Exercices maths 3ème

Trigonométrie : exercices en 3ème de maths corrigés

La série 2 des exercices de maths  3ème sur la trigonométrie dans le triangle rectangle.Tous ces exercices en troisième disposent de leur corrigé et vous avez la possibilité de les télécharger en PDF.
Périmètre
on sait que  \widehat{CAB}=50^{\circ} ; \widehat{DBA}=15^{\circ} ; \widehat{ACB}=90^{\circ} et AB=40\,m .
Calculer le périmètre du triangle ABD
Donner l’arrondi du résultat au décimètre près.

Trigonométrie dans le triangle rectangle

Corrigé de cet exercice

Câble
Un câble de 20m de long est tendu entre le sommet d’un poteau vertical et le sol horizontal. Il forme un angle de 40° avec le sol.

a) Calculer la hauteur du poteau; donner la valeur approchée au dixième près par défaut. 

b)Représenter la situation par la figure à l’échelle 1/200. (Les données de la situation doivent être placées sur la figure.)

Corrigé de cet exercice

Calculatrice
1.a. A l’aide de la calculatrice, calculer 
(cos67°+sin67°)²+(cos67°-sin67°)²
(cos35°+sin35°)²+(cos35°-sin35°)²
b. que constate-t-on?


2.Démontrer que pour tout angle aigu x :
(cos x+sin x)²+(cos x-sin x)²= 2.

Corrigé de cet exercice

Triangle rectangle et trigonométrie
Demontrer que le triangle SON est rectangle.

Trigonométrie dans le triangle rectangle

Corrigé de cet exercice

Calcul de la tangente et du cosinus
x est un angles tel que sinx=\frac{5}{8} .


En utilisant les formules trigonométriques , calculer les valeurs exactes de cos x et  tan x .

Corrigé de cet exercice

Cercle circonscrit
1. Construisez un triangle ABC rectangle en C tel que AC = 5 cm et \widehat{BAC}=40^{\circ}.

2. Calculez la longueur Bc.(On donnera une valeur arrondie au millimètre).

3.a) Où se trouve le centre O du cercle circonscrit au triangle ABC?Justifiez.

b) Tracez  ce cercle.

4. Déduisez-en la mesure de l’angle \widehat{BOC} .

Corrigé de cet exercice

Mesure de la hauteur d’une cathédrale
 Cette cathédrale mesure 140 m de haut.

L’appareil photo est muni d’un objectif dont l’angle d’ouverture est 42°.

hauteur d'une cathédrale

Quelle est la distance OH nécessaire pour que

la cathédrale apparaisse entièrement dans l’objectif ?

Corrigé de cet exercice

Trigonométrie dans le triangle rectangle
On sait que AB = 40 m, \widehat{A}=45^{\circ} et \widehat{B}=25^{\circ}.

On cherche la hauteur SH du donjon.

On pose x = Sh (avec x exprimé en m).

a. Exprimer BH en fonction de x.

b. Exprimer AH en fonction de x.

c. Sachant que AB = 40 m, écrire une équation dont l’inconnue est x.

d. Résoudre l’équation et donner la hauteur du donjon en arrondissant au mètre le plus proche.

Mont Saint-Michel

Corrigé de cet exercice

La série 3 des exercices sur la trigonométrie dans le triangle rectangle en 3ème. Ces exercices corrigés dans les détails portant sur le cosinus, sinus et la tangente d’un angle sont à télécharger gratuitement en PDF en troisième.

Cube et trigonométrie
pavé droit

Dans le pavé droit ci-dessus, on donne EH=69cm, EF=60cm et EA=51cm.
Quelle est la mesure de l’angle AED? (arrondir le résultat a l’unité)

Corrigé de cet exercice

Mont-Saint-Michel et trigonométrie
Pour savoir à quelle hauteur culmine l’archange Saint Michel

situé au sommet de l’abbaye du Mont-Saint-Michel, Lisa utilise un théodolite

afin de mesurer des angles à partir de la baie.

Mont Saint-Michel et trigonométrie

Elle effectue une première mesure et observe le sommet de l’abbaye sous un angle de 48°.

Puis elle recule de 50 m et effectue une nouvelle mesure.

Elle voit alors le sommet de l’abbaye sous un angle de 40°.

Son père lui dit qu’elle peut maintenant trouver la hauteur du sommet de l’abbaye.

