Bac de maths 2025 en Amérique du Sud (jour 2) : sujet et corrigé

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BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2025
Mathématiques — Jour 2
Amérique du Sud — 14 novembre 2025
Durée de l’épreuve : 4 heures

Exercice 1 (6 points)

Dans cet exercice, tous les résultats seront arrondis à \(10^{-3}\) près en cas de besoin.

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes l’une de l’autre.

Partie A

Au tennis, le joueur qui est au service peut, en cas d’échec lors du premier service, servir une deuxième balle.

En match, Abel réussit son premier service dans 70 % des cas. Lorsque le premier service est réussi, il gagne le point dans 80 % des cas.

En revanche, après un échec à son premier service, Abel gagne le point dans 45 % des cas.

Abel est au service.

On considère les évènements suivants :

• \(S\) : « Abel réussit son premier service »
• \(G\) : « Abel gagne le point ».

1. Décrire l’évènement \(S\) puis traduire la situation par un arbre pondéré.

2. Calculer \(P(S \cap G)\).

3. Justifier que la probabilité de l’évènement \(G\) est égale à \(0{,}695\).

4. Abel a gagné le point. Quelle est la probabilité qu’il ait réussi son premier service ?

5. Les évènements \(S\) et \(G\) sont-ils indépendants ? Justifier.

Partie B

À la sortie d’une usine de fabrication de balles de tennis, une balle est jugée conforme dans 85 % des cas.

1. On teste successivement 20 balles. On considère que le nombre de balles est suffisamment grand pour assimiler ces tests à un tirage avec remise. On note \(X\) la variable aléatoire qui compte le nombre de balles conformes parmi les 20 testées.

a. Quelle est la loi suivie par \(X\) et quels sont ses paramètres ? Justifier.

b. Calculer \(P(X \leq\, 18)\).

c. Quelle est la probabilité qu’au moins deux balles ne soient pas conformes parmi les 20 balles testées ?

d. Déterminer l’espérance de \(X\).

2. On teste maintenant \(n\) balles successivement. On considère les \(n\) tests comme un échantillon de \(n\) variables aléatoires \(X\) indépendantes suivant la loi de Bernoulli de paramètre \(0{,}85\).

On considère la variable aléatoire

\[M_n = \displaystyle\sum_{i=1}^n \dfrac{X_i}{n} = \dfrac{X_1}{n} + \dfrac{X_2}{n} + \dfrac{X_3}{n} + \ldots + \dfrac{X_n}{n}\]

a. Déterminer l’espérance et la variance de \(M_n\).

b. Après avoir rappelé l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que, pour tout entier naturel \(n\), \(P(0{,}75 \lt M_n \lt 0{,}95) \geq\, 1 – \dfrac{12{,}75}{n}\).

c. En déduire un entier \(n\) tel que la moyenne du nombre de balles conformes pour un échantillon de taille \(n\) appartienne à l’intervalle \(]0{,}75~;~0{,}95[\) avec une probabilité supérieure à \(0{,}9\).

Exercice 2 (4 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Pour chaque question, une seule des trois propositions est exacte.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la proposition choisie.

Aucune justification n’est demandée.

Pour chaque question, une réponse exacte rapporte un point.

Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point.

Dans toutes les questions suivantes, l’espace est rapporté à un repère orthonormé.

1. On considère la droite \(\Delta_1\) de représentation paramétrique \(\{\begin{array}{l}x = 1 – 3t\\ y = 4 + 2t\\ z = t\end{array}.\), où \(t \in \mathbb{R}\) ainsi que la droite \(\Delta_2\) de représentation paramétrique \(\{\begin{array}{l}x = -4 + s\\ y = 2 + 2s\\ z = -1 + s\end{array}.\), où \(s \in \mathbb{R}\).

a. Les droites \(\Delta_1\) et \(\Delta_2\) sont parallèles.

b. Les droites \(\Delta_1\) et \(\Delta_2\) sont orthogonales.

c. Les droites \(\Delta_1\) et \(\Delta_2\) sont sécantes.

2. On considère la droite \(d\) de représentation paramétrique \(\{\begin{array}{l}x = 1 + t\\ y = 3 – t\\ z = 1 + 2t\end{array}.\), où \(t \in \mathbb{R}\), et le plan \(P\) d’équation cartésienne : \(4x + 2y – z + 3 = 0\).

a. La droite \(d\) est incluse dans le plan \(P\).

b. La droite \(d\) est parallèle strictement au plan \(P\).

c. La droite \(d\) est sécante au plan \(P\).

