0 \iff \ell = 0.\]

La suite \((u_n)\) a pour limite 0.

5. a. Les premiers termes sont \(u_0 = 1 = \dfrac{1}{1}\), \(u_1 = \dfrac{1}{2}\), \(u_2 = \dfrac{1}{3}\), \(u_3 = \dfrac{1}{4}\) : le dénominateur vaut à chaque fois le rang augmenté de 1. On conjecture que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n = \dfrac{1}{n + 1}\).

b. Notons \(P(n)\) la propriété « \(u_n = \dfrac{1}{n + 1}\) ».

Initialisation. \(u_0 = 1\) et \(\dfrac{1}{0 + 1} = 1\) : \(P(0)\) est vraie.

Hérédité. Soit \(n\) un entier naturel tel que \(P(n)\) est vraie, c’est-à-dire \(u_n = \dfrac{1}{n + 1}\). Alors \(1 + u_n = \dfrac{n + 1 + 1}{n + 1} = \dfrac{n + 2}{n + 1}\), et :

\[u_{n+1} = \dfrac{u_n}{1 + u_n} = \dfrac{1}{n + 1} \times \dfrac{n + 1}{n + 2} = \dfrac{1}{n + 2} = \dfrac{1}{(n + 1) + 1}.\]

La propriété \(P(n + 1)\) est donc vraie.

Conclusion. La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire ; par le principe de récurrence, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n = \dfrac{1}{n + 1}\). On retrouve au passage que la limite de la suite est 0.

Exercice 4 :

1. a. On calcule les coordonnées des vecteurs issus de A : \(\vec{\text{AB}}\begin{pmatrix}1 – 2\\0 – (-1)\\-3 – 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\1\\-3\end{pmatrix}\) et \(\vec{\text{AC}}\begin{pmatrix}6 – 2\\6 – (-1)\\1 – 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\7\\1\end{pmatrix}\). Le repère étant orthonormé :

\[\vec{\text{AB}} \cdot \vec{\text{AC}} = (-1) \times 4 + 1 \times 7 + (-3) \times 1 = -4 + 7 – 3 = 0.\]

Les vecteurs \(\vec{\text{AB}}\) et \(\vec{\text{AC}}\), non nuls, sont orthogonaux : le triangle ABC est rectangle en A.

b. On a \(\vec{\text{BA}}\begin{pmatrix}1\\-1\\3\end{pmatrix}\) et \(\vec{\text{BC}}\begin{pmatrix}5\\6\\4\end{pmatrix}\), donc :

\[\vec{\text{BA}} \cdot \vec{\text{BC}} = 1 \times 5 + (-1) \times 6 + 3 \times 4 = 5 – 6 + 12 = 11.\]

\[\text{BA} = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 3^2} = \sqrt{11} \qquad \text{et} \qquad \text{BC} = \sqrt{5^2 + 6^2 + 4^2} = \sqrt{77}.\]

Ainsi \(\vec{\text{BA}} \cdot \vec{\text{BC}} = 11\), \(\text{BA} = \sqrt{11}\) et \(\text{BC} = \sqrt{77}\).

c. Le produit scalaire s’écrit aussi \(\vec{\text{BA}} \cdot \vec{\text{BC}} = \text{BA} \times \text{BC} \times \cos\widehat{\text{ABC}}\). Donc :

\[\cos\widehat{\text{ABC}} = \dfrac{11}{\sqrt{11} \times \sqrt{77}} = \dfrac{11}{\sqrt{847}} = \dfrac{11}{11\sqrt{7}} = \dfrac{1}{\sqrt{7}}.\]

À la calculatrice, \(\widehat{\text{ABC}} = \arccos(\dfrac{1}{\sqrt{7}}) \approx 67{,}8^\circ\), soit \(\widehat{\text{ABC}} \approx 68^\circ\) au degré près. (Vérification : dans le triangle rectangle en A, \(\cos\widehat{\text{ABC}} = \dfrac{\text{AB}}{\text{BC}} = \dfrac{\sqrt{11}}{\sqrt{77}} = \dfrac{1}{\sqrt{7}}\).)