Aider Lisa à faire ce calcul en s’aidant du schéma ci-dessous :

Exercice de trigonométrie

Corrigé de cet exercice

 Formule d’Al-kashi
1. Construire en vraie grandeur un triangle ABC tel que : AB = 7 cm ; BC = 8 cm et AC = 5 cm.

2. Le triangle ABC est-il rectangle ? Justifier.
3. Le célèbre mathématicien Al-Kashi (XIV- XVème siècle) a trouvé une formule entre les trois
côtés d’un triangle et le cosinus de l’un des trois angles de ce triangle :
« Dans un triangle, qu’il soit rectangle ou non, on a :
BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \times AB \times AC \times cos \,\widehat{BAC}. »
En utilisant la formule d’Al-Kashi, trouver la mesure arrondie au degré près de l’angle \widehat{BAC}.

Corrigé de cet exercice

Pente d’une route et autoroute
Une pente de 15 % signifie que, pour un déplacement horizontal ,on se déplace verticalement de 15 m comme schématisé ci-dessous.

Pente d'une route

1) Dans le cas d’une pente à 15 %, quel angle fait la route avec l’horizontale?

2) On considère une descente dangereuse dès que la pente est supérieure à 10 % sur route et supérieure à 4 % sur autoroute.

A partir de quel angle entre chaussée et l’horizontale, considère-t-on qu’une descente est dangereuse sur route?sur autoroute?

3)Est-il plus dangereux de circuler sur une route qui a une pente de 20 % ou de rouler sur une autoroute faisant un angle de 20 degré avec l’horizontale ? Justifier

Pourcentage d'une pente

Corrigé de cet exercice

La série 4 des exercices sur la trigonométrie en 3ème avec le cos, sin et tan d’un angle aigü dans un triangle rectangle. Ces exercices en troisième disposent de leur correction détaillée et peuvent être téléchargés et imprimés en PDF.

Exercice n° 1 :

1. Construire un triangle IJK tel que :

JK = 8 cm ; IJ = 4,8 cm ; KI = 6,4 cm.

2. Démontrer que le triangle IJK est un triangle rectangle.

3. Calculer la mesure en degrés de l’angle  \widehat{IJK} .

Donner la valeur arrondie au degré le plus proche.

Exercice n° 2 :

1. Paul veut installer chez lui un panier de basket.

Il doit le fixer à 3,05 m du sol.

L’échelle dont il se sert mesure 3,20 m de long.

À quelle distance du pied du mur doit-il placer l’échelle pour que son sommet soit juste au niveau du panier ?

(Donner une valeur approchée au cm près.)

2. Calculer l’angle formé par l’échelle et le sol. (Donner une valeur approchée au degré près.)

Panier de basket

Exercice n° 3 :

Soit ABC un triangle isocèle de base [BC], [AH] la hauteur issue du sommet A.

On a : BC = 8 cm et AH = 7 cm.

1. Construire le triangle ABC en justifiant la construction.

2. Calculer tan(B) .

3. En déduire la valeur de l’angle \widehat{B} arrondie au degré près.

Exercice n° 4 :

ABCD désigne un rectangle tel que AB = 7,2 cm et BC = 5,4 cm.

1. Dessiner en grandeur réelle ce rectangle et sa diagonale [AC].

2. Calculer la mesure arrondie au degré de l’angle  \widehat{ACD} .

3. Démontrer que les angles  \widehat{ACD} et  \widehat{CAB} sont égaux.

4. La médiatrice du segment [AC] coupe la droite (AB) en E.

Placer le point E et montrer que le triangle ACE est isocèle.

5. En déduire une valeur approchée de la mesure de l’angle  \widehat{DCE} .

Exercice n° 5 :

L’unité de longueur est le centimètre.

thales

Le rectangle ci-dessus représente une table de billard.

Deux boules de billard N et B sont placées telles que : CD = 90 ; NC = 25 ; BD = 35.

(Les angles sont droits.)

Un joueur veut toucher la boule N avec la boule B en suivant le trajet BEN, E étant entre C et D, et tel que la mesure de l’angle  \widehat{CEN} est égale à celle de  \widehat{DEB}.

. On pose ED = x.

l.

a. Donner un encadrement de x.

b. Exprimer CE en fonction de x.

2. Dans le triangle BED, exprimer  tan(\widehat{DEB}) en fonction de x.

3. Dans le triangle NEC, exprimer  tan(\widehat{CEN}) en fonction de x.

4.

a. En égalant les deux quotients trouvés aux questions 2. et 3.,

on trouve l’équation : 35(90 – x) = 25 x.