3. On considère les points \(\text{A}(3~;~2~;~1)\), \(\text{B}(7~;~3~;~1)\), \(\text{C}(-1~;~4~;~5)\) et \(\text{D}(-3~;~3~;~5)\).

a. Les points A, B, C et D ne sont pas coplanaires.

b. Les points A, B et C sont alignés.

c. \(\vec{\text{AB}}\) et \(\vec{\text{CD}}\) sont colinéaires.

4. On considère les plans \(Q\) et \(Q^{\prime}\) d’équation cartésienne respective \(3x – 2y + z + 1 = 0\) et \(4x + y – z + 3 = 0\).

a. Le point \(\text{R}(1~;~1~;~-2)\) appartient aux deux plans.

b. Les deux plans sont orthogonaux.

c. Les deux plans sont sécants avec pour intersection la droite de représentation paramétrique \(\{\begin{array}{l}x = t\\ y = 7t + 4\\ z = 11t + 7\end{array}.\), où \(t \in \mathbb{R}\).

Exercice 3 (4 points)

On considère les suites \((v_n)\) et \((w_n)\) définies pour tout entier naturel \(n\) par :

\[\{\begin{array}{l}v_0 = \ln(4)\\ v_{n+1} = \ln(-1 + 2\text{e}^{v_n})\end{array}. \qquad \text{et} \qquad w_n = -1 + \text{e}^{v_n}.\]

On admet que la suite \((v_n)\) est bien définie et strictement positive.

1. Donner les valeurs exactes de \(v_1\) et \(w_0\).

2. a. Une partie d’une feuille de calcul où figurent les indices et les termes des suites \((v_n)\) et \((w_n)\) est reproduite ci-dessous.

Parmi les trois formules ci-dessous, choisir la formule qui, saisie dans la cellule B3 puis recopiée vers le bas, permettra d’obtenir les valeurs de la suite \((v_n)\) dans la colonne B.

b. Conjecturer le sens de variation de la suite \((v_n)\).

c. À l’aide d’un raisonnement par récurrence, valider votre conjecture concernant le sens de variation de la suite \((v_n)\).

3. a. Démontrer que la suite \((w_n)\) est géométrique.

b. En déduire que pour tout entier naturel \(n\), \(v_n = \ln(1 + 3 \times 2^n)\).

c. Déterminer la limite de la suite \((v_n)\).

4. Justifier que l’algorithme suivant écrit en langage Python renvoie un résultat quel que soit le choix de la valeur du nombre S.

from math import*
def seuil(S):
    V=ln(4)
    n=0
    while V < S :
        n=n+1
        V=ln(2*exp(V)-1)
    return(n)

Exercice 4 (6 points)

Partie A : dénombrement

On considère l’ensemble des nombres entiers relatifs non nuls compris entre \(-30\) et \(30\) ; cet ensemble peut s’écrire ainsi : \(\{-30~;~-29~;~-28~;~\ldots~;~-1~;~1~;~\ldots~;~28~;~29~;~30\}\). Il comporte 60 éléments.

On choisit dans cet ensemble successivement et sans remise un entier relatif \(a\) puis un entier relatif \(c\).

1. Combien de couples \((a~;~c)\) différents peut-on ainsi obtenir ?

On considère l’évènement \(M\) : « l’équation \(ax^2 + 2x + c = 0\) possède deux solutions réelles distinctes », où \(a\) et \(c\) sont les entiers relatifs précédemment choisis.

2. Montrer que l’évènement \(M\) a lieu si et seulement si \(ac \lt 1\).

3. Expliquer pourquoi l’évènement contraire \(\overline{M}\) comporte 1 740 issues.

4. Quelle est la probabilité de l’évènement \(M\) ? On arrondira le résultat à \(10^{-2}\).

Partie B : équation différentielle

On considère l’équation différentielle

\[(E) :\quad y^{\prime} + 10y = (30x^2 + 22x – 8)\text{e}^{-5x+1} \quad \text{avec} \quad x \in \mathbb{R}\]

où \(y\) est une fonction définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\).

1. Résoudre sur \(\mathbb{R}\) l’équation différentielle : \(y^{\prime} + 10y = 0\).

2. Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par

\[f(x) = (6x^2 + 2x – 2)\text{e}^{-5x+1}.\]

On admet que \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et on note \(f^{\prime}\) la fonction dérivée de la fonction \(f\).

Justifier que \(f\) est une solution particulière de \((E)\).

