Bac maths 2025 Nlle-Calédonie J1 : sujet et corrigé

Voici le sujet du jour 1 du bac de spécialité mathématiques 2025 en Nouvelle-Calédonie, posé le 20 novembre 2025, avec l’énoncé complet et son corrigé détaillé juste en dessous. Le premier exercice fait tirer une boule dans un sac puis un billet dans l’une de deux urnes : arbre pondéré, formule de Bayes, espérance et variance d’un gain, puis inégalité de Bienaymé-Tchebychev sur cent parties. Le deuxième travaille dans l’espace avec un triangle rectangle, le projeté orthogonal d’un point sur un plan et le volume d’une pyramide. Le troisième étudie les intégrales de \(x^n\text{e}^{1-x}\) sur \([0 ; 1]\) : encadrement, intégration par parties, script Python et limite. Le dernier est un vrai-faux qui mêle limite avec logarithme, équation différentielle trigonométrique, suite récurrente, convexité et anagrammes du mot EULER.

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BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2025
Mathématiques — Jour 1
Nouvelle-Calédonie — 20 novembre 2025
Durée de l’épreuve : 4 heures

L’usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé.
L’usage de la calculatrice sans mémoire « type collège » est autorisé.

La qualité de rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie.

Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.

Exercice 1 (5 points)

On dispose d’un sac et de deux urnes A et B.

Le sac contient 4 boules : 1 boule avec la lettre A et 3 boules avec la lettre B.
L’urne A contient 5 billets : 3 billets de 50 euros et 2 billets de 10 euros.
L’urne B contient 4 billets : 1 billet de 50 euros et 3 billets de 10 euros.

Un joueur prend au hasard une boule dans le sac :

si c’est une boule avec la lettre A, il prend au hasard un billet dans l’urne A.
si c’est une boule avec la lettre B, il prend au hasard un billet dans l’urne B.

On note les évènements suivants :

\(A\) : le joueur obtient une boule avec la lettre A.
\(C\) : le joueur obtient un billet de 50 euros.

1. Recopier et compléter l’arbre ci-contre représentant la situation.

2. Quelle est la probabilité de l’évènement « le joueur obtient une boule avec la lettre A et un billet de 50 € » ?

3. Démontrer que la probabilité \(P(C)\) est égale à \(0{,}3375\).

4. Le joueur a obtenu un billet de 10 euros.

L’affirmation « Il y a plus de 80 % de chances qu’il ait au préalable obtenu une boule avec la lettre B » est-elle vraie ? Justifier.

5. On note \(X_1\) la variable aléatoire qui donne la somme, en euros, obtenue par le joueur.

Exemple : si le joueur obtient un billet de 50 €, on a \(X_1 = 50\).

Montrer que l’espérance \(E(X_1)\) est égale à \(23{,}50\) et que la variance \(V(X_1)\) est égale à \(357{,}75\).

6. Après avoir remis la boule dans le sac et le billet dans l’urne où il a été pris, le joueur joue une deuxième partie. On note \(X_2\) la variable aléatoire qui donne la somme obtenue par le joueur lors de cette deuxième partie.

On note \(Y\) la variable aléatoire ainsi définie : \(Y = X_1 + X_2\).

a. Montrer que \(E(Y) = 47\).

b. Expliquer pourquoi on a \(V(Y) = V(X_1) + V(X_2)\)

7. Le joueur joue de même une troisième, une quatrième,…, une centième partie.

On définit donc de la même façon les variables aléatoires \(X_3,\ X_4,\ \ldots,\ X_{100}\).

On note \(Z\) la variable aléatoire définie par \(Z = X_1 + X_2 + \ldots + X_{100}\).

Démontrer que la probabilité que \(Z\) appartienne à l’intervalle \(]1\,950 ; 2\,750[\) est supérieure ou égale à \(0{,}75\).