On ne demande pas de le justifier.

Résoudre cette équation.

b. En déduire la valeur commune des angles  \widehat{CEN} et  \widehat{DEB} arrondie au degré.

Corrigé de cet exercice

Des exercices de maths en 3ème sur théorème de Thalès.

Contrefort et théorème de Thalès
Pour consolider un bâtiment, on a construit un contrefort en bois.

Sur le dessin ci-dessous, on donne :
BS = 6 m ; BN = 1,8 m ; AM = 1,95 m ; AB = 2,5m.
 1 En considérant que le montant [BS] est perpendiculaire au sol,
    calculer la longueur AS.
 2 Calculer les longueurs SN et SM.
 3 Démontrer que la traverse [MN] est bien parallèle au sol.
Théorème de Thalès

Corrigé de cet exercice

Mur et théorème de Thalès
Le mur ci-dessous est constitué de briques de 10 cm sur 20 cm (et 10 cm de profondeur).

Il constitue le point d’appui d’une structure métallique.
Pour cela il est nécessaire d’avoir (AB) parallèle à (CD).
A-t-on (AB) parallèle à (CD) ?
Le démontrer.
Théorème de Thalès
Remarque:
Pour sceller (« coller ») les briques, il est nécessaire d’avoir du mortier.
On ne tiendra  pas compte de cette épaisseur car elle est déjà incluse dans les 10 × 10 × 20 cm.

Corrigé de cet exercice

Funiculaire , théorème de Thalès et Pythagore
Un funiculaire part de D pour se rendre à A suivant la droite (DA) .

DM = 420m ;  DH = 1000m;   MP = 252m.

Les triangles DPM et DAH sont respectivement rectangles en P et H.

1) Calculer la distance DP en mètre .

2) a) Démontrer que les droite (MP) et (HA) sont parrallèles .

   b) Calculer la distance DA en mètre puis en kilomètre.

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Théorème de Thalès

Corrigé de cet exercice

Fabrication de boîtes par un artisan
Un artisan fabrique des boîtes en forme de tronc de pyramide pour un confiseur.

Pour cela, il considère une pyramide régulière SABCD à base carrée où O est le centre du carré ABCD.

On a OA = 12 cm et SA = 20 cm.

a. Préciser la nature du triangle AOS et montrer que SO = 16 cm.

b. L’artisan coupe cette pyramide SABCD par un plan parallèle à la base tel que SM = 2cm où M est le centre de la section IJKL

ainsi obtenue.

Calculer le coefficient de réduction transformant la pyramide SABCD en la pyramide SIJKL.

c. En déduire la longueur SI puis la longueur IA.

Corrigé de cet exercice

Spectacle de marionnettes
Julien souhaite préparer un spectacle de marionnettes en ombres chinoises.

son écran mesure 2 m et sa marionnette mesure 24 cm.

Perché sur une estrade, il tient sa marionnette à 30 cm de la lumière, placée sous l’estrade.

A quelle distance de la source de lumière doit-il placer l’écran pour agrandir sa marionnette au maximum ?

Corrigé de cet exercice

Une deuxième série d’exercices sur le théorème de Thalès en 3ème.
Consolidation d’un bâtiment
Pour consolider un bâtiment, des charpentiers ont construit un contrefort en bois.

Sur le schéma ci-dessous, les mesures sont en mètre.

a. En considèrant que le montant [BS] est perpendiculaire au sol, calculer la longueur AS.

b. Calculer les longueurs SM et SN.

c. Démontrer que la traverse [MN] est bien parallèle au sol.

Batiment et théorème de Thalès

Corrigé de cet exercice

Parcours dans les bois
Par un beau dimanche ensoleillé, Julien se promène au pied de la montagne Sainte Victoire au bord de la rivière Arc.

Il se demande quelle est la largeur de cette rivière.

Il prend des repères, compte ses pas et dessine le schéma ci-dessous.

Bord de rivière et théorème de thalès

a. Quel est, en nombre de pas, la largeur de la rivière qu’obtient approximativement Julien ?

b. Julien estime la longueur de son pas à 65 cm.

Donner une valeur approximative de la largeur de cette rivière au centimètre près.

Corrigé de cet exercice

Sports d’hiver
Un skieur dévale, tout schuss, une piste rectiligne représentée ci-dessous par le segment [BC] de longueur 1 200 m.

A son point de départ C, le dénivelé par rapport au bas de la piste, donné par la longueur AC, est de 200 m.