3. Donner l’expression de toutes les solutions de \((E)\).

Partie C : étude de fonction

On propose d’étudier dans cette partie la fonction \(f\) rencontrée à la partie B question 2.

On rappelle que, pour tout réel \(x\), \(f(x) = (6x^2 + 2x – 2)\text{e}^{-5x+1}\).

On note \(f^{\prime}\) la fonction dérivée de la fonction \(f\). On appelle \(\mathcal{C}_f\) la courbe représentative de \(f\) dans un repère du plan.

1. On admet que \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0\).

Déterminer la limite de la fonction \(f\) en \(-\infty\)

2. En utilisant la partie A, montrer que \(\mathcal{C}_f\) coupe l’axe des abscisses en deux points (les coordonnées de ces points ne sont pas attendues).

3. En utilisant les parties A et B, montrer que \(\mathcal{C}_f\) possède deux tangentes horizontales.

4. Dresser le tableau de variation complet de la fonction \(f\).

5. Déterminer en justifiant le nombre de solution(s) de l’équation \(f(x) = 1\).

6. Pour tout réel \(m\) strictement supérieur à \(0{,}2\), on définit \(I_m\) par \(I_m = \displaystyle\int_{0{,}2}^m f(x)\,\text{d}x\).

a. Vérifier que la fonction \(F\) définie sur \(\mathbb{R}\) par

\[F(x) = (-\dfrac{6}{5}x^2 – \dfrac{22}{25}x + \dfrac{28}{125})\text{e}^{-5x+1}\]

est une primitive de la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\).

b. Existe-t-il une valeur de \(m\) pour laquelle \(I_m = 0\) ?

Interpréter graphiquement ce résultat.

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

Partie A

1. L’évènement \(S\) signifie qu’Abel réussit son premier service ; son contraire \(\overline{S}\) signifie qu’Abel manque son premier service et doit donc jouer une deuxième balle. D’après l’énoncé, \(P(S) = 0{,}7\), donc \(P(\overline{S}) = 1 – 0{,}7 = 0{,}3\). Les probabilités conditionnelles sont \(P_S(G) = 0{,}8\) (donc \(P_S(\overline{G}) = 0{,}2\)) et \(P_{\overline{S}}(G) = 0{,}45\) (donc \(P_{\overline{S}}(\overline{G}) = 0{,}55\)).

2. On suit la branche \(S\) puis \(G\) de l’arbre et on multiplie les probabilités rencontrées :

\[P(S \cap G) = P(S) \times P_S(G) = 0{,}7 \times 0{,}8 = 0{,}56.\]

\(P(S \cap G) = 0{,}56\).

3. Les évènements \(S\) et \(\overline{S}\) forment une partition de l’univers. La formule des probabilités totales donne :

\[P(G) = P(S \cap G) + P(\overline{S} \cap G) = 0{,}56 + 0{,}3 \times 0{,}45 = 0{,}56 + 0{,}135 = 0{,}695.\]

On retrouve bien \(P(G) = 0{,}695\).

4. On cherche la probabilité de \(S\) sachant \(G\) :

\[P_G(S) = \dfrac{P(S \cap G)}{P(G)} = \dfrac{0{,}56}{0{,}695} \approx 0{,}806.\]

Sachant qu’Abel a gagné le point, la probabilité qu’il ait réussi son premier service vaut environ 0,806.

5. On compare \(P(S \cap G)\) au produit \(P(S) \times P(G)\) : \(P(S) \times P(G) = 0{,}7 \times 0{,}695 = 0{,}4865\), alors que \(P(S \cap G) = 0{,}56\). Ces deux nombres sont différents, donc les évènements \(S\) et \(G\) ne sont pas indépendants. On pouvait aussi le voir directement : \(P_S(G) = 0{,}8\) est différent de \(P(G) = 0{,}695\), réussir son premier service augmente les chances de gagner le point.

Partie B

1. a. Chaque test est une épreuve de Bernoulli à deux issues : le succès « la balle est conforme », de probabilité \(p = 0{,}85\), et l’échec. On répète 20 fois cette épreuve de manière identique et indépendante (assimilation à un tirage avec remise). La variable \(X\) compte le nombre de succès, donc \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n = 20\) et \(p = 0{,}85\).

b. À la calculatrice (fonction de répartition de la loi binomiale), on obtient \(P(X \leq\, 18) \approx 0{,}824\). On peut aussi passer par l’évènement contraire : \(P(X \leq\, 18) = 1 – P(X = 19) – P(X = 20) = 1 – 20 \times 0{,}85^{19} \times 0{,}15 – 0{,}85^{20}\).

c. Parmi 20 balles, « au moins deux balles non conformes » équivaut à « au plus 18 balles conformes », c’est-à-dire à l’évènement \(X \leq\, 18\). La probabilité cherchée est donc la même qu’à la question précédente : environ 0,824.

d. Pour une loi binomiale, \(E(X) = np = 20 \times 0{,}85 = 17\). \(E(X) = 17\) : en moyenne, sur 20 balles testées, 17 sont conformes.