Exercice 2 (4 points)

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé \((\text{O} ; \vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k})\), on considère les points :

\(\text{A}(4 ; -4 ; 4)\), \(\text{B}(5 ; -3 ; 2)\), \(\text{C}(6 ; -2 ; 3)\), \(\text{D}(5 ; 1 ; 1)\)

1. Démontrer que le triangle ABC est rectangle en \(B\).

2. Justifier qu’une équation cartésienne du plan (ABC) est :

\[x – y – 8 = 0.\]

3. On note \(d\) la droite passant par le point \(D\) et orthogonale au plan (ABC).

a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite \(d\).

b. On note H le projeté orthogonal du point \(D\) sur le plan \((ABC)\).
Déterminer les coordonnées du point H.

c. Montrer que \(\text{DH} = 2\sqrt{2}\).

4. a. Montrer que le volume de la pyramide ABCD est égal à 2.

On rappelle que le volume V d’une pyramide se calcule à l’aide de la formule :

\[V = \dfrac{1}{3} \times \mathcal{B} \times h\]

où \(\mathcal{B}\) est l’aire d’une base de la pyramide et \(h\) la hauteur correspondante.

b. On admet que l’aire du triangle BCD est égale à \(\dfrac{\sqrt{42}}{2}\).

En déduire la valeur exacte de la distance du point A au plan (BCD).

Exercice 3 (6 points)

On considère \(n\) un entier naturel non nul.

On considère la fonction \(f_n\) définie sur l’intervalle \([0 ; 1]\) par :

\[f_n(x) = x^n \text{e}^{1 – x}.\]

On admet que la fonction \(f_n\) est dérivable sur \([0 ; 1]\) et on note \(f^{\prime}_n\) sa fonction dérivée.

Partie A

Dans cette partie on étudie le cas où \(n = 1\).

On étudie donc la fonction \(f_1\) définie sur \([0 ; 1]\) par :

\[f_1(x) = x\text{e}^{1 – x}.\]

1. Montrer que \(f^{\prime}_1(x)\) est strictement positive pour tout réel \(x\) de \([0 ; 1[\).

2. En déduire le tableau de variations de la fonction \(f_1\) sur l’intervalle \([0 ; 1]\)

3. En déduire que l’équation \(f_1(x) = 0{,}1\) admet une unique solution dans l’intervalle \([0 ; 1]\)

Partie B

On considère la suite \((u_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) non nul par

\(u_n = \displaystyle\int_0^1 f_n(x)\, \text{d}x\) c’est-à-dire \(u_n = \displaystyle\int_0^1 x^n \text{e}^{1-x}\, \text{d}x\).

On admet que \(u_1 = \text{e} – 2\).

1. a. Justifier que pour tout \(x \in [0 ; 1]\) et pour tout entier naturel \(n\) non nul,

\[0 \leq\, x^{n+1} \leq\, x^n.\]

b. En déduire que pour tout entier naturel \(n\) non nul,

\[0 \leq\, u_{n+1} \leq\, u_n.\]

c. Montrer que la suite \((u_n)\) est convergente.

2. a. À l’aide d’une intégration par parties, démontrer que pour tout entier naturel \(n\) non nul on a :

\[u_{n+1} = (n + 1)u_n – 1.\]

b. On considère le script Python ci-dessous définissant la fonction suite() :

from math import exp
def suite():
  u = ...
  for n in range (1, ...):
      u = ...
  return

Recopier et compléter le script Python ci-dessus pour que la fonction suite() renvoie la valeur de \(\displaystyle\int_0^1 x^8 \text{e}^{1-x}\, \text{d}x\).

3. a. Démontrer que pour tout entier naturel \(n\) non nul on a :

\[u_{n} \leq\, \dfrac{\text{e}}{n+1}.\]

b. En déduire la limite de la suite \((u_n)\).

Exercice 4 (5 points)

Pour chacune des cinq affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse.
Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte.
Une absence de réponse n’est pas pénalisée.

1. On considère la fonction \(f\) définie sur l’intervalle \(]0 ; +\infty[\) par :

\[f(x) = \ln (x) – x^2.\]

Affirmation 1 : \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty\).

2. On considère l’équation différentielle

\[(E) : \quad – 2y^{\prime} + 3y = \sin x + 8\cos x.\]

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\[f(x) = 2\cos x – \sin x.\]

Affirmation 2 : La fonction \(f\) est solution de l’équation différentielle \((E)\).

