Brevet de maths 2020 en Nouvelle-Calédonie : sujet et corrigé

Ce sujet fait partie des annales que nous rassemblons pour préparer le brevet de maths 2027 : tous les sujets récents y sont classés par session.

DIPLÔME NATIONAL DU BREVET — SESSION 2020
Nouvelle-Calédonie — 14 décembre 2020
Mathématiques — Durée : 2 heures

ATTENTION : ANNEXES à rendre avec la copie
L’usage de calculatrice avec mode examen activé est autorisé.
L’usage de calculatrice sans mémoire « type collège » est autorisé

Exercice 1 : QCM (18 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est exacte.

Sur la copie, indiquer le numéro de la question et la réponse A, B ou C choisie.

Aucune justification n’est demandée.

Aucun point, ne sera enlevé en cas de mauvaise réponse.

Exercice 2 : La facture (8 points)

Un prix TTC (Toutes Taxes Comprises) s’obtient en ajoutant la taxe appelée TGC (Taxe Générale sur la Consommation) au prix HT (Hors Taxes).

En Nouvelle-Calédonie, il existe quatre taux de TGC selon les cas : 22 %, 11 %, 6 % et 3 %.

Alexis vient de faire réparer sa voiture chez un carrossier.

Voici un extrait de sa facture qui a été tâchée par de la peinture.

Les colonnes B, D et E désignent des prix en francs.

(Les cellules D3 et C5 sont masquées par une tache de peinture.)

1. Quel est le montant TGC pour le pare-chocs ?

2. Quel est le pourcentage de la TGC qui s’applique à la main d’œuvre ?

3. La facture a été faite à l’aide d’un tableur.

Quelle formule a été saisie dans la cellule E6 pour obtenir le total à payer ?

Exercice 3 : Programmes de calcul (11 points)

On donne les deux programmes de calcul suivants :

1. Alice choisit le nombre 4 et applique le programme A.

Montrer qu’elle obtiendra \(-4\).

2. Lucie choisit le nombre \(-3\) et applique le programme B.

Quel résultat va-t-elle obtenir ?

Tom souhaite trouver un nombre pour lequel des deux programmes de calculs donneront le même résultat.

Il choisit \(x\) comme nombre de départ pour les deux programmes.

3. Montrer que le résultat du programme A peut s’écrira \(x^2-5x\).

4. Exprimer en fonction de \(x\) le résultat obtenu avec le programme B.

5. Quel est le nombre que Tom cherche ?

Toute trace de recherche même non aboutie sera prise, en compte dans la notation.

Exercice 4 : La régate (16 points)

AB = 400, AC = 300, BC = 500 et CD = 700.

Les droites (AE) et (BD) se coupent en C
Les droites (AB) et (DE) sont parallèles

1. Calculer la longueur DE.

2. Montrer que le triangle ABC est rectangle.

3. Calculer la mesure de l’angle \(\widehat{\text{ABC}}\). Arrondir au degré.

Lors d’une course les concurrents doivent effectuer plusieurs tours du parcours représenté ci-dessus. Ils partent du point A, puis passent par les points B, C, D et E dans cet ordre puis de nouveau par le point C pour ensuite revenir au point A.

Maltéo, le vainqueur, a mis 1 h 48 min pour effectuer les 5 tours du parcours. La distance parcourue pour faire un tour est 2 880 m.

4. Calculer la distance totale parcourue pour effectuer les 5 tours du parcours.

5. Calculer la vitesse moyenne de Maltéo. Arrondir à l’unité.

Exercice 5 : La corde (7 points)

Le triangle ABC rectangle en B ci-dessous est tel que AB = 5 m et AC = 5,25 m.

1. Calculer, en m, la longueur BC. Arrondir au dixième.

Une corde non élastique de 10,5 m de long est fixée au sol par ses deux extrémités entre deux poteaux distants de 10 m.