2. a. Chaque \(X_i\) suit la loi de Bernoulli de paramètre \(0{,}85\), donc \(E(X_i) = 0{,}85\) et \(V(X_i) = 0{,}85 \times (1 – 0{,}85) = 0{,}1275\).

Par linéarité de l’espérance :

\[E(M_n) = \displaystyle\sum_{i=1}^n \dfrac{E(X_i)}{n} = n \times \dfrac{0{,}85}{n} = 0{,}85.\]

Les variables \(X_i\) étant indépendantes, la variance d’une somme est la somme des variances, et \(V(\dfrac{X_i}{n}) = \dfrac{1}{n^2}V(X_i)\) :

\[V(M_n) = \displaystyle\sum_{i=1}^n \dfrac{V(X_i)}{n^2} = n \times \dfrac{0{,}1275}{n^2} = \dfrac{0{,}1275}{n}.\]

\(E(M_n) = 0{,}85\) et \(V(M_n) = \dfrac{0{,}1275}{n}\).

b. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev : pour toute variable aléatoire \(Y\) admettant une espérance et une variance, et pour tout réel \(\delta \gt 0\),

\[P(|Y – E(Y)| \geq\, \delta) \leq\, \dfrac{V(Y)}{\delta^2}.\]

En passant à l’évènement contraire, on obtient \(P(|Y – E(Y)| \lt \delta) \geq\, 1 – \dfrac{V(Y)}{\delta^2}\).

On l’applique à \(Y = M_n\) avec \(\delta = 0{,}1\). D’une part, \(|M_n – 0{,}85| \lt 0{,}1\) équivaut à \(-0{,}1 \lt M_n – 0{,}85 \lt 0{,}1\), soit \(0{,}75 \lt M_n \lt 0{,}95\). D’autre part :

\[1 – \dfrac{V(M_n)}{0{,}1^2} = 1 – \dfrac{0{,}1275}{0{,}01\,n} = 1 – \dfrac{12{,}75}{n}.\]

Donc, pour tout entier naturel non nul \(n\), \(P(0{,}75 \lt M_n \lt 0{,}95) \geq\, 1 – \dfrac{12{,}75}{n}\).

c. Il suffit de choisir \(n\) tel que \(1 – \dfrac{12{,}75}{n} \geq\, 0{,}9\). Pour \(n \gt 0\), cela équivaut à \(\dfrac{12{,}75}{n} \leq\, 0{,}1\), soit \(12{,}75 \leq\, 0{,}1\,n\), soit \(n \geq\, 127{,}5\).

Par exemple, \(n = 128\) convient (et tout entier supérieur aussi) : avec un échantillon de 128 balles, la proportion de balles conformes est comprise strictement entre 0,75 et 0,95 avec une probabilité d’au moins 0,9.

Exercice 2 :

1. Des vecteurs directeurs sont \(\vec{u_1}\begin{pmatrix}-3\\2\\1\end{pmatrix}\) pour \(\Delta_1\) et \(\vec{u_2}\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}\) pour \(\Delta_2\). Leurs deux dernières coordonnées sont égales mais pas les premières : ils ne sont pas colinéaires, donc les droites ne sont pas parallèles. Leur produit scalaire vaut \(-3 + 4 + 1 = 2 \neq 0\), donc elles ne sont pas orthogonales. Cherchons un point commun : la troisième coordonnée donne \(t = -1 + s\) ; en reportant dans la première, \(1 – 3(-1 + s) = -4 + s\), soit \(4 – 3s = -4 + s\), d’où \(s = 2\) et \(t = 1\). Vérification de la deuxième coordonnée : \(4 + 2 \times 1 = 6\) et \(2 + 2 \times 2 = 6\). Le point \((-2~;~6~;~1)\) appartient aux deux droites : réponse c, les droites sont sécantes.