3. On considère la fonction \(g\) définie sur l’intervalle \(]0 ; +\infty[\) par :

\[g(x) = \ln (3x + 1) + 8.\]

On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = 25\) et pour tout entier naturel \(n\) :

\[u_{n+1} = g(u_n).\]

On admet que la suite \((u_n)\) est strictement positive.

Affirmation 3 : La suite \((u_n)\) est décroissante.

4. On considère une fonction affine \(h\) définie sur \(\mathbb{R}\).

On note \(k\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(k(x) = x^4 + x^2 + h(x)\).

Affirmation 4 : La fonction \(k\) est convexe sur \(\mathbb{R}\).

5. Une anagramme d’un mot est le résultat d’une permutation des lettres de ce mot.

Exemple : le mot BAC est possède 6 anagrammes : BAC, BCA, ABC, ACB, CAB, CBA.

Affirmation 5 : Le mot EULER possède 120 anagrammes.

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

1. La boule est tirée au hasard parmi 4 boules dont une seule porte la lettre A, donc \(P(A) = \dfrac{1}{4} = 0{,}25\) et \(P(\overline{A}) = \dfrac{3}{4} = 0{,}75\).

Si la boule porte la lettre A, on tire dans l’urne A qui contient 3 billets de 50 € sur 5 : \(P_A(C) = \dfrac{3}{5} = 0{,}6\) et \(P_A(\overline{C}) = 0{,}4\). Si la boule porte la lettre B, on tire dans l’urne B qui contient 1 billet de 50 € sur 4 : \(P_{\overline{A}}(C) = \dfrac{1}{4} = 0{,}25\) et \(P_{\overline{A}}(\overline{C}) = 0{,}75\).

2. L’évènement cherché est l’intersection \(A \cap C\). On multiplie les probabilités le long du chemin de l’arbre :

\[P(A \cap C) = P(A) \times P_A(C) = 0{,}25 \times 0{,}6 = 0{,}15.\]

La probabilité que le joueur obtienne une boule A et un billet de 50 € est \(0{,}15\).

3. Les évènements \(A\) et \(\overline{A}\) forment une partition de l’univers. D’après la formule des probabilités totales :

\[P(C) = P(A \cap C) + P(\overline{A} \cap C) = 0{,}15 + P(\overline{A}) \times P_{\overline{A}}(C) = 0{,}15 + 0{,}75 \times 0{,}25.\]

Comme \(0{,}75 \times 0{,}25 = 0{,}1875\), on obtient \(P(C) = 0{,}15 + 0{,}1875 = 0{,}3375\).

4. Obtenir un billet de 10 euros, c’est réaliser \(\overline{C}\). La question porte donc sur la probabilité conditionnelle \(P_{\overline{C}}(\overline{A})\).

D’une part \(P(\overline{C}) = 1 – P(C) = 1 – 0{,}3375 = 0{,}6625\). D’autre part \(P(\overline{A} \cap \overline{C}) = P(\overline{A}) \times P_{\overline{A}}(\overline{C}) = 0{,}75 \times 0{,}75 = 0{,}5625\).

\[P_{\overline{C}}(\overline{A}) = \dfrac{P(\overline{A} \cap \overline{C})}{P(\overline{C})} = \dfrac{0{,}5625}{0{,}6625} = \dfrac{45}{53} \approx 0{,}849.\]

Sachant que le joueur a eu un billet de 10 euros, il y a environ 84,9 % de chances qu’il ait tiré une boule B. Comme \(0{,}849 \gt 0{,}8\), l’affirmation est vraie.

5. La variable \(X_1\) ne prend que deux valeurs : 50 (évènement \(C\)) et 10 (évènement \(\overline{C}\)). Sa loi est :

\(x_i\)	10	50
\(P(X_1 = x_i)\)	\(0{,}6625\)	\(0{,}3375\)

Espérance :

\[E(X_1) = 10 \times 0{,}6625 + 50 \times 0{,}3375 = 6{,}625 + 16{,}875 = 23{,}5.\]

Variance, calculée comme moyenne des carrés des écarts à l’espérance :

\[V(X_1) = 0{,}6625 \times (10 – 23{,}5)^2 + 0{,}3375 \times (50 – 23{,}5)^2 = 0{,}6625 \times 182{,}25 + 0{,}3375 \times 702{,}25.\]

\[V(X_1) = 120{,}740625 + 237{,}009375 = 357{,}75.\]

On a bien \(E(X_1) = 23{,}50\) et \(V(X_1) = 357{,}75\). (On peut aussi utiliser \(V(X_1) = E(X_1^2) – E(X_1)^2 = 910 – 552{,}25 = 357{,}75\).)