Après une chute, il est arrêté au point D sur la piste.

Le dénivelé, donné par la longueur DH, est alors de 150 m.

Calculer la longueur DB qu’il lui reste à parcourir.

Piste et théorème de Thalès

Corrigé de cet exercice

Deux cônes de révolution
Les deux cônes de révolution de rayons KA et IB sont opposés par le sommet.

Les droites (AB) et (KI) se coupent en S, et de plus (BI) et (KA) sont parallèles.

On a KA = 4,5 cm ; KS = 6 cm  et SI = 4 cm.

Calculer la longueur BI.

Cône de révolution et théorème de Thalès

Corrigé de cet exercice

Utilisation du théorème de Thalès
Peut-on utiliser le théorème de Thalès dans les figures ci-dessous ?

justifier votre réponse.

Théorème de thalès

e. [WX] est un diamètre du cercle \varphi et [XZ] est un diamètre du cercle \varphi\,'.

Application du théorème de Thalès

Corrigé de cet exercice

Lentilles convergentes et Thalès
Le schéma ci-dessus représente un objet [AB] et son image [A’B’] donnée par
une lentille convergente L.

Les points F et F’ sont les foyers de la lentille :
OF = OF’ = 3 cm.

La droite (B’B ») est parallèle à l’axe de la lentille.
L’objet [AB] mesure 2,5 cm et est placé perpendiculairement à l’axe.

Le point A est placé à 8 cm de celle-ci et les points B, O et B’ sont alignés.

Calculer la hauteur A’B’ de l’image et sa position OA’.

Lentilles et théorème de Thalès

Corrigé de cet exercice

Distance terre lune.
Mr Fantastic a un bras long de 2,80m.

Il peut ainsi masquer parfaitement la lune, avec une pièce de 3 euros, de 26 mm de diamètre, lorsqu’il la tient au bout de son bras tendu.

Sachant que le rayon de la lune est de 1737km,

Calculer la distance Terre-Lune arrondie au km.

 Corrigé de cet exercice

Configuration du sablier.
On considère les points A,I et C alignés dans cet ordre et les points D,I et F alignés dans cet ordre.

On donne
IF = 7
IC = 5x
IA = 7x + 5
ID = 12. 

Déterminer la valeur de x pour laquelle les droites (FC) et (DA) sont parallèles.

Corrigé de cet exercice

Des exercices de maths en classe de 3ème sur le théorème de Thalès qui sont corrigés, cette fiche est la série 3 de ces exercices d’application.
Hauteur d’un bâton
un bâton est placé verticalement contre un mur. si on écarte le pied de ce bâton de 45 cm du bas du mur, son sommet glisse de 15cm vers le bas.
Quelle est la longueur de ce bâton ?

Corrigé de cet exercice

Problème sur le théorème de Thalès.
Construire un triangle ABC tel que AB=12cm,BC=16cm,AC=8cm .


1)Placer le point E sur (AB) tel que AE=9cm puis tracer la parallele à (BC) passant par E.Elle coupe (AC) en F. Calculez AF.

2)Dans la suite du problème,le point E se promene sur (AB) et on pose AE=x .


   a)Donner un encadrement de x .
   b)Calculer AF en fonction de x .
   c) En déduire FC et exprimer également EB en fonction de x .

3)La parallele à (AB) passant par F coupe (BC) en K .
   
   a)Calculer BK en fonction de x .
   b)Quelle est la naute du quadrilatere EFBK ? en déduire EF .

Corrigé de cet exercice

Théorème de thalès et sa réciproque.
ABC  est un triangle tel que : AB= 8cm ; AC= 6,4cm et BC= 4,9 cm .

Le point E appartient à la demi-droite [AB) et : AE= 12cm .

Le point F appartient à la demi-droite [AC) et : AF= 9,6cm .

a) Calculer L’angle  .

b) Quelle est la nature du triangle AEF ? Justifier votre réponse.

Théorème de Thalès

Corrigé de cet exercice

Une configuration de Desargues
Les points O,C,F ; O,B,E et O,A,D sont alignés.

(CB)//(FE) et (BA)//(ED).

Montrer que  (CA)//(FD) .

Théorème de Thalès

Corrigé de cet exercice

Réciproque du théorème de Thalès.
Théorème de Thalès exercice

Corrigé de cet exercice

Théorème de Thalès.
On sait que (BM) // (AC) et que (AB) // (NC).