2. Melvin qui mesure 1,55 m pourrait-il passer sous cette corde sans se baisser en la soulevant par le milieu ?

Toute trace de recherche même non aboutie sera prise en compte dans la notation.

Exercice 6 : Les étiquettes (14 points)

1. Justifier que le nombre 102 est divisible par 3.

2. On donne la décomposition en produits de facteurs premiers de 85 : \(85 = 5\times 17\).

Décomposer 102 en produits de facteurs premiers.

3. Donner 3 diviseurs non premiers du nombre 102.

Un libraire dispose d’une feuille cartonnée de 85 cm sur 102 cm.

Il souhaite découper dans celle-ci, en utilisant toute la feuille, des étiquettes carrées.

Les côtés de ces étiquettes ont tous la même mesure.

4. Les étiquettes peuvent-elles avoir 34 cm de côté ? Justifier.

5. Le libraire découpe des étiquettes de 17 cm de côté.

Combien d’étiquettes pourra-t-il découper dans ce cas ?

Exercice 7 : L’habitation (15 points)

Nolan souhaite construire une habitation.

Il hésite entre une case et une maison en forme de prisme droit.

La case est représentée par un cylindre droit d’axe (OO’) surmontée d’un cône de révolution de sommet S.

Les dimensions sont données sur les figures suivantes.

\(x\) représente à la fois le diamètre de la case et la longueur AB du prisme droit.

Partie 1

Dans cette partie, on considère que \(x = 6\) m.

1. Montrer que le volume exact de la partie cylindrique de la case est \(18\pi\ \text{m}^3\).

2. Calculer le volume de la partie conique. Arrondir à l’unité.

3. En déduire que le volume total de la case est environ \(66\ \text{m}^3\).

Partie 2

Dans cette partie, le diamètre est exprimé en mètre, le volume en m³.

Sur l’annexe ci-dessous, on a représenté la fonction qui donne le volume total de la case en fonction de son diamètre \(x\).

Annexe 1 (à rendre avec la copie) — Volume de la case en fonction de \(x\)

1. Par lecture graphique, donner une valeur approchée du volume d’une case de 7 m de diamètre.

Tracer des pointillés permettant la lecture.

La fonction qui donne le volume de la maison en forme de prisme droit est définie par

\[ V(x) = 12{,}5x. \]

2. Calculer l’image de 8 par la fonction \(V\).

3. Quelle est la nature de la fonction \(V\) ?

4. Sur l’annexe, tracer la représentation graphique de la fonction \(V\).

Pour des raisons pratiques, la valeur maximale de \(x\) est de 6 m. Nolan souhaite choisir la construction qui lui offre le plus grand volume.

5. Quelle construction devra-t-il choisir ? Justifier.

Exercice 8 : Scratch (11 points)

Le script suivant permet de tracer le carré de côté 50 unités.

1. Sur l’annexe ci-dessous (annexe à rendre avec la copie), compléter le script pour obtenir un triangle équilatéral de coté 80 unités.

Annexe 2 — Script à compléter

On a lancé le script suivant :

2. Entourer sur l’annexe ci-dessous (annexe à rendre avec la copie), la figure obtenue avec ce script.

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

1. La multiplication est prioritaire sur la soustraction : \(\dfrac{1}{3}\times \dfrac{3}{2} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\). Ensuite :

\[ \dfrac{5}{3} – \dfrac{1}{2} = \dfrac{10}{6} – \dfrac{3}{6} = \dfrac{7}{6} \]

Réponse C.

2. On écrit \(245 = 2{,}45 \times 10^2\), donc \(245 \times 10^{-5} = 2{,}45 \times 10^{2-5} = 2{,}45 \times 10^{-3}\), avec bien \(1 \leq\, 2{,}45 \lt 10\). Réponse B.

3. La somme des 7 durées vaut \(3+2+4+3+7+9+7 = 35\) minutes, donc la moyenne est \(\dfrac{35}{7} = 5\) minutes. Réponse C.