6. a. La deuxième partie se déroule exactement dans les mêmes conditions que la première (boule et billet ont été remis), donc \(X_2\) suit la même loi que \(X_1\) et \(E(X_2) = 23{,}5\). Par linéarité de l’espérance :

\[E(Y) = E(X_1 + X_2) = E(X_1) + E(X_2) = 23{,}5 + 23{,}5 = 47.\]

On obtient bien \(E(Y) = 47\).

b. Comme la boule et le billet sont remis avant la deuxième partie, le résultat de la première partie n’a aucune influence sur la seconde : les variables \(X_1\) et \(X_2\) sont indépendantes. Or la variance d’une somme de deux variables aléatoires indépendantes est la somme de leurs variances, d’où \(V(Y) = V(X_1) + V(X_2)\), soit ici \(V(Y) = 2 \times 357{,}75 = 715{,}5\).

7. Les cent parties se jouent dans les mêmes conditions avec remise : les variables \(X_1, \ldots, X_{100}\) sont indépendantes et suivent toutes la loi de \(X_1\). Donc :

\[E(Z) = 100 \times 23{,}5 = 2\,350 \quad \text{et} \quad V(Z) = 100 \times 357{,}75 = 35\,775.\]

L’intervalle \(]1\,950 ; 2\,750[\) est centré sur \(E(Z) = 2\,350\) avec un demi-écart de 400 : dire que \(Z\) appartient à cet intervalle, c’est dire que \(|Z – 2\,350| \lt 400\).

D’après l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, pour tout réel \(t \gt 0\), \(P(|Z – E(Z)| \geq\, t) \leq\, \dfrac{V(Z)}{t^2}\). En passant à l’évènement contraire avec \(t = 400\) :

\[P(|Z – 2\,350| \lt 400) \geq\, 1 – \dfrac{35\,775}{400^2} = 1 – \dfrac{35\,775}{160\,000} = 0{,}77640625.\]

Comme \(0{,}7764 \geq\, 0{,}75\), la probabilité que \(Z\) appartienne à \(]1\,950 ; 2\,750[\) est supérieure ou égale à \(0{,}75\).

Exercice 2 :

1. On calcule les coordonnées de deux vecteurs issus de B :

\[\vec{BA}\begin{pmatrix} 4-5 \\ -4-(-3) \\ 4-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \qquad \vec{BC}\begin{pmatrix} 6-5 \\ -2-(-3) \\ 3-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\]

Dans un repère orthonormé, leur produit scalaire vaut \(\vec{BA} \cdot \vec{BC} = (-1) \times 1 + (-1) \times 1 + 2 \times 1 = -1 – 1 + 2 = 0\).

Les vecteurs \(\vec{BA}\) et \(\vec{BC}\) sont orthogonaux (et non nuls), donc le triangle ABC est rectangle en B.

2. Le triangle ABC étant rectangle en B, les points A, B et C ne sont pas alignés : ils définissent bien un plan. Il suffit de vérifier que leurs coordonnées satisfont l’équation \(x – y – 8 = 0\) :

pour A : \(4 – (-4) – 8 = 0\) ;
pour B : \(5 – (-3) – 8 = 0\) ;
pour C : \(6 – (-2) – 8 = 0\).

L’équation \(x – y – 8 = 0\) est celle d’un plan (les coefficients de \(x\), \(y\), \(z\) ne sont pas tous nuls) qui contient les trois points non alignés A, B, C : c’est donc une équation cartésienne du plan (ABC).