Montrer que OA^2=OM\times \,ON.

calculs avec le théorème de Thalès

Corrigé de cet exercice

Théorème de Thalès et problèmes
Exercice n° 1 :

L’unité est le centimètre.

Dans la figure ci-dessous, les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
Les droites (AD) et (BC) se coupent en E.
On donne DE = 6, AE = 10, AB = 20 et BE = 16.

thalès

Les deux figures de cette page ne sont pas réalisées en vraie grandeur.
Elles ne sont pas à reproduire.
1. Calculer la distance CD.
Les points F et G appartiennent respectivement aux segments [BC] et [AB].
Ils vérifient : BF = 12,8 et BG = 16.
2.Montrer que les droites (FG) et (AE) sont parallèles .

Exercice n° 2 :

On précisera pour chacune des deux questions de cet exercice la propriété de cours utilisée.

La figure ci-dessous n’est pas représentée en vraie grandeur.

thalès exercices

Les droites (BC) et (MN) sont parallèles.
On donne :
AB 2,4 cm ; AC = 5,2 cm ;
AN = 7,8 cm et MN = 4,5 cm.

1. Calculer les longueurs AM et BC.
2. Sachant que AP = 2,6 cm et AR = 1,2 cm .
Montrer que les droites (PR) et (BC) sont parallèles.

Exercice n°3 :

Le segment [AD] représente la planche.

Les segments [AB] et [EC] représentent les pieds.
Les droites (AB) et (EC) se coupent en O.
On donne :

Exercices sur le théorème de Thalès

1. Montrer que la droite (AC) est parallèle à la droite (EB).
2. Calculer l’écartement EB en cm.

Corrigé de cet exercice

Extrait du brevet sur le théorème de Thalès
Exercice 1 : la géode

Dans le parc de la cité des sciences se trouve la Géode, salle de cinéma qui a, extérieurement, la forme d’une calotte sphérique posée sur le sol, de rayon 18 m. sujet du brevet de maths

1. Calculer OH .

2. Calculer HM ( donner le résultat arrondi à 1 m près).

3. calculer la hauteur totale de la géode .

4. a. Quelle est la forme de la surface au sol occupée par la géode ?

b. Calculer l’aire de cette surface (arrondir le résultat à 1 m² près) .

5. On veut représenter le triangle OMH à l’échelle  \frac{1}{300} .

a. Quelle est la longueur Om sur cette représentation ?

Construire le triangle OMH à l’échalle  \frac{1}{300} .

Exercice 2 :

La figure 1 représente le pommeau de levier de vitesse d’une automobile .
Il a la forme d’une demi-boule surmontant un cône dont on a sectionné l’extrémité comme l’indique la figure 2 .

On appelle C_1 le cône dont la base est le cercle de rayon [AH] et C_2 le cône dont la base est le cercle de rayon [EK].

Ces deux cercles sont situés dans des plans parallèles .

pommier de levier

• Rappel des formules :

Volume d’un cône : \frac{1}{3}\pi \times \,R^2\times \,h

Volume d’une boule : \frac{4}{3}\pi R^3

On pose : Sk = 4 cm ; SH=10 cm ; AH = 2 cm .

1. En se plaçant dans le triangle SAH, calculer la tangente de l’angle \widehat{ASH} .

En déduire une valeur approchée, à un degré près, de l’angle \widehat{ASH} .

2. En se plaçant dans le triangle rectangle ESK et en utilisant la tangente de l’angle \widehat{ESK}, montrer que : EK= 0,8 cm .

3.a. Calculer les volumes V_1 et V_2 des cônes (C_1) et (C_2).

On donnera des valeurs approchées pour les deux calculs de volumes demandés au cm^3 près .

b. Calculer le volume V_3 de la demi-boule ; en donner une valeur approchée au cm^3 près .

c. Déduire des résultats précédents une valeur approchée du volume du pommeau .

Exercice 3 :

[AD] est un diamètre d’un puits de forme cylindrique .

Le point C est à la verticale de D, au fond du puits .

Une personne se place en un point E de la demi-droite [DA) de sorte que ses yeux soient alignés avec les points A et C.

On note Y le point correspondant aux yeux de cette personne.

On sait que :

AD = 1,5 m ; EY=1,7 m ; EA=0,6 m .

puits et théorème de Thalès

1.Démontrer que les droites (DC) et (EY) sont parallèles .

2. Calculer DC, la profondeur du puit.

Corrigé de cet exercice


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