4. On range les 7 durées dans l’ordre croissant : 2 ; 3 ; 3 ; 4 ; 7 ; 7 ; 9. Avec 7 valeurs, la médiane est la 4e : 4 minutes (trois valeurs avant, trois après). Réponse B.

5. Les 32 cartes ont la même chance d’être tirées et 4 d’entre elles sont des rois : \(p = \dfrac{4}{32} = \dfrac{1}{8}\). Réponse A.

6. L’équateur est le parallèle de latitude 0°. La seule proposition dont la latitude est nulle est (0° N ; 78° O). Réponse C.

Exercice 2 :

1. Le prix TTC est la somme du prix HT et du montant de la TGC. Pour le pare-chocs, le montant de la TGC est donc la différence :

\[ 21\,960 – 18\,000 = 3\,960 \]

On le vérifie avec le taux : \(18\,000 \times \dfrac{22}{100} = 3\,960\). Le montant de la TGC du pare-chocs est de 3 960 francs.

2. Pour la main d’œuvre, la TGC vaut 1 440 francs pour un prix HT de 24 000 francs. Le taux est :

\[ \dfrac{1\,440}{24\,000} = 0{,}06 = \dfrac{6}{100} \]

La TGC appliquée à la main d’œuvre est de 6 % (c’est bien l’un des quatre taux possibles).

3. Le total à régler est la somme des prix TTC des lignes 2 à 5, qui se trouvent dans les cellules E2 à E5. On a pu saisir =SOMME(E2:E5) (ou =E2+E3+E4+E5). Vérification : \(78\,080 + 21\,960 + 12\,987 + 25\,440 = 138\,467\).

Exercice 3 :

1. Avec le programme A et le nombre 4 : \(4 – 5 = -1\), puis \(-1 \times 4 = -4\). Alice obtient bien \(-4\).

2. Avec le programme B et le nombre \(-3\) : \((-3)^2 = 9\) (le carré d’un nombre négatif est positif), puis \(9 – 4 = 5\). Lucie obtient 5.

3. Avec le programme A et le nombre \(x\) : on soustrait 5, ce qui donne \(x – 5\), puis on multiplie par \(x\) :

\[ (x-5) \times x = x \times x – 5 \times x = x^2 – 5x \]

Le résultat du programme A est \(x^2 – 5x\).

4. Avec le programme B : on met \(x\) au carré, puis on soustrait 4. Le résultat du programme B est \(x^2 – 4\).

5. Tom cherche \(x\) tel que les deux résultats soient égaux :

\[ x^2 – 5x = x^2 – 4 \]

En soustrayant \(x^2\) aux deux membres, on obtient \(-5x = -4\), puis en divisant par \(-5\) :

\[ x = \dfrac{-4}{-5} = \dfrac{4}{5} = 0{,}8 \]

Tom cherche le nombre 0,8. Vérification : programme A, \(0{,}8 – 5 = -4{,}2\) et \(-4{,}2 \times 0{,}8 = -3{,}36\) ; programme B, \(0{,}8^2 – 4 = 0{,}64 – 4 = -3{,}36\).

Exercice 4 :

1. Les points A, C, E d’une part et B, C, D d’autre part sont alignés (les droites (AE) et (BD) se coupent en C), et les droites (AB) et (DE) sont parallèles. On est dans la configuration de Thalès « en papillon », donc :

\[ \dfrac{\text{CD}}{\text{CB}} = \dfrac{\text{CE}}{\text{CA}} = \dfrac{\text{DE}}{\text{BA}} \]

Avec CD = 700, CB = 500 et BA = 400 : \(\dfrac{700}{500} = \dfrac{\text{DE}}{400}\), d’où :

\[ \text{DE} = \dfrac{700 \times 400}{500} = 560 \]

DE = 560 m.

2. Dans le triangle ABC, le plus grand côté est [BC]. On compare :

\[ \text{BC}^2 = 500^2 = 250\,000 \]

\[ \text{AB}^2 + \text{AC}^2 = 400^2 + 300^2 = 160\,000 + 90\,000 = 250\,000 \]

Comme \(\text{BC}^2 = \text{AB}^2 + \text{AC}^2\), d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.