2. Un vecteur directeur de \(d\) est \(\vec{u}\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}\) et un vecteur normal à \(P\) est \(\vec{n}\begin{pmatrix}4\\2\\-1\end{pmatrix}\). On a \(\vec{u} \cdot \vec{n} = 4 – 2 – 2 = 0\) : la droite est parallèle au plan (incluse ou strictement parallèle). Le point \((1~;~3~;~1)\) de \(d\) (obtenu pour \(t = 0\)) donne \(4 + 6 – 1 + 3 = 12 \neq 0\) : il n’est pas dans \(P\). Réponse b, la droite est strictement parallèle au plan.

3. On calcule \(\vec{\text{AB}}\begin{pmatrix}4\\1\\0\end{pmatrix}\), \(\vec{\text{AC}}\begin{pmatrix}-4\\2\\4\end{pmatrix}\), \(\vec{\text{AD}}\begin{pmatrix}-6\\1\\4\end{pmatrix}\) et \(\vec{\text{CD}}\begin{pmatrix}-2\\-1\\0\end{pmatrix}\). \(\vec{\text{AB}}\) et \(\vec{\text{AC}}\) ne sont pas colinéaires (la troisième coordonnée de \(\vec{\text{AB}}\) est nulle, pas celle de \(\vec{\text{AC}}\)), donc A, B, C ne sont pas alignés : b est fausse. Si \(\vec{\text{CD}} = k\,\vec{\text{AB}}\), la première coordonnée impose \(k = -\dfrac{1}{2}\) et la deuxième \(k = -1\) : impossible, c est fausse. Enfin, cherchons \(x\) et \(y\) tels que \(\vec{\text{AD}} = x\,\vec{\text{AB}} + y\,\vec{\text{AC}}\) : la troisième coordonnée donne \(4y = 4\), donc \(y = 1\) ; la deuxième donne \(x + 2 = 1\), donc \(x = -1\) ; la première devient alors \(4 \times (-1) – 4 \times 1 = -8 \neq -6\). Il n’y a pas de solution : D n’est pas dans le plan (ABC). Réponse a, les quatre points ne sont pas coplanaires.

4. Pour R : \(3 – 2 – 2 + 1 = 0\), donc R est dans \(Q\), mais \(4 + 1 + 2 + 3 = 10 \neq 0\), donc R n’est pas dans \(Q^{\prime}\) : a est fausse. Les vecteurs normaux \(\vec{n}\begin{pmatrix}3\\-2\\1\end{pmatrix}\) et \(\vec{n^{\prime}}\begin{pmatrix}4\\1\\-1\end{pmatrix}\) ont pour produit scalaire \(12 – 2 – 1 = 9 \neq 0\) : les plans ne sont pas orthogonaux, b est fausse. Les vecteurs normaux ne sont pas colinéaires, donc les plans sont sécants selon une droite. Un point de coordonnées \((t~;~7t + 4~;~11t + 7)\) vérifie \(3t – 2(7t + 4) + (11t + 7) + 1 = 3t – 14t – 8 + 11t + 7 + 1 = 0\) et \(4t + (7t + 4) – (11t + 7) + 3 = 0\) : toute la droite proposée est contenue dans les deux plans, c’est donc leur intersection. Réponse c.

Exercice 3 :

1. Comme \(\text{e}^{\ln 4} = 4\) :

\[v_1 = \ln(-1 + 2\text{e}^{v_0}) = \ln(-1 + 2 \times 4) = \ln 7 \qquad \text{et} \qquad w_0 = -1 + \text{e}^{\ln 4} = -1 + 4 = 3.\]

\(v_1 = \ln 7\) et \(w_0 = 3\) (on retrouve 3 dans la cellule C2 et \(\ln 7 \approx 1{,}9459\) dans la cellule B3).

2. a. Dans un tableur, une formule doit commencer par le signe « = », ce qui élimine la formule 1. Le terme \(v_1\) (cellule B3) se calcule à partir de \(v_0\), qui se trouve en B2 ; la cellule A2 contient l’indice 0, pas le terme de la suite, ce qui élimine la formule 3. Il faut saisir la formule 2 : = LN(−1 + 2 * EXP(B2)).

b. Les valeurs de la colonne B augmentent d’une ligne à l’autre : on conjecture que la suite \((v_n)\) est croissante.

c. Notons \(\mathcal{P}(n)\) la propriété : « \(v_n \leq\, v_{n+1}\) ».

Initialisation. \(v_0 = \ln 4\) et \(v_1 = \ln 7\). Comme \(4 \leq\, 7\) et que la fonction \(\ln\) est croissante sur \(]0~;~+\infty[\), \(v_0 \leq\, v_1\) : \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.