2. a. D’après son équation, le plan \(\mathcal{P}\) admet pour vecteur normal \(\vec{n}\begin{pmatrix}2\\-1\\-1\end{pmatrix}\). Calculons :

\[\vec{n} \cdot \vec{\text{AB}} = 2 \times (-1) + (-1) \times 1 + (-1) \times (-3) = -2 – 1 + 3 = 0 \quad \text{et} \quad \vec{n} \cdot \vec{\text{AC}} = 2 \times 4 + (-1) \times 7 + (-1) \times 1 = 8 – 7 – 1 = 0.\]

Les vecteurs \(\vec{\text{AB}}\) et \(\vec{\text{AC}}\) ne sont pas colinéaires (ils sont orthogonaux et non nuls) : ils dirigent le plan ABC. Le vecteur \(\vec{n}\) leur est orthogonal, il est donc normal au plan ABC. Les plans \(\mathcal{P}\) et ABC ont un vecteur normal commun : ils sont parallèles. (Ils sont même distincts, car A n’est pas dans \(\mathcal{P}\) : \(2 \times 2 – (-1) – 0 + 4 = 9 \neq 0\).)

b. Le plan ABC, de vecteur normal \(\vec{n}\), a une équation de la forme \(2x – y – z + d = 0\). Il contient \(\text{A}(2~;~-1~;~0)\), donc \(4 + 1 – 0 + d = 0\), soit \(d = -5\). Une équation cartésienne du plan ABC est \(2x – y – z – 5 = 0\). On peut contrôler avec B : \(2 – 0 + 3 – 5 = 0\), et avec C : \(12 – 6 – 1 – 5 = 0\).

c. La droite \(\mathcal{D}\) est orthogonale au plan ABC : elle est dirigée par le vecteur normal \(\vec{n}\begin{pmatrix}2\\-1\\-1\end{pmatrix}\). Comme elle passe par \(\text{E}(1~;~2~;~4)\), une représentation paramétrique de \(\mathcal{D}\) est :

\[\{\begin{array}{l} x = 1 + 2t \\ y = 2 – t \\ z = 4 – t \end{array}. ,\ t \in \mathbb{R}.\]

d. Le projeté orthogonal H de E sur le plan ABC est le point d’intersection de la droite \(\mathcal{D}\) avec ce plan. On injecte la représentation paramétrique dans l’équation du plan :

\[2(1 + 2t) – (2 – t) – (4 – t) – 5 = 0 \iff 2 + 4t – 2 + t – 4 + t – 5 = 0 \iff 6t – 9 = 0 \iff t = \dfrac{3}{2}.\]

Pour \(t = \dfrac{3}{2}\) : \(x = 1 + 3 = 4\), \(y = 2 – \dfrac{3}{2} = \dfrac{1}{2}\) et \(z = 4 – \dfrac{3}{2} = \dfrac{5}{2}\). Donc \(\text{H}(4~;~\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{5}{2})\).

3. Le triangle ABC est rectangle en A, donc son aire vaut la moitié du produit des côtés de l’angle droit. On a \(\text{AB} = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + (-3)^2} = \sqrt{11}\) et \(\text{AC} = \sqrt{4^2 + 7^2 + 1^2} = \sqrt{66}\), d’où :

\[\mathcal{B} = \dfrac{\text{AB} \times \text{AC}}{2} = \dfrac{\sqrt{11} \times \sqrt{66}}{2} = \dfrac{\sqrt{726}}{2} = \dfrac{11\sqrt{6}}{2}.\]

L’aire du triangle ABC est \(\dfrac{11\sqrt{6}}{2}\) unités d’aire (environ 13,47).

On prend ABC comme base de la pyramide ABCE. La hauteur associée est la distance de E au plan ABC, c’est-à-dire la longueur EH, puisque H est le projeté orthogonal de E sur ce plan. Avec \(\vec{\text{EH}}\begin{pmatrix}3\\-\dfrac{3}{2}\\-\dfrac{3}{2}\end{pmatrix}\) :

\[\text{EH} = \sqrt{9 + \dfrac{9}{4} + \dfrac{9}{4}} = \sqrt{\dfrac{27}{2}} = \sqrt{\dfrac{54}{4}} = \dfrac{3\sqrt{6}}{2}.\]

On en déduit le volume :

\[\mathcal{V} = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{11\sqrt{6}}{2} \times \dfrac{3\sqrt{6}}{2} = \dfrac{11 \times 3 \times 6}{3 \times 4} = \dfrac{66}{4} = 16{,}5.\]

Le volume de la pyramide ABCE est bien 16,5 unités de volume.

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