3. Dans le triangle ABC rectangle en A, pour l’angle \(\widehat{\text{ABC}}\), [AB] est le côté adjacent et [BC] l’hypoténuse :

\[ \cos \widehat{\text{ABC}} = \dfrac{\text{AB}}{\text{BC}} = \dfrac{400}{500} = 0{,}8 \]

La calculatrice donne \(\widehat{\text{ABC}} \approx 36{,}87^\circ\), donc \(\widehat{\text{ABC}} \approx 37^\circ\) au degré près.

4. Un tour mesure 2 880 m, donc cinq tours mesurent :

\[ 5 \times 2\,880 = 14\,400\ \text{m} \]

La distance totale est de 14 400 m, soit 14,4 km. (On peut retrouver la longueur d’un tour : CE \(= 300 \times \dfrac{700}{500} = 420\) m d’après Thalès, puis AB + BC + CD + DE + EC + CA = 400 + 500 + 700 + 560 + 420 + 300 = 2 880 m.)

5. On convertit la durée en heures : 48 min \(= \dfrac{48}{60}\) h \(= 0{,}8\) h, donc 1 h 48 min = 1,8 h. La vitesse moyenne est :

\[ v = \dfrac{14{,}4\ \text{km}}{1{,}8\ \text{h}} = 8\ \text{km/h} \]

La vitesse moyenne de Maltéo est de 8 km/h (ce qui correspond à environ 2 m/s, puisque \(14\,400 : 6\,480 \approx 2{,}2\) m/s).

Exercice 5 :

1. Le triangle ABC est rectangle en B, d’hypoténuse [AC]. D’après le théorème de Pythagore :

\[ \text{AC}^2 = \text{AB}^2 + \text{BC}^2 \quad \text{donc} \quad \text{BC}^2 = 5{,}25^2 – 5^2 = 27{,}5625 – 25 = 2{,}5625 \]

D’où \(\text{BC} = \sqrt{2{,}5625} \approx 1{,}6008\). BC ≈ 1,6 m au dixième près.

2. Quand on soulève la corde par son milieu, elle forme deux segments tendus de \(10{,}5 : 2 = 5{,}25\) m chacun. Le point le plus haut est à la verticale du milieu des deux points d’attache, donc à \(10 : 2 = 5\) m de chaque point d’attache au sol. On obtient deux triangles rectangles exactement comme le triangle ABC de la question 1 : un côté horizontal de 5 m, une hypoténuse (la corde) de 5,25 m et un côté vertical égal à la hauteur de la corde.

La corde monte donc à environ 1,60 m. Comme \(1{,}55 \lt 1{,}60\), Melvin peut passer sous la corde sans se baisser (avec environ 5 cm de marge).

Exercice 6 :

1. La somme des chiffres de 102 est \(1 + 0 + 2 = 3\), qui est divisible par 3. D’après le critère de divisibilité par 3, 102 est divisible par 3 ; d’ailleurs \(102 = 3 \times 34\).

2. On part de \(102 = 3 \times 34\) et \(34 = 2 \times 17\), où 2, 3 et 17 sont premiers :

\[ 102 = 2 \times 3 \times 17 \]

3. En multipliant deux des facteurs premiers, on obtient des diviseurs de 102 qui ne sont pas premiers : \(2 \times 3 = 6\), \(2 \times 17 = 34\) et \(3 \times 17 = 51\) (102 lui-même convient aussi).

4. Pour utiliser toute la feuille sans chute, le côté des étiquettes doit diviser à la fois 85 et 102. Or 34 est pair et 85 est impair, donc 34 ne divise pas 85 (\(85 : 34 = 2{,}5\)). Les étiquettes ne peuvent pas avoir 34 cm de côté.