3. a. Les coefficients de \(x\), \(y\) et \(z\) dans l’équation de (ABC) donnent un vecteur normal au plan : \(\vec{n}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\). La droite \(d\) étant orthogonale à (ABC), \(\vec{n}\) est un vecteur directeur de \(d\). Comme \(d\) passe par \(\text{D}(5 ; 1 ; 1)\), une représentation paramétrique de \(d\) est :

\[\{\begin{array}{l} x = 5 + t \\ y = 1 – t \\ z = 1 \end{array}. \qquad t \in \mathbb{R}.\]

b. Le projeté orthogonal H de D sur (ABC) est le point d’intersection de la droite \(d\) (perpendiculaire au plan passant par D) avec ce plan. On injecte la représentation paramétrique dans l’équation du plan :

\[(5 + t) – (1 – t) – 8 = 0 \iff 2t – 4 = 0 \iff t = 2.\]

Pour \(t = 2\) : \(x = 7\), \(y = -1\), \(z = 1\). Donc \(\text{H}(7 ; -1 ; 1)\).

c. Dans le repère orthonormé :

\[\text{DH} = \sqrt{(7-5)^2 + (-1-1)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{4 + 4 + 0} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}.\]

On a bien \(\text{DH} = 2\sqrt{2}\).

4. a. On prend pour base le triangle ABC. Puisque (DH) est perpendiculaire au plan (ABC) avec H dans ce plan, la hauteur correspondante est DH.

Le triangle ABC est rectangle en B, donc son aire vaut \(\dfrac{\text{BA} \times \text{BC}}{2}\) avec :

\[\text{BA} = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{6} \qquad \text{BC} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}.\]

\[\mathcal{A}_{\text{ABC}} = \dfrac{\sqrt{6} \times \sqrt{3}}{2} = \dfrac{\sqrt{18}}{2} = \dfrac{3\sqrt{2}}{2}.\]

\[V = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{3\sqrt{2}}{2} \times 2\sqrt{2} = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{3 \times 2 \times 2}{2} = 2.\]

Le volume de la pyramide ABCD est égal à 2.

b. On calcule maintenant ce même volume en prenant BCD pour base. La hauteur associée est la distance \(\delta\) du point A au plan (BCD). Ainsi :

\[\dfrac{1}{3} \times \dfrac{\sqrt{42}}{2} \times \delta = 2 \iff \dfrac{\sqrt{42}}{6}\,\delta = 2 \iff \delta = \dfrac{12}{\sqrt{42}}.\]

En rendant le dénominateur rationnel : \(\delta = \dfrac{12\sqrt{42}}{42} = \dfrac{2\sqrt{42}}{7}\).

La distance du point A au plan (BCD) vaut \(\dfrac{2\sqrt{42}}{7}\) (environ 1,85).

Exercice 3 :

Partie A

1. La fonction \(f_1\) est le produit de \(u(x) = x\) et \(v(x) = \text{e}^{1-x}\), avec \(u^{\prime}(x) = 1\) et \(v^{\prime}(x) = -\text{e}^{1-x}\). D’où :

\[f^{\prime}_1(x) = 1 \times \text{e}^{1-x} + x \times (-\text{e}^{1-x}) = (1 – x)\,\text{e}^{1-x}.\]

Une exponentielle est toujours strictement positive, donc \(f^{\prime}_1(x)\) a le signe de \(1 – x\). Pour \(x \in [0 ; 1[\), on a \(x \lt 1\), donc \(1 – x \gt 0\). Ainsi \(f^{\prime}_1(x) \gt 0\) pour tout \(x \in [0 ; 1[\).

2. La dérivée est strictement positive sur \([0 ; 1[\) (et s’annule seulement en 1), donc \(f_1\) est strictement croissante sur \([0 ; 1]\). On calcule les valeurs aux bornes : \(f_1(0) = 0 \times \text{e}^{1} = 0\) et \(f_1(1) = 1 \times \text{e}^{0} = 1\).

\(x\)	0		1
signe de \(f^{\prime}_1(x)\)		+	0
variations de \(f_1\)	0	croissante ↗	1

3. Sur \([0 ; 1]\), la fonction \(f_1\) est continue (car dérivable) et strictement croissante. De plus \(f_1(0) = 0 \lt 0{,}1\) et \(f_1(1) = 1 \gt 0{,}1\) : le réel \(0{,}1\) est compris entre \(f_1(0)\) et \(f_1(1)\).