Hérédité. Supposons \(\mathcal{P}(n)\) vraie pour un entier naturel \(n\), c’est-à-dire \(v_n \leq\, v_{n+1}\). La fonction exponentielle est croissante sur \(\mathbb{R}\), donc \(\text{e}^{v_n} \leq\, \text{e}^{v_{n+1}}\). En multipliant par 2 (positif) puis en ajoutant \(-1\), on obtient \(-1 + 2\text{e}^{v_n} \leq\, -1 + 2\text{e}^{v_{n+1}}\). Ces deux nombres sont strictement positifs (la suite est bien définie), et la fonction \(\ln\) est croissante sur \(]0~;~+\infty[\), donc \(\ln(-1 + 2\text{e}^{v_n}) \leq\, \ln(-1 + 2\text{e}^{v_{n+1}})\), c’est-à-dire \(v_{n+1} \leq\, v_{n+2}\) : \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie.

Conclusion. D’après le principe de récurrence, \(v_n \leq\, v_{n+1}\) pour tout entier naturel \(n\) : la suite \((v_n)\) est croissante, ce qui valide la conjecture.

3. a. Pour tout entier naturel \(n\), en utilisant \(\text{e}^{\ln A} = A\) pour \(A \gt 0\) :

\[w_{n+1} = -1 + \text{e}^{v_{n+1}} = -1 + (-1 + 2\text{e}^{v_n}) = -2 + 2\text{e}^{v_n} = 2(-1 + \text{e}^{v_n}) = 2w_n.\]

La suite \((w_n)\) est géométrique de raison 2 et de premier terme \(w_0 = 3\).

b. On en déduit que pour tout \(n\), \(w_n = 3 \times 2^n\). Or \(w_n = -1 + \text{e}^{v_n}\), donc \(\text{e}^{v_n} = 1 + w_n = 1 + 3 \times 2^n\). Ce nombre est strictement positif, et en appliquant la fonction \(\ln\) : \(v_n = \ln(1 + 3 \times 2^n)\) pour tout entier naturel \(n\).

c. Comme \(2 \gt 1\), \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} 2^n = +\infty\), donc \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} (1 + 3 \times 2^n) = +\infty\). Puisque \(\displaystyle\lim_{X \to +\infty} \ln X = +\infty\), par composition : \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} v_n = +\infty\).

4. La fonction part de \(V = v_0 = \ln 4\) et \(n = 0\), puis à chaque passage dans la boucle remplace \(V\) par le terme suivant de la suite (car \(\ln(2\text{e}^{V} – 1)\) correspond à la relation de récurrence) et augmente \(n\) de 1. Ainsi, à tout moment, \(V = v_n\). La boucle continue tant que \(v_n \lt S\). Comme \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} v_n = +\infty\), quel que soit le réel S, il existe un rang à partir duquel \(v_n \geq\, S\) : la condition du « while » finit par être fausse, la boucle s’arrête. La fonction renvoie donc toujours un résultat : le plus petit entier \(n\) tel que \(v_n \geq\, S\).

Exercice 4 :

Partie A : dénombrement

1. On a 60 choix pour \(a\) ; comme le tirage se fait sans remise, il reste 59 choix pour \(c\). L’ordre compte (le couple \((a~;~c)\) n’est pas le même que \((c~;~a)\)). On obtient \(60 \times 59 = 3\,540\) couples. Il y a 3 540 couples possibles.

2. Comme \(a \neq 0\), l’équation \(ax^2 + 2x + c = 0\) est du second degré. Son discriminant vaut \(\Delta = 2^2 – 4ac = 4 – 4ac = 4(1 – ac)\). Elle possède deux solutions réelles distinctes si et seulement si \(\Delta \gt 0\), c’est-à-dire \(1 – ac \gt 0\). L’évènement \(M\) est réalisé si et seulement si \(ac \lt 1\).

3. \(\overline{M}\) est réalisé lorsque \(ac \geq\, 1\). Comme \(a\) et \(c\) sont des entiers non nuls, \(ac\) est un entier non nul, et \(ac \geq\, 1\) équivaut à \(ac \gt 0\), c’est-à-dire à « \(a\) et \(c\) sont de même signe ». Il y a 30 entiers strictement positifs et 30 strictement négatifs. Couples de deux entiers positifs (sans remise) : \(30 \times 29 = 870\). Couples de deux entiers négatifs : de même 870. Au total, \(870 + 870 = 1\,740\) issues réalisent \(\overline{M}\).