5. 17 divise 85 et 102 : \(85 = 5 \times 17\) et \(102 = 6 \times 17\). On place 5 étiquettes dans la largeur et 6 dans la longueur, donc :

\[ 5 \times 6 = 30 \]

Le libraire pourra découper 30 étiquettes. Vérification par les aires : \(\dfrac{85 \times 102}{17 \times 17} = \dfrac{8\,670}{289} = 30\).

Exercice 7 :

Partie 1

1. Le diamètre est de 6 m, donc le rayon vaut \(r = 3\) m ; la hauteur du cylindre est OO’ = 2 m. Avec la formule du rappel :

\[ V_{\text{cylindre}} = \pi \times 3^2 \times 2 = \pi \times 9 \times 2 = 18\pi\ \text{m}^3 \]

2. Le cône a le même rayon de base, 3 m, et une hauteur O’S = 1 m :

\[ V_{\text{cône}} = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 3^2 \times 1 = 3\pi \approx 9{,}42\ \text{m}^3 \]

Le volume de la partie conique est d’environ 9 m³.

3. Le volume total est la somme des deux volumes :

\[ V_{\text{case}} = 18\pi + 3\pi = 21\pi \approx 65{,}97\ \text{m}^3 \]

Le volume de la case est bien d’environ 66 m³.

Partie 2

1. Sur l’annexe, on part de 7 sur l’axe des abscisses, on monte en pointillés verticalement jusqu’à la courbe rouge, puis on se déplace horizontalement jusqu’à l’axe des ordonnées. On lit environ 90. Une case de 7 m de diamètre a un volume d’environ 90 m³. (Le calcul exact donne \(\dfrac{7\pi \times 7^2}{12} \approx 89{,}8\ \text{m}^3\).)

2. \(V(8) = 12{,}5 \times 8 = 100\). L’image de 8 par \(V\) est 100 : une maison de longueur 8 m aurait un volume de 100 m³.

3. \(V(x)\) est de la forme \(ax\) avec \(a = 12{,}5\). La fonction \(V\) est une fonction linéaire (le volume de la maison est proportionnel à \(x\)).

4. La représentation graphique d’une fonction linéaire est une droite passant par l’origine du repère. Il suffit d’un second point : par exemple \((8\,;\,100)\) d’après la question 2, ou \((4\,;\,50)\). On trace donc sur l’annexe la droite passant par \((0\,;\,0)\) et \((8\,;\,100)\).

5. Pour \(x = 6\) m (valeur maximale) :

• la case a un volume d’environ 66 m³ (partie 1) ;
• la maison a un volume de \(V(6) = 12{,}5 \times 6 = 75\) m³.

Comme \(75 \gt 66\), Nolan devra choisir la maison. Sur l’annexe, on voit aussi que la droite est au-dessus de la courbe rouge pour toutes les valeurs de \(x\) comprises entre 0 et 6 (les deux se croisent vers \(x \approx 6{,}8\)).

Exercice 8 :

1. Un triangle équilatéral a 3 côtés de même longueur, ici 80 unités. En parcourant le triangle, le lutin doit tourner à chaque sommet de l’angle extérieur, c’est-à-dire \(180^\circ – 60^\circ = 120^\circ\) (les trois angles extérieurs font un tour complet : \(3 \times 120^\circ = 360^\circ\)). Le script complété est :

quand drapeau vert est cliqué
s'orienter à 90
stylo en position d'écriture
répéter 3 fois
    avancer de 80
    tourner à gauche de 120 degrés
fin

Il faut compléter par 3, 80 et 120.

2. Le script trace 12 segments (la boucle est répétée 12 fois), de longueurs 40, 50, 60, …, 150 unités, qui s’allongent de 10 à chaque fois, en tournant de 90° vers la gauche après chacun. On obtient une spirale carrée qui s’élargit, formée de 12 segments. La figure 3 est triangulaire, donc elle ne convient pas ; la figure 1 compte 16 segments et la figure 2 en compte exactement 12. Il faut entourer la figure 2.

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