D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (théorème de la bijection), l’équation \(f_1(x) = 0{,}1\) admet une unique solution dans \([0 ; 1]\). (À la calculatrice, elle vaut environ \(0{,}038\).)

Partie B

1. a. Soit \(x \in [0 ; 1]\) et \(n \geq\, 1\). On part de \(0 \leq\, x \leq\, 1\) et on multiplie chaque membre par \(x^n\), qui est positif ou nul puisque \(x \geq\, 0\) ; le sens des inégalités est conservé :

\[0 \times x^n \leq\, x \times x^n \leq\, 1 \times x^n, \quad \text{c^{\prime}est-à-dire} \quad 0 \leq\, x^{n+1} \leq\, x^n.\]

b. Pour tout réel \(x\), \(\text{e}^{1-x} \gt 0\). En multipliant l’encadrement précédent par ce nombre positif, on obtient pour tout \(x \in [0 ; 1]\) :

\[0 \leq\, x^{n+1}\text{e}^{1-x} \leq\, x^n\text{e}^{1-x}.\]

Les bornes d’intégration sont dans le bon ordre (\(0 \leq\, 1\)) ; par positivité et croissance de l’intégrale, on intègre de 0 à 1 :

\[0 \leq\, \int_0^1 x^{n+1}\text{e}^{1-x}\,\text{d}x \leq\, \int_0^1 x^n\text{e}^{1-x}\,\text{d}x, \quad \text{soit} \quad 0 \leq\, u_{n+1} \leq\, u_n.\]

c. D’après la question précédente, \(u_{n+1} \leq\, u_n\) pour tout \(n \geq\, 1\) : la suite \((u_n)\) est décroissante. Elle est aussi minorée par 0. Une suite décroissante et minorée converge (théorème de convergence monotone), donc la suite \((u_n)\) est convergente.

2. a. On part de \(u_{n+1} = \displaystyle\int_0^1 x^{n+1}\text{e}^{1-x}\,\text{d}x\) et on pose :

\(u(x) = x^{n+1}\), d’où \(u^{\prime}(x) = (n+1)x^n\) ;
\(v^{\prime}(x) = \text{e}^{1-x}\), d’où \(v(x) = -\text{e}^{1-x}\).

Les fonctions \(u\) et \(v\) sont dérivables à dérivées continues sur \([0 ; 1]\). La formule d’intégration par parties donne :

\[u_{n+1} = [-x^{n+1}\text{e}^{1-x}]_0^1 – \int_0^1 (n+1)x^n \times (-\text{e}^{1-x})\text{d}x = [-x^{n+1}\text{e}^{1-x}]_0^1 + (n+1)\int_0^1 x^n\text{e}^{1-x}\,\text{d}x.\]

Le crochet vaut \((-1^{n+1}\text{e}^{0}) – (-0^{n+1}\text{e}^{1}) = -1 – 0 = -1\) (car \(n + 1 \geq\, 2\), donc \(0^{n+1} = 0\)). L’intégrale restante est \(u_n\). Donc, pour tout entier \(n \geq\, 1\) :

\[u_{n+1} = (n+1)u_n – 1.\]

b. On initialise \(u\) avec \(u_1 = \text{e} – 2\), qui s’écrit exp(1) - 2 en Python. À chaque passage dans la boucle, l’instruction u = (n+1)*u - 1 fait passer de \(u_n\) à \(u_{n+1}\). Pour atteindre \(u_8\), il faut faire 7 passages, avec \(n\) prenant les valeurs 1, 2, …, 7 : c’est range(1, 8). Enfin la fonction doit renvoyer u.

from math import exp
def suite():
  u = exp(1) - 2
  for n in range (1, 8):
      u = (n + 1) * u - 1
  return u

L’appel suite() renvoie environ \(0{,}1233\), valeur de \(\displaystyle\int_0^1 x^8\text{e}^{1-x}\,\text{d}x\).

3. a. Soit \(x \in [0 ; 1]\). Alors \(1 – x \leq\, 1\) et, la fonction exponentielle étant croissante, \(\text{e}^{1-x} \leq\, \text{e}^1 = \text{e}\). En multipliant par \(x^n \geq\, 0\) : \(x^n\text{e}^{1-x} \leq\, \text{e}\,x^n\).