4. Les couples sont équiprobables. \(M\) compte \(3\,540 – 1\,740 = 1\,800\) issues, donc :

\[P(M) = \dfrac{1\,800}{3\,540} = \dfrac{30}{59} \approx 0{,}51.\]

\(P(M) \approx 0{,}51\) à \(10^{-2}\) près.

Partie B : équation différentielle

1. L’équation s’écrit \(y^{\prime} = -10y\). D’après le cours, les solutions de \(y^{\prime} = ay\) sont les fonctions \(x \mapsto C\text{e}^{ax}\). Les solutions sont les fonctions \(x \mapsto C\text{e}^{-10x}\), où \(C\) est un réel quelconque.

2. On dérive \(f\) comme un produit \(uv\) avec \(u(x) = 6x^2 + 2x – 2\), \(u^{\prime}(x) = 12x + 2\), \(v(x) = \text{e}^{-5x+1}\), \(v^{\prime}(x) = -5\text{e}^{-5x+1}\) :

\[f^{\prime}(x) = (12x + 2)\text{e}^{-5x+1} – 5(6x^2 + 2x – 2)\text{e}^{-5x+1} = (-30x^2 + 2x + 12)\text{e}^{-5x+1}.\]

Alors :

\[f^{\prime}(x) + 10f(x) = (-30x^2 + 2x + 12 + 60x^2 + 20x – 20)\text{e}^{-5x+1} = (30x^2 + 22x – 8)\text{e}^{-5x+1}.\]

\(f\) vérifie \((E)\) sur \(\mathbb{R}\) : c’est une solution particulière de \((E)\).

3. Les solutions de \((E)\) s’obtiennent en ajoutant à la solution particulière \(f\) les solutions de l’équation homogène \(y^{\prime} + 10y = 0\). Les solutions de \((E)\) sont les fonctions \(x \mapsto (6x^2 + 2x – 2)\text{e}^{-5x+1} + C\text{e}^{-10x}\), avec \(C \in \mathbb{R}\).

Partie C : étude de fonction

1. En \(-\infty\), le trinôme \(6x^2 + 2x – 2\) se comporte comme son terme de plus haut degré : \(6x^2 + 2x – 2 = x^2(6 + \dfrac{2}{x} – \dfrac{2}{x^2})\), avec \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} x^2 = +\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} (6 + \dfrac{2}{x} – \dfrac{2}{x^2}) = 6\), donc \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} (6x^2 + 2x – 2) = +\infty\). Par ailleurs \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} (-5x + 1) = +\infty\), et par composition \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \text{e}^{-5x+1} = +\infty\). Par produit : \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty\).

2. Une exponentielle est toujours strictement positive, donc \(f(x) = 0\) équivaut à \(6x^2 + 2x – 2 = 0\). Cette équation est de la forme \(ax^2 + 2x + c = 0\) de la partie A avec \(a = 6\) et \(c = -2\). Comme \(ac = -12 \lt 1\), d’après la question A.2, elle possède deux solutions réelles distinctes. \(\mathcal{C}_f\) coupe donc l’axe des abscisses en exactement deux points. (Pour information, ces abscisses sont \(\dfrac{-1 – \sqrt{13}}{6} \approx -0{,}77\) et \(\dfrac{-1 + \sqrt{13}}{6} \approx 0{,}43\).)

3. D’après la partie B, \(f^{\prime}(x) = (-30x^2 + 2x + 12)\text{e}^{-5x+1}\), et \(f^{\prime}(x) = 0\) équivaut à \(-30x^2 + 2x + 12 = 0\). C’est encore une équation de la forme \(ax^2 + 2x + c = 0\), avec \(a = -30\) et \(c = 12\) ; comme \(ac = -360 \lt 1\), elle admet deux solutions distinctes. Le calcul donne \(\Delta = 4 + 1\,440 = 1\,444 = 38^2\), d’où :

\[x_1 = \dfrac{-2 + 38}{-60} = -\dfrac{3}{5} \qquad \text{et} \qquad x_2 = \dfrac{-2 – 38}{-60} = \dfrac{2}{3}.\]

En ces deux abscisses, \(f^{\prime}\) s’annule : \(\mathcal{C}_f\) admet deux tangentes horizontales, aux points d’abscisses \(-\dfrac{3}{5}\) et \(\dfrac{2}{3}\).