Par croissance de l’intégrale (bornes \(0 \leq\, 1\)) :

\[u_n \leq\, \int_0^1 \text{e}\,x^n\,\text{d}x = \text{e}[\dfrac{x^{n+1}}{n+1}]_0^1 = \text{e} \times \dfrac{1}{n+1}.\]

On a bien \(u_n \leq\, \dfrac{\text{e}}{n+1}\) pour tout entier \(n \geq\, 1\).

b. D’après 1. b. et 3. a., pour tout \(n \geq\, 1\) : \(0 \leq\, u_n \leq\, \dfrac{\text{e}}{n+1}\). Or \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{\text{e}}{n+1} = 0\) puisque le dénominateur tend vers \(+\infty\). D’après le théorème des gendarmes, \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = 0\).

Exercice 4 :

1. Affirmation 1 : vraie.

La somme \(\ln(x) – x^2\) donne la forme indéterminée « \(+\infty – \infty\) ». Pour \(x \gt 0\), on factorise par \(x^2\) : \(f(x) = x^2(\dfrac{\ln(x)}{x^2} – 1)\).

Par croissances comparées, \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x} = 0\) ; et comme \(\dfrac{\ln(x)}{x^2} = \dfrac{\ln(x)}{x} \times \dfrac{1}{x}\), on a aussi \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x^2} = 0\). La parenthèse tend donc vers \(-1\), et \(x^2\) tend vers \(+\infty\). Par produit, \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty\).

2. Affirmation 2 : vraie.

On a \(f^{\prime}(x) = -2\sin x – \cos x\). On calcule le membre de gauche de \((E)\) avec \(y = f\) :

\[-2f^{\prime}(x) + 3f(x) = 4\sin x + 2\cos x + 6\cos x – 3\sin x = \sin x + 8\cos x.\]

L’égalité est vérifiée pour tout réel \(x\) : \(f\) est bien solution de \((E)\).

3. Affirmation 3 : vraie.

On calcule \(u_1 = \ln(3 \times 25 + 1) + 8 = \ln(76) + 8 \approx 12{,}33\), donc \(u_1 \lt u_0\). On montre par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1} \lt u_n\).

Initialisation : \(u_1 \lt u_0\), la propriété est vraie au rang 0.
Hérédité : supposons \(u_{n+1} \lt u_n\) pour un certain \(n\). La fonction \(g\) est strictement croissante sur \(]0 ; +\infty[\) car \(g^{\prime}(x) = \dfrac{3}{3x+1} \gt 0\). Les termes étant strictement positifs, on peut appliquer \(g\) : \(g(u_{n+1}) \lt g(u_n)\), c’est-à-dire \(u_{n+2} \lt u_{n+1}\).
Conclusion : par récurrence, \(u_{n+1} \lt u_n\) pour tout \(n\).

La suite \((u_n)\) est donc décroissante.

4. Affirmation 4 : vraie.

La fonction \(h\) est affine : \(h(x) = ax + b\) avec \(a\) et \(b\) réels. Alors \(k(x) = x^4 + x^2 + ax + b\) est un polynôme, deux fois dérivable sur \(\mathbb{R}\), avec \(k^{\prime}(x) = 4x^3 + 2x + a\) et \(k^{\prime\prime}(x) = 12x^2 + 2\).

Pour tout réel \(x\), \(12x^2 \geq\, 0\), donc \(k^{\prime\prime}(x) \geq\, 2 \gt 0\). La dérivée seconde étant positive sur \(\mathbb{R}\), la fonction \(k\) est convexe sur \(\mathbb{R}\), quelle que soit la fonction affine \(h\) (sa dérivée seconde est nulle).

5. Affirmation 5 : fausse.

Le mot EULER a 5 lettres, mais la lettre E y figure deux fois. Si les 5 lettres étaient distinctes, on aurait \(5! = 120\) permutations. Or échanger les deux E ne crée pas de nouveau mot : chaque anagramme est comptée deux fois dans ces 120 permutations. Le nombre d’anagrammes est donc \(\dfrac{5!}{2!} = \dfrac{120}{2} = 60\), et non 120.

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