4. Le signe de \(f^{\prime}(x)\) est celui de \(-30x^2 + 2x + 12\), trinôme de coefficient dominant négatif : il est négatif à l’extérieur des racines et positif entre elles. On calcule les extremums :

\[f(-\dfrac{3}{5}) = (\dfrac{54}{25} – \dfrac{6}{5} – 2)\text{e}^{4} = -\dfrac{26}{25}\text{e}^{4} \approx -56{,}78 \qquad \text{et} \qquad f(\dfrac{2}{3}) = (\dfrac{8}{3} + \dfrac{4}{3} – 2)\text{e}^{-7/3} = 2\text{e}^{-7/3} \approx 0{,}19.\]

5. Sur \(]-\infty~;~-\dfrac{3}{5}]\), \(f\) est continue (car dérivable) et strictement décroissante, de \(+\infty\) à \(-\dfrac{26}{25}\text{e}^{4} \approx -56{,}78\). Comme 1 est compris entre ces deux valeurs, le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires assure que l’équation \(f(x) = 1\) admet une unique solution sur cet intervalle (environ \(-0{,}769\)). Sur \([-\dfrac{3}{5}~;~+\infty[\), le maximum de \(f\) est \(f(\dfrac{2}{3}) = 2\text{e}^{-7/3} \approx 0{,}19 \lt 1\) : pas de solution. L’équation \(f(x) = 1\) admet exactement une solution sur \(\mathbb{R}\).

6. a. \(F\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) comme produit de fonctions dérivables, et :

\[F^{\prime}(x) = (-\dfrac{12}{5}x – \dfrac{22}{25})\text{e}^{-5x+1} – 5(-\dfrac{6}{5}x^2 – \dfrac{22}{25}x + \dfrac{28}{125})\text{e}^{-5x+1}\]

\[F^{\prime}(x) = (-\dfrac{12}{5}x – \dfrac{22}{25} + 6x^2 + \dfrac{22}{5}x – \dfrac{28}{25})\text{e}^{-5x+1} = (6x^2 + 2x – 2)\text{e}^{-5x+1} = f(x).\]

\(F^{\prime} = f\) sur \(\mathbb{R}\) : \(F\) est une primitive de \(f\).

b. Pour \(m \gt 0{,}2\), \(I_m = F(m) – F(0{,}2)\). Or

\[F(0{,}2) = (-\dfrac{6}{5} \times \dfrac{1}{25} – \dfrac{22}{25} \times \dfrac{1}{5} + \dfrac{28}{125})\text{e}^{0} = -\dfrac{6}{125} – \dfrac{22}{125} + \dfrac{28}{125} = 0,\]

donc \(I_m = F(m)\). Comme \(\text{e}^{-5m+1} \gt 0\), \(I_m = 0\) équivaut à \(-\dfrac{6}{5}m^2 – \dfrac{22}{25}m + \dfrac{28}{125} = 0\), soit, en multipliant par \(-\dfrac{125}{2}\), \(75m^2 + 55m – 14 = 0\). Le discriminant vaut \(55^2 + 4 \times 75 \times 14 = 7\,225 = 85^2\), et les racines sont \(\dfrac{-55 + 85}{150} = \dfrac{1}{5}\) et \(\dfrac{-55 – 85}{150} = -\dfrac{14}{15}\). Aucune n’est strictement supérieure à 0,2. Il n’existe aucune valeur de \(m \gt 0{,}2\) telle que \(I_m = 0\). Plus précisément, pour \(m \gt 0{,}2\), le trinôme \(75m^2 + 55m – 14\) est strictement positif (à droite de sa plus grande racine), donc \(I_m = F(m) \lt 0\).

Interprétation graphique. D’après la question 2, \(f\) est négative entre \(0{,}2\) et \(x_0 = \dfrac{-1 + \sqrt{13}}{6} \approx 0{,}43\), puis positive au-delà. L’intégrale \(I_m\) est la différence entre l’aire du domaine situé au-dessus de l’axe des abscisses (entre \(x_0\) et \(m\)) et l’aire du domaine situé sous l’axe (entre 0,2 et \(x_0\)), ces domaines étant limités par \(\mathcal{C}_f\), l’axe des abscisses et les droites d’équations \(x = 0{,}2\) et \(x = m\). Dire que \(I_m\) n’est jamais nulle (et même toujours négative) signifie que, quel que soit \(m \gt 0{,}2\), l’aire de la partie située au-dessus de l’axe ne compense jamais celle de la partie située en dessous.

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